精品解析：浙江七校联盟2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二数学

2025学年第二学期七校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科 命题：浙江省杭州第二中学 审题：浙江省温州中学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设为自然底数，，若有4个零点，则正数取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（ ） A. 168种 B. 200种 C. 96种 D. 240种 7. 已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（ ） A. 15 B. 9 C. 8 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则独立 D. 10. 已知等差数列的前项和为，是等比数列，且满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. 等差数列的通项公式为 B. 等比数列的公比 C. 若，则数列的前项和 D. 若，则数列的前10项和 11. 三支不同的折线交椭圆于点，为椭圆的右焦点，记的面积为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 若，则 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为___________． 13. 已知在上递减，的取值范围为______． 14. 在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖． （1）求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望； （2）若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率． 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若存在极小值0，求实数的值． 18. 在平面直角坐标系中，双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．当轴时，． （1）求的值； （2）设中点为，的外心为． （i）若，求直线的斜率； （ii）若均在第二象限，求的取值范围． 19. 已知数列满足． （1）求证：为等差数列，并求的通项公式； （2）设， （i）记，证明：； （ii）若恒成立，求的取值范围． （为自然底数，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科 命题：浙江省杭州第二中学 审题：浙江省温州中学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，由求解. 【详解】因为， 所以，解得. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 3. 设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 4. 在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式求出，利用条件概率的公式求出. 【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”， 题目给出，，， 则， 已知选了化学，所求为条件概率：. 5. 设为自然底数，，若有4个零点，则正数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的范围，令，则，则有4个零点等价于有两个不同解，解得，构造函数，利用偶函数的定义求出为偶函数，则有两个不同解，则对应共4个零点；为解，则对应，只有1个零点，故在上有2个不同的解，求的单调性，利用单调性和，，的值得到正数的取值范围. 【详解】因为，所以，，故函数的定义域为， 因为， 所以，所以函数为偶函数， 令，则， 若，则对应，若，则对应， 所以有个零点等价于在上有两个不同解， 在上有两个不同解， 设， 故在上有2个不同的解， 因为， 由，可得，又，解得， 故在上单调递增； 由，可得，又，解得， 故在上单调递减； 因为，所以，， ， 要使在上有2个不同的解， 则正数的取值范围为. 6. 有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（ ） A. 168种 B. 200种 C. 96种 D. 240种 【答案】D 【解析】 【分析】先将6个小球按要求分成四组,再将4组小球全排列即可求得结果. 【详解】先将6个小球分成四组，因为编号为3，4的小球必须在同一组，因此可以有1，1，2，2或1，1，1，3两种分组方式， 若分为1，1，2，2，须在剩余的4个小球中任选两个作为一组，共有种选法； 若分为1，1，1，3，须在剩余的4个小球中选出一个小球与3号和4号分在一组，共有种选法； 再将分好的四组小球分配到四个箱子中去，共有种排法； 因此不同的放法有. 7. 已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 8. 已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（ ） A. 15 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列性质求出，再结合判断数列单调性，进而确定与的大小关系，然后根据且确定的值. 【详解】正项等比数列中，，，. 记等比数列的公比为，，，，，. 是递减数列，. 已知，，则，，. 又因为，则，，即. 结合前面得到的，可知，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 10. 已知等差数列的前项和为，是等比数列，且满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. 等差数列的通项公式为 B. 等比数列的公比 C. 若，则数列的前项和 D. 若，则数列的前10项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求等差数列以及等比数列的通项，可判断A，B选项，再用裂项相消以及错位相减法可判断C，D选项. 【详解】等差数列满足，所以，又，所以，即， 联立方程，解得，所以，所以A正确； ，所以，因为是等比数列，所以数列的公比，所以B错误； ，所以数列的前项和，所以C正确； 因为等比数列的公比，，所以，，所以 数列的前项和，所以， 所以，即 化简整理得，所以D正确. 11. 三支不同的折线交椭圆于点，为椭圆的右焦点，记的面积为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】折线的顶点正好在点 ；而椭圆的右焦点也正好是因此，每一组交点都分别落在过焦点的两条射线上.设右侧射线与轴正半轴的夹角为 ，则 再利用椭圆上点到右焦点的距离公式 即可分别求出关于的表达式，进而判断A、B.面积方面，利用可得 再由它判断C、D. 【详解】椭圆中， 所以焦距 故右焦点为 设某一条折线对应的参数为， 并设右支射线与轴正方向的夹角为 ， 则 记该折线与椭圆的两个交点分别为，其中在左侧射线，在右侧射线. 对点而言，设 由于在以为端点、与轴夹角为的射线上，所以 又因为椭圆上任一点 到右焦点的距离满足 故 整理得 所以 同理，对点，设 则 因此 整理得 故 选项A，由上式 它与无关，所以为定值.故A正确. 选项B，点的坐标分别可写成 于是 化简得 可见的斜率随 改变而改变，所以不同的折线对应的弦不一定互相平行. 故 B 错误. 选项D，由 故 因此 化简： 又因为 所以 代入可得 求导： 故当，即时，取得最大值. 此时 所以D正确. 选项C，由上式 下面举反例, 取 则 于是 而 故 但是 显然 所以 C 错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 13. 已知在上递减，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导使其导函数在上恒成立即可，令并求出的最小值，即可得出的取值范围. 【详解】由可得， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立； 即在上恒成立； 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，即； 所以即可，因此的取值范围为. 14. 在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设“弹药库被摧毁”为事件，先求三门大炮恰好命中发、恰好命中发、恰好命中发的概率，再乘上对应的摧毁概率，最后相加即可. 【详解】设三门大炮命中目标的概率分别为， 则未命中的概率分别为， 恰好命中1发的概率， ， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 恰好命中2发的概率， ， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 三门全部命中的概率， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 所以弹药库被摧毁的概率为， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，    所以， 又∵，∴； （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，可得到各点坐标，再求出、后，计算即可得证. （2）借助锥体体积公式计算可得分别是棱的中点时，体积取得最大值，再求出平面的法向量为直线的方向向量后，再根据空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值. 又∵， ∴当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值， 故， 则，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，可得， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16. 某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖． （1）求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望； （2）若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率． 【答案】（1）的分布列为 （2） 【解析】 【分析】（1）设随机变量表示1位顾客获得的优惠券金额，则的可能取值为，利用古典概型分别求出抽到个红球、个红球、个红球的概率，即可得到分布列与数学期望. （2）把“获得元优惠券”看作一次独立成功事件，其成功概率就是第1问中于是可用二项分布思想求“至少有人成功”的概率. 【小问1详解】 设随机变量表示该顾客获得的优惠券金额，则，总的抽法数为， 当抽到2个红球时，，， 当抽到1个红球1个白球时，，， 当抽到0个红球，即2个白球时，，， 所以的分布列为 数学期望为 . 【小问2详解】 设事件表示“1 、位顾客获得元优惠券”，则， 因为位顾客抽奖结果相互独立， 所以“获得元优惠券的人数”服从参数为的二项分布. 设其中获得元优惠券的人数为，则所求概率为， 其中，， 所以. 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若存在极小值0，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导，再利用点斜式写切线方程； （2）设函数在处取得极小值，则必有由导数方程先表示出参数，再代回原式消去，得到关于的方程；最后利用该方程化简出的值. 【小问1详解】 当时， 又 所以曲线在点处的切线方程为 化简得 【小问2详解】 设函数在处取得极小值，则 由得 从而代入，得 即 由于，故 于是两边取指数，得所以 而故 下面验证此时确有极小值. 令 设方程的解为，易知函数在上单调递增， 所以方程有且仅有一个解， 又由可得 于是 设，则 当 且 时，，所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以处为极小值点，极小值为. 综上， 18. 在平面直角坐标系中，双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．当轴时，． （1）求的值； （2）设中点为，的外心为． （i）若，求直线的斜率； （ii）若均在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）只需利用双曲线 的焦点坐标，并结合 轴时直线 为竖直线即可； （2）（i）先由第（1）问得到双曲线方程，再设直线 的斜率为 ，写出其方程把它与双曲线联立，可求出弦 的中点 的坐标；（ii）再利用圆 的方程与双曲线、直线 的公共交点都是 ，比较系数求出外心 的坐标，最后分别代入两小问的条件即可. 【小问1详解】 因为双曲线可写成 所以故右焦点为 当轴时，过焦点的直线为直线 代入双曲线方程得 所以两交点的纵坐标分别为 ，从而 解得 【小问2详解】 由第（1）问知故双曲线为 此时右焦点为 设直线的斜率为 ，则 其中，把直线方程代入双曲线方程： 化简得 设两交点的横坐标分别为 ， 则由韦达定理， 于是中点的横坐标为 又因为在直线上，所以 因此 下面求外心. 设过三点的圆的圆心为， 则该圆方程可写为 将直线代入上式，得到该圆与直线的交点对应的方程 而该方程与 有相同的两个根 ，故二者对应系数成比例, 比较系数可得 于是 （i）由上式， 由条件得 因此所以直线 的斜率为. （ii）由知，必有 再由且 ，可得所以 再看点在第二象限的条件， 由知在时，要使，必须有 于是 令则 此时 设 则所以在上单调递减， 当时， 当时，故 所以所求取值范围为. 19. 已知数列满足． （1）求证：为等差数列，并求的通项公式； （2）设， （i）记，证明：； （ii）若恒成立，求的取值范围． （为自然底数，） 【答案】（1） 由，则， 则，故， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即 ，故； （2） （i）由， 则 ； （ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）由（1）可得通项公式，再合理放缩后利用裂项相消法求和即可得证；（ii）计算可得，取对数后构造相应函数，利用导数可得构造函数的单调性，结合为正整数可得或时，取最小，借助作差法计算，从而可得最小，即可得时，取最小，则有，代入计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， （i）略 （ii）， 取对数有， 令， 则， 由，则、单调递减，故单调递增， 由 ， ， 故存在，使得当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 令， ， 则在上单调递减，故 ， 故，则， ， 故， 故 ， 故当时，最小，故， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $