专项03 统计和概率问题3大题型（大题专练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项03 统计和概率问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年广东省中考数学真题及教研分析，统计与概率模块呈现三大特征：一是题型位置固定，选择题中考查概率计算（如2022年第7题、2023年第7题），解答题第19-21题位置考查统计图表分析与概率综合；二是分值稳中有升，模块占比约10%-15%，2025年统计部分分值达9分；三是图表题成主流，近五年每年均考查扇形图、条形图与频数分布表的数据提取与分析。 ## 2026年广东命题趋势预测 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，统计与概率模块将呈现三大趋势： 一、统计与概率融合考查成定式 预计2026年延续“统计图表分析+概率计算”的组合模式，在第19-21题位置设置6-9分综合题。常见的命题框架为：先补全统计图、计算众数中位数等统计量，再结合样本估计总体求具体数量，最后用列表法或树状图计算概率。统计量的计算（平均数、中位数、众数、方差）仍以选择题或填空题形式出现。 二、情境题材贴近生活实际 2026年命题将强化真实情境创设，题材可能涉及食品安全、体育锻炼、电信诈骗防范、人工智能等社会热点。要求考生能从实际情境中提取有效数据，运用统计知识进行分析推断，体现“用数据说话”的统计观念。 三、数据分析能力权重提升 在“素养立意”导向下，单纯计算概率的题目将减少，更加注重对统计图表的解读能力和根据统计结果进行合理决策的能力考查。 ## 2026年预测 2026年广东中考统计与概率将呈现两大趋势： 一是题型位置稳定，考查模式固定。预计选择题中考查概率计算（约3分），解答题第19-21题考查统计图表分析综合题（约6-9分），题型框架为“补全统计图→计算统计量→样本估计总体→求概率”。 二是从“算概率”向“用概率”转型。试题将更强调真实情境创设，要求学生基于统计结果进行合理决策与推断。重点考查：三数一差的计算、统计图表的读取与补全、列表法或树状图求概率，以及利用样本数据估计总体特征。 题型01 用列表法或树状图求概率 析典例·建模型 1．（2026·广东茂名·一模）有3个分别标有数字的小球，它们除所标数字不同外其他完全相同，将这3个小球放入一个不透明的袋子里． (1)若从袋子里随机拿出两个小球，将两个小球上所标数字相乘，用列表法或画树状图法求乘积为正数的概率； (2)若从袋子里先随机拿出一个小球，记录所标数字后放回，再随机拿出一个小球记录所标数字，将两个数字相乘，设乘积为正数的概率为，比较与（1）中的大小． 3 8 3 8 3 4 8 3 9 8 16 研考点·通技法 1. 确定因素与顺序：先判断一次试验有几个因素（或几步），两步用列表或树状图均可，三步及以上必须用树状图。按顺序列出所有可能结果。 2. 不重不漏列举：列表时行、列对应不同因素，树状图分层画出每个分支。注意区分“放回”与“不放回”：放回时两步结果数相同，不放回则减少。 3. 概率计算：数出总结果数n及满足条件的结果数m，则P =。注意是否强调“不放回”或“顺序”，避免重复或遗漏计数。 破类题·提能力 1．（2026·广东·一模）小佳同学在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮． (1)当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是________； (2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 2．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 题型02 统计与数据分析综合 析典例·建模型 1．（2026·广东·一模）目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据． 【收集数据】 该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（   ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是 ． 【整理和描述数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成不完整的频数分布直方图如下图所示． 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 划记 人数 A 正正正正正正 30 B 正正 12 C 正正正 15 D 3 (1)补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 (2)该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数； (3)请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议． 研考点·通技法 1. 明确三数一差：平均数（反映整体水平）、中位数（不受极端值影响）、众数（出现最多）、方差（衡量波动大小）。根据问题选择合适统计量，如比较稳定性用方差。 2. 补全图表技巧：利用“总数×频率=频数”及百分比之和为1，计算缺失数据。扇形图注意圆心角=360°×百分比。 3. 用样本估计总体：样本平均数（或比例）乘以总体容量，得到总体估算值。注意抽样需具有代表性，并给出合理范围（如“约”“估计”等措辞）。 破类题·提能力 1．（2026·广东深圳·模拟预测）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 0.8 初中部 8 8.5 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； (3)若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）年广东文旅资源开发大会计划招募“岭南文化推广志愿者”，共有名申请者参加选拔．每位申请者需参加讲解、策划、展示三项能力测试，每项测试均由八位评委打分（满分分），取平均分作为该项测试成绩，再将讲解、策划、展示三项测试成绩按的比例计算出每人的总成绩．名申请者中的洋洋和融融的测试成绩和总评成绩的部分数据如下表，这名申请者的总成绩频数分布直方图如下图：分及以上人，分（不含）人，分（不含）人，分（不含）人． 申请者 各项成绩 成绩 讲解 策划 展示 洋洋 融融 (1)在展示测试中，八位评委给融融打出的分数如下：，，，，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________，众数是________； (2)请你计算融融的总成绩； (3)根据总成绩择优选拔名志愿者，试分析洋洋和融融能否入选，并说明理由． 3．（2026·广东汕尾·一模）人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息． 八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 年级 平均数 众数 中位数 八年级 88 a 90 九年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______． (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可） (3)若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？ 题型03 统计与概率综合 析典例·建模型 1．（2026·广东汕头·一模）综合与实践 【项目背景】 《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范．春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度． 【数据收集与整理】 他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分分，：分，：分，：分，：分，：分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： 【数据分析与应用】 (1)补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ； (2)某市共有名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达分及以上． (3)此次调查组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率． 研考点·通技法 1. 分清题型步骤：先解决统计部分（补全图表、计算三数一差），再处理概率部分（列表或树状图求随机事件的概率）。两问独立，统计结果常作为概率题的数据基础。 2. 用频率估概率：当试验次数足够多时，用大量试验中的频率（统计表中的频数占比）近似替代理论概率，用于预测或决策。 3. 注意数据关联：概率题中的“随机抽取”是否与统计样本一致（如从统计图表中的总体里抽一个）。明确“放回”与“不放回”对概率的影响，避免混淆。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·一模）某班以“我最喜爱的劳动教育课程”为主题对全班同学进行随机抽样调查，调查的课程有：烹饪与营养、家电维护、工艺制作、种植与盆栽、饲养小动物（每位同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下统计表． 劳动教育课程 频数（人数） 频率 烹饪与营养 家电维护 工艺制作 种植与盆栽 饲养小动物 根据以上信息解答下列问题： (1)统计表中的______，______； (2)若将各课程的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“工艺制作”对应扇形的圆心角度数为______度； (3)若在选择“饲养小动物”的名学生中，有名男生，名女生，现需从这人中随机抽取名学生进行课程介绍，请用树状图或列表的方法求所抽取的名学生恰好是名女生的概率． 2．（2026·广东珠海·一模）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 3．（2026·广东湛江·一模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·广东·模拟预测）“五一”小长假期间，小明和小华都准备在茂名市森林公园（记为A）、新湖公园（记为B）、露天矿公园（记为C）、潘茂名公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩 (1)求小明去露天矿公园的概率； (2)用树状图或列表的方法求小明和小华都去茂名市森林公园的概率． 小明\小华 2．（2026·广东佛山·一模）为响应第四届全民阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，并落实教育部等八部门关于深入实施青少年学生读书行动的要求，佛山市大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的佛山文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“美食文化类（如《寻味顺德》）”“龙舟/武术文化类”“香云纱/粤剧文化类”“佛山少儿绘本类”和“其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了________名学生，的值为________； (2)补全条形统计图； (3)若全校共有名学生，估计该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有多少名？ (4)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 3．（2020·广东揭阳·二模）教育局为了解本地九年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分九年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形统计图． (2)在这次抽样调查中，众数是 天． (3)如果该地共有九年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有多少人？ 4．（2026·广东东莞·一模）科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础．某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答： (1)在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占________，所对应的圆心角度数为________，并补全条形统计图； (2)若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ 5．（2025·广东深圳·模拟预测）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为 ；估计全校非常了解交通法规的有 人． (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率． 6．（2026·广东东莞·一模）体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示． 身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 人数 3 8 11 9 n (1) __________，__________ ， ； (2)身高样本数据的中位数所在的范围是 ； (3)已知该校九年级有学生 1240 人，请估计该校九年级学生偏胖的人数； (4)小倩身高，值为 30 ，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克） 7．（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 8．（2026·广东深圳·二模）体重指数（）是衡量人体胖瘦程度的常用指标，计算公式是，其中（单位：千克）表示体重，（单位：米）表示身高，我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各20人，通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的数值，部分数据记录如下：20名男职员的值：15.4，15.8，16.5，17.8，18.9，21，21，21，23.2，24.5，24.5，24.5，24.5，25，25，27，27.9，28.2，29.1，29.4； 女职员体重指数为“正常”的值：18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6． 男、女职员值统计表 性别 平均数 中位数 众数 “正常”所占百分比 男 23.02 24.5 女 20.56 19 请你根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，____； (2)若该公司共有职员200人，其中男女比例为，估计该公司共有多少人体重指数是“肥胖”； (3)综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好？请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议． 9．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 10．（2026·广东深圳·一模）某校开展了“学宪法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的成绩（满分为分）进行整理、分析，现将得分（）分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生成绩在C组的人数是D组人数的一半，在C组中的数据为：，； 八年级抽取的学生成绩为：． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 八 七年级抽取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)若该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，得分在分及以上为优秀，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 统计和概率问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年广东省中考数学真题及教研分析，统计与概率模块呈现三大特征：一是题型位置固定，选择题中考查概率计算（如2022年第7题、2023年第7题），解答题第19-21题位置考查统计图表分析与概率综合；二是分值稳中有升，模块占比约10%-15%，2025年统计部分分值达9分；三是图表题成主流，近五年每年均考查扇形图、条形图与频数分布表的数据提取与分析。 ## 2026年广东命题趋势预测 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，统计与概率模块将呈现三大趋势： 一、统计与概率融合考查成定式 预计2026年延续“统计图表分析+概率计算”的组合模式，在第19-21题位置设置6-9分综合题。常见的命题框架为：先补全统计图、计算众数中位数等统计量，再结合样本估计总体求具体数量，最后用列表法或树状图计算概率。统计量的计算（平均数、中位数、众数、方差）仍以选择题或填空题形式出现。 二、情境题材贴近生活实际 2026年命题将强化真实情境创设，题材可能涉及食品安全、体育锻炼、电信诈骗防范、人工智能等社会热点。要求考生能从实际情境中提取有效数据，运用统计知识进行分析推断，体现“用数据说话”的统计观念。 三、数据分析能力权重提升 在“素养立意”导向下，单纯计算概率的题目将减少，更加注重对统计图表的解读能力和根据统计结果进行合理决策的能力考查。 ## 2026年预测 2026年广东中考统计与概率将呈现两大趋势： 一是题型位置稳定，考查模式固定。预计选择题中考查概率计算（约3分），解答题第19-21题考查统计图表分析综合题（约6-9分），题型框架为“补全统计图→计算统计量→样本估计总体→求概率”。 二是从“算概率”向“用概率”转型。试题将更强调真实情境创设，要求学生基于统计结果进行合理决策与推断。重点考查：三数一差的计算、统计图表的读取与补全、列表法或树状图求概率，以及利用样本数据估计总体特征。 题型01 用列表法或树状图求概率 析典例·建模型 1．（2026·广东茂名·一模）有3个分别标有数字的小球，它们除所标数字不同外其他完全相同，将这3个小球放入一个不透明的袋子里． (1)若从袋子里随机拿出两个小球，将两个小球上所标数字相乘，用列表法或画树状图法求乘积为正数的概率； (2)若从袋子里先随机拿出一个小球，记录所标数字后放回，再随机拿出一个小球记录所标数字，将两个数字相乘，设乘积为正数的概率为，比较与（1）中的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后用概率公式求解，再与（1）中比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意列表如下： 3 8 3 8 共有6种等可能出现的结果，两球上的数字乘积为正数的有2种， 两球上的数字乘积为正数的概率为； （2）解：根据题意列表如下： 3 4 8 3 9 8 16 共有9种等可能出现的结果，两球上的数字乘积为正数的有5种， 两球上的数字乘积为正数的概率为， ∵，， ∴． 研考点·通技法 1. 确定因素与顺序：先判断一次试验有几个因素（或几步），两步用列表或树状图均可，三步及以上必须用树状图。按顺序列出所有可能结果。 2. 不重不漏列举：列表时行、列对应不同因素，树状图分层画出每个分支。注意区分“放回”与“不放回”：放回时两步结果数相同，不放回则减少。 3. 概率计算：数出总结果数n及满足条件的结果数m，则P =。注意是否强调“不放回”或“顺序”，避免重复或遗漏计数。 破类题·提能力 1．（2026·广东·一模）小佳同学在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮． (1)当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是________； (2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况和使小灯泡能亮起来的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：小灯泡能亮起来的概率是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中使小灯泡能亮起来有4种情况， ∴小灯泡能亮起来的概率． 2．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)同意小明的说法，理由见解析 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）解：同意小明的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 题型02 统计与数据分析综合 析典例·建模型 1．（2026·广东·一模）目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据． 【收集数据】 该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（   ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是 ． 【整理和描述数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成不完整的频数分布直方图如下图所示． 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 划记 人数 A 正正正正正正 30 B 正正 12 C 正正正 15 D 3 (1)补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 (2)该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数； (3)请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议． 【答案】(1)见解析 (2) (3)同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率 【分析】（1）先求出调查的总人数，再用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用样本估计总体的方法解答即可； （3）根据每周使用的目的和使用时间的分布情况合理提建议即可． 【详解】（1）解：总人数为（人）， 每周使用的时间在这一组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： ； （2）解：， 即最关注应用领域A的人数为人； （3）解：同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率． 研考点·通技法 1. 明确三数一差：平均数（反映整体水平）、中位数（不受极端值影响）、众数（出现最多）、方差（衡量波动大小）。根据问题选择合适统计量，如比较稳定性用方差。 2. 补全图表技巧：利用“总数×频率=频数”及百分比之和为1，计算缺失数据。扇形图注意圆心角=360°×百分比。 3. 用样本估计总体：样本平均数（或比例）乘以总体容量，得到总体估算值。注意抽样需具有代表性，并给出合理范围（如“约”“估计”等措辞）。 破类题·提能力 1．（2026·广东深圳·模拟预测）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 0.8 初中部 8 8.5 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； (3)若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 【答案】(1)9；8；9 (2)初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由见解析 (3)该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”，理由见解析 【分析】（1）根据初中部平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数求解即可； （3）用小学部和初中部的学生数分别乘以样本中大于或等于8分的学生所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，即， ． 根据题意可得小学部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 根据题意可得初中部打分出现次数最多的是9，则众数， （2）解：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高， 通过比较中位数可知，，通过比较众数可知，， 初中部的学生对“校园餐”的满意度高于小学部的学生对“校园餐”的满意度； （3）解：小学部和初中部满意度评分大于或等于8分的人数为：（人）， 该校学生总数占比为：（人）， ， 该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）年广东文旅资源开发大会计划招募“岭南文化推广志愿者”，共有名申请者参加选拔．每位申请者需参加讲解、策划、展示三项能力测试，每项测试均由八位评委打分（满分分），取平均分作为该项测试成绩，再将讲解、策划、展示三项测试成绩按的比例计算出每人的总成绩．名申请者中的洋洋和融融的测试成绩和总评成绩的部分数据如下表，这名申请者的总成绩频数分布直方图如下图：分及以上人，分（不含）人，分（不含）人，分（不含）人． 申请者 各项成绩 成绩 讲解 策划 展示 洋洋 融融 (1)在展示测试中，八位评委给融融打出的分数如下：，，，，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________，众数是________； (2)请你计算融融的总成绩； (3)根据总成绩择优选拔名志愿者，试分析洋洋和融融能否入选，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)融融的总成绩为分； (3)洋洋不一定能入选，融融能入选，理由见解析． 【分析】此题考查了中位数、众数、加权平均数，频数分布直方图，解题的关键是熟悉相关概念． （）从小到大排序，找出中位数，再求出众数，算出平均数即可； （）将讲解、策划、展示三项的测试成绩按比例计算即可； （）根据总成绩频数分布直方图即可作答． 【详解】（1）解：，，，，，，，这组数据的中位数是； 平均数是：； 众数是：， 故答案为：，，； （2）解：融融的总成绩为（分）， 答：融融的总成绩为分； （3）解：洋洋不一定能入选，融融能入选，理由如下： 由频数分布直方图可知，总评成绩不低于分的学生有名，总评成绩不低于分且小于分的学生有名； 洋洋和融融的总评成绩分别是分、分，学校要选拔名志愿者，融融的总成绩在前名，因此融融一定能入选；洋洋的总成绩不一定在前名，因此洋洋不一定能入选． 3．（2026·广东汕尾·一模）人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息． 八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 年级 平均数 众数 中位数 八年级 88 a 90 九年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______． (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可） (3)若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)93，，30 (2)八年级，理由见解析 (3)755人 【分析】（1）根据众数与中位数的定义即可得的值；利用九年级B组的学生人数除以九年级被抽取的学生总人数即可得，由此即可得的值； （2）从平均数和中位数的角度进行分析即可； （3）利用八年级的学生总人数乘以其A组学生人数所占百分比、九年级的学生总人数乘以其A组学生人数所占百分比，将两者求和即可． 【详解】（1）解：∵在八年级被抽取的学生的测试得分中，93出现了3次，次数最多， ∴其众数； 九年级被抽取的学生的测试得分中，A组的学生人数为（名），B组的学生人数为6人， ∴将九年级被抽取的学生的测试得分按从小到大排序后，第10个数是87，第11个数是88， ∴其中位数； 由题意得：， ∴． （2）解：该校八年级学生对人工智能的关注与了解程度更高． 理由：两个年级被抽取的学生的测试得分的平均数相同，但八年级的中位数高于九年级． （3）解：（人）， 答：估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有755人． 题型03 统计与概率综合 析典例·建模型 1．（2026·广东汕头·一模）综合与实践 【项目背景】 《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范．春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度． 【数据收集与整理】 他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分分，：分，：分，：分，：分，：分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： 【数据分析与应用】 (1)补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ； (2)某市共有名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达分及以上． (3)此次调查组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率． 【答案】(1)见解析，分 (2)人； (3)． 【分析】（1）用组人数除以对应的百分比，可得总人数，减去、、、组的人数，可得组的人数，补全条形统计图即可，根据众数的定义，即可得本次问卷中的众数； （2）先计算组所占的百分比，用观众总数乘、两组所占的百分比之和，即可求解； （3）根据题意画树状图，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， （人）， 补全条形统计图如图所示： ∵评分为分的人数最多， ∴本次问卷中，众数是分． （2）解： ∴ （人）， 答：该市大约有人评分达分及以上． （3）解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中正好抽中甲、乙两名女生（记为事件A）的情况有2种． ∴． 研考点·通技法 1. 分清题型步骤：先解决统计部分（补全图表、计算三数一差），再处理概率部分（列表或树状图求随机事件的概率）。两问独立，统计结果常作为概率题的数据基础。 2. 用频率估概率：当试验次数足够多时，用大量试验中的频率（统计表中的频数占比）近似替代理论概率，用于预测或决策。 3. 注意数据关联：概率题中的“随机抽取”是否与统计样本一致（如从统计图表中的总体里抽一个）。明确“放回”与“不放回”对概率的影响，避免混淆。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·一模）某班以“我最喜爱的劳动教育课程”为主题对全班同学进行随机抽样调查，调查的课程有：烹饪与营养、家电维护、工艺制作、种植与盆栽、饲养小动物（每位同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下统计表． 劳动教育课程 频数（人数） 频率 烹饪与营养 家电维护 工艺制作 种植与盆栽 饲养小动物 根据以上信息解答下列问题： (1)统计表中的______，______； (2)若将各课程的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“工艺制作”对应扇形的圆心角度数为______度； (3)若在选择“饲养小动物”的名学生中，有名男生，名女生，现需从这人中随机抽取名学生进行课程介绍，请用树状图或列表的方法求所抽取的名学生恰好是名女生的概率． 【答案】(1)，； (2)； (3)所抽取的名学生恰好是名女生的概率为． 【分析】（）用统计表中“烹饪与营养”的频数除以频率可得抽样调查的人数，用抽样调查的人数乘以“家电维护”的频率可得的值，用“工艺制作”的频数除以抽样调查的人数可得的值； （）用乘以统计表中“工艺制作”的频率，即可得出答案； （）画出树状图，根据树状图即可求解． 【详解】（1）解：抽样调查的人数为人， ∴，； （2）解：“工艺制作”对应扇形的圆心角度数为； （3）解：将名男生分别记为，将名女生分别记为， 画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中所抽取的名学生恰好是名女生的结果有种， ∴所抽取的名学生恰好是名女生的概率为． 2．（2026·广东珠海·一模）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 【答案】(1)400，45 (2)此游戏规则不公平． 【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，再求解C等级的人数，据此计算即可； （2）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数或偶数的结果，再确定出和为奇数或偶数的概率，最后比较即可解答． 【详解】（1）解：（人）， C等级人数：（人）， ， ∴； （2）解：根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果，且和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴和为奇数的概率为，和为偶数的概率为， ∵， ∴此游戏规则不公平． 3．（2026·广东湛江·一模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 【答案】(1)， ， (2)对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人 (3) 【分析】（1）根据众数和中位数，以及等级的人数占比求解即可； （2）用总人数乘以对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户占比求解即可； （3）根据题意画树状图，在利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中，85出现了4次，次数最多， ； 乙款聊天机器人的20份评分数据中，中位数为第10和11个评分的平均数， 乙款聊天机器人的评分中，、等级的人数为（人）， 中位数为等级中，第2和3个评分的平均数， ； 乙款等级人数为8人， 等级人数占比为， 等级人数占比为， ， ； （2）解：在乙款调查用户中，非常满意的人数为4人，在甲款用户中，非常满意的人数为6人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为（人）． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人． （3）解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为5种， 故两人中至少有一人选择的概率为． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·广东·模拟预测）“五一”小长假期间，小明和小华都准备在茂名市森林公园（记为A）、新湖公园（记为B）、露天矿公园（记为C）、潘茂名公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩 (1)求小明去露天矿公园的概率； (2)用树状图或列表的方法求小明和小华都去茂名市森林公园的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式以及列表法求概率，熟练掌握概率公式和列表法是解题的关键． （1）根据概率公式，计算小明去露天矿公园的概率，即露天矿公园这一个景点占总景点数的比例． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出小明和小华都去茂名市森林公园的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：总共有个景点，露天矿公园（）是其中个， 所以小明去露天矿公园的概率为． （2）解：用表格表示所有可能的情况如下： 小明\小华 由表格可知，共16种等可能的结果．而小明和小华都去茂名市森林公园的有1种， 所以小明和小华都去茂名市森林公园的概率是． 2．（2026·广东佛山·一模）为响应第四届全民阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，并落实教育部等八部门关于深入实施青少年学生读书行动的要求，佛山市大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的佛山文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“美食文化类（如《寻味顺德》）”“龙舟/武术文化类”“香云纱/粤剧文化类”“佛山少儿绘本类”和“其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了________名学生，的值为________； (2)补全条形统计图； (3)若全校共有名学生，估计该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有多少名？ (4)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）用类的人数和所占的百分比求出总人数；用总人数减去、、、类的人数，得到类的人数，类的人数除以总人数，即可得出的值； （2）由（1）可得，类的人数，即可补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢“龙舟/武术文化类”图书的学生所占的百分比即可； （4）根据题意，写出建议即可． 【详解】（1）解：总人数为：（名）； 类的人数：（名） ∴， ∴； （2）解：补全统计图如下： （3）解：（名） 答：该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有名． （4）解：由统计图可得：喜欢“香云纱/粤剧文化类”和“佛山少儿绘本类”的学生较多，建议学校多购置这些图书等． 3．（2020·广东揭阳·二模）教育局为了解本地九年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分九年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形统计图． (2)在这次抽样调查中，众数是 天． (3)如果该地共有九年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有多少人？ 【答案】(1)，，图见解析 (2)5 (3)估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有300人． 【分析】（1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，用乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数，求出8天的人数，补全条形统计图即可； （2）众数是在一组数据中，出现次数最多的数据．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）； （3）用总人数乘以“活动时间不少于8天”的百分比，计算即可得解． 【详解】（1）解：， 用乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：． 被抽查的学生人数：（人）， 8天的人数：（人）， 补全统计图如图所示： 故答案为：，； （2）解：参加社会实践活动5天的人数最多， 所以，众数是5天； （3）解：（人）， 即估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有300人． 4．（2026·广东东莞·一模）科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础．某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答： (1)在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占________，所对应的圆心角度数为________，并补全条形统计图； (2)若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ 【答案】(1)20；；见解析 (2)100名 【分析】（1）根据选择无人机课程的人数除以占比可求出参加问卷调查的人数为50名，再求出选择“创客”课程的学生所占的百分比，再用乘以选择“创客”课程的学生所占的百分比，求出其所对应的圆心角度数，求出选择“人工智能”的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学生数乘以样本中选择“航模”课程的学生所占的百分比即可解答． 【详解】（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名）， 选择“创客”课程的学生所占的百分比为： ， ， 选择“人工智能”课程的学生人数为： （名）． 补全条形统计图如图所示： （2）解：（名）． 答：估计选择“航模”课程的学生有100名． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为 ；估计全校非常了解交通法规的有 人． (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求圆心角的度数，用样本估计总体的思想，补全统计图，画树状图求概率， 对于（1），先求出总人数，即可求出C组对应的圆心角，再用全校总人数乘以A组所占的百分比可得答案； 对于（2），先求出B，D组的人数，再补全统计图即可； 对于（3），画出树状图，再根据概率公式可得答案. 【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为(人)， 扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是， 全校非常了解交通法规的有 (人)， 故答案为 ； （2）解：类别人数为， 则类别人数为， 补全条形图如下： （3）解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为． 6．（2026·广东东莞·一模）体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示． 身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 人数 3 8 11 9 n (1) __________，__________ ， ； (2)身高样本数据的中位数所在的范围是 ； (3)已知该校九年级有学生 1240 人，请估计该校九年级学生偏胖的人数； (4)小倩身高，值为 30 ，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克） 【答案】(1)10，108，9 (2) (3)279人 (4) 【分析】（1）用调查的总人数减去其他三组身高的人数即可求出a的值，用身高为占总人数的比例乘以，即可求出b的值；用样本容量分别减去其他身体属性的人数和肥胖人数n； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可； （4）设小倩体重需要减掉，根据计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，； ，即； ； （2）解：把这40 名学生体检结果的身高按照从矮到高的顺序排列，第20个数据和第21个数据都在的范围内， ∴中位数所在的范围是， （3）解：1240279（人）， 答：估计该校九年级学生偏胖的人数为279人； （4）解：设小倩体重需要减掉， 依题意得：， 解得， ∴她的体重至少需要减掉 答：她的体重至少需要减掉． 7．（2025·广东江门·二模）为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． (3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. （3）解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 8．（2026·广东深圳·二模）体重指数（）是衡量人体胖瘦程度的常用指标，计算公式是，其中（单位：千克）表示体重，（单位：米）表示身高，我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如下表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 为了解自己所在公司职员的体重健康状况，某员工在公司内随机抽取男、女职员各20人，通过测量得到他们的体重和身高，然后计算得到每位职员的数值，部分数据记录如下：20名男职员的值：15.4，15.8，16.5，17.8，18.9，21，21，21，23.2，24.5，24.5，24.5，24.5，25，25，27，27.9，28.2，29.1，29.4； 女职员体重指数为“正常”的值：18.5，19，19，19，20，20，21，21.3，22.4，23.6． 男、女职员值统计表 性别 平均数 中位数 众数 “正常”所占百分比 男 23.02 24.5 女 20.56 19 请你根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，____； (2)若该公司共有职员200人，其中男女比例为，估计该公司共有多少人体重指数是“肥胖”； (3)综合上表中的统计量，你认为该公司哪个性别的职员体重健康状况较好？请说明理由，并给体重健康状况较差的职员提出一条合理的建议． 【答案】(1)19.5，24.5， (2)估计该公司共有24人体重指数是“肥胖” (3)女职员体重健康状况较好，理由和建议见解析 【分析】（1）根据中位数、众数和“正常”所占百分比的定义求解即可； （2）根据公司中男女比例以及体重指数是“肥胖”的人数占比求解即可； （3）根据平均数、中位数以及众数分析，再给出合理的建议即可． 【详解】（1）解：由数据可知，20名女职员体重指数的中位数为第10和11名指数的平均数， 女职员中体重过低有6人，则第10和11名为指数正常中的第4和5名的平均数， ； 20名男职员体重指数的中，出现了次，次数最多， ； ∵女职员中体重指数为正常的人数有10人， ∴； （2）解： （人）， 答：估计该公司共有24人体重指数是“肥胖”． （3）解：该公司的女职员的平均值、中位数以及众数均比男职员的低，且平均值位于正常范围的中间值， 女职员体重健康状况较好． 建议：健康状况较差的职员建议多运动，注意良好的饮食与睡眠（合理即可）． 9．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 10．（2026·广东深圳·一模）某校开展了“学宪法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的成绩（满分为分）进行整理、分析，现将得分（）分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生成绩在C组的人数是D组人数的一半，在C组中的数据为：，； 八年级抽取的学生成绩为：． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 八 七年级抽取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)若该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，得分在分及以上为优秀，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数． 【答案】(1)，， (2)八年级，见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可，先算出七年级组人数，再算出所占总数的百分比即可求解； （2）比较七八年级的平均数、众数及中位数即可得出结论； （3）用总人数乘以样本中优秀学生所占百分比即可得出结论． 【详解】（1）解：∵七年级组人数是人， ∴七年级组人数是人， ∵七年级组人数是人， ∴七年级组：人， 即：， ∴， ∴人， ∵八年级抽取的学生成绩为：， ∴成绩出现次数最多的是， ∴； （2）答：八年级成绩更好，理由如下： ∵七八年级的平均数相同都是，七年级的中位数小于八年级的，七年级的众数小于八年级的， ∴八年级成绩更好； （3）解：（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数是人． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $