第六章 导数及其应用（复习课件）数学人教B版选择性必修第三册

单元复习课件 第六章 导数及其应用 人教B版选择性必修第三册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解导数的定义与几何意义，建立函数变化率的数学模型；运用导数的符号特征，严密推导函数的单调性、极值点与最值。 2.熟练掌握基本初等函数求导公式及四则运算、复合函数求导法则； 攻克几何意义、单调性、极值最值、不等式、恒成立及零点六大考点。 3.建立导数模型，解决生产生活中诸如成本最低、利润最大的优化问题。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：导数的概念 1、变化率：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率：一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为∆x，且∆x=x2-x1，相应的函数值的“增量”为∆y，∆y=f(x2)-f(x1)，则函数f(x)从x1到x2的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率赋予不同的实际意义．如位移运动中，位移s(m)从t1秒到t2秒的平均变化率即为t1秒到t2秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 考点串讲 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出∆y=f(x2)-f(x1)和∆x=x2-x1 考点一：导数的概念 ②作商：对所求得的差作商，即 💡 注意： （1）∆x是x1的一个“增量”，可用x1+∆x代替x2，同样∆y=f(x1+∆x)-f(x1)； （2）∆x是一个整体符号，而不是∆与x相乘； （3）求函数平均变化率时注意∆x，∆y，两者都可正、可负，但∆x的值不能为零，∆y的值可以为零。若函数f(x)为常函数，则∆y=0. 考点串讲 5、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：∆y=f(x0+∆x)-f(x0) 4、导数定义：函数f(x)在x=x0处瞬时变化率是 ，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f’(x0)或，即f’(x0)= 考点一：导数的概念 ②求平均变化率： ③求极限，得导数：f’(x0)= 也可称为三步法求导数． 考点串讲 考点二：导数的几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 如图所示，函数y=f(x)的平均变化率 的几何意义是：割线AB的斜率 事实上，换一种表述：曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+∆x，y0+∆y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，则有 考点串讲 即当∆x0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 考点二：导数的几何意义 2、导数的几何意义——曲线的切线 定义：如图，当点Q(x0+∆x，y0+∆y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即∆x0时，割线PQ的极限位置也就是直线PT叫做曲线在点P处的切线． 即： （1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在x=x0处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． 💡 注意： 考点串讲 考点二：导数的几何意义 3、曲线的切线的求法 ①求出切点(x0，f(x0))的坐标； ②求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数f’(x0) ③得切线方程y-f(x0)=f’(x0)(x-x0) 4、“过”与“在”： 曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点. 因此在求过点(x0，y0)的切线方程时，先应判断点(x0，y0)是否为曲线上的点，若是则为第一类解法；若不是则必须先在曲线上取一切点(x1，y1)，求过此切点的切线方程y-y1=f’(x1)(x-x1)，再将点(x0，y0)代入，求得切点(x1，y1)的坐标，进而求过点(x0，y0)的切线方程． 考点串讲 考点三：导函数 1.导函数定义：由函数f(x)在点x=x0处求导数的过程可以看到，当x=x0时f’(x0)是一个确定的数，那么，当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数．记作：f’(x)或y' 即： 2.函数f(x)在点x0处的导数f’(x0)、导函数f’(x)之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数f’(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也就是函数f(x)的导函数． （3）函数f(x)在点处x0的导数f’(x0)就是导函数f’(x)在处的x=x0函数值． 考点串讲 考点四：基本初等函数的导数公式 （1）f(x)=C（C为常数），f’(x)=0 （3）f(x)=sinx，f’(x)=cosx （2）f(x)=xn（n为有理数），f’(x)=nxn-1 （4）f(x)= cosx，f’(x)= -sinx （5）f(x)=ex，f’(x)=ex （6）f(x)=ax，f’(x)=ax·lna （7）f(x)=lnx，f’(x)= （8）f(x)=logax，f’(x)= logae= 考点串讲 考点五：导数四则运算法则与复合函数求导法则 和差法则 积法则 商法则 复合函数求导法则 (u ± v)' = u' ± v' （可逐项分别求导） (uv)' = u'v + uv' （前导后不导 + 前不导后导） ()' = （子导母不导 子不导母导） 若 y = f(u)，u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x)) 的导数为： y' = [f(g(x))]' = f'(u) · g'(x) 考点串讲 考点六：导数与函数的单调性 1.核心判断法则 • 若 f'(x) > 0，则 f(x) 在区间上单调递增 • 若 f'(x) < 0，则 f(x) 在区间上单调递减 • 若恒有f'(x) =0，则 f(x) 在区间上为常函数 2.求单调区间标准步骤 ① 确定函数的定义域(首要步骤) ② 求导函数 f'(x) ③ 解不等式 f'(x)>0 与 f'(x)<0 ④ 结合定义域，写出最终结论 反之，若f(x)在某区间上单调递增（减），则在该区间上有f'(x)≥0 （≤0）恒成立（但不恒等于0） 考点串讲 考点七：导数与函数的极值、最值 核心方法 · 求函数极值 解方程 f'(x) = 0 得到临界点，重点判断根的两侧导数符号的变化情况，以此确定是极大值还是极小值。 极大值：x₀附近，左正(f' >0)右负(f' <0) 极小值：x₀附近，左负(f' <0) 右正(f' >0) 注：f'(x₀)=0 是 x₀ 为极值点的必要不充分条件 核心方法 · 求函数最值 需在闭区间内，将所有极值点的函数值与区间端点的函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。 💡 核心概念辨析 极值是函数的局部性质，仅反映某点附近的趋势； 最值是函数的全局性质，反映整个区间内的最大/最小值。 考点串讲 考点八：利用导数证明不等式 核心解题思想 通过构造辅助函数，将不等式的证明问题，巧妙转化为我们熟悉的“求函数最值”问题进行求解。 ①构造函数：令 h(x) = eˣ - x - 1 ②求导判断：h'(x) = eˣ - 1。当 x > 0 时，h'(x) > 0，h(x) 单调递增 ③得证结论：h(x) > h(0) = 0，即 eˣ - x - 1 > 0 ⇒eˣ > x + 1 典型例题：证明当 x > 0 时，eˣ > x + 1 考点串讲 考点九：恒成立与零点问题 1.恒成立问题 ①m ≤ f(x) 恒成立 ⇔m ≤ f(x)min ② m ≥ f(x) 恒成立 ⇔m ≥ f(x)max 2.零点问题 数形结合:利用导数分析单调性 → 求极值画草图 → 依据极值符号判断图像与x轴交点个数。 考点串讲 x (x) f(x) a+2 a-2 考点九：恒成立与零点问题 典型例题: 【分析】：求导得极值 f(-1)=a+2, f(1)=a-2。需满足a+2>0 且 a-2<0，即-2 < a < 2 f(x)=x³-3x+a 有三个零点，求 a 的范围。 解： 求导得 令0得 x = 1或 x = -1 当x变化时，f’(x)与f(x)变化情况如下表： (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) 0 0 所以极大值f(-1)=a+2，极小值f(1)=a-2 要使f(x)=x3-3x+a有三个零点，则 ⸫-2 < a < 2 考点串讲 考点十：导数的实际应用（优化问题） 核心思想 · 数学建模 将复杂的实际问题抽象转化为数学函数模型 y=f(x)，利用导数的性质求出函数在定义域内的最值，从而解决问题。 02 求导求解 计算函数的导数 f'(x)，解方程 f'(x)=0 找出可能的极值点，简化运算过程。 01 审题建模 分析变量关系，建立目标函数 y=f(x)，并准确确定自变量的取值范围。 03 确定最值 比较极值点与区间端点的函数值大小，结合实际意义确定最大值或最小值。 04 回归实际 将数学计算得出的最值结果，还原为实际问题的具体答案，给出明确结论。 考点串讲 考点十：导数的实际应用（优化问题） 典型场景：利润最大化问题 进价40元，售价50元时月销210件。售价每提高1元，月销少10件。 求售价定为多少时，月利润能达到最大值？ 解析思路：设提价x元，利润 L(x)=(10+x)(210-10x)。求导得 L'(x)=-20x+110，令导数为0，解得x=5.5。即售价定为55.5元时利润最大。 解： 设提价x元，月利润为L(x) ⸫L(x)=(10+x)(210-10x)= -10x2+110x+2100 求导得L’(x)=-20x+110， 令L’(x)=0，解得x=5.5 所以售价定为55.5元时利润最大。 考点串讲 题型一、导数的定义及应用 例1 已知=( ) 解： 分析：根据导数的定义可得cosx0=1，求得x0=0得解。 由，得(sinx0)’=1 ⸫cosx0=1，又，则x0=0 ⸫sinx0=0 A． B． C．1 D．0 D 题型剖析 规律方法　 题型一、导数的定义及应用 1．函数在某点处的导数的定义 2．导函数的定义 函数f(x)在x=x0处的导数f’(x0)= 从求函数y=f(x)在点x=x0处求导数的过程可以看到，当x=x0时f’(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'= 题型剖析 3．导数式可以有多种表达形式，如： 题型一、导数的定义及应用 或： 或： 或： 规律方法　 题型剖析 已知函数f(x)在x=x0处可导，且，则f’(x0)=( ) 练习1： 解： 所以f'(x)= 故选：A 因为函数y=f(x)在x=x0处可导，且 A．-3 B.-2 C.- D.2 A 题型一、导数的定义及应用 题型剖析 题型一、导数的定义及应用 练习2： 若函数f(x)满足f'(3)=1，则( ) A．1 B.2 C.-1 D.-2 C 解： 由题设 故选：C 题型剖析 练习3： 题型一、导数的定义及应用 A． B.6 C.3 D.-3 若，则f’(2)=( ) C 解： 由导数定义得 故选：C 题型剖析 练习4： 题型一、导数的定义及应用 A．1 B.0 C.-1 D.sin1 已知函数f(x)=sin(cosx)，则( ) C 解： 由复合函数求导法则得f'(x)=sinx·cos(cosx) 所以 故选：C 题型剖析 练习5： 题型一、导数的定义及应用 物体运动方程为s(t)=3t2（位移单位：m，时间单位：s），若v==18m/s，则下列说法中正确的是（    ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B. 18m/s是物体从3s到(3+∆t)s这段时间内的速度 C. 18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D. 18m/s是物体从3s到(3+∆t)s这段时间内的平均速度 解： C 由瞬时变化率的物理意义知v=是物体在3s这一时刻的瞬时速度，是物体从3s到(3+∆t)s这段时间内的平均速度的极限值，即是物体在3s这一时刻的瞬时速度. 故选：C 题型剖析 题型二、导数的运算 例2 下列选项正确的是（    ） 解：对于A，(sin10°)’=0，A错误； A．(sin10°)’=cos10° B.(lgx)’= C.[(2x+1)(2x-1)]’=8x D.(e-x)’=e-x C 对于B，(lgx)’=，B错误； 对于C，[(2x+1)(2x-1)]’=[4x2-1]’=8x，C正确； 对于D，(e-x)’= -e-x，D错误。 题型剖析 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 题型二、导数的运算 规律方法　 题型剖析 已知函数f(x)=x(19+lnx)，若f’(x0)=20，则x0=( ) 解： ∴f’(x0)=20+lnx0=20. ∴lnx0=0. ∴x0=1 f’(x)＝19+lnx+． 练习6: 题型二、导数的运算 A．e2 B.1 C.e D.ln2 B 分析：先求导函数，再根据导函数值结合对数运算计算求解. 故选：B 题型剖析 题型二、导数的运算 练习7: 已知函数f(x)的导函数为f’(x)，且满足f(x)=2xf’()-sinx，则f’()的值为( ) A． B. C. D. 解： A ⸪f(x)=2xf’()-sinx ∴f’(x)=2f’()-cosx ∴f’()=2f’()-cos ∴f’()= 故选：A 题型剖析 题型三、导数的几何意义及应用 例3   分析：先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 解：因为曲线y=eax，所以y’=aeax 直线2x-y+1=0的斜率为2，又因为两直线垂直 已知曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a=( ) A． B. C. D. B ∴y’|x=0=ae0=a ∴2×a= -1 ∴ 故选：B 题型剖析 规律方法　 求曲线切线方程的步骤 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. （3）　“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点. 题型三、导数的几何意义及应用 题型剖析 练习8: 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：x0的根的个数，结合根的判别式判定即可. 解： 经过点(3,0)作曲线y=x2ex的切线有（ ）条 因为y’=(x2+2x)ex，所以曲线y=x2ex在点(x0，x02的切线方程为 y 因为∆>0，所以方程x2-2x-6=0有两个不同的根，且根不为零 A．1 B.2 C.3 D.4 题型三、导数的几何意义及应用 C 将点(3,0)代入，得x0 即x0 所以方程x0有3个根，所以切线有3条 故选：C 题型剖析 题型四、求函数的单调区间 函数f(x)=的单调增区间为（    ） 例4 A．(0,1) B.(0,e) C.(1,+∞) D.(e,+∞) C 解： 由函数f(x)=，可得其定义域为(0,+∞) 因为f’(x)= 所以令f’(x)>0，解得x>1 故选：C 题型剖析 题型四、求函数的单调区间 例5 已知函数f(x)=x3-ax-1，讨论f(x)的单调区间 【分析】：先求出f(x)的导数，根据f’(x)>0求得的区间是单调增区间，f’(x)<0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a的取值进行分类讨论． 解：　f’(x)=3x2-a ①当a≤0时，f’(x)≥0恒成立，所以单调增区间为(-∞,+∞) ②当a>0时，令f’(x)=0，解得 当 . 综上可知，当a≤0时，f(x)的单调增区间为R,没有减区间；当a>0时，f(x)的单调增区间为(-∞,)，(,+∞)；f(x)的单调增区间为(,) 题型剖析 （1）确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． （2）①研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． ②划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 规律方法： 题型四、求函数的单调区间 题型剖析 已知函数f(x)=a2x2-ax-lnx 练习9: 解:∵f’(x)=2a2x-a- 题型四、求函数的单调区间 (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为5，求实数a的值； (2)讨论函数f(x)的单调性． ∴（1）由于f’(1)=5，得2a2-a-1=5 ∴2a2-a-6=0 ∴a=2或a= （2）若a=0，f’(x)=-恒成立，f(x)在上单调递减； 若a>0，则对0<x<有f’(x)=<0，对x>有f’(x)=>0 所以f(x)在(0,)上单调递减，在上单调递增； 题型剖析 若a<0，则对0<x<有f’(x)=<0，对x>有f’(x)=>0 题型四、求函数的单调区间 所以f(x)在(0,)上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当a=0时，f(x)在上单调递减； 当a>0时，f(x)在(0,)上单调递减，在上单调递增； 当a<0时，f(x)在(0,)上单调递减，在上单调递增. 题型剖析 若函数f(x)= 在区间(1,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） 题型五、已知函数的单调性求参数 例6 【分析】将题干问题转化为f’(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，参变分离得k，利用对勾函数单调性求得<2，即可得解. 解：由已知得f’(x)=x+k+ ∵函数f(x)= 在区间(1,+∞)上单调递增 ∴f’(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立 A．() B.() C.(,+∞) D.[,+∞) D ∴k恒成立 而由对勾函数的单调性可知y=在上单调递减， ∴2，∴k2 ∴k的取值范围是[,+∞) 故选：D 题型剖析 规律方法:　 （1）若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． （2） 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． （3）已知函数在给定区间上不单调，等价于函数在所给区间上有极值点。 题型五、已知函数的单调性求参数 题型剖析 题型五、已知函数的单调性求参数 练习10: 函数f(x)=aex-x3在(0,+∞)上单调递增的充要条件是（ ） A． B. C. D. A 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 解：∵函数f(x)=aex-x3在(0,+∞)上单调递增 ∴，即在上恒成立 令，由 ∴h(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+)上单调递减， ∴a≥h(2)=是函数f(x)=aex-x3在(0,+∞)上单调递增的充要条件 故选：A 题型剖析 已知函数f(x)=lnx+(x-b)2(b∈R)在[1,2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） 练习11： 【分析】根据题意可知，整理可得，构建函数 ，利用导数求最值即可得结果. 题型五、已知函数的单调性求参数 A．) B.[) C.() D.() C 题型剖析 题型五、已知函数的单调性求参数 解: 由题意可知： 因为函数f(x)在[1,2]上存在单调递减区间， 则在[1,2]上有解，可得 所以， 令g(x)=， 则 显然可知函数g(x)单调递增，则 即，所以实数b的取值范围是 故选：C 题型剖析 题型六、求函数的极值和最值 例7 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则 解：由题意知，f’(x)=3x2+6ax+b， 解得， 当a=1，b=3时，f’(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0， 令f’(x)>0得x>-1或x<-3；令f’(x)<0得-3<x<-1 当a=2，b=9时，f’(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1)， ∴f(x)在(-∞,-3)，(-1,+∞)上单调递增，在(-3,-1)上单调递减 A．6 B.12 C.24 D.12或24 C 【分析】根据f(x)在x=-1处取得极值0可得，解出a,b即可 又f(x)在x=-1处取得极值0 则 函数f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 故f(x)在x=-1处取得极小值，符合题意 ∴f’(1)=24 故选：C 题型剖析 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 函数极值的求法:　 函数最值的求法:　 将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 题型六、求函数的极值和最值 题型剖析 若函数f(x)=x3-2ax在(0,内无极值，则实数a的取值范围是( ) 解：由函数f(x)=x3-2ax在(0,内无极值，得f’(x)=3x2-2a在(0,内无变号零点， 而函数f’(x)=3x2-2a在(0,上单调递增， 则-2a≥0或9-2a≤0 ∴a≤0或a≥ 题型六、求函数的极值和最值 练习12： A． B.(] C.(][ D.(] 【分析】求出导数，再由导函数在(0,内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 所以实数a的取值范围是( 故选：C C 题型剖析 已知函数f(x)=x3+ax2+b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值. 练习13： 题型六、求函数的极值和最值 解： (1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a, 即3+2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. 所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. 题型剖析 题型六、求函数的极值和最值 (2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x. 由f'(x)=0,得x=0或x=2. ①当0<t≤2时,在区间(0,t)上,f'(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2. ②当2<t<3时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (2,t) t f'(x)   - 0 +   f(x) 2 ↘ -2 ↗ t3-3t2+2 f(x)min=f(2)=-2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0, 所以f(x)max=f(0)=2. 题型剖析 题型七、导数与函数的零点问题 例8 已知函数f(x)=aex-x2+3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B. C. D. A 【分析】将问题转化为y=a与与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数a的范围； 解： 令f(x)=0，即得aex-x2+3=0，即a=方程有三个零点， 即直线y=a与与曲线有三个不同的交点， 因为 所以当x∈(-∞,-1)或x∈(3,+∞)时，g’(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(-1,3)时，g’(x)>0，g(x)单调递增. 题型剖析 题型七、导数与函数的零点问题 所以当x=-1时，g(x)有极小值为g(-1)=-2e， 当x=3时，g(x)有极大值为g(3)=， 当 所以作出函数的图象如图所示 所以数形结合可知 ，即实数a的取值范围为, 故选：A 题型剖析 一般可转化为方程f(x)=g(x)的问题，即f(x)-g(x)=0的解的个数问题，我们可以设F(x)=f(x)-g(x)，然后求出F(x)的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题． 题型七、导数与函数的零点问题 规律方法:　 题型剖析 题型七、导数与函数的零点问题 练习14： 已知函数f(x)= 的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） 【分析】问题化为y=(x+1)ex且x≠-1，y=2m-1图象有两个交点，利用导数研究g(x)=(x+1)ex的性质并画出函数图象草图，数形结合求参数范围. 解： A． B. C. D. C 由题，方程f(x)=0有两个实数根，即(x+1)ex=2m-1 所以y=(x+1)ex且x≠-1与y=2m-1的图象有两个交点 设g(x)=(x+1)ex，则g’(x)=(x+2)ex 令g’(x)=0，解得x=-2 当x∈(-∞,-2)时，g’(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(-2,+∞)时，g’(x)>0，g(x)单调递增. 所以g(x)有极小值g(-2)= 题型剖析 题型七、导数与函数的零点问题 当 作出g(x)函数的大致图象，如图所示 故 解得 故选：C 题型剖析 题型八、导数的实际应用 例9 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，每小时的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？ 设每小时的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720， ∴720＝k·122，解得k＝5. ∴y1＝5v2. 设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1· 解： 题型剖析 ∴y′＝ 题型八、导数的实际应用 令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16. ∴当v0≥16时，v＝16(千米/时)时全程燃料费最省； 当v0<16，v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数． ∴当v＝v0时，ymin＝ 综上可知，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元． 题型剖析 题型八、导数的实际应用 1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数． 2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域． 3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题． 规律方法:　 题型剖析 题型八、导数的实际应用 练习15：(生活中的优化问题 ) 某超市销售某种商品，据统计,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,其中4≤x≤15)满足：当4≤x≤9时，y=a(x-9)2+ (a,b为常数)；当9≤x≤15时，y=-5x+85.已知当销售价格为6元/千克时,每日售出该商品170千克. (1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式; (2)若该商品的销售成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大. 题型剖析 解： 题型八、导数的实际应用 (1)因为x=6时，y=170；又x=9时，y=-5×9+85=40, 解得 故每日的销售量y= ∴ (2)由(1)知,当4≤x<9时,每日销售利润 =10(x3-21x2+135x-243)+240, 题型剖析 ∴f'(x)=30(x-5)(x-9). 当4≤x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当5<x<9时,f'(x)<0,f(x)单调递减; ∴x=5是函数f(x)在(4,9)上的唯一极大值点, ∴f(x)max=f(5)=10×42×2+240=560; 当9≤x≤15时, 每日销售利润f(x)=(-5x+85)(x-3)=-5(x-10)2+245, ∴f(x)max=f(10)=245. ∵560>245,∴销售价格为5元/千克时,每日利润最大. 题型八、导数的实际应用 题型剖析 1．函数f(x)=x3−2x2+1的导数f′(x)等于（ ） A. 3x2−4x B. 3x2−2x C. x2−4x D. x2−2x 　【解析】根据求导公式(xn)′=nxn−1，f′(x)=3x2−4x。故选A． A 针对训练 2.已知函数f(x)=lnx+x，则f′(1)的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 f′(x)=+1，代入x=1，得f′(1)=1+1=2。 B 针对训练 3.下列函数中，导数为f′(x)=2x+1的是（ ） A. f(x)=x2 B. f(x)=x2+x C. f(x)=2x+1 D. f(x)=x2+1 【解析】 . B 对选项求导，A 项f′(x)=2x；B 项f′(x)=2x+1；C 项f′(x)=2；D 项f′(x)=2x，故选 B。 针对训练 4.函数f(x)=x2−6x+5的单调递增区间为（ ） A. (−∞,3) B. (3,+∞) C. (−∞,−3) D. (−3,+∞) 【解析】 B f′(x)=2x−6，令f′(x)>0，解得x>3，单调递增区间为(3,+∞)，故选 B。 针对训练 5.已知函数f(x)=x3−3x，则f(x)的极小值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 A 【解析】 f′(x)=3x2−3，令f′(x)=0得x=±1； x<−1时f′(x)>0；−1<x<1时，f′(x)<0；x>1时f'(x)>0， 极小值f(1)=1 - 3=-2。 故选A． 针对训练 6.函数f(x)=ex−x在区间[0,2]上的最大值为（ ） A. 1 B. e−1 C. e2−2 D. e2 C 【解析】 f′(x)=ex−1，令f′(x)=0得x=0，[0,2]上f(x)单调递增，最大值f(2)=e2−2，故选C． 针对训练 7.已知函数f(x)在x=1处可导，且f′(1)=2，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 由导数定义，=f′(1)=2，故选B． B 针对训练 8.函数f(x)=lnx−x2的单调递减区间为（ ） A. (0,1) B. (1,+∞) C. (0,+∞) D. (−∞,1) 【解析】 定义域为(0,+∞)，f′(x)=−x，令f′(x) < 0，解得x>1，递减区间为(1,+∞)，故选B． B 针对训练 9.若函数f(x)=x3+ax2+3x在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. [−3,3] B. (−3,3) C. (−∞,−3]∪[3,+∞) D. (−∞,−3)∪(3,+∞) 【解析】 f′(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，Δ=4a2−36≤0，解得−3≤a≤3，故选A． A 针对训练 10.已知函数f(x)=xlnx，则f(x)的极值点为（ ） A. x=1 B. x= C. x=e D. x=0 【解析】 f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0，解得x=，即极值点为x=，故选B． B 针对训练 11.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(1)x，则f′(2)的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【解析】 f′(x)=2x+2f′(1)，令x=1得f′(1)=2+2f′(1)，解得f′(1)=−2，则f′(x)=2x−4，f′(2)=6，故选D． D 针对训练 12.已知函数f(x)=x3−3x2+m+1在区间[−1,2]上的最大值为 5，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】 f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，求得极值点与区间端点函数值，f(−1)=m−4，f(0)=m+1，f(2)=m−4，最大值为m+1=5，解得m=4。 B 针对训练 13.函数f(x)=cosx−x的导数f′(x)= 。 【解析】 由导数的运算法则， -sinx-1 f′(x)=(cosx)′−x′= -sinx-1 针对训练 14.函数f(x)=x3−3x2+2x在x=2处的切线斜率为 。 【解析】 ⸪f′(x)=3x2-6x+2，⸫f′(2)=3×22-6×2+2=2 2 针对训练 15.函数f(x)=ex−2x+1的最小值为 。 【解析】 ⸪f′(x)=ex−2 ⸫当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减. ⸫f(x)在x=ln2处取得极小值，也是最小值为f(ln2)=eln2-2ln2+1=3-2ln2 ⸫令f′(x)=0，解得x=ln2 3-2ln2 针对训练 16.若函数f(x)=lnx+kx在区间(1,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围为 。 【解析】 函数f(x)=lnx+kx在区间(1,+∞)上单调递增 即f′(x)=在(1,+∞)上恒成立 所以k≥在(1,+∞)上恒成立，而函数y= 在(1,+∞)上单调递增 故所以k≥0. [0，+∞) 针对训练 17.已知函数f(x)=x3−3x2+4x−1，求： （1）f(x)的导数f′(x)； （2）f(x)在x=1处的切线方程。 【解析】 （1）f′(x)=3x2-6x+4 （2）f(1)=1−3+4−1=1，f′(1)=3−6+4=1， 切线方程为y−1=1×(x−1)，即y=x。 针对训练 18.已知函数f(x)=x2−2lnx，求： （1）f(x)的单调区间； （2）f(x)在区间[1,e]上的最值。 【解析】 （1）定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x− = ， 令f′(x)>0得x>1，f′(x)<0得0<x<1， 单调递增区间为(1,+∞)，递减区间为(0,1)； （2）f(1)=1，f(e)=e2−2， 最小值为1，最大值为e2−2。 针对训练 19.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−1处取得极大值，在x=2处取得极小值，且f(0)=3。 （1）求a，b，c的值； （2）求f(x)的极值。 【解析】 （1）f′(x)=3x2+2ax+b， 由题意得， 解得a=−，b=−6，c=3； （2）极大值f(−1)=132，极小值f(2)=−7。 针对训练 20.证明：当x>0时，lnx≤x−1。 【证明】 设g(x)=x−1−lnx(x>0)，g′(x)=1−， 令g′(x)=0得x=1， 0<x<1时g′(x)<0，g(x)递减；x>1时g′(x)>0，g(x)递增， g(x)min=g(1)=0，故g(x)≥0，即lnx≤x−1。 针对训练 21.已知函数f(x)=ex−ax−1(a∈R)，讨论f(x)的单调性。 【解析】 f′(x)=ex−a， ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增； ②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna， x<lna时，f′(x)<0，f(x)递减；x>ln a时f'(x)>0，f (x) 递增。 针对训练 22.已知函数f(x)=xlnx−kx+1(k∈R)，若f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围。 【解析】 f(x)≥0恒成立即xlnx−kx+1≥0恒成立，则k≤lnx+， 设h(x)=lnx+(x>0)，h′(x)=， 令h′(x)=0得x=1， h(x)min=h(1)=1，故k≤1， 实数k的取值范围为(−∞,1]。 针对训练 核心数学思想方法 分类讨论思想 在研究含参函数的单调性、极值时，根据参数的不同取值范围进行讨论，是处理含参问题的核心策略。 数形结合思想 通过导数分析函数单调性、极值等性质，画出函数草图，将抽象的数量关系转化为直观的图形，高效解决零点、不等式问题。 转化与化归思想 将复杂的不等式证明、恒成立或存在性问题，等价转化为求函数的最大值或最小值问题，化繁为简，以简驭繁。 函数与方程思想 利用导数研究函数的单调性与极值，本质上是研究导函数的方程 f'(x)=0 的根、根的分布及其所对应的函数性质。 课堂总结 感谢聆听! $