精品解析：江苏南通市海门区东洲国际学校2026年九年级中考模拟卷·全真模拟卷 数学试题卷

南通市海门区东洲国际学校2026年九年级中考模拟卷 · 全真模拟卷数学试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 在下列LOGO中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 计算（    ） A. B. C. D. 3. 某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，内接于，，是直径，与弦相交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象经过两点，且，则的值不可能是( ) A. B. C. D. 7. 如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上一点，是轴正半轴上一点，以为邻边作．若点及中点都在反比例函数图象上，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 二．填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》分会场发布，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地将与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．来自澳大利亚的华人小明一家人想从中选择一个分会场进行现场观看，选中长沙的概率是________． 12. 对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为____________． 13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示： 成绩（单位：米） 1.54 1.63 1.68 1.74 1.75 1.82 1.85 1.92 人数 3 5 2 2 4 2 1 1 这些运动员成绩的中位数为 _________． 14. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______． 15. 如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧，例如，图中是△ABC其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是FO，FH的中点，△FOH的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围是_____． 16. 先画出钝角（为钝角，），再运用尺规作图完成图1-图3的步骤．若， ， ，则__________． （1）以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点，．再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于一点，过该点作射线． （2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点． （3）连接，． 17. 如图，菱形的边长是10，，交于点E，点P为直线上一点，点P与点关于对称，F为中点，连接，，则的最大值是______________． 18. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 三．解答题（共8题，共96分） 19. 计算和化简 （1）； （2）； （3）． 20. 如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． （1）证明：的形状不变； （2）当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 21. 春暖花开日，正是读书时．在第个“世界读书日”来临之际，某校开展可主题为“遇见美好，喜‘阅’发生”的读书系列活动．为了解学生平时的阅读时间的情况，从全校随机抽取了名学生进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（／分钟）．将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）： 平均每天阅读时间统计表 等级 人数（频数） 2 5 x 41 y 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）______；______． （2）在扇形统计图中，E组所对应的扇形的圆心角是______度． （3）学校拟将平均每天阅读时间不低于分钟的学生评为“喜‘阅’达人”．若全校学生以人计算，试估计被评为“喜‘阅’达人”的学生人数． 22. 【问题探究】如图， （1）如图1，已知中，，，求周长的最大值． （2）西安市计划用一块空地为城市居民新建一个四边形的公园，如图2，是公园的设计示意图．已知，，，，点为公园内的活动舞台中心，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计）且满足，．为了让居民更好地锻炼身体，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 24. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知，当Q为BF中点时，． （1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由； （2）求DE，BF的长； （3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值． 25. 已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； （3）如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 26. 以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为． 因为恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立， （1）已知函数与函数相交于点、． ①此时，的值分别为：________________，________________； ②求此时函数与的“相关函数”； （2）已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围； （3）已知以为自变量的函数与（，，为常数且，）．点，，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区东洲国际学校2026年九年级中考模拟卷 · 全真模拟卷数学试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 在下列LOGO中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了中心对称图形，将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项正确； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A． 2. 计算（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法表示较大的数，表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：由科学记数法，得． 4. 如图，内接于，，是直径，与弦相交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理求得，，利用等腰三角形的性质求得，推出，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求出，再利用平行线分线段成比例可得出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知二次函数的图象经过两点，且，则的值不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越远对应的值就越大，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当抛物线上的点与直线的距离越远，对应的值就越大， ，且， 点到直线的距离大于点到直线的距离， 或，即， ∴， 而只有， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 7. 如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 以AB为直径画圆，G在圆O上，当O、G、C共线时，CG为最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识解答即可． 【详解】解：如图：以AB为直径画圆，G在圆O上， ∵∠AGB=90°， ∴当O，G，C共线时，CG有最小值， ∵CG= 又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF， ∴∠CBF=∠CGH， 又∵∠BCD=∠BCD， ∴△CGH∽△CBG， ∴ ∴ 故答案为C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上一点，是轴正半轴上一点，以为邻边作．若点及中点都在反比例函数图象上，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题先假设点B、C坐标，继而利用性质以及中点坐标公式求解点A坐标，将所求点A代入对应反比例函数得到k的表达式，最后利用中点坐标公式求解点D坐标以解答k的表达式中未知项，以解此题． 【详解】因为点C在上，故假设，， ∴OB的中点坐标为， ∵，∴AC中点与OB中点相同， 故根据中点坐标公式可得：， 将点A代入可得：． 根据中点坐标公式可得：， 将点D代入可得：， 故． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与平行四边形的综合问题，主要考查了待定系数法以及中点坐标公式的运用，难度较高，当题目已知信息点较少时，必须通过假设未知数的方式表达未知线段，通过列方程求解． 9. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 10. 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先由判别式得出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数关系得到，代入解方程即可求解． 【详解】解：已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，， ，即与同号，则： 当时，，解得，则解集为； 当时，，解得，则解集为； 综上所述，的解集为或， 已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，则当时，， ， ，， ， ，即，解得，， 或， 舍去，取， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点，涉及交点格式个数与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，理解函数与方程的关系是解题的关键． 二．填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》分会场发布，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地将与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来了一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．来自澳大利亚的华人小明一家人想从中选择一个分会场进行现场观看，选中长沙的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，直接根据概率公式求解即可． 【详解】从辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四中选中长沙的概率是， 故答案为：． 12. 对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可． 【详解】解：， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示： 成绩（单位：米） 1.54 1.63 1.68 1.74 1.75 1.82 1.85 1.92 人数 3 5 2 2 4 2 1 1 这些运动员成绩的中位数为 _________． 【答案】1.71 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义进行计算即可，理解中位数的定义是正确解答的关键． 【详解】解：将这20名运动员的跳高成绩从小到大排列，处在第10、11位的两个数的平均数为， 中位数是， 故答案为：． 14. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义和已知条件分别设，，再根据定义进行计算，由为整数，以及的最大值，得出符合条件的取值为或，进而解题． 【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3， 故数p的十位数是，数q的十位数是， 设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是，数q的千位数是，而且，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为的约数，而要使的最大值则有 ∴或， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 综上所述：当，时，的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过为整数推出为的约数． 15. 如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧，例如，图中是△ABC其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是FO，FH的中点，△FOH的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围是_____． 【答案】m≤1或m≥2． 【解析】 【分析】先判断出点P在线段MN的垂直平分线上，再求出点M，N，Q的坐标，再分点P在MN上方和下方，即可得出得出结论． 【详解】解：如图，连接MN， 由垂径定理可知，圆心P一定在线段MN的垂直平分线上， 作MN的垂直平分线QP， ∵M，N分别是FO，FH的中点，且F（0，4），O（0，0），H（4，0）， ∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2）， 若圆心在线段MN上方时， 设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心P在线段MN上方射线QP上均可， ∴m≥2， 当圆心在线段MN下方时， ∵OF＝OH，∠FOH＝90° ∴∠FHO＝45°， ∵MN∥OH， ∴∠FNM＝∠FHO＝45°， 作NG⊥FH交直线QP于G，QG＝NQ＝1， 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）的直线QP上时也符合要求； ∴m≤1， 综上所述，m≤1或m≥2， 故答案为m≤1或m≥2． 【点睛】此题主要考查了新定义，垂径定理，三角形的中位线，线段的垂直平分线定理，找出点P在线段MN的垂直平分线上是解本题的关键． 16. 先画出钝角（为钝角，），再运用尺规作图完成图1-图3的步骤．若， ， ，则__________． （1）以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边于点，．再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于一点，过该点作射线． （2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点． （3）连接，． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要作图-复杂作图、段的垂直平分线的性质、平分线的性质、等三角形的判定和性质等知识点解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 如图，过点E作于点M，交的延长线于点N．证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点M，交的延长线于点N． 由作图可知平分，点E在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，菱形的边长是10，，交于点E，点P为直线上一点，点P与点关于对称，F为中点，连接，，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是能正确作出辅助线； 分别的中点为，连接，取点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴，取的中点为，则与F关于对称，连接， 取点A关于的对称点，连接， ， ， 在中，由三角形三边关系可得：， ， ，当P、、在同一直线上时，有最大值，连接交于点O， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点N，如图所示：则四边形为矩形，，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 故答案为：． 18. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 【答案】①② 【解析】 【分析】由函数图象可知当点运动到点时，，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而判断①；当时，计算的长，证明为等边三角形，从而判断②；当时，点在上运动，求出的最小值和最大值，从而判断③． 【详解】解：由图2可知，当动点沿匀速运动到点时，，即， 如图，过点 作于点，连接， 是等边三角形， 、， 在中，， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故①正确； 当时，点运动的路程为 5， ， 点在上，且， ， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故结论②正确； 当时，点在上运动， 当时，、， 当时，点到达点，，即在此过程中，的长度从 2 减小到 0， 过点作于点， 在中，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 当点与点重合时，，取得最小值， 此时， ， 点能运动到点处， 的最小值为， ∵， 的最大值为， 当时，的取值范围是， 故结论③错误； 综上所述，正确的结论是①②． 三．解答题（共8题，共96分） 19. 计算和化简 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合绝对值性质，进行计算即可； （3）利用完全平方公式化简括号内的部分，再将除法转化为乘法，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． （1）证明：的形状不变； （2）当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 【答案】（1）证明过程详见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作于，可求得和长，进而得出的正切值，可得出共圆，从而得出，进一步得出结论； （2）以所在的直线为轴，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于，可得出，从而得出，可设，从而得出，进而得出坐标，从而求得点坐标，进而得出点在一条线段上运动，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，作于， ， ， ， ， ， 点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的形状不变； 【小问2详解】 解：如图2，以所在的直线为轴，以点为两坐标轴交点，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设， ， ， ∴点运动路线是一条线段， 当点在处时，， ， 当点在处时，作于， ， 即， ， ， ， ∴的中点的运动路径长为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线，求出点的运动轨迹． 21. 春暖花开日，正是读书时．在第个“世界读书日”来临之际，某校开展可主题为“遇见美好，喜‘阅’发生”的读书系列活动．为了解学生平时的阅读时间的情况，从全校随机抽取了名学生进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（／分钟）．将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）： 平均每天阅读时间统计表 等级 人数（频数） 2 5 x 41 y 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）______；______． （2）在扇形统计图中，E组所对应的扇形的圆心角是______度． （3）学校拟将平均每天阅读时间不低于分钟的学生评为“喜‘阅’达人”．若全校学生以人计算，试估计被评为“喜‘阅’达人”的学生人数． 【答案】（1）20，32 （2） （3）512 【解析】 【分析】（1）根据，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：20，32； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴ E组所对应的扇形的圆心角是度， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵（人）， ∴估计被评为“喜‘阅’达人”的学生人数为512人． 【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于从图表中获取正确的信息． 22. 【问题探究】如图， （1）如图1，已知中，，，求周长的最大值． （2）西安市计划用一块空地为城市居民新建一个四边形的公园，如图2，是公园的设计示意图．已知，，，，点为公园内的活动舞台中心，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计）且满足，．为了让居民更好地锻炼身体，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为米， 理由如下， ∵，，，，． ∴， 如图，将绕点顺时针旋转得到，延长和交于点，以为底作顶角为的等腰三角形，过作于点，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接， AI ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴点在以点为圆心、为半径的上运动， ∴经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大， ∴此时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时（米）， ∴存在三条步道长度和的最大值，最大值为米． 【解析】 【分析】（1）延长至点使得，连接，以为边在上方做等边三角形，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接，根据“最长的弦是直径”，得出经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大，计算出此时的周长即可； （2）将绕点顺时针旋转得到，延长和交于点，以为底作顶角为的等腰三角形，过作于点，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接，根据“最长的弦是直径”，得出经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大，结合解直角三角形的知识，计算出此时即可． 【小问1详解】 解：如图，延长至点使得，连接，以为边在上方做等边三角形，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接， ∴周长， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在以为圆心、为半径的上运动， ∴经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大， ∴此时周长取得最大值； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是圆的综合应用题，考查了圆周角与圆心角的性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的性质等知识，根据圆的性质作出辅助圆图形是解题的关键． 23. 如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】18米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点C作，垂足为F，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，，， ∴， ∵在中，米， ∴（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∵米， ∴（米）， ∴楼的高度约为18米． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知，当Q为BF中点时，． （1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由； （2）求DE，BF的长； （3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值． 【答案】（1）解：DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下： 如图1所示： ∵∠A=∠C=90°， ∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°， ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC， ∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠ABF， ∴DE∥BF； （2） ；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF； （2）求出DE=12，MN=10，把代入，解得：x=6，得到NQ=6，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=2，BM=4，即可得出结果； （3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得 ，,当DP=DF时 ，求出 ，得到BQ＞BE； ②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=10； （Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则，即可求得 ； （Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则 ，根据勾股定理得 ,则 ， ；由图可知，PQ不可能过点B． 【详解】解：（1）略 （2）令x=0，得y=12， ∴DE=12， 令y=0，得x=10， ∴MN=10， 把代入， 解得：x=6，即NQ=6， ∴QM=10-6=4， ∵Q是BF中点， ∴FQ=QB， ∵BM=2FN， ∴FN+6=4+2FN， 解得：FN=2， ∴BM=4， ∴BF=FN+MN+MB=16； （3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示： ∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF， ∴四边形DFME是平行四边形， ∴DF=EM， ∵AD=6，DE=12，∠A=90°， ∴∠DEA=30°， ∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°， ∴∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°， ∴∠DFM=∠DEM=120°， ∴∠MEB=180°-120°-30°=30°， ∴∠MEB=∠FBE=30°， ∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4， ， ∴EH=4+2=6， 由勾股定理得： ， ∴ ， 当DP=DF时， ， 解得： ， ， ， BQ＞BE； ②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示： y=0，则x=10； （Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示： ∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°， ， CD=8+4=12， ∵FQ∥DP， ∴△CFQ∽△CDP， ∴ ， ∴ ， 解得： ； （Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示： ∵PE∥BQ， ∴△APE∽△AQB， ∴ ， 根据勾股定理得： , ∴ ， ， 解得： ； 由图可知，PQ不可能过点B； 综上所述，当x=10或或时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25. 已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； （3）如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角函数的计算，解方程组，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键． （1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）先证明，过点O作于点E，交的延长线于点G，确定点G的坐标，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，求得x的值即可． （3）以点E为中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H，证明,，作交于点I，证明,得到，利用三角形不等式计算即可． 【小问1详解】 ∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， 把，点分别代入解析式， 得， 解得，故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点O作于点E，交的延长线于点G， ∵ ∴， ∴， 过点E作于点F， 则 ，， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点M的横坐标为． 【小问3详解】 以点E为旋转中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H， ∵，点，点P为中点， ∴，, ∵，且点E的横坐标为,, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴,， ∵， ∴轴, ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 作交于点I， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，最小， ∵点A关于x轴的对称点F，且， ∴ ∵， ∴， 的最小值， 故答案为：． 26. 以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为． 因为恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立， （1）已知函数与函数相交于点、． ①此时，的值分别为：________________，________________； ②求此时函数与的“相关函数”； （2）已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围； （3）已知以为自变量的函数与（，，为常数且，）．点，，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）函数的图像截轴得到的线段长度的取值范围大于小于且不等于 【解析】 【分析】（1）将点、代入得到关于、的方程组，求得，再代入； （2））首先求出相关函数，进而得到当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，即恒成立，当时，，当时，恒成立，即可得解； （3）函数与得出，继而得到，，，由，得，得到且，最后求得函数的图像截轴得到的线段长度为，进而得解． 【小问1详解】 解：①∵已知函数与函数相交于点、， ， 解得：， 故答案为：；； ②由①知：函数， ∴， ∴此时函数与的“相关函数”为； 【小问2详解】 ∵函数与， ∴函数与的“相关函数”为， ∵当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立， ∴恒成立， 当时，， 当时，恒成立， 解得：， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 ∵函数与， ∴， ∵点，，是它们的“相关函数”的图像上的三个点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：且， 令，则且， 设函数与轴交于，， ∴、是方程的两根， ∴， ， ∴函数的图像截轴得到的线段长度为： ， ∵且， ∴且，即且， ∴函数的图像截轴得到的线段长度的取值范围大于小于且不等于． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法确定函数解析式，一次函数的性质，二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．理解题意，理解“相关函数”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $