专题06 圆（复习讲义）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 垂径定理 题型二 圆心角与圆周角 题型三 点、直线、圆的位置关系 题型四 正多边形和圆 必备知识 知识1 垂径定理及其应用 知识2 圆心角、弧、弦的关系 知识 3 圆周角定理 知识 4 点与圆的位置关系 知识 5 三角形的外接圆与外心 知识 6 直线与圆的位置关系 知识 7 切线的性质 知识 8 圆与圆的位置关系 知识 9 相交两圆的性质 知识 10 正多边形和圆 知识11 弧长的计算 知识 12 扇形面积的计算 命题预测 命题透视 命题形式：以选择填空基础题、解答题的几何证明与计算题为主，呈现 “重性质应用、重几何推理、融模型探究” 的核心特点，突出对逻辑推理、空间想象与综合建模能力的考查，是中考数学的几何核心模块之一。 命题内容： 基础性质部分：侧重圆的基本性质应用，垂径定理、圆心角与圆周角定理、点 / 直线 / 圆的位置关系为高频考点；切线的判定与性质为每年必考内容，是几何证明的核心工具。 综合应用部分：侧重圆与三角形、四边形的综合，常结合勾股定理、相似三角形考查线段长度计算；圆的折叠、动点模型及实际情境建模为常见考查形式，常与函数结合考查综合分析能力。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 圆与点/直线/圆的位置关系 T6：点与圆的位置关系、弦长取值范围判定 T6：圆与圆的位置关系（圆心距与半径的数量关系） T6：点与圆的位置关系、梯形背景下的点与圆位置判定 T6：直线与圆的位置关系（切线性质、角度计算） T6：圆与圆的位置关系（圆心距与半径的数量关系） 垂径定理与弦长计算 T23(1)：垂径定理结合勾股定理计算 T15：垂径定理、勾股定理计算弦心距与弦长 T21：垂径定理求弦心距、弦长计算 T23(1)：垂径定理应用、弦与弧的关系 T23(1)：垂径定理、等腰三角形性质应用 圆周角定理及推论 T15：圆周角定理、切线性质结合角度计算 T23(1)：圆周角定理、弧与角的对应关系 T15：圆周角定理、圆心角与圆周角的数量关系 T15：圆周角定理、圆心角与圆周角的换算 T15：圆内接四边形性质、圆周角定理角度计算 切线的判定与性质 T23(2)：切线的判定、全等三角形证明 T23(2)：切线的性质、矩形性质结合全等证明 无独立命题 无独立命题 T23(2)：切线的判定、全等三角形证明 圆与几何图形综合证明 T23：圆+等腰三角形+全等三角形综合 T23：圆+矩形+全等三角形综合 T23：圆+平行四边形+等腰三角形综合 T23：圆+平行四边形+等腰三角形综合 T23：圆+等腰三角形+全等三角形综合 命题预测 一、考情预测 圆的基础性质部分 必考：垂径定理、圆周角定理及推论、切线的判定与性质，尤其是切线相关的证明与计算。 高频：圆心角与圆周角的关系、直线与圆的位置关系判定、正多边形与圆的性质应用。 趋势：圆的基本性质与三角形、勾股定理的综合模型，如利用垂径定理构造直角三角形求解。 圆的综合应用部分 必考：切线的判定与性质综合题，圆与相似三角形、勾股定理的结合计算。 高频：圆的折叠、动点问题中的线段与角度求解，圆内接多边形的性质应用。 趋势：圆与一次函数、二次函数的综合建模，结合生活情境（如圆形裁剪、切线实际应用）的几何探究题。 二、备考建议 1.锚定核心考点：针对垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质等必考高频考点专项突破，固化几何证明与计算的解题流程，确保基础题零失分。 2.强化几何推理能力：梳理圆的性质与判定定理，构建 “圆的性质 - 辅助线 - 综合模型” 的知识体系，熟练掌握辅助线的添加方法（如连接圆心与切点、作弦心距、构造直径所对的圆周角）。 3.突破综合模型题型：重点训练圆与三角形、四边形的综合题，以及折叠、动点、切线长等常见模型，掌握从复杂图形中分解出基本几何图形的方法，提升综合分析能力。 4.适配创新考法：针对性训练圆的探究题、实际情境建模题，提升几何推理与知识迁移能力，规范证明题的书写步骤，避免逻辑漏洞。 考点 圆 题型一 垂径定理 1.垂径定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。解题核心是利用 “垂直” 与 “平分” 的互推关系，结合半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，通过勾股定理计算线段长度。 2.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。应用时需注意 “弦不是直径” 的前提条件，避免推论误用。 3.垂径定理的解题关键：遇到弦的问题时，优先作弦心距（圆心到弦的垂线），构造直角三角形；涉及弧的中点时，连接圆心与弧中点，利用垂径定理转化为垂直关系，进而求解角度或线段长度。 1．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键． 2．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留） 【答案】400π 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图， ∵AC=11，BC=21， ∴AB=AC+BC=32， ∵OD⊥AB于D， ∴AD=BD=AB=16， ∴CD=AD-AC=5， 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 OD==12, 在Rt△OBD中，由勾股定理，得 OB==20， ∴这个花坛的面积=202π=400π， 故答案为：400π． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键． 题型2 圆心角与圆周角 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。解题时需注意 “同圆或等圆” 这一前提条件，常用来进行弧、弦、圆心角之间的等量转换。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是进行角度计算的核心依据，常用于求圆周角、圆心角或弧的度数。 3.圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径，是构造直角三角形的重要方法。 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点，连接，    由圆周角定理得：， 弦的长为8，且， ， 解得， 的半径为． （2）解：如图，过点作于点，     的半径为5， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， 则的正切值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 2．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用弧、弦、圆心角的关系求证、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3 点、直线、圆的位置关系 1．点与圆的位置关系：设圆的半径为 ，点到圆心的距离为 ，则： 时点在圆外； 时点在圆上； 时点在圆内。解题核心是计算点到圆心的距离，与半径比较判断位置。 2．直线与圆的位置关系：设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则： 时直线与圆相离； 时直线与圆相切； 时直线与圆相交。关键是求圆心到直线的距离，结合切线的判定与性质解题。 3．切线的判定与性质：判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；性质：圆的切线垂直于过切点的半径。解题时，遇到切线优先连接圆心与切点，构造垂直关系，是证明与计算的关键辅助线。 1．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（    ） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 【答案】C 【知识点】圆和圆的位置关系、判断点与圆的位置关系 【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可 【详解】 ∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1 ∴圆A的半径为5 ∵<5 ∴点D在圆A内 在Rt△ABC中， ∴点C在圆A上 故选：C 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键 3．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 4．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是________． 【答案】 【知识点】图象法解一元二次不等式、圆和圆的位置关系 【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：由题意画出图形如下：连接，   过点，且， 的半径为7， 过点，它的半径为，且， ， ， ，， 在边上，点在延长线上， ，即， ， 与有公共点， ，即， 不等式①可化为， 解方程得：或， 画出函数的大致图象如下：    由函数图象可知，当时，， 即不等式①的解集为， 同理可得：不等式②的解集为或， 则不等式组的解集为， 又， 半径r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键． 5．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 6．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型4 正多边形和圆 1．正多边形的基本概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；正多边形的外接圆的圆心叫做它的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做边心距。 2．正多边形的性质与计算：正多边形的中心角等于 （ 为边数）；正多边形的半径、边心距与边长的一半构成直角三角形，可利用勾股定理计算边长、边心距、周长和面积。 3．正多边形与圆的关系：把一个圆分成 等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 边形，这个圆是该正多边形的外接圆；正多边形的中心角与外角相等，常利用中心角进行角度与边长的相关计算。 1．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】18 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 2．（2021·上海·中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________． 【答案】． 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可． 【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE， 在正六边形ABCDEF中， ∵直角三角板的最短边为1， ∴正六边形ABCDEF为1， ∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形， ∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， ∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒， ∴BG=DI= FH=， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =， ∴AC =AE = CE =， ∴由勾股定理得：AI=， ∴S=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用． 3．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是______． 【答案】或 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 知识1 垂径定理及其应用 1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 知识2 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心 知识3 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识4 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识5 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识6 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识7 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识8 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 知识9 相交两圆的性质 1．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 2．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 知识10 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识11 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识12 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 2．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【知识点】正多边形的内角问题、求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 3．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了相交两圆的性质，先根据题意画出图形，设和相交于A，B，连接，设与相交于点C，设，则，，，，，在和中，由勾股定理得，则，由此解出，则，进而即可得出公共弦AB的长． 【详解】解：设和相交于点，，连接，，，，，设与相交于点，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 4．（2025·上海静安·二模）已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了两圆位置关系，掌握两圆半径、圆心距的关系以及两圆不同位置关系时的公共点数成为解题的关键． 根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵和的半径分别是5和7， ∴． A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误； B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误； C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误； D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 5．（2025·上海青浦·二模）在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是__________． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、正多边形和圆的综合 【分析】设六边形是的内接正六边形，则是的内接正三角形，连接，，，设交于点H，证明和均为正三角形，则，，根据垂径定理得，，则，设，则，，进而得，据此求出的值即可得出答案． 此题主要考查了等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：设六边形是的内接正六边形，则是的内接正三角形， 连接，，，设交于点H，如图所示： ∴，， ∵， ∴和均为正三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据垂径定理得：，， ∴， 在中，设， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 即在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是． 故答案为：． 6．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．利用垂径定理求出是解题的关键． 连接，根据，，得到，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴ 故答案为：5． 7．（2025·上海·二模）已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、利用垂径定理求值、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了正多边形外接圆的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地画出图形是解决本题的关键． 先画出正六边形和外接圆，再取的中点G，连接，根据等边三角形的性质和含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为4， ∴外接圆半径， ∵正六边形的每条边都是外接圆的一条弦， ∴对应的圆心角为， 又∵， ∴为等边三角形， 取的中点G，连接并延长交弧于点H，则是点H到弦的最大距离； ∵为等边三角形， ∴，，， ∴， 在含的中，， ∴， ∴任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是， 故答案为：． 8．（2025·上海奉贤·二模）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】圆和圆的位置关系、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的问题，正多边形的性质，熟练掌握了正多边形与圆的问题是解题的关键．作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P，求出、、的长，即可求得的半径 r 的取值范围，即得答案． 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P， 则，是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 是的直径， ， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 的半径 r满足． 故答案为： 9．（2025·上海松江·二模）如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为__． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正多边形的内角和，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，得出，运用勾股定理表示，因为，证明△△，则，即可作答． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、， 则， ， 、、三点在同一条直线上， 点在上， 连接、， 则， ， ， ， 则， ， ， ∴， △△， ， 故答案为：． 10．（2025·上海·二模）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为_________（用d和表示）． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆和圆的位置关系、切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，根据题意，画出图形，根据切线的性质，以及解直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：如图，为的公共弦，，是的切线，，，则：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：． 11．（2025·上海松江·二模）如图，在中，，，点在边上，以O为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点E． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：与边相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． （2）解：连接、，则， ，， ， △是等边三角形， ，, ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 12．（2025·上海奉贤·二模）在中，点C是弧的中点，交弦于点D，且D是的中点． (1)求的度数； (2)延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 【答案】(1)60度 (2) 【知识点】等边对等角、垂径定理的推论、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形，圆周角定理，等边对等角等等，熟知垂径定理的推理是解题的关键． （1）由垂径定理的推论可得，再由线段中点的定义可得，据此解直角三角形即可得到答案； （2）先求出，则，再由垂径定理的推论得到，，解直角三角形得到，再证明，解直角三角形得到，则． 【详解】（1）解：连接 ∵在中，点C是弧的中点， ∴， ∵D是的中点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵在中，点C是弧的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值 【分析】（1）先由三角形中位线定理求得，再由垂径定理结合同圆中等弧对等弦得到，则，而，那么，故，再由三角形的外角性质即可证明； （2）可得，则，由圆周角定理得到，故，则点共圆，那么，可证明，则，再等量代换求证即可． 【详解】（1）证明：如图： ∵是直径， ∴， ∵分别为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧与弦的关系，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 14．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)相切，见解析 (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）过点C作于点，先解求出，的度数，过点O作于点，则当点与点重合时，，由，得到，故，即可判断； （2）由垂径定理的推论可得，可得为等腰直角三角形，证明，则，设，则，由，得到，那么，代入即可求解； （3）当与线段相切时，过点作于点，过点作于点，导角证明，则，那么；当经过点时，过点分别作，垂足分别为，由平行线分线段成比例定理得到，设，则，则，那么，解得到，再由平行线分线段成比例定理得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于两个临界情况进行分析． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 定义 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长T的点的集合。 圆的认识 与圆有关的概念 圆的基本性质：轴对称性、中心对称性。 点P在圆外台d>r 点与圆的位置关系 点P在圆上台d三T 点P在圆内台d<r (其中d为点P到圆心O的距离，T为半径) 圆的基本性质 一定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦也相等。 圆心角、孤、弦的关系 儿推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条孤、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等。 定义：顶，点在圆上，并且两边都与圆相交的角。 圆周角定理 圆周角定理：在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角相等，都等于这条孤所对的圆心角的一半。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤。 垂径定理 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 相离：一条直线和圆没有公共点。(d>r） 直线与圆的位置关系 相切：一条直线和圆只有一个公共点（切点）。(d=T） 相交：一条直线和圆有两个公共点。(d<r) (其中d为圆心到直线的距离，r为半径) 圆的切线垂直于经过切，点的半径。 切线的性质 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 经过切，点且垂直于切线的直线必经过圆心。 直线与圆、 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 圆与圆的位置关系 切线的判定 圆 己知公共点：“连半径，证垂直”。 判定方法： 未知公共点：“作垂直，证半径”。 设两圆半径分别为R和T(R>r),圆心距为d 外离：d>R+r 外切：d=R十r 相交：R-r<d<R+r 圆与圆的位置关系 内切：d=R-r 内含：0≤d<R一r(同心圆是内含的特例，d=0) 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点。 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 正多边形与圆的关系 把一个圆分成（是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个 圆叫做这个正多边形的外接圆。 正多边形与圆 中心：正多边形的外接圆的圆心。 半径：外接圆的半径。 正多边形的有关概念 中心角：正多边形每一边所对的圆心角。中心角Q=360° 边心距：中心到正多边形的一边的距离。 定义：四个顶，点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。 圆内接四边形 性质：圆内接四边形的对角互补。 专题06 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 垂径定理 题型二 圆心角与圆周角 题型三 点、直线、圆的位置关系 题型四 正多边形和圆 必备知识 知识1 垂径定理及其应用 知识2 圆心角、弧、弦的关系 知识 3 圆周角定理 知识 4 点与圆的位置关系 知识 5 三角形的外接圆与外心 知识 6 直线与圆的位置关系 知识 7 切线的性质 知识 8 圆与圆的位置关系 知识 9 相交两圆的性质 知识 10 正多边形和圆 知识11 弧长的计算 知识 12 扇形面积的计算 命题预测 命题透视 命题形式：以选择填空基础题、解答题的几何证明与计算题为主，呈现 “重性质应用、重几何推理、融模型探究” 的核心特点，突出对逻辑推理、空间想象与综合建模能力的考查，是中考数学的几何核心模块之一。 命题内容： 基础性质部分：侧重圆的基本性质应用，垂径定理、圆心角与圆周角定理、点 / 直线 / 圆的位置关系为高频考点；切线的判定与性质为每年必考内容，是几何证明的核心工具。 综合应用部分：侧重圆与三角形、四边形的综合，常结合勾股定理、相似三角形考查线段长度计算；圆的折叠、动点模型及实际情境建模为常见考查形式，常与函数结合考查综合分析能力。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 圆与点/直线/圆的位置关系 T6：点与圆的位置关系、弦长取值范围判定 T6：圆与圆的位置关系（圆心距与半径的数量关系） T6：点与圆的位置关系、梯形背景下的点与圆位置判定 T6：直线与圆的位置关系（切线性质、角度计算） T6：圆与圆的位置关系（圆心距与半径的数量关系） 垂径定理与弦长计算 T23(1)：垂径定理结合勾股定理计算 T15：垂径定理、勾股定理计算弦心距与弦长 T21：垂径定理求弦心距、弦长计算 T23(1)：垂径定理应用、弦与弧的关系 T23(1)：垂径定理、等腰三角形性质应用 圆周角定理及推论 T15：圆周角定理、切线性质结合角度计算 T23(1)：圆周角定理、弧与角的对应关系 T15：圆周角定理、圆心角与圆周角的数量关系 T15：圆周角定理、圆心角与圆周角的换算 T15：圆内接四边形性质、圆周角定理角度计算 切线的判定与性质 T23(2)：切线的判定、全等三角形证明 T23(2)：切线的性质、矩形性质结合全等证明 无独立命题 无独立命题 T23(2)：切线的判定、全等三角形证明 圆与几何图形综合证明 T23：圆+等腰三角形+全等三角形综合 T23：圆+矩形+全等三角形综合 T23：圆+平行四边形+等腰三角形综合 T23：圆+平行四边形+等腰三角形综合 T23：圆+等腰三角形+全等三角形综合 命题预测 一、考情预测 圆的基础性质部分 必考：垂径定理、圆周角定理及推论、切线的判定与性质，尤其是切线相关的证明与计算。 高频：圆心角与圆周角的关系、直线与圆的位置关系判定、正多边形与圆的性质应用。 趋势：圆的基本性质与三角形、勾股定理的综合模型，如利用垂径定理构造直角三角形求解。 圆的综合应用部分 必考：切线的判定与性质综合题，圆与相似三角形、勾股定理的结合计算。 高频：圆的折叠、动点问题中的线段与角度求解，圆内接多边形的性质应用。 趋势：圆与一次函数、二次函数的综合建模，结合生活情境（如圆形裁剪、切线实际应用）的几何探究题。 二、备考建议 1.锚定核心考点：针对垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质等必考高频考点专项突破，固化几何证明与计算的解题流程，确保基础题零失分。 2.强化几何推理能力：梳理圆的性质与判定定理，构建 “圆的性质 - 辅助线 - 综合模型” 的知识体系，熟练掌握辅助线的添加方法（如连接圆心与切点、作弦心距、构造直径所对的圆周角）。 3.突破综合模型题型：重点训练圆与三角形、四边形的综合题，以及折叠、动点、切线长等常见模型，掌握从复杂图形中分解出基本几何图形的方法，提升综合分析能力。 4.适配创新考法：针对性训练圆的探究题、实际情境建模题，提升几何推理与知识迁移能力，规范证明题的书写步骤，避免逻辑漏洞。 考点 圆 题型一 垂径定理 1.垂径定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。解题核心是利用 “垂直” 与 “平分” 的互推关系，结合半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，通过勾股定理计算线段长度。 2.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。应用时需注意 “弦不是直径” 的前提条件，避免推论误用。 3.垂径定理的解题关键：遇到弦的问题时，优先作弦心距（圆心到弦的垂线），构造直角三角形；涉及弧的中点时，连接圆心与弧中点，利用垂径定理转化为垂直关系，进而求解角度或线段长度。 1．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____． 2．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留） 题型2 圆心角与圆周角 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。解题时需注意 “同圆或等圆” 这一前提条件，常用来进行弧、弦、圆心角之间的等量转换。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是进行角度计算的核心依据，常用于求圆周角、圆心角或弧的度数。 3.圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径，是构造直角三角形的重要方法。 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 2．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 题型3 点、直线、圆的位置关系 1．点与圆的位置关系：设圆的半径为 ，点到圆心的距离为 ，则： 时点在圆外； 时点在圆上； 时点在圆内。解题核心是计算点到圆心的距离，与半径比较判断位置。 2．直线与圆的位置关系：设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则： 时直线与圆相离； 时直线与圆相切； 时直线与圆相交。关键是求圆心到直线的距离，结合切线的判定与性质解题。 3．切线的判定与性质：判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；性质：圆的切线垂直于过切点的半径。解题时，遇到切线优先连接圆心与切点，构造垂直关系，是证明与计算的关键辅助线。 1．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（    ） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 3．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 4．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是________． 5．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 6．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 题型4 正多边形和圆 1．正多边形的基本概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；正多边形的外接圆的圆心叫做它的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做边心距。 2．正多边形的性质与计算：正多边形的中心角等于 （ 为边数）；正多边形的半径、边心距与边长的一半构成直角三角形，可利用勾股定理计算边长、边心距、周长和面积。 3．正多边形与圆的关系：把一个圆分成 等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 边形，这个圆是该正多边形的外接圆；正多边形的中心角与外角相等，常利用中心角进行角度与边长的相关计算。 1．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 2．（2021·上海·中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________． 3．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是______． 知识1 垂径定理及其应用 1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 知识2 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心 知识3 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识4 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识5 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识6 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识7 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识8 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 知识9 相交两圆的性质 1．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 2．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 知识10 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识11 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识12 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 2．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 3．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 4．（2025·上海静安·二模）已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 5．（2025·上海青浦·二模）在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是__________． 6．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 7．（2025·上海·二模）已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是________． 8．（2025·上海奉贤·二模）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是_______． 9．（2025·上海松江·二模）如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为__． 10．（2025·上海·二模）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为_________（用d和表示）． 11．（2025·上海松江·二模）如图，在中，，，点在边上，以O为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点E． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 12．（2025·上海奉贤·二模）在中，点C是弧的中点，交弦于点D，且D是的中点． (1)求的度数； (2)延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 13．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 14．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $