相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练-2026届中考数学二轮复习

相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 考点目录 相似的性质 相似的判定与性质综合应用 考点一 相似的性质 例1．（25-26九年级下·重庆·期中）已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，然后再代入数据即可解答． 【详解】解：∵，和分别是与的角平分线， ∴相似比 ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴ 与的面积比为 ． 例2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如果，的三边长分别为、、，的最小边的长为，那么的周长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意容易判断，两个三角形的相似比为，再利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 与的相似比为 ， 又∵ 的周长为 ， ∴的周长为． 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【答案】 【分析】由平行得到，那么得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 例4．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 【答案】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 变式1．（2026·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，设，则，根据中点坐标公式求解即可； 【详解】解：取的中点F，设，则， 把按相似比放大， ， ， ， ， 解得 故； 变式2．（2026·贵州毕节·模拟预测）若，且与的相似比为，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵ ，相似比为 ∴ ． 变式3．（25-26九年级下·广东云浮·月考）如图，已知，且，，，则____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ． 变式4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再结合相似三角形对应中线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 与的对应中线之比为． 考点二 相似的判定与性质综合应用 例1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质得到，据此计算线段的长； （2）过作于，交于，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，过作于，交于， 由（1）可知， ， 的面积为， ， ， 平行四边形的面积为：． 例2．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，于点，为边上的中线． (1)若，求的度数； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据求解即可； （2）易得，设，则，证明，进而得到，从而求出的长，再根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】（1）解：， ， 为边上的中线， ， ， ， ， 、， ； （2）解：由（1）知， ， 设，则， 、， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即点到的距离为． 例3．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在和中，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 例4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 变式1．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在中，，，点D在AB上，，垂足为E，点F在延长线上，连接，且，交于点G． (1)①求证：； ②当时，求的长； (2)如图2，连接CD，若，求的值． 【答案】(1)①证明见解析，② (2) 【分析】（1）①证明，即可求证；②根据题意可得． 设，再由，可得，再利用勾股定理解答即可； （2）根据平行线分线段成比例，可得，设，，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴中，． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴， ∴，解得（负值舍去） ∴． 变式2．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点． （1）根据为等腰直角三角形，为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到，根据等角的余角相等得到，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论． （2）通过证明，，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论． 【详解】（1）证明；∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2）证明：由（1）知，，，是等腰三角形， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴代入上式得． 变式3．（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ． 变式4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由得出，再结合已知条件，利用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为，表示出的长度，再由证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 考点目录 相似的性质 相似的判定与性质综合应用 考点一 相似的性质 例1.(25-26九年级下·重庆期中)己知△ABC∽△A'BC',AD和A'D'分别是∠BAC与∠BAC的角平分线， AD=4,A'D'=3,则ABC与△A'B'C'的面积比是() A.4:3 B.7:3 C.16:9 D.4:7 例2.(25-26九年级上·陕西汉中·月考)如果△ABC∽aDEF,△ABC的三边长分别为3、4、6，△DEF的最小边的 长为6，那么△DEF的周长是(). A.26 B.13 C.28 D.52 S.ADE=1 3.2026:云南昆明：模拟预测)如图，在BC中，点D,E分别为B，4C上的点，若DE∥BC,3受 ,则DE BC D 例4.2026云南通，极拟预测)红图，在ABC中，DE∥sC,若8-子，则4DE与四边形DBCE的面积t D 1 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 变式1.(2026·重庆模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),C(0,4),以点A为位似中心，把ABC按相 似比1：3放大，放大后的图形记作△AB'C',则点C的坐标是() C B' B A.（2,8 B.2,12 C.4,12) D.（-4,12) 变式2.(2026贵州毕节·模拟预测)若△ABC∽aDEF,且△ABC与△DEF的相似比为1：3，则S。ABc:S.DEr为() A.1:3 B.1:9 C.1:5 D.1:6 变式3.(25-26九年级下广东云浮·月考)如图，已知△ADE∽△ABC,且AD=3,AC=7,AE=2,则BE= E 变式4.(25-26九年级上辽宁丹东·期中)已知△ABC∽△DEF,且面积比为1：2，则ABC与aDEF的对应中线 之比为· 2 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 考点二 相似的判定与性质综合应用 例1.(2025浙江杭州·模拟预测)如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F,连接AF交CD于点E,若 DE 1 CE3· A D B (1I)若BC=3,求线段CF的长； (2)若ADE的面积为1，求平行四边形ABCD的面积. 例2.(25-26九年级下·浙江杭州月考)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,DE为△ACD边上的 中线. A B D C (I)若∠EDA=3∠BAD,求∠C的度数； (2)若tan∠EDA=4,AB=6,求点A到BC的距离. 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 例3.(25-26九年级上·河南开封期末)如图，在ABC和ADE中，已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE. (I)求证：△ABC∽△ADE; (2)若S。ABc:SADE=4:9，BC=4,求DE的长. 例4.(25-26九年级上山东临沂·期末)如图，在ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，且∠DAC=∠B, CD=CE. A E B D (I)求证：△ACE∽△BAD; (2)若CE=6,BD=8,AE=4,求ED的长. 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 变式1.(2026安徽合肥一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AB上，DE⊥AC,垂 足为E,点F在AC延长线上，连接FD、FB,且FB=FD,FD交BC于点G. B B D D G G E C 图1 图2 (I)①求证：DE=CF; ②当BG=CG=3时，求BF的长； 2如图2，连接CD,若CDBF,求B 的值. D 变式2.(2026·上海闵行·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.点D在边BC上，点E在CB的延 长线上，连结AD、AE,过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F,且AE=EF, E B D (I)求证：BD=BE; (2)求证： AM 2MH AE DE 相似的性质、相似的判定与性质综合应用专项训练 变式3.(2026·北京平谷一模)如图，平行四边形ABCD,E是BC延长线上一点，BD=DE,且 ∠ABC=2∠DEB. B E (I)求证：四边形ABCD是菱形； (②)连接AE交BD于F,若LDEB=30°，AD=4,求BE和AF的长. 变式4.(2026·贵州遵义·一模)如图，在ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交边AC于点E, ∠B=LEFC. A D E B F (I)求证：四边形DEFB是平行四边形； (2)当四边形DEFB是菱形时，AB=10,BC=8,求菱形的边长. 6