精品解析：江苏南京师范大学附属中学等校2026年全国高考数学模拟卷

2026年全国高考数学模拟卷 命题：南京师范大学附属中学 2026.4 （总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A. B. C. D. 4. 制造一个三角形支架（如图），要求，的长度大于2米，且比长1米，为了增加稳定性，要求尽可能短，则最短为（ ） A. 米 B. 4米 C. 米 D. 米 5. 设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 7. 设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 10. 若函数的图象在内不存在对称中心，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线与直线有三个不同的交点 C. 该曲线可以成为一个函数的图象 D. 当时， 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 13. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 14. 已知三个内角的对边依次成等比数列，且，，点为线段（不含端点）上的动点．设为常数，若满足的点恰好有2个，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 16. 如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，，，求的取值范围． 18. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线的标准方程； （2）若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在．求该定值；若不存在，请说明理由． 19. 甲和乙进行乒乓球比赛，每一球甲赢的概率为，乙赢的概率为，每球的比赛结果相互独立，现从两套规则中选一套：规则一．双方进行球比赛，先赢得球的一方获胜：规则二，若一方赢得至少球且必须领先对手至少2球则获胜，否则先赢得球的一方获胜．设选择规则一时甲获胜的概率为，选择规则二时甲获胜的概率为．（为正整数） （1）若，求； （2）若选择规则二且，，，设随机变量表示一方获胜时进行的总球数，事件表示甲获胜，事件表示，求； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国高考数学模拟卷 命题：南京师范大学附属中学 2026.4 （总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， ， 得， 得 2. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意得. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 4. 制造一个三角形支架（如图），要求，的长度大于2米，且比长1米，为了增加稳定性，要求尽可能短，则最短为（ ） A. 米 B. 4米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】设的长度为米，的长度为米，则的长度为米， 因为， 根据余弦定理可得， 代入可得， 化简可得，即， 设函数，求导可得， 令，可得，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此的极小值为， 即最短为米. 5. 设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义计算判断A；举例说明判断BCD. 【详解】由函数的定义域为，由为奇函数，得， 则，由为偶函数，得，因此，A正确； 取上的函数，是偶函数，且， 则为奇函数，此时，因此BCD不一定成立. 6. 已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】先求出右焦点的坐标.分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时不符合题意；直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到、坐标的关系，利用外心性质，设出坐标，算出和的值，再作比即可. 【详解】 因为椭圆 ，得 ， ，右焦点 . 因为关于轴对称，的中垂线就是轴，故在轴上，设， 直线斜率不存在时，不存在满足题意，舍去； 设过的直线，，， ， 所以  ， 由外心性质，所以， 所以， 整理得， 又，，所以， 即，整理得 ， 则. =， 所以. 7. 设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平面的法向量与正方体的同一顶点处发出的三个平面的法向量的夹角，结合正方体的对称性，即可求得. 【详解】设平面的法向量为， 正方体一个顶点处的三个平面的法向量分别为、、， 则，， ， 因正方体有三对互相平行的平面， 则. 故选：A. 8. 已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由判断的范围，由三角形三边关系得的不等关系，构造函数，分析其零点，解不等式可得. 【详解】设， 易知，所以三点共线. 由，得，所以点在线段上. 又，所以均在第一象限. 其中是奇数，是偶数，所以. 若，则. 此时要构成三角形，只需满足，即，即. 若，则. 此时要构成三角形，只需满足，即，即. 令，则是减函数， 又，， 所以存在，使得当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以在区间上有一个零点，记为. 所以当时，；当时，. 令函数，则. 令，是增函数， ， 所以恒成立，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递增. 因，，满足题意； ，满足题意； 当时，，不满足题意。又函数在时单调递增，故对任意均不满足题意. 综上所述，满足条件的有4个，分别是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 10. 若函数的图象在内不存在对称中心，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，求出的对称中心，再结合题设条件和选项，即可求解. 【详解】由，得到，所以的对称中心为， 若在区间内存在对称中心，则存在，使， 得到，又，则可以取， 令，得到，令，得到， 又的图象在内不存在对称中心，则取值不能在上述区间内， 结合各个选项，的取值可以是，. 11. 已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线与直线有三个不同的交点 C. 该曲线可以成为一个函数的图象 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据中心对称定义代入验证.选项B.联立两方程，分析方程的零点.选项C.根据函数的定义求解即可.选项D.对函数求导，分析其单调性，得到最小值. 【详解】选项A.若点在曲线上，满足. 将代入方程， 左边，右边左边， 因此也在曲线上，曲线关于原点中心对称，A正确. 选项B.联立 代入曲线方程，整理得， 是一个解，剩余.当（如）时，无额外实根，仅1个交点， 不是一定有三个交点，B错误. 选项C.令，则，代入原方程可得参数形式：. 对求导得，故是上严格增函数，与一一对应， 因此每个对应唯一，满足函数定义，曲线可以作为函数的图像，C正确. 选项D.即，因，故. 对求导得​，令，得驻点， 代入得，D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 13. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 14. 已知三个内角的对边依次成等比数列，且，，点为线段（不含端点）上的动点．设为常数，若满足的点恰好有2个，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先找出A，C和B的关系，列出方程求出B，再求出三角形各边长.建立平面直角坐标系，列出各点坐标，列出关于x的方程求解即可. 【详解】因为三边成等比数列，，故， 由正弦定理得，即， 又，，， 所以， 整理得，所以， 又，， 所以，整理得， 解得​（舍去负根），又，故， 所以， 又，所以，所以，即， 所以是边长为2的等边三角形,建立坐标系如图所示， 设，动点.则， 则， 因为，所以，记， 因为满足条件的点恰好有2个，所以， 解得或， 所以t的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 16. 如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 由，所以， 又为正三角形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）作于，作交于，根据二面角的定义可得是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于，作交于， 所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，， 所以，又为正三角形， 所以，所以为的中点， 所以，所以， 又，所以，所以为的中点， 所以，又是以为斜边的直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理有： ， 所以. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论的符号求出单调区间. （2）等价变形给定不等式，构造函数并利用导数求出最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，不等式， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 18. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线的标准方程； （2）若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在．求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 19. 甲和乙进行乒乓球比赛，每一球甲赢的概率为，乙赢的概率为，每球的比赛结果相互独立，现从两套规则中选一套：规则一．双方进行球比赛，先赢得球的一方获胜：规则二，若一方赢得至少球且必须领先对手至少2球则获胜，否则先赢得球的一方获胜．设选择规则一时甲获胜的概率为，选择规则二时甲获胜的概率为．（为正整数） （1）若，求； （2）若选择规则二且，，，设随机变量表示一方获胜时进行的总球数，事件表示甲获胜，事件表示，求； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：设甲、乙持续比赛，不因规则停止，令随机变量表示前球中甲赢得的球数，则．由规则一可知，．按前球中甲赢球数分类，得 ．再看．此时规则二为：若一方赢得至少球且领先球则获胜，否则先赢球的一方获胜．若 ，则甲在前球中至少赢球且至少领先球，甲获胜；若 ，则前球比分为 ，此后甲获胜有两类情况：一是甲连赢两球，概率为；二是接下来的两球双方各胜一球，再由甲赢下一球，概率为 ．所以．因此．又，且，所以．因为，且，所以 ，即．下面证明．由规则一可知，．仍按前球中甲赢球数分类：若 ，则甲必然满足 ；若 ，则后三球中甲至少赢1球即可，概率为；若 ，则后三球中甲至少赢2球即可，概率为 ；若 ，则后三球必须甲全胜，概率为．所以．另一方面，由上面对的分析，．两式相减，得．又，，且，所以 ．因此．综上，． 【解析】 【分析】（1）规则一对应五局三胜制，分别计算甲以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；规则二在本问中为“至少赢3球且领先2球则胜，否则先赢4球者胜”，分别计算甲以3∶0，3∶1，4∶2，4∶3获胜的概率． （2）由 可知，规则二为“至少赢2球且领先2球则胜，否则先赢8球者胜”．事件排除了2球结束和15球结束两种情况，在事件发生时，比赛必先打成1∶1，之后经过若干次双方各胜一球，最后由某一方连胜两球结束．由此分别求出与，再求条件概率之比． （3）把两人的比赛看成一列无限进行的独立试验，设表示前球中甲赢得的球数．先把和都表示为关于的概率，再比较；然后把表示为关于及后3球胜负的概率，再比较． 【小问1详解】 由题意，．当时，． 规则一中表示甲在五局三胜制中获胜的概率． 若甲以3∶0获胜，概率为；若甲以3∶1获胜，则前3球中甲赢2球、乙赢1球，最后一球甲赢，概率为 ；若甲以3∶2获胜，则前4球中甲赢2球、乙赢2球，最后一球甲赢，概率为． 所以． 规则二中表示若一方赢得至少3球且领先2球就获胜，否则先赢4球者获胜时甲获胜的概率． 甲可能以3∶0，3∶1，4∶2，4∶3获胜．其中，3∶0的概率为；3∶1的概率为 ；4∶2必须先打成2∶2，再由甲连赢两球，概率为；4∶3必须先打成2∶2，再经过一胜一负，最后甲赢，概率为． 所以． 【小问2详解】 当 时，规则二为：若一方赢得至少2球且领先对手至少2球则获胜，否则先赢 球的一方获胜． 若比赛在2球结束，则比分只能是2∶0或0∶2，不属于事件；若比赛在15球结束，则比分只能是8∶7或7∶8，也不属于事件． 因此，在事件发生时，比赛过程必为：先打成1∶1，之后经过若干次“每两球双方各胜一球”，最后由某一方连胜两球结束． 设“每两球双方各胜一球”的次数为，则 ．每一次双方各胜一球的概率为．若最后甲连胜两球，则甲获胜；若最后乙连胜两球，则乙获胜． 于是，．因为，，所以．代入，得 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $