精品解析：安徽省池州市贵池区阮桥初级中学2025-2026学年度下学期九年级第二次模拟考试数学试题

数 学（二） 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：， 实数的倒数是． 2. 榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的三视图，解题的关键是准确掌握三视图的概念． 利用三视图的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是图形的俯视图，故不符合题意； B. 该选项是图形的俯视图，故符合题意； C. 该选项是图形的左视图，故不符合题意； D. 该选项是图形的主视图，故不符合题意； 故选：B． 3. 安徽省的总面积为14.01万平方千米，约占中国国土面积的．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项定义，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式法则逐一判断选项正误． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算正确，符合题意． 5. 两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 6. 如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，理解正多边形的边数与相应圆心角之间的关系是解题的关键． 根据圆周角定理得到正多边形的边所对的圆心角，再求出正多边形的边数，利用正多边形可以分割为个全等的，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得：是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，A、B是正多边形的相邻顶点，C在外接圆上， ， ， ， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为， 即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 7. 如图，一个均匀的转盘被等分成6个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率公式，指针落在阴影区域的概率等于阴影部分扇形数与总扇形数的比值．利用上述比值即可得到所求概率，再对应选项判断． 【详解】 已知转盘被等分为个相同的扇形，其中阴影区域占份， 因此 ． 8. 已知等腰中，腰长为5，底，在直线上有一点M，，平面内有一点N到B，C的距离相等，则的最小值是（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 1.2或4.8 D. 2.4或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，到B、C距离相等的点N在的垂直平分线上，因此的最小值为点M到垂直平分线的距离，M在直线上，分M在线段上和M在延长线上，两种情况计算即可． 【详解】∵等腰中，腰长为，底，取中点D，连接， ∴，，是的垂直平分线， ∵N到B、C的距离相等， ∴N在直线上，根据垂线段最短，的最小值为点M到直线的距离， ∵M在直线上，，分两种情况讨论： 当M在线段上时，， 过M作于E，则， 可得， ∴，即， 解得， 即此时最小值为， 当M在的延长线上时，， 同理可得， ，即， 解得， 即此时最小值为， 综上，的最小值为或， 9. 已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 10. 如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，证明，求出，可知当最小时有最小值，由“垂线段最短”可知当时最小，证明，得到，求出，根据勾股定理得到，求出，进而得到，求出，即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得． 12. 比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．应用放缩法，判断出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点，分别在轴和轴上，，，在反比例函数（）上，交于，且，点在轴上，若，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得反比例函数的解析式为，进而根据题意得出的长，设点的坐标为，则，根据相似三角形的性质得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设点的坐标为，则， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴点的坐标为． 14. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【答案】 ①. ②. ##0.5 【解析】 【分析】由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式．由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 【详解】解：∵直线交轴于，交轴于： ∴令，得，令，得， 所以， 抛物线过A、B： 解得： ∴抛物线解析式为： ∴抛物线对称轴： ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴ 设在抛物线上，则 ∴ 代入： 令，则， ∴ 令，则 ， 将转化为关于u的二次函数，利用二次函数性质求最值， ， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ， 当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解： ． 16. 某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】设原价为a，两次降价的百分比为x，则“双十一”之前价格为，“双十一”期间售价为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设原价为a，两次降价的百分比为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：两次降价的百分比约为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：如图所示． 18. 如图，小刚在旁边的一栋高为的楼房的A处观测一棵垂直于地面的参天大树，距离树根的E处，测得坡度为，在A处测得树顶C点的仰角为，请计算出大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坡度的定义、解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据坡度的定义得到，进而求出长，过A作于点，则求出长，在中，利用求出长，进而求出长． 【详解】解：根据题意得，坡度为， ， 在中，， 如图，过A作于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 即， ， ， 答：大树的高度约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校八年级举行“‘历’久弥新，学‘史’明智”的历史学科知识竞赛，满分100分．现从中随机抽取一些同学的答题成绩做质量分析，按照等级绘制这些同学历史成绩的扇形统计图，如图所示，成绩等级标准见表1，又按分数段绘制成绩分布表，如表2． 表1 等级 分数x的范围 A B C D 表2 分数段 人数 5 10 m 12 n 分数段为的n名同学中，其成绩的中位数是95分． 根据以上信息回答下面问题： （1）本次抽查了多少人？m、n的值分别是多少； （2）小明在此考试中得了95分，他说自己在这些考试中历史成绩是A等级，他说得对吗？为什么？ （3）若历史竞赛的分数达到90分及以上，即可获得“爱国青少年”称号，该校八年级有900名学生，求获得“爱国青少年”荣誉的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，12，11 （2）正确，理由见解析 （3）198人 【解析】 【分析】（1）根据小于60的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以的人数所占的百分比求出的人数，再减去的人数，求出m，再用总人数减去小于90的人数，求出n即可； （2）先求出A等级的人数，再根据在分数段为的人数和中位数的定义即可推断出小明说的对不对； （3）用总人数乘以90分及以上的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：抽查的人数是（人）， 的人数有（人）， ∴（人）， （人）； 【小问2详解】 解：A等级的人数有（人）． ∵在的11人中，成绩的中位数是95分， ∴小明的历史成绩是A等级，他的说法正确． 【小问3详解】 解：根据题意得，（人）． 答：获得“爱国青少年”荣誉的学生约有198人． 20. 如图，为直角三角形，，圆O是的外接圆，D是弧上一点，是圆O的切线，交的延长线于点E，，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是圆O的直径，得到，利用切线的性质得到．因为，所以可利用平行线的判定得到，结合圆的性质进而推导与的关系． （2）结合与的位置关系，可利用垂径定理相关性质．设的长度为未知数，结合已知、的长度，再证明，可利用相似三角形的性质建立方程求解． 【小问1详解】 证明：∵圆O是的外接圆，， ∴是圆O的直径， ． 是圆O的切线， ． ， ， ， ． ， ∴， ． 【小问2详解】 ， ． 设，则，． ，， 又∵ ， ∴， ，即， ， 解得或（舍去）， ． 六、（本题满分12分） 21. 【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 （1）将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． （2）如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． （3）【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】（1）①第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1．；② （2）55 （3）754 【解析】 【分析】（1）①找到规律：第n行是的字母的系数，即可求解； ②数之和可以看作时的值，即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）找到规律：前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长，即可求解． 【小问1详解】 解：①观察图2可发现规律： 第2行：1，2，1，是中字母的系数， 第3行：1，3，3，1，是中的字母的系数， ∴第n行是的字母的系数， ∴第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1． ②∵第n行是的字母的系数， 数之和可以看作时的值， 即第100行的数之和用幂可以表示为． 【小问2详解】 观察图3可得： 第7条斜线经过的数之和为， 第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 第10条斜线经过的数之和为． 【小问3详解】 观察长方形①，长方形②，长方形③，长方形④的周长的规律： 前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长， ∴序号为⑤的长方形周长为， 序号为⑥的长方形周长为， 序号为⑦的长方形周长为， 序号为⑧的长方形周长为， 序号为⑨的长方形周长为， 序号为⑩的长方形周长为， 序号为⑪的长方形周长为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在等腰中，，连接、、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证：四边形是菱形； （3）如图3，若，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，然后进行角的等量代换，即可作答． （2）先证明，得出四边形是平行四边形，根据，即可得证． （3）作于点G，作于点H，作的平分线，交于点T，延长交于点，证明，，得出，则，根据已知得出，设，则，则，进而得出，根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ，． ∵在中，， 在中，， ． 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ，． 又， ， ． ，， ， ． ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：如图，作于点G，作于点H，作的平分线，交于点T，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ， ． ， ， ， ． ， ． ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，则， ， ． ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求四边形面积的取值范围； （3）若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， ， 四边形面积的取值范围是； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与坐标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学（二） 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 安徽省的总面积为14.01万平方千米，约占中国国土面积的．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 如图，一个均匀的转盘被等分成6个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰中，腰长为5，底，在直线上有一点M，，平面内有一点N到B，C的距离相等，则的最小值是（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 1.2或4.8 D. 2.4或5 9. 已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 13. 如图，点，分别在轴和轴上，，，在反比例函数（）上，交于，且，点在轴上，若，点的坐标为______． 14. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出． 18. 如图，小刚在旁边的一栋高为的楼房的A处观测一棵垂直于地面的参天大树，距离树根的E处，测得坡度为，在A处测得树顶C点的仰角为，请计算出大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校八年级举行“‘历’久弥新，学‘史’明智”的历史学科知识竞赛，满分100分．现从中随机抽取一些同学的答题成绩做质量分析，按照等级绘制这些同学历史成绩的扇形统计图，如图所示，成绩等级标准见表1，又按分数段绘制成绩分布表，如表2． 表1 等级 分数x的范围 A B C D 表2 分数段 人数 5 10 m 12 n 分数段为的n名同学中，其成绩的中位数是95分． 根据以上信息回答下面问题： （1）本次抽查了多少人？m、n的值分别是多少； （2）小明在此考试中得了95分，他说自己在这些考试中历史成绩是A等级，他说得对吗？为什么？ （3）若历史竞赛的分数达到90分及以上，即可获得“爱国青少年”称号，该校八年级有900名学生，求获得“爱国青少年”荣誉的学生约有多少人？ 20. 如图，为直角三角形，，圆O是的外接圆，D是弧上一点，是圆O的切线，交的延长线于点E，，连接交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 （1）将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． （2）如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． （3）【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在等腰中，，连接、、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证：四边形是菱形； （3）如图3，若，且，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求四边形面积的取值范围； （3）若的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $