一元二次不等式及其解法课件-2027届高三数学一轮复习

一元二次不等式及其解法 一 2 知 识 梳 理 知识点一　一元二次不等式 只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a，b，c均为常数，a≠0)． 两相异 两相等 没有 知识点二　三个二次之间的关系 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________ ________________ ______ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ _____ _____ {x|x>x2或 x<x1} {x|x∈R且x≠x1} R {x| x1<x<x2} ∅ ∅ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 3．一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从右至左，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正． 如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿． 归 纳 拓 展 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是： a>0且b2－4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是： a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 4．简单分式不等式的解法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 题组二　走进教材 2．(必修1习题2.3 T3改编)设集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|x2－5x＋4>0}，则A∩B＝(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(4，＋∞) [答案]　D [解析]　A＝{x|x>3}，B＝{x|x>4或x<1}，A∩B＝{x|x>4}，故选D． [答案]　－14 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 4．(必修1复习参考题2 T6)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________. [答案]　[0，4) [解析]　当m＝0时，显然成立；当m≠0时， 题组三　走向考场 A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} [答案]　C 1 考点突破 · 互动探究 一元二次不等式的解法——多维探究 角度1　不含参数的不等式 求下列不等式的解集． (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)9x2－6x＋1>0； (4)x2<6x－10. [解析]　(1)∵Δ＝49>0， ∴方程2x2＋5x－3＝0有两个不等的实数根， (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0. ∵Δ＝12>0， (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4< 0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅. 名师点拨：解一元二次不等式的一般方法和步骤 (2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系． 角度2　含参数的不等式 解下列关于x的不等式： (1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)； (2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况． [解析]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1. 名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分类讨论 1．若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)． 2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式． 3．解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零． 4．解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正． 【变式训练】 1．(角度1)不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) [答案]　A [解析]　由－x2＋3x＋10>0，得x2－3x－10<0，得(x－5)(x＋2)<0，解得－2<x<5.故选A． 2．(角度2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)． [解析]　原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 三个二次间的关系——师生共研 [答案]　ACD (多选题)(2026·安徽合肥模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [分析]　利用根与系数的关系求解． [答案]　B 则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B． 一元二次不等式恒(能)成立问题——多维探究 角度1　恒成立问题 [解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0； 所以m的取值范围为(－4，0]． (2)要使f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立， 只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1，3])， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0. 令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1，1]． 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 名师点拨：一元二次不等式恒成立问题 1．一元二次不等式在R上恒成立的条件 策略一 若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a 2．在给定区间上恒成立问题的求解策略 3．转移变量 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．(如本例中(3)) [答案]　A 角度2　能成立或有解问题 若关于x的不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，8) B．(－∞，8] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 名师点拨：一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略 1．分离参数法：把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式，只需a>f(x)min或a<f(x)max. 2．最值转化法：若f(x)>0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最大值大于0；若f(x)<0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最小值小于0. 3．数形结合法：根据图象列出约束条件求解． 4．最后一定要注意检验区间的开闭． 【变式训练】 1．(角度1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(　　) A．(－∞，3) B．(－1，3) C．[－1，3] D．(－1，3] [答案]　D [解析]　当a＝3时，－4<0恒成立； 2．(角度1)(2025·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0，1]恒成立，则有(　　) A．m≤－3 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．m≥－4 [答案]　A [解析]　令f(x)＝x2－4x，x∈(0，1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0，1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A． 3．(角度2)(2025·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) [答案]　A [解析]　解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A． 解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选A． 4．(角度1)(2026·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [答案]　D [解析]　不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得 名师讲坛 · 素养提升 一元二次方程的根的分布情况 一元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图象从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑．设二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，其根的分布情况如下： 根的分布情况 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 图象的大 致形状 a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 根的分布情况 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一根在(m，n)之间 图象的 大致形状 a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内； (2)一根在(－1，1)，另一根不在(－1，1)内； (3)一根小于1，另一根大于2； (4)一根大于－1，另一根小于－1； (5)两根都在区间(－1，3)； (6)两根都大于0； (7)两根都小于1； (8)在(1，2)内有解． [解析]　设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (4)一根大于－1，另一根小于－1， 应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【变式训练】 关于x的一元二次方程mx2＋(m＋1)x＋m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两不等实根； (2)两不等负根； (3)一根大于0小于1，另一根大于1. [解析]　(1)∵方程有两个不相等的实根， (2)∵方程有两个不相等的负根， 故m的取值范围为(0，1)． 谢谢观看 汇报日期 单击此处添加副标题 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有__________实根x1，x2(x1<x2) 有__________实根x1＝x2＝－ _______实数根 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) 3．(必修1习题2.3 T4改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________. [解析] 依题意知解得∴a＋b＝－14. 由已知得解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是[0，4)． 5．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) [解析]由≥2，得≥0，即≤0，所以解得－2≤x<1，所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1}．故选C． 解得x1＝－3，x2＝， 画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. ∴方程3x2－6x＋2＝0有两个不等的实数根，解得x1＝，x2＝，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝.画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为. [分析]　(1)根据a<0，注意两根与1的大小； [解析]　(1)因为a＜0，则原不等式等价于(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.所以解集为∪(1，＋∞)． (2)对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8，所以当Δ＜0，即－＜a＜时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根， 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}， 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ＞0，即a＞或a＜－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上，当a＞或a＜－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－＜a＜时，解集为∅. [解析]　因为a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0. ①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解； ②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0得＜x＜1； ③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0得1＜x＜. 所以当0<a<1时，解集为； 当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为. 综上所述：当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为. 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为∪； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为∪. D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ [解析]　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则∴a＋b＋c＝－6a<0，B选项错误；不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，得x<－6，C选项正确；不等式cx2－bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ACD． 【变式训练】 (2025·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　) A．{x|2<x<3} B．{x|x≤2或x≥3} C． D． [解析]　∵不等式ax2－bx－1>0的解集是， ∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0， ∴解得 若m≠0，则⇒－4<m<0. 又因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以m<. 令y＝＝. 因为t＝2＋在[1，3]上是增函数， 所以y＝在[1，3]上是减函数． 因此函数的最小值ymin＝. 所以m的取值范围是. 则即 解得<x<， 即x的取值范围为. C．(－∞，2) D． [解析]　解法一：(分离参数法)不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，等价于不等式a<x＋在(2，7)上有实数解，因为函数f(x)＝x＋在(2，)上单调递减，在(，7)上单调递增，又由f(2)＝2＋＝，f(7)＝7＋＝8，所以f(x)max<f(7)＝8，所以a<8，即实数a的取值范围是(－∞，8)． 解法二：(最值转化法)原不等式在(2，7)上有解，它的否定是不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上无解，则解得a≥8，因此不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有解时a<8. 当a≠3时，解得－1<a<3.所以－1<a≤ 3.故选D． ∴x<－1或x>3. 根的分布情况 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 满足条件 af(m)<0 根的分布情况 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一根在(m，n)之间 满足 条件 或f(m)·f(n)<0 或 或 (1)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内应满足即解得－<m<0，所以m的取值范围为. (2)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足f(－1)f(1)≤0，即(2m＋1)(－2m－3)≤0，∴m≥－或m≤－，经检验当m＝－或m＝－时都符合题意．又∵m－1≠0，∴m≠1，∴m的取值范围为∪∪(1，＋∞)． (3)一根小于1，另一根大于2，应满足 即解得0<m<1，∴m的取值范围为{m|0<m<1}． 解得m<－或m>1， ∴m的取值范围为. (5)两根都在(－1，3)内，应满足 解得－<m<， ∴m的取值范围为. (6)两根都大于0，应满足解得0<m<1，∴m的取值范围为{m|0<m<1}． (7)两根都小于1，应满足：解得m>1或m<－，∴m的取值范围为. (8)在(1，2)内有解应满足 或f(1)f(2)≤0，解得－≤m≤0， 经检验m＝－及m＝0都不合题意舍去，解得－<m<0， ∴m的取值范围为. ∴即∴ ∴解得－<m<0或0<m<1. 故实数m的取值范围为∪(0，1)． ∴ (3)由于方程有两个不相等的实根，所以m≠0，令f(x)＝mx2＋(m＋1)x＋m，根据题意画出满足“一个根大于0且小于1，另一个根大于1”的二次函数的大致图象，如图所示．由图象可知，要使方程f(x)＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1，则即解得－<m<0. 故m的取值范围为.　 $