专题06 二项分布、超几何分布、正态分布（10大题型专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题06 二项分布、超几何分布与正态分布 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二项分布的概率、分布列 1 题型二、二项分布的均值和方差（重点） 5 题型三、二项分布的实际应用 6 题型四、服从二项分布的概率最值问题（难点） 12 题型五、超几何分布的概率、分布列 17 题型六、超几何分布的均值、方差（重点） 21 题型七、二项分布、超几何分布的综合（难点） 25 题型八、正态曲线及其性质 30 题型九、正态分布的概率计算及对称性（重点） 32 题型十、正态分布的实际应用 34 B 综合攻坚·能力跃升 39 题型一、二项分布的概率、分布列 1．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 4．已知某种疾病患者的痊愈率为，为试验一种新药是否有效，一个医生把它给10个志愿者病人服用，且规定：若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求： (1)虽然新药有效，且把痊愈率提高到，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 5．我国2021年新年贺岁大片《你好，李焕英》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评．假设女性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为，男性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为．某机构就《你好，李焕英》是否好看的问题随机采访了名观众． (1)若这名观众男女，求这观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多的概率； (2)若这名观众都是女性，设表示这名观众中认为《你好，李焕英》好看的人数，求的分布列． 6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列及至多遇到一次红灯的概率． 7．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 题型二、二项分布的均值和方差 8．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 9．某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 10．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 11．设随机变量，其中且，，若，，则________． 12．已知随机变量，且，则______． 13．若离散型随机变量满足，令，写出使得成立的的一个值______． 题型三、二项分布的实际应用 14．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）求甲答对某道题的概率； （ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 15．某校有5名教师（含优秀的“王老师”）组成校本课程讲师团．其中2人有校本课程开发经验，3人没有校本课程经验开发．学校先从5名教师中随机抽取2名教师开设校本课程，一期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽取2名教师开设下一期校本课程，一共开发3期． (1)求5名教师中优秀的“王老师”，在这3期校本活动中恰有两次被抽选到的概率； (2)求第一次抽取到有校本课程开发经验的教师人数的分布列和期望． 16．某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下： 当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为， 当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为. (1)从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率； (2)现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望. 17．某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 18．养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表： 种类 鳜鱼 鲢鱼 草鱼 第一次捕捞鱼（条） 100 600 300 第二次捕捞鱼（条） 197 1211 592 第二次捕捞标记鱼（条） 5 30 15 (1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数； (2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量. （i）求的均值； （ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？ 参考数据：. 题型四、服从二项分布的概率最值问题 19．某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 20．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 21．在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 22．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 23．甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 24．“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 题型五、超几何分布的概率、分布列 25．一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为（    ） A． B． C． D． 26．某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过随机抽取4篇文章评估，若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有______篇． 27．某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动． (1)求选出的人中，恰有名男生的概率； (2)用表示选出的人中男生的个数，求的分布列． 28．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 29．某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； (2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 题型六、超几何分布的均值、方差 30．（多选）袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 31．（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 32．袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 33．一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 34．某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 35．现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 题型七、二项分布、超几何分布的综合 36．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 37．（多选）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（   ） A．， B． C．，其中 D． 38．（多选）文心一言是百度全新一代知识增强大语言模型，是文心大模型家族的新成员，能够与人对话互动，回答问题，协助创作，高效便捷地帮助人们获取信息、知识和灵感.某公司在使用文心一言对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.9；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.2.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，文心一言的回答是否正确相互独立.小张想挑战一下文心一言，小张和文心一言各自从给定的8个问题中随机抽取6个作答，已知在这8个问题中，小张能正确作答其中的6个.则下列结论正确的是（    ） A．小张答对4题的概率是 B．小张答对题数的期望是5 C．一个问题能被文心一言正确回答的概率为0.83 D．文心一言答对题数的期望是4.98 39．袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． (1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； (2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； (3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 40．常州市教育局为了解高二学生每天的作业完成时长，在高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数 4 5 33 42 16 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取4人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (2)从高二学生（学生人数较多）中随机选取4人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望并比较其大小关系. 41．某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 题型八、正态曲线及其性质 42．如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 43．如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 44．（多选）某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X近似服从正态分布，引进之后每亩地的年收入近似服从正态分布，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值（如图），则（    ） A． B． C． D． 45．（多选）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 题型九、正态分布的概率计算及对称性 46．若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.86 B．0.72 C．0.36 D．0.14 47．设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 48．已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 49．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 50．在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 51．（多选）若随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 题型十、正态分布的实际应用 52．某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（   ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 53．（多选）某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 54．（多选）我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（    ） A． B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 55．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 56．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 57．某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 一、单选题 1．已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8 2．（2024·25高二下·河北承德·期末）一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2024·25高二下·全国·月考）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三上·湖南长沙·月考）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 5．（2024·25高二下·山东·月考）某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设为选出的人中篮球、足球都会的人数，若，则该社团的人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 6．（2024·25高二下·山东·月考）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球粒数大约是（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 二、多选题 7．（2024·25高二下·山西·期末）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设经过6次移动后，该质点位于的位置，记其概率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·26高三上·黑龙江·开学考试）某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（    ） A．该知识竞赛的及格率为60% B． C． D． 三、填空题 9．（2024·25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 10．（2026·河北张家口·二模）有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 四、解答题 11．（2024·25高二上·北京·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 12．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 13．（2025·26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二项分布、超几何分布与正态分布 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二项分布的概率、分布列 1 题型二、二项分布的均值和方差（重点） 5 题型三、二项分布的实际应用 6 题型四、服从二项分布的概率最值问题（难点） 12 题型五、超几何分布的概率、分布列 17 题型六、超几何分布的均值、方差（重点） 21 题型七、二项分布、超几何分布的综合（难点） 25 题型八、正态曲线及其性质 30 题型九、正态分布的概率计算及对称性（重点） 32 题型十、正态分布的实际应用 34 B 综合攻坚·能力跃升 39 题型一、二项分布的概率、分布列 1．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：， 故选：A. 2．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为． 故选：D． 3．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 【答案】D 【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，故A项正确； 对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布， 则， 所以，， 所以，故B项正确； 对于C选项、D选项，， 当时，为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大，故C项正确， 当时，为正负交替的摆动数列，故D项不正确. 故选：D. 4．已知某种疾病患者的痊愈率为，为试验一种新药是否有效，一个医生把它给10个志愿者病人服用，且规定：若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求： (1)虽然新药有效，且把痊愈率提高到，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设被治好的人数为，每个人被治好的概率为，则 所以新药有效但通过试验被否定的概率约为0.5138 （2）设被治好的人数为，每个人被治好的概率为，则 所以新药无效时被认为有效的概率约为 5．我国2021年新年贺岁大片《你好，李焕英》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评．假设女性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为，男性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为．某机构就《你好，李焕英》是否好看的问题随机采访了名观众． (1)若这名观众男女，求这观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多的概率； (2)若这名观众都是女性，设表示这名观众中认为《你好，李焕英》好看的人数，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）设表示名男性观众中认为好看的人数，表示名女性观众中认为好看的人数， 则，． 设事件为“这名观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多”， 则 ； （2）由题意可知， 所以， ， ， ， ． 所以的分布列为 6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列及至多遇到一次红灯的概率． 【答案】分布列见解析；至多遇到一次红灯的概率为. 【详解】由已知，有， 可得 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 设“至多遇到一次红灯的概率”的事件记为， 则． 所以至多遇到一次红灯的概率为. 7．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)0.999 【分析】 【详解】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即． 因此 ， ， ， ， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 题型二、二项分布的均值和方差 8．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：B 9．某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【详解】，则，故． 10．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 11．设随机变量，其中且，，若，，则________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，，， 由，得，所以， ， 由，得，即，解得， 所以，． 故答案为： 12．已知随机变量，且，则______． 【答案】/ 【详解】因为，则， 又，得到，由， 得，解得. 故答案为：. 13．若离散型随机变量满足，令，写出使得成立的的一个值______． 【答案】1（答案不唯一，符合即可）. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，即，解得，可以取的一个值为1． 故答案为：1（答案不唯一，符合即可）. 题型三、二项分布的实际应用 14．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）求甲答对某道题的概率； （ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）分布列为 0 1 2 3 4 期望值； (2) 【分析】 【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，则. （ii）由题意得，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 故 （2）由（1）知，设， 由题意得，，解得， 即，解得，故的最小值为 15．某校有5名教师（含优秀的“王老师”）组成校本课程讲师团．其中2人有校本课程开发经验，3人没有校本课程经验开发．学校先从5名教师中随机抽取2名教师开设校本课程，一期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽取2名教师开设下一期校本课程，一共开发3期． (1)求5名教师中优秀的“王老师”，在这3期校本活动中恰有两次被抽选到的概率； (2)求第一次抽取到有校本课程开发经验的教师人数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解， 【分析】 【详解】（1）设“王老师”在每期校本课程活动中被抽中为事件， 则， 则这3期校本活动中恰有两次被抽选到的概率. （2）的可能取值为：0，1，2， ，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 其数学期望为. 16．某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下： 当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为， 当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为. (1)从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率； (2)现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）记“抽到的两张均为正常样本”为事件， 则， 故2张均为正常样本的概率为； （2）记“抽取一张抽到正常样本”为事件，“算法判断为正常”为事件， “算法正确判断”为事件， 则“抽到异常样本”为事件，“算法判断为异常”为事件， 则， ， 则， 法一， ， 的分布列为 X 0 1 2 3 . 法二：的分布列为， . 17．某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度，理由见解析 【分析】 【详解】（1）根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为 （2）官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为， 则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况， 则， ， ， ， 可得随机变量的分布列， 0 100 200 300 数学期望为 （3）官方网站平台利润为（元） 短视频平台利润为（元） 可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度. 18．养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表： 种类 鳜鱼 鲢鱼 草鱼 第一次捕捞鱼（条） 100 600 300 第二次捕捞鱼（条） 197 1211 592 第二次捕捞标记鱼（条） 5 30 15 (1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数； (2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量. （i）求的均值； （ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？ 参考数据：. 【答案】(1)40000条 (2)（i）592；（ii）有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元 【分析】 【详解】（1）根据题意得，，， 所以（条）. （2）（i）由题意可知以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计整体， 一网鱼中某条鱼为鳜鱼的概率为， 所以一网鱼中鳜鱼的数量， 则总价，， 故（元）； （ii）当一网鱼没有鳜鱼时，总价为元， 有一条鳜鱼时，总价为元， 一网鱼总价超过500元即一网鱼中至少有一条鳜鱼， 由（i）得，， 因为， 所以，， 所以有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元. 题型四、服从二项分布的概率最值问题 19．某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【答案】15或16 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故答案为：15或16 20．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 21．在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 【答案】(1)0.30 (2)0.68 (3)8次． 【分析】 【详解】（1）记击中目标的次数为，则， 则，其中，1，2，…，10 记事件“小张恰好击中8次目标”，则 （2）记事件“小张至少击中8次目标”， 则 （3）设击中k次概率最大，则 ，即 化简得，解得， 小张在10次射击中，最有可能击中目标8次． 22．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 23．甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)或100 【分析】 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一零件是合格品”， 则，． 由， 得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 ． （3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为， 则， 由，解得． 所以当或100时，取得最大值． 24．“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)台或台 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， 可得，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 即，解得． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台． 题型五、超几何分布的概率、分布列 25．一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从中任意选取4个， 由超几何分布概率计算公式，可得恰有2个的尺寸不达标的概率为. 故选：A. 26．某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过随机抽取4篇文章评估，若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有______篇． 【答案】5 【详解】设高一年级上交了篇文章，则高二年级上交了篇文章． 设“这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的”为事件， 则， 又，所以 故高一年级上交的文章有5篇． 故答案为：5 27．某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动． (1)求选出的人中，恰有名男生的概率； (2)用表示选出的人中男生的个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）选出的2人中恰有1名男生的概率是. （2）的值可取，则 ，， . 所以的分布列如下： 28．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)=， P(X=1)=， P(X=2)=， P(X=3)=， 所以随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 3 P 随机变量Y的所有可能取值为1，2，3， P(Y=1)=， P(Y=2)=， P(Y=3)=， 所以随机变量Y的分布列如表所示： Y 1 2 3 P （2）设甲合格的概率为P(A)，乙合格的概率为P(B)，由（1）知甲合格的概率为P(A)=， 乙合格的概率为P(B)=， 因为事件A，B相互独立， 所以甲、乙两人均不合格的概率为： P()=P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-×1-=， 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1-． 29．某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； (2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）设“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”为事件A，事件A分三人都参加物理竞赛和三人都参加化学竞赛两类： 三人都参加物理竞赛的概率：. 三人都参加化学竞赛的概率：. . （2）随机变量的所有可能值为. ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 题型六、超几何分布的均值、方差 30．（多选）袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 【答案】BD 【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误； 选项，， ，， 因此，故正确。 选项，超几何分布期望公式，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得， 根据期望性质，故错误； 选项，取出个球，因此（为白球个数）. 根据方差性质，得，故正确. 31．（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数， 从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个， 服从超几何分布概念，故A正确， BC选项，的取值可能为：， 所以，又， ，， ， 所以， 的取值可能为：， 由题意得，所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故B错误，C正确， D选项，由题意，且，故， 则，D正确. 故选：ACD 32．袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 【答案】/ 【详解】若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾， 设有个黑球，则，解得满足题意， 由题意白球的个数为X服从超几何分布， 所以随机变量X的数学期望为. 故答案为：. 33．一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 【答案】 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 34．某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）因为频率分布直方图中各矩形的面积和为1， 即，解得， 所以可估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数为. （2）由题意知100名同学中，阅读时间在，的频率之比为， 所以抽取的6人中阅读时间在的人数为，在的人数为. 从这6人中随机选取3人座谈，选取的阅读时间在的人数为，则X可能的取值为1，2，3. 所以；； . 所以的分布列如下： X 1 2 3 P 所以. 35．现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）依题意，. （2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3， 所以，， 所以的分布列为 1 3 数学期望为. （3）的取值为0，1，2，3． ，， ，． 的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 题型七、二项分布、超几何分布的综合 36．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 37．（多选）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（   ） A．， B． C．，其中 D． 【答案】ABD 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为，摸3次球， 则取得红球个数，∴，，选项A正确； 选项C，方案一中，， 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数Y服从超几何分布，则，．当时， ∴，，，故选项C错误； 选项B，由二项分布及超几何分布的期望公式，，故选项B正确； 选项D，，， 得，故选项D正确. 故选：ABD 38．（多选）文心一言是百度全新一代知识增强大语言模型，是文心大模型家族的新成员，能够与人对话互动，回答问题，协助创作，高效便捷地帮助人们获取信息、知识和灵感.某公司在使用文心一言对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.9；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.2.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，文心一言的回答是否正确相互独立.小张想挑战一下文心一言，小张和文心一言各自从给定的8个问题中随机抽取6个作答，已知在这8个问题中，小张能正确作答其中的6个.则下列结论正确的是（    ） A．小张答对4题的概率是 B．小张答对题数的期望是5 C．一个问题能被文心一言正确回答的概率为0.83 D．文心一言答对题数的期望是4.98 【答案】ACD 【详解】对于A、B项，设小张答对的数目为随机变量，则可取4，5，6. 且服从超几何分布， 则，，， 所以，. 故A正确，B错误； 对于C项，根据全概率公式可知，一个问题能被文心一言正确回答的概率为.故C正确； 对于D项，设文心一言答对题数为随机变量，则， 所以.故D正确. 故选：ACD. 39．袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． (1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； (2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； (3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，则 ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为， （2）令事件C：摸一次摸到红球，则， 由题意随机变量X服从二项分布，， 因为，，所以， 解得：， （3）由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4， ，，， 所以，Y的分布列为 Y 2 3 4 P 所以 40．常州市教育局为了解高二学生每天的作业完成时长，在高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数 4 5 33 42 16 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取4人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (2)从高二学生（学生人数较多）中随机选取4人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望并比较其大小关系. 【答案】(1)分布列见解析， (2)，. 【分析】 【详解】（1）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有4人，若从这9人中随机取4人， 则X的所有可能取值为， 则，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以的数学期望为. （2）“从高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A， 则，由题意可知， 所以， 所以. 41．某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部. 根据古典概型概率公式，所以. （2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即. 根据二项分布概率公式可得： ， ， ， ， ， 列出的分布列： .   （ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，. 求：根据超几何分布的数学期望公式，可得. 比较大小：因为，，所以. 题型八、正态曲线及其性质 42．如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 43．如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 44．（多选）某地区为提升农民亩收入（单位：万元），引进了新型的种植技术，通过抽样调查后发现引进新型种植技术之前农民每亩地的年收入X近似服从正态分布，引进之后每亩地的年收入近似服从正态分布，已知的正态密度曲线的峰值高于的正态密度曲线的峰值（如图），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由正态密度曲线的对称性得，故A正确，B错误； 由图像可知正态密度曲线的峰值越高，则方差越小，得，故，故C正确. 因为的方差更小，所以其正态密度曲线右侧下降速度更快，当取足够大的正数时， 有，则，即，故D错误. 故选：AC. 45．（多选）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，， 两曲线分别关于直线、对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故C错误； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故B错误； 又，所以，故D正确； 故选：AD. 题型九、正态分布的概率计算及对称性 46．若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.86 B．0.72 C．0.36 D．0.14 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以 ． 47．设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【答案】D 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 48．已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 【答案】30 【详解】该正态曲线关于对称，所以，即. 49．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 50．在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 【答案】B 【详解】由，得， 则 . 故选：B. 51．（多选）若随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，则，，由，则，， A：由，即，对； 由，即，B错，C对； D：由，即，错. 故选：AC 题型十、正态分布的实际应用 52．某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（   ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 【答案】ABD 【详解】对于A，由题可得， ， 解得：，故A正确； 对于B，由题可得，则， 由正态分布知识，， 则，故B正确； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，由题可得， 从而或 ， 因小概率事件范围与题目所涉及范围无交集， 则该调查中未发生小概率事件，故D正确. 53．（多选）某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【答案】ACD 【详解】对于A，因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布， 所以，所以，A正确； 对于B，因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布， 所以，其分布关于均值34对称.由于而，40和30并不关于34对称， 故，B错误； 对于C，计算34分钟内不迟到的概率为，， 因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确； 对于D，计算38分钟内不迟到的概率为， ， 因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确； 54．（多选）我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（    ） A． B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 【答案】BC 【详解】根据正态分布的性质可知，，，所以，故A错误； 因为，所以X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高”，故B正确； 因为Y对应的正态曲线的对称轴方程为，所以， 又，所以，即混动类部件优质品率高于其不合格品率，故C正确； 因为X对应的正态曲线的对称轴方程为，所以，则纯电类部件优质品率等于其不合格品率，故D错误. 故选：BC. 55．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 56．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；② (2)28 【分析】 【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 57．某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 【答案】(1)72； (2)6； (3)低于40件. 【分析】 【详解】（1）由题设，，， 所以； （2）由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （3）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件低于40件. 一、单选题 1．已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为随机变量，且， 所以， 所以. 2．（2024·25高二下·河北承德·期末）一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由题设，每次抽取到《三国演义》的概率为，则，所以. 故选：C 3．（2024·25高二下·全国·月考）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以，所以，， 可得，所以， 又，所以当时，取最大值，最大值为． 故选：C． 4．（2024·25高三上·湖南长沙·月考）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 【答案】A 【详解】因为，所以，， ， 根据正态曲线的对称性可得， . 故选：A. 5．（2024·25高二下·山东·月考）某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设为选出的人中篮球、足球都会的人数，若，则该社团的人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【详解】设该社团共有人数为人， ， , 即， 又因为，解得. 故选：C 6．（2024·25高二下·山东·月考）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球粒数大约是（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【详解】设事件“向右下落”，则事件“向左下落”，且. 设事件A发生的次数为Y，所以.又小球下落过程中共碰撞5次，所以， 所以， 当落入3号格，需要做出3次向左，2次向右的选择，所以， 故投入160粒小球，落入3号格的小球大约有（粒）. 故选：C. 二、多选题 7．（2024·25高二下·山西·期末）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设经过6次移动后，该质点位于的位置，记其概率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A,,则需要向右移动2次，向左移动4次，故,A正确， 对于B,, 则需要向右移动3次，向左移动3次，故,B错误 对于C,, 则需要向右移动5次，向左移动1次，故,C正确， 对于D, ,故D错误， 故选：AC 8．（2025·26高三上·黑龙江·开学考试）某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（    ） A．该知识竞赛的及格率为60% B． C． D． 【答案】BD 【详解】选项A：因为学生成绩，根据正态分布的对称性得：， 所以，即该知识竞赛的及格率为80%，故选项A错误； 选项B、C、D：因为，由题意可得， 所以，，. 故选项B、D正确，选项C错误. 故选：BD. 三、填空题 9．（2024·25高二下·广东潮州·期末）某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 【答案】/0.6 【详解】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 10．（2026·河北张家口·二模）有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【答案】/5.4 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 四、解答题 11．（2024·25高二上·北京·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 【分析】 【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人， 从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法； 所以选派的人中恰有人会法语的概率． （2）由题意可知，所有可能的取值为， ，， ，， 所以的分布列为 数学期望为． 12．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【答案】(1)9545件 (2) Y 0 1 2 3 4 P ． 【分析】 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 故为“特等品”，即“特等品”的概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 13．（2025·26高二下·浙江宁波·期中）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元. (1)若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； (2)若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为 （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，400，640，800. ，， ，， 所以（元） 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $