2026年上海市中考数学自编模拟试卷3

2026届上海市中考数学模拟试卷3 （时间：100分钟 满分150分） 一．选择题（共24分，每小题4分） 1.下列叙述中正确的有（ ）个 ①小数一定是有理数； ②若，则a一定小于b； ③1、和0的倒数都等于它本身；④若a > b，则一定有． ⑤既不是负数又不是分数的数一定是正整数； A．4 B．3 C．1 D．0 2.下列各式中，与是同类项的是（ ）． ． ． ． ． 3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的范围是（ ） A． B． C． D． 4.如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，过点 作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（ ）． ． ． C． = D．由A、C两点的位置确定 A B C D E A B C O H （第4题） （第5题） （第6题） 5.D、E在的边上，如果ED // BC，AE : BE = 1 : 2，BC = 6，那么的模为（ ） A． B． C．2 D．3 6.如图，C是以AB为直径的半圆弧上一点，已知所对的圆心角为120°，BC的弦心距与直径AB的比为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共48分，每小题4分） 7.某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是_____元．（用含字母a的代数式表示）． 8．若 _______________. 9.因式分解：__________________ 10．上海市某企业去年生产总值达到3651.65万元，把3651.65万元用科学记数法表示（保留四个有效数字）是　　元． 11．__________． 12．关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 13．小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利24000元，4月份盈利达到34560元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同试求每月盈利的平均增长率为__________． 14．已知甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为；乙的成绩（环）为、、、、，那么这两位运动员中的________成绩较稳定（填“甲”或“乙”） 15.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是　　　　　　． （第15题） （第17题） （第18题） 16.如果将抛物线平移，顶点移到点P（3，-2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为___________． 17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△A DG的周长等于_____． 18.已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，如果点P为Rt△ABC的自相似点，那么∠ACP的余切值等于　　　　　　． 三．简答题（共78分） 19.（10分）计算： 20.（10分）先化简，再求值：，其中． 21.（10分）如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=． （1）求弦AB的长； （2）求sin∠ABO的值． 22. （10分）综合实践： 在Rt△ABC中，AB=5厘米，AC=4厘米，以C为顶点作一个内接正三角形，且使它的一边在Rt△ABC的一边上。 （1）符合上述条件的正三角形能作几个？请在虚线框内分别画出图形。 （2）在这些等边三角形中，哪个面积最大？（请通过计算加以说明，计算结果保留一位小数） A C B 1 学科网（北京）股份有限公司 23．（本题满分12分，每小题满分各6分) 如图，在直角梯形中，∥，， 为的中点，联结并延长交的延长线于；A B C D F E M （1）联结，求证． （2）联结交于，当，， 时，求的长． 24.（本题共12分，每小题4分） 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴交于点D．设点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段CO的长； （3）当时，求的正弦值． 25. （本题共14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 如图1，在平行四边形中，是对角线，，.点在的延长线上，且，点在射线上，联结，，直线与直线交于点． (1)如图2，点在线段的延长线上，求证：； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)如果，求的值． 2026届上海市中考数学模拟试卷3（参考答案） （时间：100分钟 满分150分） 一．选择题（共24分，每小题4分） 1.下列叙述中正确的有（ ）个 ①小数一定是有理数； ②若，则a一定小于b； ③1、和0的倒数都等于它本身；④若a > b，则一定有． ⑤既不是负数又不是分数的数一定是正整数； A．4 B．3 C．1 D．0 解：①错误，无限不循环小数不是有理数； ②错误，因为，所以，则，即小于或者等于； ③错误，0 没有倒数； ④错误，既不是负数又不是分数的数是正整数或正无理数； ⑤错误，当和都是负数时，则不满足． 故选D 2.下列各式中，与是同类项的是（ ）． ． ． ． ． 解：同类项是指（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．故选B 3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的范围是（ ） A． B． C． D． 解：依题意可得，解得：且．故选D 4.如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，过点 作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（ ）． ． ． C．= D．由A、C两点的位置确定 解：点和点都在反比例函数图像上， ，故选． 5.D、E在的边上，如果ED // BC，AE : BE = 1 : 2，BC = 6，那么的模为（ ） A． B． C．2 D．3 A B C D E 解：∵ED // BC， ∴． ∵ ∴， ∵BC = 6， ∴． 6.如图，C是以AB为直径的半圆弧上一点，已知所对的圆心角为120°，BC的弦心距与直径AB的比为（ ） A． B． C． D． 解：∵所对的圆心角为120°，∴，∴是等边三角形， 设，则，，∴． 二．填空题（共48分，每小题4分） 7．某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是_____元．（用含字母a的代数式表示）． 解：实际售价=原价×， 某商品原价为a元，按原价的八折销售则售价为0.8a元，故答案为0.8a． 8．若 _______________. 解： 9.__________________ 解：原式= = = 10．上海市某企业去年生产总值达到3651.65万元，把3651.65万元用科学记数法表示（保留四个有效数字）是　3.652×107　元． 分析:较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 11．__________． 分析:根据二次根式的各运算法则及运算顺序进行计算即可． 原式 ． 12．关于x的方程是一元二次方程，则a＝____ 分析:根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 13．小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利24000元，4月份盈利达到34560元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同试求每月盈利的平均增长率为__________． 分析:设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据“2月份盈利24000元，4月份盈利达到34560元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 解:设该店每月盈利的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（舍去）． ∴每月盈利的平均增长率为． 故答案为： 14．已知甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为；乙的成绩（环）为、、、、，那么这两位运动员中的________成绩较稳定（填“甲”或“乙”） 解：乙的平均成绩为：（7+8+10+6+9）5=8， 方差为： ， ∵甲的方差是1.6， ∴甲的方差较小， ∴甲的成绩较稳定； 15.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是　　　　　　． 分析:根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××1×2＝4，∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 16.如果将抛物线平移，顶点移到点P（3，-2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为___________． 解:抛物线y=−2x²平移,使顶点移到点P(3,-2)的位置,所得新抛物线的表达式为 y=−2(x-3)²-2. 故答案为y=−2(x-3)²-2. 17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____． 解：延长AG交BC于点E， ∵点G是重心， ∴AG：AE=2：3，BE =BC=4.5， ∵∠BAC=90°，∴AE=BE=4.5， ∵DG//BC， ∴△ADG∽△ABE， ∴AD：AB=DG：BE=AG：AE=2：3， 又∵AB=6，∴AD=4，DG=3，AG=3，∴AD+DG+AG=10，故答案为10. 18.已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，如果点P为Rt△ABC的自相似点，那么∠ACP的余切值等于　　　　　　． 解：∵AC＝12，BC＝5，∴∠CAB＜∠CBA，故可在∠CAB内作∠CBP＝∠CAB， 又∵点P为△ABC的自相似点， ∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D， 则△BPC∽△ACB， ∴点P为△ABC的自相似点， ∴∠BCP＝∠CBA， ∴∠ACP＝∠BAC，[来k ∴∠ACP的余切＝＝，故答案为：． 三．简答题（共78分） 19.计算： 解：原式＝ 20.．先化简，再求值：，其中． 分析：先计算括号里，再将除法转换成乘法，最后相乘化简，化简后将a的值代入计算即可． 解：= ==． 把a=代入原式=． 21.如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=10． （1）求弦AB的长； （2）求sin∠ABO的值． 分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得； （2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得. 解：（1）∵CD过圆心O， ， ∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD， ∵CD=40， ， 又∵∠ADC=， ∴， ∴AB=2AD=40； （2）设圆O的半径为r，则OD=40-r， ∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴， ∴， ∴r=25，OD=15， ∴. 22.综合实践： 在Rt△ABC中，AB=5厘米，AC=4厘米，以C为顶点作一个内接正三角形，且使它的一边在Rt△ABC的一边上。 （1）符合上述条件的正三角形能作几个？请在虚线框内分别画出图形。 （2）在这些等边三角形中，哪个面积最大？（请通过计算加以说明，计算结果保留一位小数） 图一 图二 图三 A C B (2)如图一，过E作ED⊥AC于点D, 设DE=x 则CD=x AD=4-x由△ADE∽△ACB，得 所以x≈2.1(cm); 如图二，过E作ED⊥BC于点D， 设DE=x，由△EBD∽△ABC，得 所以x≈2.4(cm); 如图三，过C作CD⊥AB于点D，由CD·AB=AC·BC，得CD=2.4(cm). 显然第三种情况时正三角形的面积最大。（具体计算步骤略） 23.(1)∵ABCD为直角梯形，∠A=∠B=90°，AD∥BC ∴∠DAE=∠CFE ∠ADE=∠FCE ∵E为CD的中点，∴DE=CE ∴△DAE△CFE, ∴AE=FEAD=FC 在直角三角形ABF中BE= AE=FE (2) ∵AM=EM ，AE=FE， ∴AM=FM ∵AD∥BC， ∴= 过D作DH⊥BF于H， 易证ABHD为矩形, ∵AD=BH， ∴AD=CH， 在直角三角形CDH中，CH=AD=1，DH=AB=2， CD== 24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴交于点D．设点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段CO的长； （3）当时，求的正弦值． 解：（1）抛物线交轴于点，则有，根据勾股定理可得 ，抛物线与轴负半轴相交，可知点，在抛物线 上，则有，得：，即抛物线解析式为； （2） 点，，线段与轴正半轴相交，可知， 设解析式为，则有，解得：，即解析 式为，令，得，则有； （3） 设解析式为，由，则有，解得：， 即解析式为，令，得，则有， ，解得（舍），，由此可得：， 又，则有，． 25.如图1，在平行四边形中，是对角线，，.点在的延长线上，且，点在射线上，联结，，直线与直线交于点． (1)如图2，点在线段的延长线上，求证：； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)如果，求的值． 分析:（1）先根据已知条件证明四边形是平行四边形，推出，，进而得出，，即可证明； （2）分点F在线段的延长线上和点F在线段上两种情况，根据平行线分线段成比例定理的推论，求出等腰三角形的腰长，再通过解直角三角形计算出的高，即可计算出的面积； （3）分点M在线段上和点M在线段的延长线上两种情况，分别计算出的值，再解直角三角形即可求出的值． 解:（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点在的延长线上，且， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ； （2）解：分两种情况，当点F在线段的延长线上时，如下图所示： ∵在中，， ， 设，则， 解得，不合题意，故此种情况不存在； 当点F在线段上时，如下图所示： 在中，， ， 由平行四边形的性质知，，， 设，则， 解得． 如图，作于点H，交的延长线于点N， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 当点M在线段上时，作于点K，如下图所示： ∵在中，， ， ，，， 解得：， ，，， ， ， 又， ； 当点M在线段的延长线上时，如下图所示： 在中，， ， ，，， ， 解得：，，，综上可知，的值为或． $