2026年重庆中考数学专题突破训练 -圆（第15题）

**基本信息** 聚焦中考圆综合题，以24道填空题构建“性质应用-模型构建-代数推理”三阶方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的综合应用|24道|辅助线添加（半径/直径/对称点连线）、相似三角形判定、勾股定理方程化、对称性质转化|以圆的切线/垂径/圆周角定理为基础，结合平行四边形/菱形等图形性质，通过几何模型（直角三角形/等腰三角形）实现边角关系代数化|

重庆市中考数学专项练习-圆（第15题) 1.如图，平行四边形ABCD的顶点A,B,C在O0上，连接A0并延长交BC于点M, 为C的中点，点N在衣上，连接Bx交于点，若∠BM-AMN,阳 OH=3,则的值为 MB ,EF的长为 D A H B 2.如图，AE是⊙0的切线，A为切点，点B在OO上，过点B作BC∥AE交⊙O于点C, 作BE∥AC交OO于点D,点G为AC上一点，连接DG交AB于点H,若 CG=DG,cos∠BAE=Y0，BC=3,则线段AB的长度为 ,△BDH的周长 10 为 A E D H G 10 B 3.如图所示，⊙O是ABC的外接圆，AE是OO的直径，点M为劣弧AB上一点，作M点 关于弦AB的对称点D,此时点D恰好为直径AE与边BC的交点，BF与OO相切，且与 AE的延长线交于点F.若BD:CD=2:3,AB=4V7,AC=6V2,则BC的长为 EF的长为 A M B 4.如图，AB为⊙0的直径，点D、E均在O0上，连接AD,BE相交于点C,AB=BC, CD=√5，BE=1,将线段AD关于AB对称得到线段AF,连接CF与AB交于点G,则圆的 直径为，CG= A D G O E B 5.如图，四边形ABCD内接于圆O,AC为圆O直径，BD、AC交于点E,BD平分 ∠ADC,∠CAD的平分线交BD于F,DG切圆O于D,交CA延长线于G,若BF=2N5, 点O到DC的距离为√2，则AC=,AG=: B E 6.如图，在平行四边形ABCD中，顶点A,B,D在OO上，CD与⊙O相切于点D,对角 4C,BD相交于点E,AC与O0交于点F若AB=4,am∠BCD=),则⊙0的半 BF的长度为 D E B 7.如图，AB是⊙0的直径，C是OO上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连 接CD,并延长CD交OO于点E,过C作CG⊥AB交OO于点G,垂足为点H,连接GE, 并延长GE交OO的切线AK于点K,若BH=2,GH=3,则OO的半径r= EK= E G B 8.如图，菱形ABCD中，AB=6,以CD为弦作⊙O恰好与AB相切于点B,点E为弧BC的 中点，连接AE交⊙O于点F,则⊙O的半径长度是，AF的长度是 D C E A B 9.如图，OO是四边形ABCD的外接圆，对角线AC,BD交于点E,且BD平分∠ABC, 若⊙0的半径为√31，AB=4,∠ABC=120°，则AD= BD= D ●0 E C B 1O.如图，矩形ABCD内接于OO,E是AD上一点，连接EB、EC分别交AD于点F、G .若AF=1,FG=DG=3,则GC的长为；DE的长为一· E A F G O B 11.如图，⊙O为△ABE的外接圆，直径AD交BE于点H,作△ABE关于AB的对称图形 △ABF,BF与⊙0交于点G,BC⊥OD且M是OD中点，连接CE.若AB=3,FG=2,则 ⊙0的半径0A=,BH=—, 分 G B 0, A D H M E C 12.如图，BC为⊙O的直径，F为BC上一点，过点F作ED⊥BC交⊙O于E,D两点， ED=4FC,点G为BC上一点，FG=FC,连接EG并延长交OO于点H,连接HF.若 AB=2√6，AE=2,则O0的直径长为，△GFH的面积为 E B G H 13.如图，AB是O0的直径，点D为弦AC上一点，连接BD并延长交OO于点E,连接 AE、BC,以AC、AB为邻边作平行四边形ABFC,其中FC的延长线交OO于点G,连接 BG,若CF=10,DB=3W5,AD=5,则AE=，CG=—· B D E G 14.如图，已知⊙O为△ACD外接圆，AB为⊙O的直径，点B为CD的中点，过点D作 ⊙O的切线与直线AB交于点E,点F为⊙O上一点，连接CF,过点B作BH⊥CF分别交 CF、40于点瓜、G.已知FH=2io,a∠4CD=手4B=25,则8E的长度为， HG的长度为· C B E G D 15.如图，在圆0中，将直径AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AB,交圆0于点G,若 CG=DG,连接AD,连接BD交AC于点E,交圆O于点F,连接CF,CG,若CG=9, 则AD长为 ;△CFE的面积为 D A G B 16.如图，△ACD是圆内接三角形，点B是圆上一点，连接AB,BD,BD与AC交于点E ,且满足AB=AC,∠BAC=∠CAD.若CD=4,AD=6,则弦BC=,线段CE= A E B 17.如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作圆O,经过点F,点F为弧AB的中点，切线 CD与直径B延长线相交于点D,连接CF与直径AB相交于点P,m∠BFC=,当 BF=2√2时，则CF= DP= R B P D 0 y 18.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,以AD为直径的⊙O交AB于点E,连接DE, O0的切线EF交BC于点R,连接BD,若DC=DE,AB=BD,则DC AB BF CF D C E B 19.如图，AB是圆O的直径，AC=7,AB=25,点D平分弧BC,则AD= B 20.如图，AB是半圆的直径，点0为圆心，0A=10,弦AC=16,0D⊥AC,垂足为E, 交⊙0于D,连接BE.设∠BEC=a,则cosa的值为. D ar E B 0 21.如图，AB与O0相切于点A,连接OA,点C在O0上，连接BC并延长BC交O0于 点D,连接D0,若∠AOC=80°，∠DOC=40°，则∠B=度. D B A 22.如图，四边形ABCD内接于圆O,AC为圆O直径，BD、AC交于点E,点B是AC的 中点，DG切圆0于D,交CA延长线于G.若AB=4,点0到DC的距离为1，则AG= B O G D 23.如图，在⊙0中，劣弧AB所对圆心角为120°，过点A的切线与BO的延长线交于点C, BC与OO交于点D,若圆的半径为2cm,则CD的长为 cm D 24.如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的0A,若CE=5√5，DE平分 ∠BEC,∠BCE=30°，则线段DE的长是一· D C B A E 1. 2110 52 【分析】连接AC交BN于点G,连接OB,设MH=x,由垂径定理可得AM⊥BC, 1 BM=CM,容易证明△AMC≌△AMB(SAS),则LBAM=∠CAM,结合∠BAM= 2 ∠MAN, 可得∠BAM=∠CAM=∠CAW.由圆周角定理可得∠CBN=∠BAM=∠CAM,从而得到 奶=奶==3·在直角08M中，利用勾股定理构造方程， △BWM∽△AB,因此地=B-班=。 解出x=1,则AM=9,AH=8,CM=BM=3.通过△BM△AG可得GM=4 5 容易证明4G≌&AHG(ASA,则GN=6H=4正.通过△BMM△PBC可得 5 Br=8,则=7.最后由平行判定△80△BA,剥-1AB-210 20 521 52 【详解】解：如图，连接AC交BN于点G,连接OB,设MH=x, :M为BC的中点， .AM⊥BC, .BM=CM,∠AMC=∠AMB=90°， 在△AMC和△AMB中， AM=AM ∠AMC=∠AMB, CM=BM △AMC≌△AMB(SAS), .∠BAM=∠CAM, :∠BAM=∠MAN, .∠BAM=∠CAM=∠CAN, CN=CN, .∠CAN=∠CBN, .∠CBN=∠BAM=∠CAM, :∠BMH=∠AMB, .△BWH∽△AMB, 器器 .BM =3x,AM =9x, .0M=OH+MH=X+3,0A=0B=AM-0M=8x-3, 在直角△0BM中，OB2=OM+BM2, (x+3)2+(3x)2=(8x-3)2, 解得x=1,x2=0(舍去)， MH=1,BM=CM=3,AM=9,AH=8, 由勾股定理可得BH=VHM2+BM2=√0，AB=VAM2+BM2=3V10, :∠CBN=∠CAM,∠BHW=∠AHG, .△BHM∽△AHG, GH AH 8 410 HeB朗05，∠A6H=BM GH=4i0H-40 ,∠AGN=∠AGH=90°， 5 5 在△ANG和aAHG中， ∠CAN=∠CAM AG=AG ∠AGN=∠AGH △ANG≌△AHG(ASA, ..GN =GH 4V10 5 .NB GN GH BH 1310 5 :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, ∠ABF=∠BFC, :∠CBN=∠BAM, .△BAH∽△FBC, :Br AB =AH=8=4 :BF=AB= 9V10 4 4 :NF NB BF 7W10 20 :AB∥CD, .△NFE∽△NBA 710 EF NF 7 :ABNB=13i0 52 5 .EF= AB=21i0 52 52 2. 2而 【分析】本题主要考查了圆与相似三角形、解三角形的综合，解题关键是利用平行和圆中角 的关系转化线段比例，利用相似三角形的性质解题 3 西得AE上01，再由8CAE,可得BFP cos∠ABC=cos∠BAE=,由此即可AB,由已知可得四边形ACBE是平行四边形，证 10 明△ADE∽△4BC,根据相似三角形的对应边成比例即可求出DE=0,进而得出 BD=BE-DE=号而，再解ABC,求出o∠B4C-,利用CD=AB-而，利用等 10 腰三角形三线合一的性质求出DG=CG=150,最后利用ABDH∽AAGH,列比例方程即 16 可求出△BDH的边长， 【详解】解：：AE是⊙O的切线， .AE⊥OA, 又BC∥AE, .AF⊥BC,∠BAE=∠ABC, &8p=cF-8C-eo∠i8C=es∠B46= 10 ∴.AB= BF31030.AB-AC-310 coS∠ABC2102 A E D H G M B ∠ABC=LACB, 连接CD,AD, :∠ADB+∠ACB=180°，∠ADB+∠ADE=180°， LADE=∠ACB, :BE∥AC,BC∥AE, 四边形ACBE是平行四边形， AE-BC-3,BE-AC ZE-Z4CB LE=LACB=LADE=∠ABC, .AD=AE=3,△ADE∽△ABC, 2袋 3 DE 3, 060, :BD=BE-DE=3I0-?0=-9V0 5 10 :BE∥AC, .∠ABE=∠BAC, 又：AD=AD,AC=AC :ZACD =ZABD ZBAC,ZADC ZCBA, 又：AC=AC, △ABC≌△CDA(AAS), :AB=CD=4C=30, 2 过点C作CM⊥AB,GN⊥CD, :在Ri△BCM中，BM=BC cos∠ABC=3x0-3O, 1010 4M=A8-Bwo-品而-g而 10 cc-w--而 2 =90, 10 .cos∠BAC= AM 60 4 AC 2 3 4 .coS∠ACD=cos∠BAC= 5 :DG=CG,GN⊥CD, cv=w-cD-而. ..CG=- OC 350, 4 os∠ACD=4=16 5 :DG=cG=50,4G=4C-cG=30-15M0=90, 16 2 16 16 BE∥AC, .△BDH∽△AGH, BD BH DH ·AG AH DG 90 10 BH DH N3,JOBM美 15 10-DH 1 BH=1210 13 ，DH=I5id 26 :△BDH的周长=BD+BH+DH=90+2I0+l50=120. 10 13 26 3. 10 4v2 3 【分析】根据题意BM=BE=BD=2x,证明△ADC∽△BDE,得到AD=AC=6√2，再证 男4800：C0,DE-根据勾股定理得到4可矿+124-65+ 2 得到 x=2,从而得到BC=10,BM=BE=BD=4,AE=8√2，证明△BEF∽△ABF,得到 BE BF EF ,即可求解。 AB AF BE 【详解】解：如图，连接BM,BE,DM,OM,CE BD:CD=2:3, 设BD=2x,CD=3x,则BC=5x, :M,D关于AB对称， .AB垂直平分MD .∠BAM=∠BAD,BM=BD, .∠BOM=∠BOE, .BM BE BD=2x, BDE是等腰三角形， :∠ACB=∠AEB,∠ADC=∠BDE」 .△ADC∽△BDE, AD AC BD BE AD=AC=62 :∠BAE=∠ECB,∠ADB=∠EDC, .△ABD∽△CED, 品是 .DE=BD-CD_2x-3xx AD 622 :AE为直径， .∠ABE=90° :.AB2+BE2=AE2, s(-(- 整理得：x4+16x2-80=0, x2+20jx2-4=0, .x2=4, x=2, BC=10,BM=BE=BD=4,AE=8√2， :BF与O0相切， .∠0BF=90°， .LAB0+LOBE=∠EBF+∠OBE=90°， .∠ABO=∠EBF, 0A=0B, .∠BAE=∠ABO, ∠BAE=∠EBF, 又：∠AFB=∠BFE, .△BEF∽△ABF, BE BF EF AB AF BF' 4 BF EF 8EFBF BF=82+EF √7 4 EF .4√78√2+EF, ·EF=4V2 3 4. 2V19 3 【分析】①连接AE、BD,由AB为OO的直径，得LADB=LAEB=90°，即BD⊥AC, 由AB=BC可知，AD=CD=V5,因此AC=25,设AB=BC=x,则CE=x-1,在 Rt△AEB和RtAAEC中，利用AE2作为桥梁，列出方程求解即得圆的直径；②过点F作 FM‖AG,交CA的延长线于点M,过点C作CN⊥AB,垂足为N,利用对称性质得 AF=AD=√5和∠BAC=∠BAF,证明△AMF~△BAC,求出FM=2,由FMI‖AG,证明 CGA~ACFM,求出AG子，进而得到BG证明aCWB≌aAE8,得到 CN=4E=25,BN-1,从面算出NG-子，在RCNG中利用匀股定即可求CG. 【详解】解：如图，连接AE、BD, B :AB为OO的直径， .∠ADB=∠AEB=90°， .BD⊥AC,LAEC=90°， AB=BC, AD=CD=3, .AC=AD+CD=23, 设AB=BC=x,则CE=BC-BE=x-1, 在RtAAEB和RtAAEC中， AE2=AB2-BE2=AC2-CE2, x2-1P=(23-(x-12, 解得x=3, AB=3,AE=22, 00的直径为3； 如图，过点F作FM‖AG,交CA的延长线于点M,过点C作CN⊥AB,垂足为N, M LBAC=∠M,∠AFM=∠BAF,LCNB=∠CNG=90°， :将线段AD关于AB对称得到线段AF, .AF=AD=V3,∠BAC=∠BAF, .∠BAC=∠M=∠AFM=∠BAF, AM=AF=V5,△AMF∽△BAC, .CM=AM+AC=35,AM=EM AB AC 3 FM ·32W51 解得FM=2, .·FMI‖AG, .△CGA∽aCFM, 、ACAG CM FM 23 AG 3W52, 邻华G-子 RG-AB-AG :∠CNB=∠AEB=90°，∠CBN=∠ABE,AB=BC, △CNB≌△AEB(AAS), :BN BE =1,CN=AE =22, NG=BG-BN= ·CG=VCw2+wGD-2i9 3 5. 210 子而 【分析】先证明ABC是等腰直角三角形，再证明△ABF是等腰三角形，利用勾股定理，计 算AD,CD的长度，结合切线的性质，证明aGAD∽△GDC,求解即可. 【详解】解：：四边形ABCD内接于圆O,AC为圆O直径， .LADC=∠ABC=90°， :BD平分∠ADC, .∠ADB=∠CDB=45°， ,∠ADB=∠ACB=∠CDB=∠BAC=45°， :BA=BC,AC=BA2+BC2=2BA, :∠CAD的平分线交BD于F, .∠CAF=∠DAF, .45°+∠CAF=45°+∠DAF, .∠BAC+∠CAF=LADF+∠DAF, .∠BAF=∠BFA, :BA=BF, :BF=2V5, BA=25, .AC=√2BA=210, A0=0C=V10, 过点O作OM⊥DC于点M, .CD =2DM =2CM, :点O到DC的距离为√2， .OM=2, .CM=V0C2-0M2=25, .CD=2CM=42, ∴AD=VAC2-CD2=2√2， 连接D0, :DG切圆O于D,交CA延长线于G, .DG⊥0D, B M .LGDA=90°-LAD0=∠0DC OD=OC, .LOCD=∠ODC, LGDA=∠GCD, :∠AGD=∠DGC, .△GADAGDC, GA-AD GD GD DC GC' DC=42,AD=22, GA 2V2 1 GD GD 42 2 GC :.GD=2AG,GC=2GD, .AG+AC=4AG, 4-4c-o 6. 29 29v67 10 61 【分析】连接DO并延长交AB于点H,连接OA,OF,过点B作BM⊥AF于点M,过点A作 AG⊥CD交CD延长线于点G,先解Rt ADH求出DH,设圆O半径为r,则 OH=DH-OD=5-r,再Rt△AOH运用勾股定理建立方程求解半径即可；在Rt△AGC中， 由勾股定理求解AC=√AG+GC?=√61，延长FO交O0于点T,连接DT,然后证明 △DCFn△ACD,求出CF=166,则4F=456,由∠BAM=∠ACG,得到 61 61 c0s∠BAM=c0 SLACG,则可求AM=246,那么BM=AB-AM_20 61 61 FM=AF-AM=21V6,最后对R1△BMF运用勾股定理求解即可. 61 【详解】解：连接DO并延长交AB于点H,连接OF,过点B作BM⊥AF于点M,过点A作 AG⊥CD交CD延长线于点G, .G D B :平行四边形ABCD, AB∥CD,AB=CD=4,∠BCD=∠DAB CD与O0相切于点D, .OD⊥DC, .DH⊥AB, :DH经过圆心， 1 :AH HB=-AB=2 2 :am∠BCD=2' 5 DH DH .tan∠DAB= 2 AH 2 .DH=5, 设圆0半径为r,则OH=DH-OD=5-r, 在Rt△A0H中，由勾股定理得，AH+OH=AO2, .22+(5-2=r2, 解得r=29。 109 :∠G=∠HDC=90°， AG∥DH, :AB∥CD, .四边形AGDH为平行四边形， :AH=DG=2,AG=DH=5, ·在R△AGC中，AC=VAG+GC2=52+(2+42=V6, 延长FO交O0于点T,连接DT, .∠T=∠DAF, :FT是直径， :LFDI=90° :OD⊥DC, .∠TD0=∠FDC=90°-∠0DF, :0D=0T, .∠T=∠TD0, .∠DAF=∠FDC, .:∠DCF=∠ACD, ∴.△DCF∽△ACD, 器 4 CF 6=4 CF=16V61 61 ·AF=AC-CF=456阿 61 .AB∥CD, .∠BAM=∠ACG, ∴.Cos∠BAM=cos∠ACG, AM CG AB AC AM 6 4=6' ·AM=24v6 61 MM2061.FM-AF-AM2161 61 61 BF=VBM2+FM2= 29v√61 61 故答案为： 2929√61 10 61 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理， 解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，难度大，正确添加辅助线，熟练掌握各 知识点是解题的关键. 7. 13 25V13 4 92 【分析】连接BC,OE,分别过点E、K作CG的垂线，垂足为I、J,作DM⊥EI,垂足 为M,设EI=2x,由两角对应相等可证明△ACHo△CBH,则趾-C CH AH 从而得到直 径AB.由折叠可推断，ADC所在的圆与OO是等圆，根据圆周角定理可得，CD=CB,则 DH=BH=2.容易证明△CDH∽△CEI,根据相似三角形的性质和线段关系，依次表示出 OM和EM,在直角△OEM中，使用勾股定理构造方程，求出x的值，进而计算出EI,G1 ,EG.由切线的性质，可证明四边形AHJK是矩形，则KJ=AH·容易证明 △EGI∽△KGJ,根据相似三角形的性质求出KG,最后求出EK. 【详解】解：如图，连接BC,OE,分别过点E、K作CG的垂线，垂足为I、J,作 DM⊥EI,垂足为M,设EI=2x, B :AB是OO的直径， .LACB=90°， ∴.∠BCH+∠ACH=90°， AB⊥CG, .∠CHB=∠AHC=90°，CH=GH=3, .∠BCH+∠CBH=90°， .∠ACH=∠CBH, :△ACH∽△CBH, CH 3 AH' 解得，AH= 2， 9 .AB AH BH +2=13 2 1 13 .r=AB 4 由翻折的性质可知，ADC所在的圆与OO是等圆， :∠CAD=∠BAC, :CD=CB, .CD =CB :CG⊥AB, .DH BH=2, :EI⊥CG, .∠EIG=∠EIC=90°=∠DHC, ∠DCH=∠ECI, .△CDH∽△CEI, CI EI 设EI=2x, .CI=3x, .HI =CI -CH 3x -3, :OM⊥EI, .∠OMI=90°=∠MIH=∠0HI, .四边形OHIM是矩形， ..0M HI =3x -3,MI =OH 0B-BH 5 =1-如=2x-号 在直角△0EM中，EM2+OM2=OE2, 2x-+-r- 化简，得13x2-23x=0, x>0, 18x-23=0,解得，x=2 13 .EI 2x 46 13,m=3x-3= 69 -3= 30 13 131 ·G1=GM-Hm=3-30=9 13-13 在直角△EG1中，EG=VEIP+G12= 4629)2 13+13 =13, :AK是⊙O的切线， ∠0AK=90°， :J⊥CG, ∠KJH=90°=∠HAK=∠AHJ, 四边形AHJK是矩形， :灯=M= 9 :LEIG=∠KJG=90°，LEGI=∠KGJ, .△EGI∽△KGJ, 46 6=以，即 13 KG KI G 9 2 ·G=1173 92 EK KG EG 17w5-3-25 92 92 故答案为： 1325V13 4； 92 【点晴】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的 判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由翻折推断出等圆是解题关键. 8. 23 6V21 7 【分析】①连接BO并延长交CD于点H,连接OC,根据切线的性质证明∠OBA=90°，由 菱形的性质证明OH⊥CD,CH=CD=BC,得到∠HBC=30°，根据含30°角直角三角 形的性质，以及结合勾股定理在Rt&OCH列式解方程即可求得半径的长度；②如图，过E作 EG⊥OB交OB于G,过F作FN⊥OB交OB于N,连接OE、OF,设AE与OB相交于点 M,可得GEIFNIAB,由垂径定里可得∠B0E-?∠B0C=60,通过勾股定理及线段之 间的数量关系可得GB,GE的长，证明△GEM∽△BAM,可得BM=2GM,求得GM, BM,AM的长，证明△GEM∽△NFM,得到NF=3V3MN,在RtOFM中，利用勾股定理 可求得MN,NF,MF的长，最后根据AF=AM-MF即可得解. 【详解】解：如图，连接BO并延长交CD于点H,连接OC, ⊙0恰好与AB相切于点B, 0B⊥AB,即∠0BA=90°， :四边形ABCD为菱形， ∴.ABII CD,BC=CD=AB=6, ∠0HC=∠0BA=90°，即0H⊥CD, :.CH=ICD=-BC=3, 2 :sin ZHBC= HC 1 C=2' :∠HBC=30°， LH0C=2LHBC=60°， ∠HC0=90°-∠H0C=30°， 0H=0C, 、 在R0cH巾，oH+CH=0c,即oc +32=0C2, 解得0C=2√5（负值已舍去）， 即⊙O的半径长度是2√3； 如图，过E作EG⊥OB交OB于G,过F作FN⊥OB交OB于N,连接OE、OF,设AE与 OB相交于点M, D H O ∴GEIFN I AB, G M B :∠H0C=60°， .∠B0C=180°-∠H0C=120°， :点E为弧BC的中点， ∠B0E=1∠B0C=60°， 2 L0EG=30°， :0G=10E=1x25=5, 2 2 :GB=0B-0G=25-5=5,GE=0E2-0G2=25-(5=3, .GE AB, ∴△GEM∽aBAM, GM GE 3 1 BM AB 62' :BM =2GM, .GB=GM+BM GM+2GM=3, GM= ，BM=25 3 .AM =BM2+AB 2V5 +62=42i 3 3 .GE FN, aGEM∽△NFM, GEGM 5 NF MN ，即3 3, NFMN :NF =3V3MN 在RtAOFM中， o+F-OF 解得Mw=5V5 (负值已舍去)， 21 NF=3V3MN= 7 MF=VMN2+FN2 10W21 21 AF AM-MF 4V2110W216V21 321 7 故答案为：①2V5;②62. 7 【点晴】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，含30°角直角三角 形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键 9. √93 11 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性 质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键， 先证明△ADC是等边三角形可得AD=AC,∠ADC=60°，如图：作直径AH,连接CH,则 ∠ACH=90°，AH=2T,再说明CH=-AH=1,运用勾股定理可求得AD=93;如 图：作AF⊥BD于F,易得∠BAF=30°，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即 可. 【详解】解：：BD平分∠ABC,且∠ABC=120°， .LABD=LCBD=60°. .LACD=∠ABD=60°，∠CAD=LCBD=60°. .△ADC是等边三角形， .AD=AC,∠ADC=60°， 如图：作直径AH,连接CH,则LACH=90°，AH=2√3I, H E B AC=4C, .∠H=∠ADC=60°， ∠HAC=90°-∠H=30°， CH=AH=31, 2 .AC=√AH2-CH2=V93,即AD=V93. 如图：作AF⊥BD于F, :∠ABD=60°， .∠BAF=90°-∠ABD°=30°， :.BF=14B=2, 2 AF=AB2-BF2=23, FD=AD2-AF2=9, .BD=BF+FD=2+9=11. 故答案为：√93,11. 10. 4 34/314 2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；解 题关键是根据∠BED=90°，得出EG=FD=3. 由四边形BCDE内接于OO,可证明∠BED=90°，结合FG=DG=3,根据直角三角形斜边 1 中线等于斜边一半可得EG=。FD=3,再利用FG∥BC,证出aEFG∽EBC,得到 FG EG BC EC ,由此求出GC=4,继而可求DC=GC:-DG=V万，连接AC,在RtADC中， 4C=VAD+DC=24,容易证明△AGC∽aBGD,可得DC-ED ,由此即可求出 CG AC ED=34. 2 【详解】解：AF=1,FG=DG=3, .FD=FG+DG=6,AD=AF+FG+DG=7, :ABCD为矩形， .AD∥BC,AD=BC=7,∠BCD=∠ADC=90°， 又：四边形BCDE内接于O0O, .∠BED+∠BCD=180°， .∠BED=90°， .FG=DG=3, :EG=FD=3, 2 .FG∥BC, △EFG∽EBC, .FG EG BcEC,即7=3+G .GC=4, 在RtAGDC中，DC=VGC2-DG2=V42-32=√万， 连接AC, E D 在RtAADC中，AC=√AD2+DC2=V72+(N7)2=2V14, CD=CD, .∠CAD=∠CED, 又：∠AGC=∠EGD, .△AGC∽△EGD, DG ED 3 ED CG AC 即424' , 架：D-, 故答案为：4： 4 2 11. 5 9-3√6 【分析】连接BO,BD,由题意可知BC是OD的垂直平分线，即BO=BD,进而证明△OBD 是等边三角形，即BD=OD=AO,根据圆周角定理得到LABD=90°，设 BD=OD=AO=x,根据勾股定理即可求出x的值；连接AG,作AN⊥BE交BE于N,作 HP⊥AB交AB于P,求出∠BOA=120°，根据圆周角定理得到∠BEA=60°，即 ∠BGA=120°，则∠FGA=60°，根据轴对称的性质得到∠F=∠BEA=60°，AE=FA,可知 △FAG是等边三角形，进而求出AE=FA=2,根据三角函数求出AN=√5，EN=1,根据 .HB BP HP 勾股定理求出BN=V6,证明△H8P0a4BN,得到365，设PH=,则 BP=√2x,BH=√3x,根据三角函数求出AP=√3x,进而求出x=35-32,即可求出BH 的值 【详解】解：如图，连接BO,BD, G B M E :BC⊥OD且M是OD中点， :BC是OD的垂直平分线， :BO=BD, 0B=0D, .△OBD是等边三角形， ∠B0D=∠BD0=60°，BD=0D=A0, :∠BAD=∠B0D=30, :AD是直径， .∠ABD=90°， 设BD=OD=AO=x, 则x2+32=(2x)2, 解得：x=√5， 即BD=OD=AO=V5; 连接AG,作AN⊥BE交BE于N,作HP⊥AB交AB于P, G B 则∠HPB=∠ANB=90° :∠B0D=60°， .∠B0A=120°， .∠BEA=60°， .∠BGA=120°， .∠FGA=60°， :△ABE、△ABF关于AB对称， .LF=∠BEA=60°，AE=FA 即△FAG是等边三角形， .FG=AG=FA=2, :AE =FA=2, ∠BEA=60°， AN=AE.sin60°=√5，EN=AEc0s60°=1， :BN=AB2-AN2=9-3=6, .:∠HPB=∠ANB=90°，∠HBP=∠ABN, △HBP∽aABN 8贺纸 即HB-BPHP 设PH=x,则BP=√2x,BH=√3x, :∠BAD=30°， :AP=PH =V3x, tan30° 即√2x+√5x=3 解得：x=3√5-3√2 BH=9-3V6. 故答案为：5,9-36 【点晴】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的 判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 12. 5 6 【分析】本题考了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理， 相似三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线， 先由垂径定理得到EF=2FC,由圆周角定理得到∠BEC=∠AEB=90°，则 tanC=BE、E CE FC =2根据勾股定理求解BE=2√5，则CE=√5，再由勾股定理直接求解直 径BC;设EF=2x,FC=x,则EC=V5x=5,那么FC=FG=1,则 BG=BC-CF-FG=3,由线段垂直平分线得到EG=EC=√5，则结合圆周角定理得到 ∠EGC=∠BGH=∠C=∠BHG,那么BG=BH=3,过点B作BM⊥HG于点M,则 BM=MG,过点H作HN⊥BG于点N,证明△EFG∽△BMG,求出 8w-6Sc,则G=2G5,面m- 5 5 ,然后由三角形面积 公式求解即可. 【详解】解：如图， B H :ED⊥BC,BC为直径， .EF=FD ED=4FC, .EF =2FC, :BC为直径， .∠BEC=∠AEB=90°， tan C= BE EF -2 CE FC AB=26,AE=2, BE=√AB2-AE2=2N5, :CE=5, :BC=BE2+CE2=5; EF ·FC =2, 设EF=2x,FC=x, 在Rt△EFC中，由勾股定理得，EC=VEF2+FC2=√5x=√5， :FC=FG=1, .BG=BC-CF-FG=3, :ED⊥BC,FC=FG=I, ∴EG=EC=5, .LEGC=∠BGH=LC, BEBE .ZC=ZBHG ∠BHG=LBGH, :BG BH =3, 过点B作BM⊥HG于点M,则BM=MG, 过点H作HN⊥BG于点N, :∠EFG=∠BMG=90°， .△EFG∽△BMG, EF FG EG BM MG BG BMMG3 ·BM=6 ,MG=3 5 HG-2MG=65 5 E)HGX BM=于BGx HN 6W565 HN=55=12, 3 5 :GFH的面积=)FG×N=x1×2-名 2 55 故答案为：5,5 13. 2√5 女 【分析】本题考查了圆的性质的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点， 灵活运用以上知识点进行分析是解题的关键.设DE=x,运用勾股定理，通过 AE2=AD2-DE?=AB2-BE2建立方程，解方程，再求得AE的长；设BG交AC于点K, 先求CD=3,BC=6,证A4KBO△CKG,AK=BK,最后运用BBK,求得CG的长 【详解】解：：AB是⊙O的直径， .∠AEB=90°， .在Rt△AEB中， AE'=AB:-BE2, 同理，在Rt△AED中， AE2=AD2-DE2, :AD2-DE2=AB2-BE2, :平行四边形ABFC,CF=10, .AB=CF=10, 设DE=x, DB=35, .BE=BD+DE=35+x, .AB=10,BE=35+x,DE=x,AD=5, 又：AD2-DE2=AB2-BE2, 52-x2=102-35+x, 解得x=√5， DE=5, 在Rt△AED中， AE2=AD2-DE2=52-(5=20, .AE=2V5; 如图，设BG交AC于点K, :AB是OO的直径， .∠ACB=∠AEB=90°， ∠ADE=∠BDC, △ADEABDC, .AD=DE BD DC :AD=5,DB=35,DE=5, ·DC=B xDE-35 x5=3, D 5 AC=AD+DC=5+3=8, :∠ACB=90°，AC=8,AB=10, ∴BC=VAB2-AC2=6, :平行四边形ABFC, .ABlI FC, .∠BAC=∠KCG,∠ABG=∠KGC, .ZABG ZKCG .ZBAC ZABG ZKCG=ZKGC .△AKB∽aCKG,AK=BK, 设DK=y, 则CK=CD-DK=3-y, AK=AD+DK=5+y=BK, 在Rt△BCK中， BC2+CK2=BK2, 62+(3-y2=(5+y)2, 解得y子。 CK=3-=子8K=5+y=5+；25 7 44 :△AKBn△CKG, CG CK AB BK ·CG=CK AB 10=14 BK 25 5 故答案为：2√5,14」 51 E G 225 14. 111V10 7 26 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，勾股定理和三角函数值（或相似三角形），通 过圆的基本性质找到相等角是解题关键， 利用所给正切值求出BC,借助垂径定理和切线所构成的直角三角形，利用DE这条公共边， 通过勾股定理列方程求解BE; 利用圆中同弧所对圆周角相等，进行等角转化，从而借助所给正切值求出BH,从而得到 ∠BCH的正切值，通过同弧所对圆周角相等，延长BG,与⊙O的交点为P,求出HP和BP ,从而求出∠ABG的正切值，通过过点G作AB的垂线，利用正切值设参，列方程求出BG ,作差即可求出HG. 【详解】解：如图，记CD与AB交于点M,连接OD,BC,BF,延长BG交⊙O于点P, 连接AP,FP, B D 由题意，得AB是直径，点B是BC的中点， .∠ACB=90°，CD⊥AB,CM=DM, .∠ACD+LBAC=90°，∠BAC+∠CBA=90°， .∠CBA=∠ACD, ·tan∠CBA=A =tan∠ACD=4 BC 设AC=4x,则BC=3x, 由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即(4x)2+(3x)2=252, 解得x=5（负值已舍去)， .AC=20,BC=15, 同理，可得BM=9,CM=12, :DM =CM =12,ME=BM +BE =9+BE, 由题意，得半径为4B-25 221 0D=0B= 2, ·OE=OB+BE=25 +BE :DE是切线， OD⊥DE, 由勾股定理，得DM2+ME2=DE2,OD2+DE2=OE2, o0) 2+9+8-+ej 解得BE=225 BC=BC ∠CAB=∠BFH, :tan∠CAB=BC=3 BH BH AC4tam∠BFH-FH20, BH=30 2 CH=BC2-BH910 3V10 BH 2 1 .tan∠BCH= = CH 9103' 2 :BF=BF' :ZHPF ZBCH, tan∠HPF=F P -tan ZBCH =1 3, .HP=3FH=6V10, ·BP=HP+BH=6N0+3i0-150 2 2 :AP=AB2 -BP2 =252- 15V10 5V10 2 2 .tan∠ABP= AP 1 =-=tan∠BCH, BP 3 如图，作GN⊥AB于点N, G D “点B是BC的中点， :BC=CD ∠BAD=∠CAB, ·tan∠BAD=tan∠CMB=3 设NG=3y,则AW=4y,BW=9y, .AN+BN =13y=AB=25, 25 ..y= 13, ·NG=3y=75 13 BN=9y=225 13, ·BG=VWG2+BN-75V10 13 :HG=750_3i0-150i0_3910111N10 13 2 26 26 26 15. 33 5号6 7 【分析】①连接CD,DG,利用旋转角为60°和题干中的等弧条件，得到aDCG是等边三角 形，从而得到CD=CG,再利用等边三角形的性质和30°角所对直角边是斜边一半，结合勾 股定理求解即可；②连接BC,利用旋转的性质，得到△ABC是等边三角形，从而找到60°角， 再利用圆中所求得的60°角、直角和同弧所对的相等角，通过等量代换得到其他相等角，从 而得到多组相似三角形，通过相似比列方程求出线段长，从而求出FC的长和FC边上的高 的长即可求出面积 【详解】解：如图，连接CD,DG,BC,过点E作EM⊥CF, D A G B ①由题意，得∠BAC=60°， CG=DG, ∠DCG=∠BAC=60°，∠CDG=∠BAC=60°， LDGC=180°-∠DCG-∠CDG=60°， △DCG是等边三角形， ..CD=CG=9, :AC是直径， .∠ADC=∠AGC=90°， 又AC=AC, Rt△ACD≌Rt△ACG(HL, .AD=AG, :∠BAC=60°， .∠ACG=180°-∠AGC-∠BAC=30°， :.AG=AC 2 由勾股定理，得AG+CG2=AC2, 即AG2+92=(2AG2, 解得：AG=3√5， .AD=AG=35; ②AC=2AG=6√5， 由旋转的性质，可知AB=AC,∠BAC=60°， △ABC是等边三角形， AB=BC=AC=6V3,∠ABC=60°， :∠AGC=90°，即CG⊥AB, .LBCG=∠ACG=30°， .∠BCD=∠DCG+∠BCG=60°+30°=90°， :BD=CD2+BC2=321, CD=CD, .∠DFC=∠DAC=∠DGC=60°=∠DBC+∠BCF, 又∠DBA+LDBC=∠ABC=60°， .LBCF=∠DBA, 又∠BAD=∠BAC+∠DAC=120°，∠CFB=180°-∠DFC=120°， .∠BAD=∠CFB, .△BADm△CFB, :5C-8C ABDB,即C=63 653√21 :FC=12V27 7 :EM⊥FC, .∠CME=∠FME=90°，∠CEM+∠ECM=90°， AF=AF .∠ADF=∠ECM, 又∠ADF+∠BDC=∠ADC=90°， :ZCEM =ZBDC 又∠BCD=∠CME=90°， △BCDACME, :EM=CW即 EM CM DC BC 9651 CM=25 EM , 3 ∠EMF=90°，∠EFC=60°， .∠FEM=30°， .FE=2FM, EM -FE-FMT-FM FM-3EM FC=CM+FM=2EM+5EM=EM-121 3 3 ·EM=12V万 7 ÷S.oe=号EMFC={x127x12272V5 27 7 7 【点晴】本题考查了“圆周角定理等边三角形的性质“相似三角形的性质与判定“勾股定 理”，通过补全图形，发现图中的等边三角形，从而利用圆周角定理和同弧、等弧所对圆周 角相等推出线段关系和角度关系，并利用相等角推出相似三角形，通过勾股定理求线段是解 题关键. 16. 42 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟 练掌握这些知识是解题的关键， 由圆周角定理得LB=∠ACD,利用ASA证明△ABE≌△ACD得到AE=3,再证明 △CDE∽aCAD,利用相似三角形对应边成比例计算即可求出CE,通过相似三角形得到 ∠CAD=∠CDE,进而可得到BC=CD. 【详解】解：：BC=BC, .∠B=∠ACD, 在△ABE和△ACD中， [∠BAE=∠CAD AB=AC ∠B=∠ACD △ABE≌△ACD(ASA, :AE AD=6, :∠CDE=LBAC,∠CAD=∠BAC, LCDE=∠CAD, :∠DCE=∠ACD, △CDE∽△CAD, .CD:CA=CE:CD,∠CAD=∠CDE, :.4:AE+CE=CE:4, 4:6+CE)=CE:4, CE=2或CE=-8(舍去). :∠CAD=∠CDE, 连接BC, :.BC =CD=4. 故答案为：4；2. 17. 6V10 5 3 【分析】本题考查了直角三角形、圆的性质（直径所对圆周角、弧中点性质）、切线性质、 相似三角形及三角函数的应用.解题关键是利用圆的性质确定角度关系，结合三角函数和相 似三角形求解线段长度： (I)连接AF,过点B作BH⊥FC于H,先求出AC,BC,根据RtaFBH∽RtAABC求出 BH,HF,在Rt△BCH中求出CH,最后根据CF=CH+HF求得结果； (2)连接0C,先证明ADCBADAC,令DB=m,则DC=2m,AD=4m,根据相似三角 形的性质得出DC,再证LDCP=∠DPC,根据等腰三角形的性质即可求解. 【详解】解：连接AF, :点F为弧AB的中点， AF=BF,∠FBA=∠FAB, :AB为圆O的直径， .∠AFB=90°， AB=VBF2+AF2=V2BF2=V2BF=√2x2√2=4，∠FBA=LFAB=45°， :LBFC=∠BAC, tan∠BAC=tan∠BFC=J 在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC_L, AC 2' 设BC=x，则AC=2x,由勾股定理，得AB=VBC2+AC2=√x2+(2x)2=5x V5x=4, 解得x=45·即BC=5,1C=3 5 5 过点B作BH⊥FC于H, ∠BFC=∠BAC,∠BHF=∠ACB=90°， .RtoFBH∽Rt△ABC, :B趾-BF-HF BH 22 HF BC AB-AC,即4V5 485, 5 5 5,HF=4i0 BH= 5 在Rt△BCH中，HC=VBC2-BH2 4v5 2V10 2v10 5 5 5 .CF=CH+HF=2104060 十 5 5 (2)连接0C, :CD是圆O的切线， :0C⊥CD, .∠OCD=∠ACB=90°， :ZDCB+ZBCO=ZBCO+Z0CA :LDCB=∠OCA, :0C=0A, :ZOAC Z0CA=ZDCB, :∠BDC=∠CDA, aDCB∽△DAC, 2C-S-am∠BC,8c.1 DC AC AD DC AD 2 令DB=m,则DC=2m,AD=4m, AB=AD-DB, 4m=m=4,解得，mDc8 31 ∠DCP=∠DCB+∠BCF,∠CPD=∠BFC+∠FBA, ∠DCB=∠BAC=∠BFC,∠BCF=∠FAB=∠FBA=45°， .∠DCP=∠DPC, P=c-} 故答案为： 6108 53 3 18. 5 【分析】过点C作CM⊥AB,设AE=x,DC=DE=y,根据等腰梯形的性质可得出 AB=y+2x,EB=y+x,再根据AB2=BD2,得出y与x的关系式，然后将此关系式代入 DC即可得出答案；先根据AD2=AE2+DE2=X2+(3x)2=10x2,求得AD,易证 A △AED∽△BFE,然后根据对应边成比例 BE BF AD AE ,表示出BF,解出CF的表达式，进而代 BE 入可得出 的值 CR 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB,连接OE, 设AE=x,DC=DE=y, AD为直径， .∠DEA=90°， :AB∥CD, .∠CDE=∠AED=90°， :CM⊥AB, .四边形CDEM是矩形， :DC=DE, .四边形CDEM是正方形， .EM DC, 又：四边形ABCD是等腰梯形， .AE=BM,∠DAB=∠CBA, :AB=EM+AE+BM=DC+2AE=y+2x,EB=DC+MB=y+x, AB =BD, :AB2=BD2, BD2=DE2+BE2, (y+2x)2=y2+(y+x)2, 整理得： +,国-o y 3 (负值舍去)， y=3x; .DC y 3x3 ·ABy+2x3x+2x5 AD2=AE2+DE2=x2+(3x)2=10x2, AD=10x, :EF是⊙O的切线，OE是半径， .LOEF=90°=∠0ED+∠DEF, :∠0ED+∠AE0=90°， .∠AEO=∠DEF, 0A=0E, .∠OAE=∠AE0, .∠DAE=∠DEF, :LDAE=LCBE,∠DAE=∠DEF,LDAE+∠ADE=9O°=∠DEF+∠BEF, .∠ADE=∠BEF, 又：∠EFB=180°-∠BEF-∠CBE=180°-（∠ADE+∠DAE)=180°-90°=90°， .△AED∽△BFE, DE,即+3rr BE BF 10x x 解得BF=2rv10 5 X:CF-BC-BF=AD-BF-Ox-2x103x0 5 5 2xW10 BF =5 ·CF3xwo3 5 故答案为： 32 5531 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰梯形的性质，矩形的判定与性质、勾股定理，三角形 相似的判定与性质，直径所对的圆周角等于90度，解答本题的关键是设出线段的长度，利 用方程的思想进行线段比值的求解。 19.20 【分析】连接OD交BC于点E,利用垂径定理和勾股定理进行解答即可. 【详解】解：连接OD交BC于点E, :AB是圆O的直径， .∠ACB=∠ADB=90°， BC=VAB2-AC2=V252-72=24 :点D平分弧BC, 00Lc.cE=E=8c=2, 25 2 OE =OB2-BE2 -122=7 ·DE=OD-OE=257 =9, 22 BD=√BE2+DE2=V122+92=15, AD=VAB2-BD2=V252-152=20 20.2v13 13 【分析】连接BC、OC,根据圆周角定理得到LBCA=90°，求出BC=12,再根据题意得到 OD是△AOC边AC的中线，求出CE=8,即可根据勾股定理求出BE=4√13，再根据 cosa CE即可求出答案， B 【详解】解：连接BC、OC, :AB是半圆的直径，OA=10, :∠BCA=90°，BA=20A=20B=20, BC=VAB2-AC2=V202-162=12, 04=0C,0D⊥AC, :OD是△AOC边AC的中线， :.CE=TAC=8, 2 BE=VBC2+CE2=V122+82=4V3 CE 8 213 .∴.cosa= BE41313 B 21.80 【分析】先根据等腰三角形的性质得LCD0=70°，再根据切线的性质得∠0AB=90°，然 后根据四边形内角和等于360°得出答案. 【详解】解：：OC=OD,∠DOC=40°， :∠CD0=∠DC0=180°，40°=70. :AB与O0相切于点A, ∠0AB=90°. :∠AOC=80°，∠D0C=40°， .∠A0D=LA0C+∠C0D=120°. :∠A0D+∠CD0+∠B+∠0AB=360°， .∠B=360°-120°-70°-90°=80°. 25 【分析】根据点B是AC的中点得到∠BAC=LBCA=45°，即可得到AC=√42+42=4V2, 根据点O到DC的距离为1，得到AD=2x1=2,再证明aGAD∽△GDC即可得到答案； 【详解】如图所示，过点O作OH⊥DC于H,连接OD, :AC为圆O直径， ∠ABC=∠ADC=90°， “点B是AC的中点， :∠BAC=∠BCA=45°， AB=4, :AB BC=4, :AC=V42+42=4V2, :点0到DC的距离为1， :∠OHD=∠ADC=90°，DH=CH, :0A=0C, 夕 AD=20H=2×1=2, G DC=V42-2=2W7, :DG切圆O于D, :∠0DG=∠ADC=90°， :∠ADG=∠GCD, :∠G=LG, :△GADn△GDC, :AD=AG DG DC DG CG :4G=名2， 3 【点晴】本题解题的关键是作出辅助线，算出AD,CD,AC. 23.2 【分析】本题考查了圆的切线，圆的基本性质和30度所对的直角边是斜边的一半这个性质. 因为AC是⊙O的切线，可利用切线的性质得到OA⊥AC;根据劣弧AB所对圆心角为120°， 进而求出∠AOC的度数，再结合圆的半径，利用直角三角形的边角关系求出OC和CD的长 度。 【详解】解：：AC是⊙O的切线， .∠0AC=90°. :劣弧AB所对圆心角∠A0B=120°，C在BO的延长线上， .∠A0C=180°-120°=60°. :⊙0半径为2cm, ..0A =2cm 在Rta0AC中，∠A0C=60°，∠0CA=30°， .0C=20A=4cm. .CD=0C-0D=4-2=2cm. 故答案为：2· 24. 5V6+5V2 2 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性 质 过点B作BF⊥DE于点F,根据直径得出直角，根据圆周角定理和角平分线的定义得出相 等的角和边，然后利用锐角三角函数进行求解即可. 【详解】解：如图，过点B作BF⊥DE于点F, :BC为OA的直径， LCEB=∠CDB=90°， CE 5V3 BC= =10 cos∠BCEV3 2 :DE平分∠BEC, ∴∠DEC=∠DEB=45°， .CD=BD,BF=EF, .∠DCB=∠DBC=45°， BD-BC-sim /DCB=10x5 2 根据同弧所对的圆周角相等得，∠BDE=∠BCE=30°， FD.DFD-0DE 22 DE=DF+EF=5y6+52-5V6+5V2 22 故答案为： 5W6+5V2 2