5.2 弧度制（课件）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

5.2 弧度制 第五单元 三角函数 语文版 基础模块 上册 1.理解理解弧度制定义，掌握换算关系与弧长公式； 2.能进行角度与弧度互转，解决简单实际问题； 3.提升学生的数学运算能力，体会角与实数集的对应关系。 学习目标 2 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 5.2 弧度制 观察这座巨大的摩天轮，当我们需 要计算摩天轮轮边移动的距离时，如果 使用初中学过的角度制公式，计算步骤 会非常繁琐。 教学引入 生活中的数学 5 教学引入 000 生活中的数学 再看这个圆形花坛的圆弧栅栏： 在园林设计中，工人师傅经常需 要快速计算出圆弧栅栏的长度。 用“度”来计算，容易出错且不够高效。 6 今天我们一起来学习 ——《弧度制》 我们初中学过用“度”来计量角。但在解决刚才的实际问题时， 角度制显得不够简便。 提问：有没有一种更简便的角的度量单位呢？ 思考与探索 教学引入 7 旧知回顾：什么是角度制？ 教学引入 定义：将周角进行 360 等分，每一 份叫做 1 度的角。 特殊角： 1 周角 = 360°；1 平角 = 180° 1 直角 = 90° 8 旧知回顾：度分秒的规则 教学引入 角度制的进位规则是 60 进制： 1°=60′（1 度等于 60 分） 1′=60″（1 分等于 60 秒） 9 新知讲授 5.2 弧度制 1873年，数学教师汤姆逊首次提 出了“弧度”一词。这个概念将角的度 量与长度直接联系起来，大大简化了 数学计算，并一直沿用至今。 学习小贴士：弧度制的由来 新知讲授 11 什么是弧度制？ 新知讲授 定义：弧度制就是以“弧度”为单位来度量角 的制度。把长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角，叫做 1 弧度的角。 单位符号：rad（读作弧度）。 12 新知讲授 弧度的大小取决于弧长(l)与半径(r)的比值： 当弧长 l=r 时，圆心角为 1rad;当弧长 l=1.5r 时，圆心角为 1.5rad。 结论:弧度数 = 弧长 ÷ 半径 13 小组讨论： “半径不同的两个圆中，长度等于各半径的弧所对的圆心角相等吗?” 新知讲授 答案： 相等。根据定义，只要弧长等于半径（l=r），其对应的圆心角大小就是固定的 1 弧度，与圆的半径大小无关。 14 新知讲授 想一想： 现在我们了解了弧度的定义，那角度与弧度之间应该如何换算呢？ 15 新知讲授 我们从周角入手： 1.一个完整圆的周长（弧长）为：l=2πr 2.根据弧度定义，周角的弧度数 = l÷r=2πrad 3.而周角的角度为 360° 得出结论：360°=2π rad 16 新知讲授 核心换算公式 由 360°=2πrad，两边同除以 2，得到最核心的换算桥梁： 180°=π rad 1°= rad≈0.01745 rad 1 rad=()°≈57.3°=57°18′ 17 案例分析 18 零角（无旋转） 负角（顺时针） 正角（逆时针） 0 rad y X x -0 rad X +0 rad y 新知讲授 与角度制一样，弧度制也规定了方向： 正角：逆时针旋转，弧度数为正；负角：顺时针旋转，弧度数为负。 零角：没有旋转，弧度数为 0。 19 新知讲授 引入弧度制后，每一个角都有唯一的 一个实数（弧度数）与之对应。 结论：角的集合与实数集 R 建立了一一 对应关系。 规范：在实际书写中，弧度单位 “rad” 通常可以省略不写。 正实数 零 负实数 正角 零角 负角 任意角的集合 实数集R 20 新知讲授 sin1° sin1 表示1弧度角的正弦 (1弧度约等于57.3°) 表示1度角的正弦 注意：没有度数符号 “°” 的，默认就是弧度！二者数值完全不同。 概念辨析 21 案例分析 22 新知讲授 根据弧度制的概念可知，如果在 半径为的圆中，长为的圆弧所对的 圆心角为α，那么角α的弧度数的绝对 值为 |α|=. 23 新知讲授 由此可得弧度制下的弧长公式是 =|α|·. 其中表示圆的半径，|α|表示圆心角的弧度 数的绝对值，表示该圆心角所对的圆弧的 长度. 24 新知讲授 深入理解 为什么说弧度制更简便？ 角度制：（带有 π 和 180，计算繁琐） 弧度制：（只需弧度乘半径，极其简洁） 注意：使用简便公式的前提是圆心角 必须是弧度制。 25 案例分析 26 新知速记 1.什么是角度制和弧度制？ 角度制：将周角进行 360 等分，每一份叫做 1 度的角。 弧度制：弧度制就是以“弧度”为单位来度量角的制度。把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，叫做 1 弧度的角。 2.弧度和角度的换算关系是怎样的？ 180°=π rad 1°=rad≈0.01745 rad；1 rad=()°≈57.3°=57°18′ 27 新知速记 3.角的集合与实数集 R有什么关系？ 4.如何定义弧度制下的弧长公式？ =|α|·：表示圆的半径，|α|表示圆心角的弧度数的绝对值。 角的集合与实数集 R 建立了一一对应关系。 28 学以致用 5.2 弧度制 学以致用 30 学以致用 31 师生交流 情境：某机械设备中的一个齿轮，在运转时旋转了 120°。提问： 请问该齿轮旋转的角用弧度制表示为( )rad。 答案： 解析：120×()= 120 32 课堂练习 5.2 弧度制 课堂练习 34 课堂练习 35 课堂练习 36 课堂练习 37 课堂练习 38 课堂练习 39 课堂练习 40 课堂练习 41 课堂小结 5.2 弧度制 课堂小结 1.核心概念： 长度等于半径的圆弧所对圆心角为 1 弧度。 正角为正，负角为负，零角为 0。 2.换算关系： 核心桥梁：180°=π rad 3.核心公式： 弧长公式：l=|α|・r（比角度制更简便） 43 课堂小结 易错点提醒 易错点 1：单位省略规范 弧度单位 rad 可以省略，但角度单位 ° 绝对不能省。 易错点 2：概念混淆 sin1≠sin1°（1 弧度约为 57.3°） 易错点 3：公式误用 使用简便弧长公式 l=|α|・r 时，角 α 必须是弧度制，不能直接代入度数。 44 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 45 【例题】把下列角度化成弧度： （1）；（2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1） rad rad； （2）， rad rad. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】计算. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】如图所示，弧AB表示花坛的一段圆弧形的栅栏，它的半径为r=6.5米，圆心角为72∘，求这段栅栏（弧AB）的长度（精确到0.01米）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，且，， （米）. 答：这段栅栏的长约为米. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】飞轮直径为，每分钟旋转300转，求飞轮圆周上的点每秒钟转过的弧长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意得，飞轮圆周上的点每秒钟转过的弧度数 ； 所以飞轮圆周上的点每秒钟转过的弧长 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算在半径为2cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 角度制，； 弧度制，，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】用弧度制表示为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ； 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知的圆心角所对的弧长为，则这个圆的半径为（ ） A．6 B． C．12 D．24 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设这个圆的半径为， ∵圆心角，弧长为， ∴，则. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知扇形的半径为，圆心角为， 则扇形的弧长. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】下列结论错误的是（ ） A．化成弧度是 B．化成度是 C．化成弧度是 D．化成度是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】下列说法正确的是（ ） A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故选项正确； 大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故选项错误； 不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故选项错误； 用弧度表示的角也可以不是正角，故选项错误， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】将弧度化成角度为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 . 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $