2026届高考物理二轮专题讲义：带电体在复合场中的运动

带电体在复合场中的运动 专题讲义 一、基本知识 1. 复合场定义 同时存在匀强电场、匀强磁场、重力场中的两场或三场叠加的区域，是高中物理高频难点。有时还包括轨道约束。 2. 三类场力特点 力 大小 方向 做功特点 运动影响 重力 恒力 竖直向下 做功与路径无关，只看高度差 改变速度大小、动能 电场力 恒力 正电荷沿 ，负电荷逆 做功与路径无关，只看电势差 改变速度大小、动能 洛伦兹力 与速度大小有关 垂直 与 所决定平面 永不做功 只改变速度方向，不改变大小 3. 三场共存结论 1.三力平衡 → 匀速直线运动 2.重力与电场力平衡 → 洛伦兹力提供向心力 → 匀速圆周运动 3.合力不为零且与速度不垂直 → 复杂曲线运动，洛伦兹力不做功，用动能定理/能量守恒/冲量微元法/配速法求解 二、基本方法 方法①：按特殊运动直接处理（直线/圆周） （1）匀速直线运动 •条件：合力为零（三力平衡/二力平衡） •步骤：受力分析→列平衡方程→求速度、场强、磁感应强度 •典型场景：正交电磁场、斜向复合场中的直线运动 （2）匀速圆周运动 •条件：重力与电场力等大反向，仅洛伦兹力提供向心力 •核心方程： •典型场景：带电液滴/小球在竖直面复合场中做圆周运动 方法②：能量守恒处理（无轨道/有轨道约束） （1）无轨道约束 •洛伦兹力不做功，只有重力、电场力做功 •核心公式： （2）有轨道约束（杆/环/槽） •轨道支持力、摩擦力参与受力，洛伦兹力仍不做功 •动能定理：合外力做功等于动能变化 •摩擦力做功： ，支持力 与洛伦兹力相关 方法③：能量守恒 + 正则动量（冲量微元法） 适用场景：变磁场、非匀速圆周、复杂曲线，无法直接用向心力公式 竖直方向：动能定理 水平方向：洛伦兹力冲量 动量定理： 典型题：磁场随 均匀增大 求最大速度 方法④：能量守恒 + 曲率半径信息 + 向心力方程 适用场景：题目给出曲率半径（如“最低点曲率半径=到x轴距离2倍”） 1. 动能定理求速度： 2. 向心力方程： 3. 代入题目几何关系 联立求解 方法⑤：配速法（等效分解法） 适用场景：重力+电场+磁场，粒子从静止释放，做摆线运动 把初速度看成等大反向的两个速度叠加 一个分速度对应的洛伦兹力平衡重力/电场力 运动分解为：匀速直线运动 + 匀速圆周运动 快速求最大距离、最大速度、轨迹特征 三、解题思路：从一般→复杂，平面→空间 1. 一般平面问题（两场/三场） 1.判电性：左手定则+受力平衡判断正负 2.判运动：匀速直线/匀速圆周/复杂曲线 3.选方程： •直线→平衡方程 •圆周→向心力+重力电场平衡 •曲线→动能定理 2. 复杂平面问题（含碰撞、分束、多过程） •碰撞：动量守恒 + 电荷守恒 + 平衡条件 •分束：质量、电量均分，洛伦兹力提供向心力 •多过程：直线→圆周→直线分段列式 3. 空间复合场问题 •三维受力：洛伦兹力垂直速度与磁场平面 •分解到x/y/z三个方向列方程 •核心不变：洛伦兹力不做功，能量守恒通用 四、针对练习 1．如图所示，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下(与纸面平行)，磁场方向垂直纸面向外。电场强度为E，磁感应强度为B。带电荷量为q的小球(视为质点)在纸面内恰好做匀速圆周运动。重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．小球带正电 B．小球的质量为 C．小球做匀速圆周运动的周期为 D．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为 答案：BD 解析：小球要做匀速圆周运动，静电力与重力要等大反向，静电力向上，小球必须带负电，A错误；由qE＝mg，求得m＝，B正确；小球做匀速圆周运动的周期为T＝＝，C错误；若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，由三力平衡可得Bqv＝Eq＋mg，求得v＝，D正确。 2.如图所示，空间存在一水平方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E＝，且电场方向与磁场方向垂直。在此空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成60°夹角且处于竖直平面内。一质量为m，带电量为＋q的小球套在绝缘杆上。若给小球一沿杆向下的初速度v0，小球恰好做匀速运动。已知小球电量保持不变，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　) A．小球的初速度为 B．若小球的初速度为，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止 C．若小球的初速度为，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止 D．若小球的初速度为，则运动中克服摩擦力做功为 答案：ACD 解析：对小球进行受力分析如图 电场力的大小 F＝qE＝q×＝mg 由于重力的方向竖直向下，电场力的方向水平向左，二者垂直， 合力FG＋F＝＝2mg 由几何关系可知，重力与电场力的合力与杆的方向垂直，所以重力与电场力的合力不会对小球做功，而洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，所以也不会对小球做功。所以，当小球做匀速直线运动时，不可能存在摩擦力，没有摩擦力，说明小球与杆之间就没有支持力的作用，则洛伦兹力大小与重力、电场力的合力相等，方向相反。 所以qv0B＝2mg 所以v0＝，故A正确； 若小球的初速度为， 则洛伦兹力F洛＝qv0B＝3mg＞FG＋F 小球还受到杆的垂直于杆向下的支持力，则摩擦力Ff＝μFN，小球将做减速运动；随速度的减小，洛伦兹力减小，则支持力逐渐减小，摩擦力减小，小球做加速度不断减小的减速运动，最后当速度减小到时，小球开始做匀速直线运动，故B错误；若小球的初速度为，则洛伦兹力F洛＝qv0B＝mg＜FG＋F，小球还受到杆的垂直于杆向上的支持力，而摩擦力Ff＝μFN，小球将做减速运动；随速度的减小，洛伦兹力减小，则支持力逐渐增大，摩擦力逐渐增大，小球的加速度增大，所以小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止，故C正确；由C项分析知，运动中克服摩擦力做功等于小球动能的变化，所以W＝mv＝，故D正确。 3.如图，竖直平面内存在互相垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度方向水平向右。一质量为m、带电量为q的带电小球(视为质点)以某一速度，从M点沿着与水平方向成30°方向直线运动到N点，MN的长度为L，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　) A．小球带负电 B．小球克服电场力做的功为mgL C．小球在N点的速度大小为 D．仅将电场方向逆时针旋转90°，其余条件不变，小球可在空间做匀速圆周运动 答案：C 解析：由于小球做直线运动，若小球带负电，则受竖直向下的重力、水平向左的电场力、垂直速度斜向下的洛伦兹力，所以小球不可能做直线运动，则小球带正电，故A错误；由于小球带正电，受到水平向右的电场力，则电场力做正功，故B错误；由于洛伦兹力与速度有关，则小球一定做匀速直线运动，由平衡条件有qvB＝，得v＝，故C正确；电场方向没有改变时，由平衡条件可得mg＝qEtan 60°，即重力与电场力大小不相等，所以仅将电场方向逆时针旋转90°，其余条件不变，重力与电场力的合力不为0，则小球不可能在空间做匀速圆周运动，故D错误。 4.空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电荷量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　) A．油滴a带负电，所带电荷量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 答案：ABD 解析：油滴a做圆周运动，故重力与静电力平衡，可知带负电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝＝，周期为T＝＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小油滴受到的静电力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 5．如图所示，空间中存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E、方向竖直向上，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。一电量为＋q的带正电粒子由O点以初速度水平向右飞入复合场中，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的最大速度为 B．粒子的最小速度为 C．粒子在竖直方向上的最大位移为 D．粒子在一个周期内水平向右的位移为 答案：AC 解析：AB．粒子所受的电场力竖直向上，根据左手定则可知，开始时粒子受到的洛伦兹力方向向下，因 故可把初速度分解为水平向右的两个分速度和，则 其中分速度满足 解得 和 故粒子的运动可分解为水平向右、速度大小为的匀速直线运动和线速度大小为的匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示。 由速度的合成与分解，可知粒子的最大速度为，最小速度为，故A正确，B错误； C．粒子做匀速圆周运动的半径为 故粒子在竖直方向上的最大位移为 故C正确； D．粒子运动的周期等于圆周运动的周期，即 粒子在一个周期内水平向右的位移为 故D错误。 故选AC。 6．如图所示，水平地面上方存在相互正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下、磁场方向水平向里。一个带正电的小球从A点沿水平向右方向进入该区域，落到水平地面上，设飞行时间为，水平射程为，着地速度大小为，电场力的瞬时功率为；撤去磁场，其余条件不变，小球飞行时间为，水平射程为，着地速度大小为，电场力的瞬时功率为。下列判断正确的是（　　） A．< B．> C． D． 答案：BC 解析：小球在电场与磁场同时存在的情况下落到地面，与撤去磁场时相比，多受一大小变化、方向斜向右上（A点水平向右）的洛伦兹力，设速度与水平方向夹角为，竖直方向上，由牛顿第二定律有 ， 得 水平方向上 ， AB．对两球竖直方向上，都下落h，由 ， 可知 水平方向上，由 ， 可知 A错误，B正确； C．由动能定理可知两种情况粒子抛出到地面过程中，都只有重力和电场力做功，总功相同，由动能定理 所以有 C正确； D．设两种情况小球落地时速度与水平方向夹角分别为和，则有运动分析可知 竖直方向上分速度 ， 有 电场力的瞬时功率为 可知 D错误。 故选BC。 7．在地面上方空间存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场，与竖直方向的匀强电场（图中未画出），一电荷量为＋q、质量m的带电粒子（重力不计），以水平初速度水平向右射出，运动轨迹如图。已知电场强度大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．电场方向竖直向上 B．带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为 C．带电粒子水平射出时的加速度大小为 D．带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为 答案：BD 解析：A．由运动轨迹可知，带电粒子只有受竖直向下的电场力，最低点线速度最大，向心力最小，偏转半径最大，符合题意，则电场方向竖直向下，故A错误； B．将带电粒子的速度分解为一个水平向左、大小 的分速度，和一个水平向右、大小 的分速度，由于 （与电场力平衡） 则带电粒子的运动可以看成是以速率向左的匀速直线运动和以速率的匀速圆周运动的合运动，故小球在运动轨迹的最低点时的速度大小 故B正确； C．由牛顿第二定律可得带电粒子水平射出时的加速度大小为 故C错误； D．由于洛伦兹力不做功，带电粒子从运动轨迹的最高点运动到最低点的过程有 又有 解得 故D正确。 故选BD。 8．霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射。入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。若电子入射速度在范围内均匀分布，下列说法正确的是（　　） A．电场强度 B．若电子入射速度为，运动到速度为时位置的纵坐标为 C．若电子入射速度为，最大运动速度为 D．能到达位置的电子的百分比为 答案：AC 解析：A．根据题意，入射速度为时，电子沿轴做直线运动，竖直方向受力平衡，有 解得 故A正确； B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射为，则电子受到电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 故B错误； C．若电子入射速度为，由于电子在最高点与最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立解得 故C正确； D．设以速度射入时能到达位置，对该位置电子进行分析，根据动能定理有 由C选项中有，联立解得 可知能到达位置的电子的百分比为，故D错误。 故选AC。 9. 如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在竖直向上的足够大的匀强磁场。从平面MNRS上的O点处以初速度v0=10m/s垂直MNRS面向右抛出一带电量为q质量为m小球．若磁感应强度B=，g取10m/s2．下列说法正确的是 A．小球离开磁场时的速度大小为10m/s B．小球离开磁场时的速度大小为10m/s C．小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为m D．小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为m 答案：AD 解析：AB.粒子在磁场中，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做自由落体运动，粒子运动的周期：，则出离磁场时运动时间为t=T/2=1s，下落的高度：，从进入磁场到出离磁场，由动能定理：，解得v=10m/s，选项A正确，B错误； CD.粒子做圆周运动的半径；则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为，选项C错误，D正确. 10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有沿x轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为B。从O点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动。已知y轴正方向竖直向上，重力加速度为g。 （1）求微粒发射时的速度大小和方向； （2）若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从O点射出后，求微粒通过y轴时到O点的距离； （3）若仅撤去电场，微粒改为从O点由静止释放，求微粒运动的轨迹离x轴的最大距离。 答案：（1），轴负方向夹角为；（2）；（3） 解析：（1）由题意知，粒子做匀速直线运动，受力分析如图 则 解得 粒子出射的速度方向与轴负方向夹角为 解得 即微粒发射的速度大小为 与轴负方向夹角为； （2）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，如图 将速度分解可得 轴方向的加速度大小 经过轴时的时间 。 距点的距离 （3）解法1（能量+冲量微元）： 微粒运动的轨迹离轴的距离最大时，速度与轴平行，设最大距离为，在方向上，由动量定理得 即 由动能定理得 解得 解法2（配速）： 将静止释放的微粒看成同时有大小相等、方向水平向左和向右的初速度，向左的速度产生的洛伦兹力与重力大小相等（如图） 则 解得 向左的分速度使微粒水平向左匀速直线运动，向右的分速度使微粒在洛伦兹力下做匀速圆周运动，即 解得 微粒运动的轨迹离轴的最大距离 11．如图所示，空间存在着垂直纸面向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B，在y轴两侧分别有方向相反的匀强电场，电场强度均为E，在y轴左侧紧靠y轴位置，有一带正电的液滴a在电场力和重力作用下静止，现从场中某点由静止释放一个带负电的液滴b，当它的运动方向变为水平方向时恰与a相撞，撞后两液滴合为一体，速度减小到原来的一半，并沿x轴正方向做匀速直线运动，已知液滴b与a的质量相等，b所带电荷量是a所带电荷量的2倍，且相撞前a、b间的静电力忽略不计。（重力加速度已知为g） （1）求两液滴相撞后共同运动的速度大小； （2）求液滴b开始下落时距液滴a的高度h。 答案：（1）；（2） 详解：（1）设a液滴质量为m、电量为q，b液滴质量为m、电量为-2q。a静止，处于平衡状态，由平衡条件得 a、b相撞合为一体时，质量为2m，电量为-q，速度为v，它们做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得 联立两式解得 （2）由题意可知，a、b碰撞前的速度 对b，从开始运动至与a相撞之前，由动能定理得 解得 12.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替如图所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径．在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为求： （1）小球运动到任意位置处的速率v． （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离． （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率． 答案：(1)；(2)；(3)． 解析：(1)洛伦兹力不做功，由动能定理得：， 解得： ； (2)设在最大距离处的速率为， 小球做圆周运动，由牛顿第二定律得：， 可知： 由及解得： ； (3)小球运动轨迹如图所示： 由动能定理得： ， 小球做圆周运动，由牛顿第二定律得： ， 由及，解得： 。 13．如图所示，在竖直面内建立坐标系，水平轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电小球在点静止释放，小球的运动曲线如图所示。 (1)若曲线在最低点的曲率半径为该点到轴距离的2倍，重力加速度为。求： 小球运动到任意位置处的速率及小球在运动过程中第一次下降的最大距离。 (2)若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随方向均匀增大，关系为。（和已知）求小球在运动过程中第一次下降的最大速度。 答案：(1)； (2) 解析：（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得 解得 设在最大距离处的速度为，根据圆周运动有 根据几何关系可知 结合（1） 解得 （2）由能量守恒定律，得 洛伦兹力在水平方向的冲量 由动量定理，得 联立解得最大速度 五、总结回顾 1.静止释放+磁场+曲率半径 ， ，得 2.三力平衡匀速直线 ， 3.重力电场平衡+匀速圆周 ， 4.配速法静止释放 最大距离 学科网（北京）股份有限公司 $