二次函数压轴题之等腰三角形存在问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数压轴题中的等腰三角形存在问题，覆盖中考必考的分类讨论思想及基础模型、动点背景、综合变形三大考向，通过“考向点拨-思路提炼-真题精练”环节，帮助学生构建解题模型，突破几何直观与逻辑推理难点。 亮点在于“三步解题法”教学策略，即设动点坐标、分三种情况列方程、检验解的合理性，结合16道分层真题训练，培养学生的抽象能力和推理意识。通过草图辅助分析和方程化简技巧，提升学生快速解题能力，教师可据此精准把握复习重点，实现高效备考。

二次函数压轴题之等腰三角形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 二次函数压轴题的经典设问，多为解答题第2-3问，是分类讨论思想的典型应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成等腰三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下等腰三角形的存在情况。 3.综合变形：结合将军饮马、对称等几何变换，增加题目的复杂度。 二、思路点拨 1.解题通用步骤： 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 分三种情况讨论： ①PA=PB：P在AB的垂直平分线上，利用中点坐标和斜率关系列方程； ②PA=AB：以A为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P； ③PB=AB：以B为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P。 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2.关键技巧：利用两点间距离公式列方程，优先化简再求解，避免复杂计算；画草图辅助分析，防止漏解或重复。 精练 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3)数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AD为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在抛物线上是否存在一点Q，使得是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 5．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 8．2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； (4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 12．如图，二次函数的图象的顶点的横坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及二次函数的表达式； (2)求△ABC的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）； (3)如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S． ①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②当S取得最大值时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果） 18．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之等腰三角形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 二次函数压轴题的经典设问，多为解答题第2-3问，是分类讨论思想的典型应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成等腰三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下等腰三角形的存在情况。 3.综合变形：结合将军饮马、对称等几何变换，增加题目的复杂度。 二、思路点拨 1.解题通用步骤： 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 分三种情况讨论： ①PA=PB：P在AB的垂直平分线上，利用中点坐标和斜率关系列方程； ②PA=AB：以A为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P； ③PB=AB：以B为圆心、AB为半径画圆，与抛物线/直线的交点即为P。 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2.关键技巧：利用两点间距离公式列方程，优先化简再求解，避免复杂计算；画草图辅助分析，防止漏解或重复。 精练 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形，，或， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或，或， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或，或， 【分析】（1）设，，由，则，求出即可求，； （2）点在线段的垂直平分线上，再由是等腰直角三角形可得垂直的直线为，联立方程组即可求点坐标； （3）设，，由和，建立方程求出的值，即可求出答案； （4）求出顶点，，设，，分三种情况讨论：①当时，可得，；②当时，可得．，或，；③当时，可得，； （5）设，，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，可得，或，；③当时，可得，或，． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则，解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴，解得， ∴，； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴，或，； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴，解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴， ∴，或，， 即满足条件的点，或，或，； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵，∴顶点，， 设，， ①当时，，解得或舍，∴，； ②当时，，解得或，∴，或，； ③当时，，解得，∴，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，，解得， ∴，； ②当时，，解得， ∴，或，； ③当时，，解得或， ∴，或，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3)数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②或或或． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入即可得出答案； （2）先证明，根据相似的性质列等式，求与m的函数关系式； （3）①假设存在满足条件的P点，根据条件是为底的等腰三角形，作的垂直平分线交于，．求出和点坐标；②根据是等腰三角形，只有点使得该三角形的两边相等即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为可设， 将点代入，得， ∴． ∴； （2）解：令，得，解得： ∴． 如图，过点M作x轴的垂线，垂足为H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：①存在点Q，理由如下： ∵是以为底的等腰三角形， ∴． ∴ 又∵ ∴此时轴， ∴P为， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴点是的中点，则， ∴Q的坐标为； ②如图， ∵， ∴， 当时，，； 当时，； 当时，； 综上，点F的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，还考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，等腰直角三角形的性 质，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AD为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在抛物线上是否存在一点Q，使得是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N的坐标为或或或或；（3）存在，点或；（4）不存在，理由如下 【详解】（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：由题意可设，， ∵是等腰三角形， ∴①当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点； ②当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点或； ③当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形，点N的坐标为或或或或 （3）解：存在，理由如下： 过点P作PQ⊥AD于点Q，如图所示： ∵是以AD为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴由中点坐标公式可得， 由直线AD的解析式可知， ∵PQ⊥AD， ∴，解得：， 设直线PQ的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线PQ的解析式为， 联立直线PQ与抛物线的解析式可得：，化简得：， 解得：， ∴点或 （4）解：不存在，理由如下： ∵是等边三角形，， ∴， 过点Q作QG⊥y轴于点G，如图所示： ∴， ∴在Rt△OGQ中，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴， 经验证Q点不在二次函数上，则不存在Q. 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)；(2)①；②存在，或或；(3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，，解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：，解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：，解得：或（舍）或（舍）， ，∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 5．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴；解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)3；(3)或；(4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ，解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 8．2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)，；(2)存在，Q的坐标为或或或；(3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为；(2)△ADE面积的最大值为，此时D点坐标为； (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得△ADE面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ，解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， ∴△ADE面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， ;解得， ． 10．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； (4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2);(3)点的坐标为;(4)或 【分析】本题考查了二次函数图象与的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得A的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，根据列出方程求得m的值，进而求得结果． （4）分情况考虑E、F情况，结合线段与抛物线有两个公共点，求得的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，交轴于点， 解得 二次函数的解析式． （2）解：连接， ，二次函数图象的顶点为， ． ，． 由，得 ，． 二次函数的图象与轴相交于点， ． ． （3）解：由点在对称轴上，则设， 由（2）知，， ． 是以为底边的等腰三角形， ． 则． ． 解得． ． （4）解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为， ． 点的横坐标为，且线段轴， 、F纵坐标相等． ． 当时，E、F重合， 解得． 线段与抛物线有两个公共点， 不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 点关于直线对称点横坐标为 此时，线段与抛物线有两个公共点． ． 当时，． 在F右侧，如图 此时，点关于直线对称点横坐标为． 当与F重合时，线段与抛物线有两个公共点． ，解得． ． 综上，或 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1);(2)存在，点D的坐标为或或;(3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 12．如图，二次函数的图象的顶点的横坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及二次函数的表达式； (2)求△ABC的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，;(2);(3)存在，或或或 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）利用三角形面积的和差求法即可求解； （）设点，分两种情况：当时， 当时求解即可， 本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题的关键． 【详解】（1）∵直线过点， ∴，解得， ∴， 令，则， ∴点， 设二次函数的表达式为， 由题意，可得，解得， ∴二次函数的表达式为， （2）由（）知，直线的表达式为，二次函数的对称轴为直线， 设直线与二次函数图象的对称轴交于点，则点， 把代入，得， ∴点， ∴△ABC的面积； （3）存在． 设点， ∵点，， ∴，，， 分两种情况： 当时，，解得， ∴点的坐标为或， 当时，，解得， ∴点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或或． 13．如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）； (3)如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，;(2);(3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线经过点和点，可得即可求解； （2）当三点共线时，的值最大，据此即可求解； （3）根据等腰三角形两边相等分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴抛物线解析式为： ∴ ∴顶点D的坐标为 （2）解：如图所示： 当三点共线时，的值最大 此时， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点P坐标为， 故答案为： （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴△BDM～△AMN ∴ 由（1）可得： 时， 则△BDM≌△AMN， ∴ 时： 则 ∴ ∴ 即： ∴ ∴ ∴ 时： ∵，而 ∴ ∴此种情况不成立 综上所述：或， 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了二次函数解析式的求解、一次函数的解析式、二次函数与特殊三角形问题等知识点，掌握待定系数法是解题关键． 14．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)①，的最大值为12；②平行四边形，理由见解析；③存在，满足条件的的值为或或 【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形相似，平行四边形的性质等，分类求解是解决问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； ③分、、三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得， 该抛物线的表达式为． （2）①， 直线的解析式为． 设点的坐标为，故点的坐标为，其中， 则． 四边形的面积与的函数关系式为 ． ，， 当时，有最大值，的最大值为12． ②四边形是平行四边形．理由如下： 由①可得，当时，． ， 四边形是平行四边形． ③存在，理由如下： 如图， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为， ． ，． ，，即， ． 分三种情况讨论： I．当时，则，解得（舍去）． Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则． ， 解得（舍去）． Ⅲ．当时，如图，过点作于点， 则． ， ， ， ， 即， ， 解得（舍去）， 综上所述，满足条件的的值为或或． 15．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S． ①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②当S取得最大值时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)①；②S有最大值为，此时;(3)存在，或 【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解； （2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解； ②利用二次函数的性质可求解； （3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∵直线是抛物线的对称轴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵ ∴． ∵令，则， 解得， ∴． ∵点，点， ∴直线的解析式为． ∵点P在直线上，且轴于点D，， ∴点， ∴． ∵点P在线段上，且点，点， ∴． ∴S与m之间的函数关系式为； ②∵ ∴当时，S有最大值为，此时 把代入，得;∴ ∴当时，S有最大值为，此时． （3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．理由如下： 设，则，， 所以， ， ， 若，即， 解得（舍去）， 所以点P； 若，即， 解得（舍去）， 所以点P； 若，即， 解得或，均不合题意，故舍去， 所以点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 16．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形 (3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或(2,)或(2,)． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴或， 解得：或， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得：或， ∴此时点F的坐标为(2,)或(2,)．； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或(2,)或(2,)． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 17．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果） 【答案】(1)；(2)，当时，有最大值；(3)存在，点坐标为或；(4)或 【分析】（1）将，代入抛物线，用待定系数法即可求解； （2）由（1）的抛物线解析式可求出点的坐标，直线的解析式，点的坐标为，，可用含的式子表示，，从而表示出的值，求出的值； （3）设，，则可用含的式子表示，，分类讨论：当；当；当，由此即可求解； （4）如图所示（见详解），过点作轴交于点，过点作交于点，可证，设，则，，则，由此即可求解． ∵点在抛物线上， 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， ∵点的坐标为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形， 设， ∴，，， 当时，，解得（舍）或； ∴， 当时，，解得或（舍）； ∴， 当时，，解得（舍）； 综上所述：点坐标为或． （4）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得或， ∴或， 故答案为：或． 18．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)点P的坐标为(−3，4)；(3)存在，点M的坐标为：，， 【分析】（1）由直线方程可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式，再令y=0可求得C点坐标； （2）过E作EH⊥PD于H，可求得EH，设出P点坐标，则可表示出D、E、F的坐标，从而可表示出PD和EF，利用梯形面积公式可表示出四边形PDEF的面积，根据二次函数的最值，可求得P点坐标； （3）可求得直线AG和A′G′的方程，从而可表示出M、N点的坐标，从而可表示出MN、FM、FN的长，分MN=FM、MN=FN和FM=FN三种情况分别求解即可． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，∴A(−4，0)，B(0，4)． ∵抛物线经过A、B两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA． ∵OA=OB=4， ∴∠OAB=45°． ∴∠HDE=45°，且DE=． ∴HE=HD=2． 设点P的坐标为(，--3+4)， 则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．    ∴|PD|=-−3+4-(+4)=--4，   |EF|=--7-6-(+6)=--8-12． ∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF) = ×2(--4--8-12) =-2-12-12 =-2(+3)2+6． ∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6． 此时点P的坐标为(−3，4)． （3）满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下： ∵OG=2， ∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)． 设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得． ∴直线AG的方程为． ∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0） 令=0可得−+-2=0，解得=-4， ∴点M的坐标为(-4，0)． 联立直线与直线AB方程可得，解得． ∴点N的坐标为(，)． ∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)． ∴MF2=(-4+2)2=-4+4， MN2=(-4-)2+(0−)2=()2+()2=， NF2=(+2)2+()2=． 当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论： ①当MN=MF时，即=-4+4， 解得=或=． 此时点M的坐标为或． ②当MN=NF时，即=， 解得=-6(舍去)或=2． 此时点M的坐标为(-2，0)．(点M与点F重合，舍去)． ③当MF=NF时，即-4+4=， 解得=0(舍去)或=． 此时点M的坐标为(，0)． 综上所述，平移后点M的坐标为，， 【点睛】本题为二次函数的综合，涉及知识点有待定系数法、四边形的面积、二次函数的最值、平移、勾股定理及分类讨论思想．在（1）中求得A、B坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标表示出四边形PDEF的面积是解题的关键，在（3）中分别表示出MF、NF、MN的长是解题的关键．本题考查知识点多，综合性强，计算量大，难度较大． 20．如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，；(2)四边形为平行四边形，理由见解析；(3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令和，解方程可求解； （2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解； （3）过点作轴于点，设直线与轴交于点，则，，故，当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，平行四边形的判定，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 试卷第50页，共54页 试卷第49页，共54页 学科网（北京）股份有限公司 $