四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题

**基本信息** 2023级高三数学三模卷，以2021-2025年发电量数据（解答题16）、菱形翻折（解答题17）等真实情境与综合问题为载体，考查数学眼光、思维与语言，适配高考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、统计等|基础层梯度分布，如分层抽样（第4题）| |填空题|3/15|等比数列、球表面积等|空间想象（第13题圆台外接球）| |解答题|5/77|数列、立体几何、椭圆、导数等|综合应用，如发电量回归分析（第16题）、函数极值探究（第19题）|

2023级高三下学期定时练习 数学 本卷满分150分，练习时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效。 5.定时练习结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={0,1,2},B={x|2<3},则A∩B= A.{0} B.{1} C.{0,1) D.{0,1,2} 2.若复数x满足z(1十i)=2,则|z|= B.√2 C.1 D.2 3π 3.已知点A(不，0)，B(红，0)为函数f(x)=c0s(r十p)图象上的两个相邻对称中心，则f(x) 的最小正周期为 A竞 B.π C.3 2 D.2π 4.某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全 体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生、女生的平均 身高分别为175cm和165cm,则估计该校高三年级学生的平均身高为 A.169 cm B.170 cm C.171 cm D.172 cm 5.已知数列{am}满足a1=1,anam+1=2an一2am+1,则a?= A c 2 D. 数学试题第1页（共4页） 6.若圆C过点M(0,2),且与x轴相切，则圆心C的轨迹方程为 A.x2=4y B.x2=8y C.x2=4(1-y) D.x2=4(y-1) 7.已知a∈(0，受)，sia-coa 5,则cos2a= A- B c器 4 D.2 fx)=3x一x2一m(m+2)x+1在区间(-7，)上有最大值，则正整数 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知平面向量a=(1,1),b=(1,一1)，则 A.a+b|=2 B.(a+b)⊥(a-b) C.(2a+b)∥(a-2b) D.(a,a-b〉=f 10已知双猫线片-千2-10m>0)的左，右焦点分别为F,F,P为风曲线上一点，若 A(3,2),B(2,3),C(一2,3)，D(一2，一3)中有且仅有3个点在双曲线上，则 A.双曲线的渐近线斜率为士√3 B.|CF1|+|CF2|=2 C.△BDF1的面积为6 D.|AP|+PF2|的最小值为29-2 11.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)十f(x十4)=0，f(2x十2)是偶函数，f(1)=1,则 A.f(-3)=-1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D2kf2k-1D=-10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a,b,c成等比数列，且a<b<c,若a十b十c=14,abc=64,则a= 13.已知圆台的底面半径分别为1和2，高为3，底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面 积为 14.已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,2,3,4},若函数f:A→B满足：Hx1,x2∈A,都有 |f(x1)一f(x2)|≤2，则符合条件的函数共有 个. 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2 c cosC. (1)求C; (2)若a=2b,c=√3，求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的30.4%，稳 居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障，某学习小组收集了2021年至 2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图， 年份 2021 20222023 2024 2025 拟10.5 年份代码x 1 2 3 4 5 包10.0 9.5 我国全口径发电量y 9.0 (单位：万亿千瓦时) 8.528.859.4610.0910.58 8.5 8.0 0 1 2345 年份代码x 注：年份代码1-5分别对应2021-2025 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于x的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量， 参考数据：y=9.5,2(y,-2=29,2xy,=147.86√2丽≈5.39。 参考公式：回归方程y=x十ā中斜率和戴距的最小二乘估计公式分别为： 6-2红-90名-n 一，a=y一证，相关系数r 2x-200-9 2,- -n V2x-V2y- 数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2,将△ABC沿AC翻折至△APC,连接 PD,PB构成四棱锥P一ABCD (1)证明：AC⊥平面PBD; (2)若二面角P-AC-B的余弦值为-号 ①求PB的长； ②设P在平面ABCD上的射影为Q,直线CQ与AD交于E点，F为PB的中点， 证明：EF∥平面PCD 18.(本小题满分17分) 已知箱圆C:苦+号-1的左焦点为R, (1)求C的离心率； (2)P(xo,yo)(yo≠0)为C上一点，C在P处的切线为L. ①证明：1的方程为+-1， ②设C的右顶点为A,l交直线m:x=2于点Q,PA与FQ交于点R,O为坐标原点， 求OR的最小值. 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=sinx. (1)当x>0时，证明：f(x)<x: (2)已知函数g(x)=f(x)一e-n(x十1)十1在区间(0,2)内存在极值点a ①求k的取值范围； ②是否存在3∈(0，π)，使g(3)=0?若存在，比较B与2α的大小；若不存在，请说明理由· 数学试题第4页（共4页）2023级高三下学期定时练习 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题：（每小题5分，共40分） 1.C 2.B;3.B, 4.C 5.C, 6.D 7.A 8.C 二、选择题：（每小题6分，共18分） 9.ABD; 10.ACD; 11.ABD. 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12.2; 13.16π， 14.454. 四、解答题：（共77分） 15.解，(1)由正弦定理a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC, acosB+bcosA=2ccosC, 所以sinAcosB+sinBco3A=2 sinCcosC. …3分 即sin(A+B)=2 sinCcogC,由于sin(A+B)=sinC>0, 放coC=,因为C∈0，m,所以C=育， …6分 (2)由(1)蜘知，C=行，因为a=26,6=月，由余弦定理每 c08C=a2+62-c2=46+63-31 2ab 4b2 2’ …9分 即b2=1,b=1,故a=2b=2. …11分 所以△ABC的面积S= 2ab9inc=3、 大1X2= e …13分 16.解：(1)由题知z=3, 2(=4-22=1-302+2-32+(3-302+4-3)2+(5-3)2=10, …2分 2(x1-)y1-)=2x1-5zy=147.86-5×3X9.5=5.36 …4分 2x,-20:-列 所以r 5.36_5.36≈5.36 V图✉4-2g-列V而xv2。V网90.9.7分 数学参考答案第1页（共5页） 因为y与x的相关系数近似为0.99，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用 线性回归模型拟合y与x的关系。 ……8分 (2》6=x-z)y-) 5.36 =0=0.536, …10分 (x1-x)2 1 a=9.5-0.536×3=7.892 …12分 所以y关于x的回归方程为y=0.536x十7.892. …13分 将2026年对应的年份代码x=6代人回归方程得y=0.536×6+7.892=11.108(万 亿千瓦时). 所以预测2026年全国全口径发电量为11.108万亿千瓦时. …15分 17.解，(1)连接BD交AC于点O,因为四边形ABCD为菱形，所以对角线AC⊥BD,故AC ⊥OB,AC⊥OP. …2分 又因为OB,OPC平面PBD,OB∩OP=O,所以AC⊥平面PBD; …4分 (2)①由(1)知，AC⊥OB,AC⊥OP,OBC平面ABC,OPC平面PAC, 故二面角P-AC-B的平面角为∠POB,放c0∠POB=-号 …6分 因为在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2,OB=1, 所以在△BOP中，OB=1,OP=1. 故PB=1+1-2X1X1X(-=g,即P825, 31 …8分 ②由①知，AC⊥平面BDP,因为ACC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面BDP,又 因为P在平面ABCD上的射影为Q,平面ABCD∩平面BDP=BD,所以Q∈BD. …10分 由①蜘，608∠P00=号，0P=1,故00= 子，从页D0-号，B0-手 又因为△CQB与△EQD相似，所以DE 二5 -号8C1,即E为AD的中点 …12分 又因为O为BD的中点，所以OE∥CD;又因为CDC平面PCD,OE中平面PCD,所以 OE∥平面PCD. 数学参考答案第2页（共5页） 因为F为PB的中点，所以OF∥PD;又因为PDC平面PCD,OF丈平面PCD, 所以OF∥平面PCD. …14分 由于OE,OFC平面OEF,OE∩OF=O,故平面OEF∥平面PCD,因为EFC平面OEF,所 以EF∥平面PCD, …15分 ,y2 18.解：(1)由椭圆C十3=1知a=2,b=3 ……2分 放c=a一6=1，所以C的离心率：=日- ……3分 (2由PEC,得+号-=1，所以P浦足方程+-1 4十3 …5分 3 联立 y=3-7202’得32z+43-是zz)-12y2=0, 3x2+4y2-12=0 即（号z2+3y2)x-18xz+36-12y2=0, 即(3x。2+4y02)x2-24x0x+16(3-y02)=0. 由3x02+4y02=12,即3x2-6x0x十4(3-y02)=0. …8分 因为4=36x。2-48(3-y2)=36x。2+48y2-144=12(3x02+4y02-12)=0, 所以1为C在P处的切线。 …10分 @由①知，1的方程为+g=1,当z=2时0 6-3x0 2yo …12分 由于F(一1,0)，故直线FQ的斜率Q 2-x0 2yo 由于A(2,0),故直线AP的斜率P= y。 z0-2 1 所以kRM·ke=是0·k加=一之 y y 1 设R(xy),则一2‘x+=一2 化简得R的轨迹方程为少=-2（红+1）(z-2)(-1<x<2)。 …14分 1oR1=v2+9=2-+1z-2)=√分++1， …16分 所以当=y=士四即(-，)或R(-，兴时， 数学参考答案第3页（共5页） 1OR取得最小值4 4 …17分 19.解：(1)设函数h(x)=sinx-x,x∈(0，十∞)， …1分 则h'(x)=cosx一1≤0，故h(x)在(0，十∞)上单调递诚. …2分 所以h(x)<h(0)=0,即当x∈(0，+∞)时，f(x)=sinx<x, …3分 (2)①因为g(x)=kf(x)-e-ln(x+1)+1=ksinz-e-ln(x+1)+1, 所以g'(z)=cosx一e一z十1 1 …4分 当≤0时g'(x)≤0在z∈(0，)上恒成立，故g(x)在区间(0，)上单调递减，所 以g(x)无极值， …5分 1 当k>0时，令g'(x)=r(x),则r'(x)=-ksina-e+z十D<z+1-e <Gz十一1<0在x∈(0，分)上恒成立，放r(红)在z∈(0，分)上单调递减 若0<k≤2，x(x)<x(0)=k-2≤0，即g'(x)<0,故g(x)在区间(0，)上单调递诚， 所以g(x)无极值； …7分 若k>2,因为x(0)=-2>0,x(2)<0,所以存在a∈(0，)，使得x(a)=0,且当 x∈(0，a)时，r(x)>0,g'(x)>0,g(x)在区间(0，a)上单调递增，当x∈(a,7)时， x(x)<0,g(x)<0,g(x)在区间(a,)上单调递减.故g(x)在x=a处取得极大 值，无极小值. …9分 综上所述，k的取值范围是(2，十∞)， …10分 ②由①知，k>2,且g(z)在区间(0，a上单调递增，在区间(a,牙)上单调递减。 当zE[受时，ge)=ke0ax--中<0，放g:)在[，0上单润道减 …11分 因为g(a)>g(0)=0,g(π)=-e-ln(x+1)+1<0, 由零点存在定理知，存在唯一B∈(0，π)，使g()=0. ……12分 1 1 由g'(a)=kc08a-ea十1=0，得kco8a=e+2十i 数学参考答案第4页（共5页） g(2a)=ksin2a-e2-In(2a+1)+1=(kcosa)2sina-et-In(2a+1)+1 1 =2sia(e+a+7)-e-h(2a+1)+1. …13分 1 1 由(1)知，sina<a,且e+。+i>0,故g(2a)<2a(e+。+)-e-h(2a+1)+1 2a +7-lh(2a+1)-e(e-e-2a). …14分 2x 令m(x)=z年-lh(2x+1Dz∈0，)，则 22 -2x2 m'(x)=z+2z+=2z+1)z+1<0, 故m(e)在0，受上单调递滨，从而mG）<m(0)=0,即，-n(2a+1<0, …15分 令n(x)=e-e-2x,x∈(0,7，则n'(x)=e+e-2≥0，放n(z)在0，受)上 单搁递增，所以n(x)>n(0)=0,即e-ea-2a>0,一e"(e-e·-2a)<0. …16分 故g(2a)<0=g().由于g(x)在[a,x)上单调递诚，所以P<2a. …17分 数学参考答案第5页（共5页） 2023 级高三下学期定时练习 数 学 本卷满分 150 分，练习时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在本卷上答题无效。 5. 定时练习结束后，只将答题卡交回。 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ,则 A. B. C. 1 D. 2 3. 已知点 为函数 图象上的两个相邻对称中心,则 的最小正周期为 A. B. C. D. 4. 某校高三年级有男生 300 人, 女生 200 人, 按性别进行分层, 用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为 100 的样本, 如果样本按比例分配, 得到男生、女生的平均身高分别为 和 ,则估计该校高三年级学生的平均身高为 A. B. C. D. 5. 已知数列 满足 ,则 A. B. C. D. 6. 若圆 过点 ，且与 轴相切，则圆心 的轨迹方程为 A. B. C. D. 7. 已知 ,则 A. B. C. D. 8. 若函数 在区间 上有最大值,则正整数 的值有 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知平面向量 ,则 A. B. C. D. 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线上一点,若 中有且仅有 3 个点在双曲线上,则 A. 双曲线的渐近线斜率为 B. C. 的面积为 6 D. 的最小值为 11. 若定义在 上的函数 满足 是偶函数, ,则 A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线 对称 D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知 成等比数列,且 ,若 ,则 _____. 13. 已知圆台的底面半径分别为 1 和 2,高为 ,底面圆周均在球 的球面上,则球 的表面积为_____. 14. 已知集合 ,若函数 满足: ,都有 ,则符合条件的函数共有_____个. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 在 中,角 所对的边分别为 ,且 . (1)求 ； (2)若 ，求 的面积. 16. (本小题满分 15 分) 2025 年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的 30.4%，稳居世界第一, 为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障. 某学习小组收集了 2021 年至 2025 年我国全口径发电量相关数据, 根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量 (单位:万亿千瓦时) 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 注:年份代码1-5分别对应 2021-2025 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年我国全口径发电量. 参考数据: . 参考公式:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,相关系数 . 17. (本小题满分 15 分) 如图，在菱形 中， ，将 沿 翻折至 ，连接 构成四棱锥 . (1)证明: 平面 ； (2)若二面角 的余弦值为 . ① 求 的长； ②设 在平面 上的射影为 ，直线 与 交于 点， 为 的中点， 证明: 平面 . 18. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 的左焦点为 . (1)求 的离心率； (2) 为 上一点， 在 处的切线为 . ①证明: 的方程为 ； ②设 的右顶点为 交直线 于点 与 交于点 为坐标原点， 求 的最小值. 19. (本小题满分 17 分) 设函数 . (1)当 时，证明: ； (2)已知函数 在区间 内存在极值点 . ① 求 的取值范围; ②是否存在 ，使 ？若存在，比较 与 的大小；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $