6.1.4用对角线的关系判定平行四边形 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 6.1.4用对角线的关系判定平行四边形 第六章　平行四边形 北师大版八年级数学下册 6.1.4 用对角线的关系判定平行四边形 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“用对角线的关系判定平行四边形”核心知识点设计，涵盖“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一核心判定方法，结合平行四边形的边、角性质及之前所学的判定方法，分层考查基础应用、推理证明与综合计算，助力掌握对角线判定平行四边形的方法，提升几何推理与综合解题能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. 对角线AC平分BD，且AC≠BD B. 对角线AC、BD互相垂直 C. 对角线AC=BD，且互相平分 D. 对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB 2. 在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD（ ） A. 一定是平行四边形 B. 一定是矩形 C. 一定是菱形 D. 一定是正方形 3. 下列关于用对角线判定平行四边形的说法，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是平行四边形 4. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=3cm，OC=3cm，OB=4cm，OD=5cm，则四边形ABCD（ ） A. 是平行四边形 B. 不是平行四边形 C. 可能是平行四边形 D. 无法判断 5. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. 对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD B. 对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，AB∥CD C. 对角线AC、BD相交于点O，OA=OD，OB=OC D. 对角线AC、BD相交于点O，AC平分BD，BD平分AC 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 平行四边形的判定方法（对角线关系）：________的四边形是平行四边形，即若四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且________，则四边形ABCD是平行四边形。 2. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=4cm，OC=________cm，则当OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形。 3. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=OC，OB=5cm，则OD=________cm时，四边形ABCD是平行四边形。 4. 若四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，则四边形ABCD是________，依据是________。 5. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，则四边形BEDF是________，依据是________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）根据对角线的关系，判断下列四边形是否为平行四边形，若是，说明依据；若不是，说明理由。 （1）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC=2cm，OB=OD=3cm； （2）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=2cm，OC=3cm，OB=OD=2cm； （3）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8cm，BD=6cm，OA=4cm，OB=3cm； （4）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，BD=10cm，OB=4cm。 解： 2. （12分）利用对角线的关系判定平行四边形，完成简单推理与计算。 （1）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形（简要写出推理过程）； （2）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=2x+1，OC=3x-2，OB=OD，求x的值及OA、OC的长度； （3）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，若AB=5cm，AD=3cm，求四边形ABCD的周长； （4）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件（用对角线关系表示），使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由。 解： 3. （12分）结合平行四边形的性质与判定，解决基础几何问题。 （1）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，∠AOB=60°，OA=4cm，求AB的长度； （3）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，若AC=10cm，BD=8cm，求△AOB的周长（提示：结合平行四边形对边相等）； （4）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，若∠A=70°，求∠B、∠C、∠D的度数。 解： 4. （12分）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，举出反例。 （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相垂直且平分的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形。 解： 5. （12分）综合应用题，利用对角线的关系判定平行四边形并求解。 （1）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，E、F分别是AD、BC的中点，求证：四边形OEDF是平行四边形； （2）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，周长为40cm，AB比AD长4cm，求四边形各边的长度； （3）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，AC=12cm，BD=16cm，求四边形ABCD的面积（提示：可结合对角线互相平分的性质）。 解： 6. （10分）拓展应用题，结合对角线的关系判定平行四边形解决实际问题。 （1）一块四边形的场地，测得其对角线相交于点O，OA=3米，OC=3米，OB=4米，OD=4米，判断这块场地的形状，并说明理由； （2）一个四边形框架，对角线相交于点O，若要使它成为平行四边形，已知OA=5cm，OB=6cm，求OC和OD的长度及对角线AC、BD的总长度。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 二、填空题：1.对角线互相平分；OA=OC，OB=OD 2.4 3.5 4.平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 三、解答题：1.（1）是，对角线互相平分；（2）不是，OA≠OC；（3）是，对角线互相平分；（4）不是，OB≠OD 2.（1）略；（2）x=3，OA=OC=7cm；（3）16cm；（4）答案不唯一，如OA=OC，OB=OD，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.（1）提示：证明OE=OF，OA=OC；（2）4cm；（3）12cm；（4）∠B=110°，∠C=70°，∠D=110° 4.（1）正确，平行四边形的判定方法；（2）错误，反例：等腰梯形；（3）正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.（1）提示：证明OE=OF，OD=OB；（2）AB=CD=12cm，AD=BC=8cm；（3）96cm² 6.（1）平行四边形，理由：对角线互相平分；（2）OC=5cm，OD=6cm，对角线总长度为22cm 学习目标 利用对角线互相平分判定平行四边形. 掌握平行四边形判定的方法. 判定 定理1 定理2 定义拓展法 文字语言 图形语言 符号语言 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 复习回顾：平行四边形判定定理 A B C D ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是 ABCD A B C D ∵AB=CD, AB∥CD, ∴四边形ABCD是 ABCD A B C D ∵ ∠ A= ∠ C, ∠ B= ∠ D,∴四边形ABCD是 ABCD 导入新知 将两根木条 AC,BD, 的中点重叠,并用钉子固定,再用一根橡皮筋绕端点 A,B,C,D 围成一个四边形 ABCD. 猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1 平行四边形的判定定理 3 A B C D O 想一想:△AOB≌△COD 吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ 已知：四边形 ABCD 的两条对角线，AC 与 BD 相交于点 O ，并且 OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D O 证明：∵ OA = OC，OB = OD ， ∠AOB =∠COD ， ∴△AOD≌△COB. ∴AD = CB，∠ADO =∠CBO. ∴ AD∥CB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵ AO = CO， BO = DO， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： A B C D O 总结归纳 平行四边形判定定理3 例1 已知：E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. O B A C E F D 证明：连接 BD 交 AC 于点 O. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO = CO，BO = DO (平行四边形对角线互相平分). 典例精析 ∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = FO. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形) ∵ AE = CF， O B A C E F D 1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　） A．OA = OC，OB = OD B．AB = CD，AO = CO C．AB = CD，AD = BC D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD B O D A C B 练一练 2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点． 求证： 四边形 AFBE 是平行四边形． 证明： ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D. 又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ， ∴△AOC≌△BOD (AAS). ∴ CO＝DO. ∵ E、F 分别是 OC、OD 的中点， ∴ EO＝FO. 又∵AO＝BO， ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形． C 返回 1． 如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(　　) A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB 中考考法 11 返回 平行四边形 2． 中考考法 12 BE＝DF(答案不唯一) 返回 3． 如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_____________________，使四边形AECF是平行四边形． 中考考法 13 4． 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长，交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC．连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形． 中考考法 14 返回 【证明】∵∠AEF＝∠CFE，∴AD∥BC. 又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AO＝CO. ∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 中考考法 5． 【证明】∵OA＝OD，OE＝OF， ∠AOE＝∠DOF， ∴△AOE≌△DOF.∴∠A＝∠D. 又∵∠AOB＝∠DOC，OA＝OD， ∴△AOB≌△DOC.∴AB＝CD. 如图，AD，BC交于点O，EF过点O分别交AB，CD于点E，F，OA＝OD，OE＝OF. (1)求证：AB＝CD； 中考考法 16 (2)在图中，连接某些线段可以构成一个平行四边形，请你将可以构成的平行四边形一一列举出来．(不需要证明) 【解】连接AC，BD，可构成平行四边形ACDB； 连接AF，ED，可构成平行四边形AFDE； 连接EC，BF，可构成平行四边形ECFB. 返回 中考考法 6． 返回 A 如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案， 则正确的方案是(　　) A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙　 D．乙、丙 中考考法 18 7． ①②④ 如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形．其中正确的结论是________． 中考考法 19 从边考虑 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展） 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） 课堂小结 如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF，交AC于点O；③作射线BO，在射线BO上截取OD(B与D不重合)，使得OD＝OB；④作直线AD，连接CD，则四边形 ABCD的形状是______________． $