精品解析：河南焦作市第十一中学等普通高中2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学(北师大版)

普通高中2025-2026学年（下）高二年级期中考试 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. e D. 2e 5. 如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 14. 某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究居民体质情况是否与爱好运动有关，现从某地区随机抽取了名居民进行问卷调查，得到如下列联表（单位人）： 体质情况 组别 良好 非良好 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 （1）补全上述列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，分析该地区的居民体质情况是否与爱好运动有关． 附：，其中． k 16. 已知椭圆：经过，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求. 17. 已知数列满足. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值. 18. 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球X次后换为乙点球． （1）求，； （2）求X的分布列，及； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2025-2026学年（下）高二年级期中考试 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，，解得. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用平均变化率定义计算求解. 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 3. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 4. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. e D. 2e 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数定义及商的导数法则计算求解. 【详解】，则． 5. 如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 6. 已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 7. 已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 8. 已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线、的斜率互为相反数，进而结合韦达定理建立关于的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 【详解】设，，由 整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则， 所以， 又，所以， 因此双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数及导数的求导法则逐项求导判断. 【详解】因为为常数，所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，令，则，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，令，则， 与B项中所得的式子相加，得，C错误； 对于D，因为， 所以它的展开式中含项的系数为，D正确. 11. 已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由条件可知，，，则，A正确； 对于B，由得为奇数时，， ，B错误； 对于C，当时，因为，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以，C正确； 对于D，时，因为，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，则，所以， 所以前2026项中偶数项的和为 ， 由B项可知，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 13. 已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】结合题意确定点的坐标，代入抛物线方程求出的值，得到抛物线的具体方程， 进而联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标,再结合焦半径公式求解. 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 14. 某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种 【答案】2160 【解析】 【详解】将7所学校分成1，2，2，2四组，当甲或乙单独一组时，有种不同的分组方法； 当甲、乙分别与其他学校一组时，种不同的分组方法， 根据分类加法计数原理可知，甲、乙两校不安排在同一天宣讲，共有种不同的分组方法. 将分好的4组安排到4天中，共有种不同的安排方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究居民体质情况是否与爱好运动有关，现从某地区随机抽取了名居民进行问卷调查，得到如下列联表（单位人）： 体质情况 组别 良好 非良好 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 （1）补全上述列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，分析该地区的居民体质情况是否与爱好运动有关． 附：，其中． k 【答案】（1） 体质情况 组别 良好 非良好 合计 爱好运动 400 200 600 不爱好运动 200 200 400 合计 600 400 1000 （2）该地区居民体质情况与爱好运动有关． 【解析】 【分析】（1）根据已知信息补全列联表； （2）根据已知数据进行卡方计算，结合附表信息判断相关性． 【小问1详解】 体质情况 组别 良好 非良好 合计 爱好运动 400 200 600 不爱好运动 200 200 400 合计 600 400 1000 【小问2详解】 假设该地区居民体质情况与爱好运动无关，根据表中数据得， ， 根据小概率值的独立性检验，有充分理由推断假设不成立， 故该地区居民体质情况与爱好运动有关． 16. 已知椭圆：经过，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法去求椭圆C的标准方程； （2）根据的面积等于的面积得到，设出直线的方程为，与椭圆的标准方程联立，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，解得，， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆的左焦点为， 如图， 因为的面积等于的面积， 所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则， 所以直线的方程为. 由消去整理得， 解得， 设，，则 17. 已知数列满足. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值. 【答案】（1）；. （2） （3）4或5. 【解析】 【分析】（1）直接将，代入求解； （2）利用减去得到，再验证； （3）先由（2）得数列为等差数列，求其前项和，写出，通过作比判断单调性，从而确定最大值点. 【小问1详解】 当时，； 当时，，解得. 【小问2详解】 因为，所以当时，， 两式相减，得， 当时，也满足上式， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，， 因为，所以数列为等差数列， 则， 所以，， 令，解得，，令，解得，，令，得. 所以， 综上可知，取得最大值时的值为4或5. 18. 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在矩形中，因为∥，， 所以四边形为正方形， 则，，即，又， 所以平面，则是平面的一个法向量， 同理证得平面，又平面， 所以，即， 又平面，所以∥平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用直线方向向量和平面法向量垂直证明线面平行即可； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合方向向量和法向量以及点到平面的距离公式计算距离； （ⅱ）利用空间中线段最短的性质，确定位于线段，再分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，由（1）知，∥，且平面， 所以平面，则， 因为平面平面，且，平面 平面， 所以平面，又平面，则， 在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等. （ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为， ，令，则 所以点到平面的距离为. （ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上， 当，，共线，且位于线段上时，取得最小值. 由坐标系可知，， ，所以， 则，又， 设平面的法向量为， ，令，则， 由（1）知是平面的一个法向量，记为， 于是，故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球X次后换为乙点球． （1）求，； （2）求X的分布列，及； （3）证明：． 【答案】（1），． （2）X的分布列为 X 1 2 3 … P … （3） 由（2）知， ， 则， 两式相减得， ， 故． 【解析】 【分析】（1）利用概率的乘法公式计算； （2）利用概率的乘法公式列出分布列，再根据条件概率公式计算； （3）利用期望公式结合错位相减法求证. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 表示第k次点球不中，前面次点球都中， 所以； 表示前面次点球均中，最后一次要么点中，要么点不中，所以． 所以X的分布列为 X 1 2 3 … P … ， 则． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $