压轴02 带电粒子在组合场中的运动（压轴专练）（天津专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴02 带电粒子在组合场中的运动 命题预测 组合场是高考物理电磁学核心高频考点，命题稳定性强、综合性高。题型以计算题为主，选择填空为辅，常结合电场、磁场分段组合，如电场加速 + 磁场偏转、交变场复合场景。命题紧贴新课标，侧重物理建模与数理结合能力考查，弱化复杂计算，强化临界分析、几何关系推导。情境不断创新，融合科技背景，如质谱仪、回旋加速器、电磁过滤等实际应用模型。命题趋向多过程分段运动，设置多问梯度设问，兼顾基础与区分度。重点考查带电粒子受力分析、场的性质差异、运动轨迹分段拆解，还会结合边界约束、极值临界、多解问题命题，同时关联功能关系，综合考查力电综合素养，是高考物理大题必考重点板块。 备考需夯实基础，熟记电场、磁场中粒子运动规律，区分类平抛、圆周运动受力与公式。强化分段建模思维，养成拆分场域、分段分析运动的习惯，精准判断每一段受力与运动性质。专项突破几何作图，熟练掌握找圆心、画轨迹、利用弦长、偏转角、圆心角关联几何关系的方法。归类经典模型，集中刷题突破电场加速 + 磁场偏转、有界磁场临界等高频题型，总结通用解题步骤。强化计算与规范答题，熟练运用动能定理、洛伦兹力公式快速列式。整理易错点，如忽略粒子电性、边界临界漏解、运动时间混淆。限时训练综合大题，提升多过程综合分析与数理结合能力，稳固答题得分。 高频考法 高频考法以组合场分段运动为核心，一是匀强电场匀变速直线 和类平抛偏转搭配匀强磁场匀速圆周运动为最主流考法。二是电场加速、磁场偏转组合模型，常考粒子比荷、轨迹半径、偏转角、运动时间计算。三是有界磁场边界问题，涉及单边界、矩形、圆形有界磁场，依托几何圆规作图找圆心、定半径。四是临界与多解问题，包含粒子刚好穿出边界、相切临界条件，磁场方向双向、入射角度变化引发多解。五是复合拓展考法，叠加重力场、交变电场磁场，考查周期性运动。同时常结合动能定理求解加速过程速度，利用圆周运动规律、几何关系解偏转位移，综合考查数理几何运算能力。 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在组合场中从电场进入磁场的运动 1.分段拆解分析：电场段用类平抛 / 匀变速规律，结合动能定理求进入磁场的速度大小与方向；磁场段只受洛伦兹力，做匀速圆周运动。 2.几何定位轨迹：由速度垂线找圆心，结合入射偏转角、边界边长，利用几何关系求轨迹半径、圆心角。 3.公式联动求解：电场力做功求速度，洛伦兹力提供向心力列半径公式，联立求解位移、偏转角、运动时间。 考向02 带电粒子在组合场中从磁场进入电场的运动 1.磁场段先利用圆周运动规律，结合几何关系确定入射电场的速度大小、方向。 2.进入电场后忽略洛伦兹力，按类平抛或匀变速曲线运动，分解速度与加速度求解。 3.巧用动能定理、运动学公式，简化位移、偏转角及末速度的计算。 考向03 带电粒子在交变电、磁场中的运动 1.分段周期分析：按交变场变化周期拆分运动阶段，逐段判断受力，明确圆周、匀变速等运动形式。 2.抓临界与边界：锁定场强换向、粒子离场、轨迹相切等临界时刻，确定速度与位置状态。 3.化繁为简建模：利用运动周期性、重复性规律，结合几何关系与动能定理，简化多过程计算。 考向04 洛伦兹力与现代科技 1.模型对应归类：熟记质谱仪、回旋加速器、速度选择器等科技模型，匹配洛伦兹力核心公式。 2.受力规律套用：磁场中洛伦兹力提供向心力，电场结合加速、偏转规律联立列式。 3.巧用功能关系：加速过程用动能定理，圆周运动结合几何关系，快速求解比荷、半径、周期。 典例·靶向·突破 考向01 带电粒子在组合场中从电场进入磁场的运动 1.（2026·天津滨海新区十二校·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限存在竖直向下的匀强电场，第二象限存在垂直坐标平面向外的矩形有界匀强磁场（图中未画出），第三、四象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从y轴上A点以初速度沿x轴正方向射入匀强电场，然后从x轴上的P点射入第四象限，经磁场偏转后从x轴上的Q点射入第二象限，经第二象限矩形有界磁场偏转后，以与x轴正方向成45°打到O点。不计粒子重力，求： （1）电场强度E； （2）第一次在第三、四象限磁场区域运动的时间； （3）若矩形有界磁场的磁感应强度是第三、四象限的四倍，求矩形磁场的最小面积。 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 由题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，则有，， 联立解 【小问2详解】 如图所示 设经过P点的速度与y轴的夹角为，则 解得 P点速度为 带电粒子在磁场中做圆周运动，设半径为R，由几何关系有： 则在第一次在三四象限的磁场中运动的时间为： 解得 【小问3详解】 粒子在第三象限进入有界磁场时，设半径为R，由有 由速度偏转情况可知粒子在矩形磁场区域中转过圆心角为 如图所示 此时矩形磁场的面积最小，由几何关系有： 解得 ( 题型解码 粒子先在电场中做匀变速或类平抛运动，借助动能定理、运动分解求出进入磁场的速度大小与方向。进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动。通过速度垂线确定圆心，结合边界几何关系找半径、圆心角。分段分析两场运动，联立电场规律与圆周运动公式，求解轨迹、偏转角、运动时间及临界极值问题。 ) 考向02 带电粒子在组合场中从磁场进入电场的运动 2.（2026·天津和平·一模）利用电场和磁场可以控制带电粒子的轨迹。如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，MN为过圆心O的竖直轴，纸面内边长也为R的正方形abcd内存在与ab边平行的匀强电场，bc边所在直线与MN重合，ab边与圆相切。质量为m、电荷量为q的粒子从P点正对圆心O以大小为的速度垂直射入磁场，速度方向与MN夹角为，之后从MN与圆的交点b射出磁场立即进入电场，最后恰好从d点射出电场，打在ad边左侧距离为R处的竖直照相底片上，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)粒子打到照相底片上时的速度大小； (3)粒子从进入磁场到打到照相底片上的运动总时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系 解得 （2）在电场中，粒子做类平抛运动有， 又 解得 （3）粒子在磁场中的运动时间 其中 粒子在电场中的运动时间 粒子离开电场后的运动时间 可得 ( 题型解码 粒子先在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，利用几何关系确定出磁场时的速度大小与方向。进入电场后，洛伦兹力失效，粒子在电场力作用下做匀变速曲线或匀变速直线运动。将速度正交分解，结合牛顿定律与运动学公式分析偏转、位移。分段拆解两场运动，结合动能定理联立求解，重点把控速度衔接与运动状态变化。 ) 考向03 带电粒子在交变电、磁场中的运动 3.（2026·天津河北区·一模）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 【答案】（1）正电；；（2）；；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为 根据洛伦兹力提供向心力得 则粒子所带的电荷量 （2）若金属板的板间距离为D，则板长粒子在板间运动时 出电场时竖直速度为零，则竖直方向 在磁场中时 其中的 联立解得， （3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则 ( 题型解码 交变电磁场题型需按场强变化 周期分段 分析运动。电场阶段做匀变速运动，磁场阶段做匀速圆周运动。抓住场切换的临界时刻，确定粒子速度、位置衔接关系。利用运动周期性、重复性简化复杂过程，结合几何轨迹、动能定理与圆周运动公式，分析多阶段往复运动，规避多解遗漏，精准求解位移、时间与轨迹范围。 ) 考向04 洛伦兹力与现代科技 4.（2025·天津·二模）MM50是新一代三维适形和精确调强的治癌设备，是公认最先进的放射治疗系统，其核心技术之一就是跑道式电子回旋加速器，其工作原理如图所示，左、右匀强磁场区域、的边界平行，相距为，磁场方向垂直纸面。下方及两条横向虚线之间的区域存在水平向左场强为的匀强电场（两条横向虚线之间的宽度忽略不计），方向与磁场边界垂直。质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经过多次电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口以速度向左射出磁场，已知之间的距离为，重力忽略不计。 (1)匀强磁场磁感应强度的大小和方向； (2)电子第4次通过电场的时间； (3)若磁感应强度为已知量，试推理说明：电子在上方无场区运动时，随速度的增加，相邻轨迹的间距是增大、减小还是不变？ 【答案】(1)，方向垂直纸面向外 (2) (3)见解析 【详解】（1）电子在磁场中运动的最大半径 洛伦兹力提供向心力 得 由左手定则判断出磁场方向垂直纸面向外。 （2）电子在电场中一直做匀加速直线运动，加速度 前4次通过电场的过程 前3次通过电场的过程 第4次通过电场的时间 （3）第次加速后 在磁场中运动半径 同理，第次加速后 相邻轨迹的间距 可知相邻轨迹的间距减小。 ( 题型解码 本题以洛伦兹力应用装置为载体，涵盖速度选择器、质谱仪、回旋加速器等模型。核心为洛伦兹力充当向心力，结合电场加速规律解题。加速过程用动能定理列式，偏转过程联立圆周运动公式。紧扣装置工作原理，区分电场、磁场分工，结合几何关系与受力分析。熟练套用固定模型公式，梳理物理规律关联，高效求解粒子比荷、速度、质量等物理量。 ) 1.（2026·天津河东区·一模）某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为。水平放置的目标靶长为，靶左端M与磁场圆心O的水平距离为、竖直距离为。从电子枪逸出的电子（质量为、电荷量为，初速度可以忽略）经匀强电场加速时间后，以速度沿PO方向射入磁场，（PO与水平方向夹角为），恰好击中M点，求： （1）匀强电场场强的大小； （2）匀强磁场的方向及电子在磁场中运动的时间； （3）为保证电子击中目标靶MN，匀强电场场强的大小范围（匀强电场极板间距不变）。 【答案】（1）；（2）垂直纸面向里，；（3） 【详解】（1）电子穿过匀强电场过程中，由动量定理得 解得 （2）由左手定则，可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里；电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力得 周期为 联立可得 设与竖直方向夹角为，则有 可得 由图中几何关系可知，电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则电子在磁场中运动时间为 （3）①当电子击中M点时，电子在磁场中的偏转半径为 设匀强磁场区域半径，由几何关系得 ②当电子击中N点时，设与竖直方向夹角为，则有 可得 由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则偏转半径为 则有 粒子穿过匀强电场后的速度，由动能定理得 设极板间距离为，则有 联立解得 则匀强电场场强的范围为 2.（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有，， 又 联立解得 （2）设粒子从点射入第一象限时的速度大小为，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于，则运动时间 又有， 联立解得 （3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径时，磁场区域半径最小，则有 又， 联立解得 3.（2026·天津宁河一中·一模）双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其原理如图所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。不同的带正电离子组成的离子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场并从P点垂直进入圆形磁场区域，之后从磁场下边界射出并进入检测器，检测器可在M，N之间左右移动且与磁场下边界的距离恒等于0.5d。某一质量为m、电荷量为q的带正电离子A通过电场区域和磁场区域后，恰好垂直于磁场下边界射出，并从K点进入检测器，已知磁场区域的磁感应强度大小为B，PO1=d，忽略离子间的相互作用，求： （1）离子A在匀强磁场中运动时的速度大小； （2）电场分析器中圆弧轨迹处的电场强度大小； （3）探测器能接收到的离子中比荷的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设离子的速度大小为v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则 解得 （2）粒子在电场中也做匀速圆周运动，在电场中，电场力提供向心力，则 解得 （3）设在某处被检测到的离子在磁场中运动的轨道半径为r，则在磁场中有 在电场中有 可得 由此可知离子的比荷与运动半径的平方成反比，当离子运动半径最小时，比荷最大。 作出符合条件的离子的运动轨迹如图所示，易知在M处被检测到的离子的运动半径最小，离子的比荷最大，设此离子的运动半径为r1，由几何关系可知 ，， 则 由几何关系有 联立解得 由 可得离子比荷的最大值为 4.（2026·天津河西·一模）中国自主研发的霍尔推进器在推力等级、功率水平、可靠性等方面均达到国际领先水平，为载人登月、深空探测和大规模卫星星座提供了核心动力支撑。某小组受到启发设计了如图所示的模型装置来研究电荷运动及作用力。三束比荷为、速度为、间距相等的平行带正电粒子流、、在纸面内沿垂直连线方向、持续均匀射入半径的圆形匀强磁场区域，其中束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，磁场方向垂直于纸面。粒子流随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中，该区域有磁感应强度为的水平向右的匀强磁场。最终粒子打在边界处足够大的荧光屏上，圆形磁场圆心、点及荧光屏上坐标原点共线且连线与荧光屏垂直。粒子重力及粒子间的相互作用可忽略，求： (1)圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； (2)已知粒子流、从点射出圆形磁场时，速度方向与连线的夹角均为，则束粒子在、区域的运动时间及轨迹在荧光屏上投影形状的半径； (3)在M、N区域中再加上水平向右、电场强度的匀强电场，并将整个装置安装在一个飞船模型上，同时把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量，若每束粒子在单位时间内有个喷出，求该装置为飞船模型提供的沿方向的平均推力大小。 【答案】(1)，垂直纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，根据几何关系可知 可得 方向垂直纸面向外。 （2）粒子在点的速度分解为沿磁场方向的速度，垂直于磁场方向的速度，则， 粒子从点运动到屏上的时间 可得 粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动 可得 （3）粒子在、区域运动时，、粒子从处喷出时沿方向的速度均为，有 根据速度位移关系 粒子从处喷出时速度为，有 沿方向，根据动量定理得 由牛顿第三定律得 5.（2025·天津滨海新·二模）放射性同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用。如图甲所示，将少量古木样品碳化、电离后，产生出电荷量均为q的12C和14C离子，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的匀强电场中，其初速度可视为零。以离子刚射入磁场时的O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向。x轴下方有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，离子在磁场中行进半个圆周后被位于原点O右侧x轴上的收集器分别收集。一个核子的质量为m，不考虑离子重力及离子间的相互作用。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及衰变生成的两个核反应方程式； (2)求收集器收集到的12C和14C离子的位置坐标x12和x14； (3)由于加速电场的变化，可能会使两束离子到达收集器的区域发生交叠，导致两种离子无法完全分离。 ①若加速电压在区间范围内发生微小变化，为使两种离子完全分离，应小于多少？ ②若离子经过加速电压为U的特殊电场，从O点进入磁场时，与垂直x轴方向左右对称偏离，导致有一个散射角α，如图乙所示。为使两种离子完全分离，求最大散射角。 [已知，若，，则] 【答案】(1)； (2)； (3)①，② 【详解】（1）核反应方程； （2）由动能定理得， 由洛伦兹力提供向心力得， 联立得，直径 和离子的位置坐标分别为； （3）①加速电压越大，速度越大，则半径越大 12C离子的最大直径 14C离子的最小直径 为保证完全分离需满足 联立解得 ②对于同一离子以相同大小的速度但方向不同进入磁场后，垂直于x轴射入时偏转距离x最大，向左向右偏离垂直入射的方向入射，其偏转距离都将减小，如图所示。 12C离子离开O点的最大距离 14C离子离开O点的最小距离 为保证两种离子完全分离 联立解得 6.（2025·天津滨海新区·三模）某粒子偏转器，主要由加速电场，偏转电场和偏转磁场三部分构成。如图甲所示为该粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产生质量为m、电荷量为、初速度忽略不计的带电粒子，经电压为U的加速电场加速后，带电粒子贴近上板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板长为，间距为d，板间加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、周期为，下极板右端正下方紧挨金属板竖直放置长度为d的探测板。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入平行板右侧的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)若带电粒子经过加速电场未进入偏转电场之前，形成了大小为I的稳恒电流，沿着电流方向长度为电流中，包含的粒子个数； (2)一个周期内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比； (3)从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B需要满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子进入偏转电场的初速度为，根据动能定理有 电流 则 联立可得 （2）带电粒子穿过偏转电场时，水平方向做匀速直线运动，则有 联立解得 即：带电粒子通过板间的时间等于周期T，且竖直方向上匀加速的时间必为，设前半个周期中，时刻飞入偏转电场的粒子恰好能到达下极板，则有 根据牛顿第二定律 联立解得 设后半个周期中，时刻飞入偏转电场的粒子恰好能到达下极板，则有 解得 时间内飞入偏转电场的粒子可以飞出偏转电场，故偏转电场出射的粒子数占比 （3）设粒子飞入磁场时的速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有 设粒子飞入磁场时，其速度与水平方向的夹角为，则有 如图 设粒子进入磁场后，竖直方向偏移的位移为，由几何关系可知 解得 若偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板，需满足 解得 即 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴02 带电粒子在组合场中的运动 命题预测 组合场是高考物理电磁学核心高频考点，命题稳定性强、综合性高。题型以计算题为主，选择填空为辅，常结合电场、磁场分段组合，如电场加速 + 磁场偏转、交变场复合场景。命题紧贴新课标，侧重物理建模与数理结合能力考查，弱化复杂计算，强化临界分析、几何关系推导。情境不断创新，融合科技背景，如质谱仪、回旋加速器、电磁过滤等实际应用模型。命题趋向多过程分段运动，设置多问梯度设问，兼顾基础与区分度。重点考查带电粒子受力分析、场的性质差异、运动轨迹分段拆解，还会结合边界约束、极值临界、多解问题命题，同时关联功能关系，综合考查力电综合素养，是高考物理大题必考重点板块。 备考需夯实基础，熟记电场、磁场中粒子运动规律，区分类平抛、圆周运动受力与公式。强化分段建模思维，养成拆分场域、分段分析运动的习惯，精准判断每一段受力与运动性质。专项突破几何作图，熟练掌握找圆心、画轨迹、利用弦长、偏转角、圆心角关联几何关系的方法。归类经典模型，集中刷题突破电场加速 + 磁场偏转、有界磁场临界等高频题型，总结通用解题步骤。强化计算与规范答题，熟练运用动能定理、洛伦兹力公式快速列式。整理易错点，如忽略粒子电性、边界临界漏解、运动时间混淆。限时训练综合大题，提升多过程综合分析与数理结合能力，稳固答题得分。 高频考法 高频考法以组合场分段运动为核心，一是匀强电场匀变速直线 和类平抛偏转搭配匀强磁场匀速圆周运动为最主流考法。二是电场加速、磁场偏转组合模型，常考粒子比荷、轨迹半径、偏转角、运动时间计算。三是有界磁场边界问题，涉及单边界、矩形、圆形有界磁场，依托几何圆规作图找圆心、定半径。四是临界与多解问题，包含粒子刚好穿出边界、相切临界条件，磁场方向双向、入射角度变化引发多解。五是复合拓展考法，叠加重力场、交变电场磁场，考查周期性运动。同时常结合动能定理求解加速过程速度，利用圆周运动规律、几何关系解偏转位移，综合考查数理几何运算能力。 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在组合场中从电场进入磁场的运动 1.分段拆解分析：电场段用类平抛 / 匀变速规律，结合动能定理求进入磁场的速度大小与方向；磁场段只受洛伦兹力，做匀速圆周运动。 2.几何定位轨迹：由速度垂线找圆心，结合入射偏转角、边界边长，利用几何关系求轨迹半径、圆心角。 3.公式联动求解：电场力做功求速度，洛伦兹力提供向心力列半径公式，联立求解位移、偏转角、运动时间。 考向02 带电粒子在组合场中从磁场进入电场的运动 1.磁场段先利用圆周运动规律，结合几何关系确定入射电场的速度大小、方向。 2.进入电场后忽略洛伦兹力，按类平抛或匀变速曲线运动，分解速度与加速度求解。 3.巧用动能定理、运动学公式，简化位移、偏转角及末速度的计算。 考向03 带电粒子在交变电、磁场中的运动 1.分段周期分析：按交变场变化周期拆分运动阶段，逐段判断受力，明确圆周、匀变速等运动形式。 2.抓临界与边界：锁定场强换向、粒子离场、轨迹相切等临界时刻，确定速度与位置状态。 3.化繁为简建模：利用运动周期性、重复性规律，结合几何关系与动能定理，简化多过程计算。 考向04 洛伦兹力与现代科技 1.模型对应归类：熟记质谱仪、回旋加速器、速度选择器等科技模型，匹配洛伦兹力核心公式。 2.受力规律套用：磁场中洛伦兹力提供向心力，电场结合加速、偏转规律联立列式。 3.巧用功能关系：加速过程用动能定理，圆周运动结合几何关系，快速求解比荷、半径、周期。 典例·靶向·突破 考向01 带电粒子在组合场中从电场进入磁场的运动 1.（2026·天津滨海新区十二校·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限存在竖直向下的匀强电场，第二象限存在垂直坐标平面向外的矩形有界匀强磁场（图中未画出），第三、四象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从y轴上A点以初速度沿x轴正方向射入匀强电场，然后从x轴上的P点射入第四象限，经磁场偏转后从x轴上的Q点射入第二象限，经第二象限矩形有界磁场偏转后，以与x轴正方向成45°打到O点。不计粒子重力，求： （1）电场强度E； （2）第一次在第三、四象限磁场区域运动的时间； （3）若矩形有界磁场的磁感应强度是第三、四象限的四倍，求矩形磁场的最小面积。 ( 题型解码 粒子先在电场中做匀变速或类平抛运动，借助动能定理、运动分解求出进入磁场的速度大小与方向。进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动。通过速度垂线确定圆心，结合边界几何关系找半径、圆心角。分段分析两场运动，联立电场规律与圆周运动公式，求解轨迹、偏转角、运动时间及临界极值问题。 ) 考向02 带电粒子在组合场中从磁场进入电场的运动 2.（2026·天津和平·一模）利用电场和磁场可以控制带电粒子的轨迹。如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，MN为过圆心O的竖直轴，纸面内边长也为R的正方形abcd内存在与ab边平行的匀强电场，bc边所在直线与MN重合，ab边与圆相切。质量为m、电荷量为q的粒子从P点正对圆心O以大小为的速度垂直射入磁场，速度方向与MN夹角为，之后从MN与圆的交点b射出磁场立即进入电场，最后恰好从d点射出电场，打在ad边左侧距离为R处的竖直照相底片上，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)粒子打到照相底片上时的速度大小； (3)粒子从进入磁场到打到照相底片上的运动总时间t。 ( 题型解码 粒子先在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，利用几何关系确定出磁场时的速度大小与方向。进入电场后，洛伦兹力失效，粒子在电场力作用下做匀变速曲线或匀变速直线运动。将速度正交分解，结合牛顿定律与运动学公式分析偏转、位移。分段拆解两场运动，结合动能定理联立求解，重点把控速度衔接与运动状态变化。 ) 考向03 带电粒子在交变电、磁场中的运动 3.（2026·天津河北区·一模）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 ( 题型解码 交变电磁场题型需按场强变化 周期分段 分析运动。电场阶段做匀变速运动，磁场阶段做匀速圆周运动。抓住场切换的临界时刻，确定粒子速度、位置衔接关系。利用运动周期性、重复性简化复杂过程，结合几何轨迹、动能定理与圆周运动公式，分析多阶段往复运动，规避多解遗漏，精准求解位移、时间与轨迹范围。 ) 考向04 洛伦兹力与现代科技 4.（2025·天津·二模）MM50是新一代三维适形和精确调强的治癌设备，是公认最先进的放射治疗系统，其核心技术之一就是跑道式电子回旋加速器，其工作原理如图所示，左、右匀强磁场区域、的边界平行，相距为，磁场方向垂直纸面。下方及两条横向虚线之间的区域存在水平向左场强为的匀强电场（两条横向虚线之间的宽度忽略不计），方向与磁场边界垂直。质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经过多次电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口以速度向左射出磁场，已知之间的距离为，重力忽略不计。 (1)匀强磁场磁感应强度的大小和方向； (2)电子第4次通过电场的时间； (3)若磁感应强度为已知量，试推理说明：电子在上方无场区运动时，随速度的增加，相邻轨迹的间距是增大、减小还是不变？ ( 题型解码 本题以洛伦兹力应用装置为载体，涵盖速度选择器、质谱仪、回旋加速器等模型。核心为洛伦兹力充当向心力，结合电场加速规律解题。加速过程用动能定理列式，偏转过程联立圆周运动公式。紧扣装置工作原理，区分电场、磁场分工，结合几何关系与受力分析。熟练套用固定模型公式，梳理物理规律关联，高效求解粒子比荷、速度、质量等物理量。 ) 1.（2026·天津河东区·一模）某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为。水平放置的目标靶长为，靶左端M与磁场圆心O的水平距离为、竖直距离为。从电子枪逸出的电子（质量为、电荷量为，初速度可以忽略）经匀强电场加速时间后，以速度沿PO方向射入磁场，（PO与水平方向夹角为），恰好击中M点，求： （1）匀强电场场强的大小； （2）匀强磁场的方向及电子在磁场中运动的时间； （3）为保证电子击中目标靶MN，匀强电场场强的大小范围（匀强电场极板间距不变）。 2.（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 3.（2026·天津宁河一中·一模）双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其原理如图所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。不同的带正电离子组成的离子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场并从P点垂直进入圆形磁场区域，之后从磁场下边界射出并进入检测器，检测器可在M，N之间左右移动且与磁场下边界的距离恒等于0.5d。某一质量为m、电荷量为q的带正电离子A通过电场区域和磁场区域后，恰好垂直于磁场下边界射出，并从K点进入检测器，已知磁场区域的磁感应强度大小为B，PO1=d，忽略离子间的相互作用，求： （1）离子A在匀强磁场中运动时的速度大小； （2）电场分析器中圆弧轨迹处的电场强度大小； （3）探测器能接收到的离子中比荷的最大值。 4.（2026·天津河西·一模）中国自主研发的霍尔推进器在推力等级、功率水平、可靠性等方面均达到国际领先水平，为载人登月、深空探测和大规模卫星星座提供了核心动力支撑。某小组受到启发设计了如图所示的模型装置来研究电荷运动及作用力。三束比荷为、速度为、间距相等的平行带正电粒子流、、在纸面内沿垂直连线方向、持续均匀射入半径的圆形匀强磁场区域，其中束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，磁场方向垂直于纸面。粒子流随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中，该区域有磁感应强度为的水平向右的匀强磁场。最终粒子打在边界处足够大的荧光屏上，圆形磁场圆心、点及荧光屏上坐标原点共线且连线与荧光屏垂直。粒子重力及粒子间的相互作用可忽略，求： (1)圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； (2)已知粒子流、从点射出圆形磁场时，速度方向与连线的夹角均为，则束粒子在、区域的运动时间及轨迹在荧光屏上投影形状的半径； (3)在M、N区域中再加上水平向右、电场强度的匀强电场，并将整个装置安装在一个飞船模型上，同时把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量，若每束粒子在单位时间内有个喷出，求该装置为飞船模型提供的沿方向的平均推力大小。 5.（2025·天津滨海新·二模）放射性同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用。如图甲所示，将少量古木样品碳化、电离后，产生出电荷量均为q的12C和14C离子，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的匀强电场中，其初速度可视为零。以离子刚射入磁场时的O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向。x轴下方有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，离子在磁场中行进半个圆周后被位于原点O右侧x轴上的收集器分别收集。一个核子的质量为m，不考虑离子重力及离子间的相互作用。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及衰变生成的两个核反应方程式； (2)求收集器收集到的12C和14C离子的位置坐标x12和x14； (3)由于加速电场的变化，可能会使两束离子到达收集器的区域发生交叠，导致两种离子无法完全分离。 ①若加速电压在区间范围内发生微小变化，为使两种离子完全分离，应小于多少？ ②若离子经过加速电压为U的特殊电场，从O点进入磁场时，与垂直x轴方向左右对称偏离，导致有一个散射角α，如图乙所示。为使两种离子完全分离，求最大散射角。 [已知，若，，则] 6.（2025·天津滨海新区·三模）某粒子偏转器，主要由加速电场，偏转电场和偏转磁场三部分构成。如图甲所示为该粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产生质量为m、电荷量为、初速度忽略不计的带电粒子，经电压为U的加速电场加速后，带电粒子贴近上板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板长为，间距为d，板间加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、周期为，下极板右端正下方紧挨金属板竖直放置长度为d的探测板。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入平行板右侧的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)若带电粒子经过加速电场未进入偏转电场之前，形成了大小为I的稳恒电流，沿着电流方向长度为电流中，包含的粒子个数； (2)一个周期内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比； (3)从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B需要满足的条件。 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴02 带电粒子在组合场中的运动 典例·靶向·突破 1.【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 由题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，则有，， 联立解 【小问2详解】 如图所示 设经过P点的速度与y轴的夹角为，则 解得 P点速度为 带电粒子在磁场中做圆周运动，设半径为R，由几何关系有： 则在第一次在三四象限的磁场中运动的时间为： 解得 【小问3详解】 粒子在第三象限进入有界磁场时，设半径为R，由有 由速度偏转情况可知粒子在矩形磁场区域中转过圆心角为 如图所示 此时矩形磁场的面积最小，由几何关系有： 解得 2.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系 解得 （2）在电场中，粒子做类平抛运动有， 又 解得 （3）粒子在磁场中的运动时间 其中 粒子在电场中的运动时间 粒子离开电场后的运动时间 可得 3.【答案】（1）正电；；（2）；；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为 根据洛伦兹力提供向心力得 则粒子所带的电荷量 （2）若金属板的板间距离为D，则板长粒子在板间运动时 出电场时竖直速度为零，则竖直方向 在磁场中时 其中的 联立解得， （3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则 4.【答案】(1)，方向垂直纸面向外 (2) (3)见解析 【详解】（1）电子在磁场中运动的最大半径 洛伦兹力提供向心力 得 由左手定则判断出磁场方向垂直纸面向外。 （2）电子在电场中一直做匀加速直线运动，加速度 前4次通过电场的过程 前3次通过电场的过程 第4次通过电场的时间 （3）第次加速后 在磁场中运动半径 同理，第次加速后 相邻轨迹的间距 可知相邻轨迹的间距减小。 1.【答案】（1）；（2）垂直纸面向里，；（3） 【详解】（1）电子穿过匀强电场过程中，由动量定理得 解得 （2）由左手定则，可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里；电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力得 周期为 联立可得 设与竖直方向夹角为，则有 可得 由图中几何关系可知，电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则电子在磁场中运动时间为 （3）①当电子击中M点时，电子在磁场中的偏转半径为 设匀强磁场区域半径，由几何关系得 ②当电子击中N点时，设与竖直方向夹角为，则有 可得 由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则偏转半径为 则有 粒子穿过匀强电场后的速度，由动能定理得 设极板间距离为，则有 联立解得 则匀强电场场强的范围为 2.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有，， 又 联立解得 （2）设粒子从点射入第一象限时的速度大小为，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于，则运动时间 又有， 联立解得 （3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径时，磁场区域半径最小，则有 又， 联立解得 3.【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设离子的速度大小为v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则 解得 （2）粒子在电场中也做匀速圆周运动，在电场中，电场力提供向心力，则 解得 （3）设在某处被检测到的离子在磁场中运动的轨道半径为r，则在磁场中有 在电场中有 可得 由此可知离子的比荷与运动半径的平方成反比，当离子运动半径最小时，比荷最大。 作出符合条件的离子的运动轨迹如图所示，易知在M处被检测到的离子的运动半径最小，离子的比荷最大，设此离子的运动半径为r1，由几何关系可知 ，， 则 由几何关系有 联立解得 由 可得离子比荷的最大值为 4.【答案】(1)，垂直纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，根据几何关系可知 可得 方向垂直纸面向外。 （2）粒子在点的速度分解为沿磁场方向的速度，垂直于磁场方向的速度，则， 粒子从点运动到屏上的时间 可得 粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动 可得 （3）粒子在、区域运动时，、粒子从处喷出时沿方向的速度均为，有 根据速度位移关系 粒子从处喷出时速度为，有 沿方向，根据动量定理得 由牛顿第三定律得 5.【答案】(1)； (2)； (3)①，② 【详解】（1）核反应方程； （2）由动能定理得， 由洛伦兹力提供向心力得， 联立得，直径 和离子的位置坐标分别为； （3）①加速电压越大，速度越大，则半径越大 12C离子的最大直径 14C离子的最小直径 为保证完全分离需满足 联立解得 ②对于同一离子以相同大小的速度但方向不同进入磁场后，垂直于x轴射入时偏转距离x最大，向左向右偏离垂直入射的方向入射，其偏转距离都将减小，如图所示。 12C离子离开O点的最大距离 14C离子离开O点的最小距离 为保证两种离子完全分离 联立解得 6.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子进入偏转电场的初速度为，根据动能定理有 电流 则 联立可得 （2）带电粒子穿过偏转电场时，水平方向做匀速直线运动，则有 联立解得 即：带电粒子通过板间的时间等于周期T，且竖直方向上匀加速的时间必为，设前半个周期中，时刻飞入偏转电场的粒子恰好能到达下极板，则有 根据牛顿第二定律 联立解得 设后半个周期中，时刻飞入偏转电场的粒子恰好能到达下极板，则有 解得 时间内飞入偏转电场的粒子可以飞出偏转电场，故偏转电场出射的粒子数占比 （3）设粒子飞入磁场时的速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有 设粒子飞入磁场时，其速度与水平方向的夹角为，则有 如图 设粒子进入磁场后，竖直方向偏移的位移为，由几何关系可知 解得 若偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板，需满足 解得 即 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $