2026年高考数学临考冲刺卷01（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

2026年上海高考预测卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．增加上海高考数学特有的考点：台体、祖暅定理、马尔科夫链。 第一部分（填空题、选择题 共72分） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．（改编题）已知，则 _______. 1． 【详解】由 ， 因为，所以；故答案为：. 2．（热点）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 2．【详解】由，得，由，得， 又因为，所以；故答案为：. 3．（热点）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 3．【详解】由题意，所以在方向上的投影数量为：. 4．（改编题）从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 4．【分析】求出所有取值情况，找出使 有意义的情况，根据古典概率可求答案. 【详解】根据题意，从集合中随机抽取2个不同元素作为，有共6种，其中只有，即有意义，所以使得 有意义的概率为； 故答案为：. 5．（改编题）已知数列是以3为首项、为公比的等比数列，则其无穷项和为________． 5．6【详解】由题意，数列的前项和为， 当时，，即，则数列的无穷项的和为6. 6．（改编题）在的二项展开式中，项的系数为_____. 6．【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有，令，则， 有，即项的系数为；故答案为：. 7．（改编题）函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为__________. 7． 【分析】根据所过的点得到，再由值域得到，再应用换元法求的值域. 【详解】由题设，则，又函数的值域为， 则，可得，可得函数的定义域为，函数，所以且，可得，令，则 ，令，则，所以在上单调递增，则，即；故答案为：. 8．（热点）在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________. 8． 【分析】椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的 两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论 【详解】椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的 两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限，，当时，，即，解得，又因为，所以； 当时，，即且，解得：； 综上或. 9．（新情境）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为________. 9. 450【详解】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高， 所以，解得，所以正四棱台的上底面边长为， 下底面边长为，棱台的高为，所以方亭的斜高为， 由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以， 所以方亭的表面积. 10．（新情境）已知正整数，满足，若关于的方程有实数解， 则符合条件的共有________对. 10．【详解】因为，所以，同理可得， 又，所以，所以，， 其中，从而，即； ①若，取，则即为方程的解， 此时共有种； ②若，设取，则即为方程的解， 此时共有种； ③若模余，则，从而， 由①②可知此时共有种； ④若模余，则，从而， 模余的是，由①知可以；模余的是，由②不可以，故此时共有种； 综上所述符合条件的共有对；故答案为：. 11．（新情境）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米）    11．3.7【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为 正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的 截面为，设底面中心为，截面 中心为，则，， 所以， 所以截面为的面积为，设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得 四边形为，底面中心与截面中心之间的距离为，在正四棱柱中， 底面正方形边长为，高为，，所以，所以， 为等腰直角三角形，所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为，所以图2中阴影部分的面积为， 与截面面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）；故答案为：3.7. 12．（热点）一只青蛙在正方体的顶点处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个， 那么六次跳跃后回到顶点的概率为 12．【详解】由点出发，经过偶数次移动只能到达点 （奇数次后只能位于点），考虑移动次（是偶数）返回到的路径数为，显然； 由于移动次后只能位于点，其中位于再移动1次就可能返回到， 所以考虑移动次后所在点，把这四个点分成两类：点和点； 若在点（路径数为），再移动2次返回到只有3种折返路径（即）； 若在点（路径数为）中的一个， 再移动2次返回到的路径数每个点处都有2条路径（即）； 综上，移动次（是偶数）返回到的路径数，即， 累加可得，总路径数为，故青蛙跳动（为偶数）次后恰好回到的概率为， 当时，，故答案为：. 方法二：【详解】作出正方体ABCD﹣EFGH，如图所示，将顶点分成四类： {A}，{B，D，}，{C，}，{}， 蚂蚁第一次爬行后在四个集合的概率分别为（0，1，0，0）， 第二次爬行后在四个集合的概率分别为， 第三次爬行后在四个集合的概率分别为， 第四次爬行后在四个集合的概率分别为， 第五次爬行后在四个集合的概率分别为， 第六次爬行后在四个集合的概率分别为， 则第六次爬行之后回到顶点A处的概率为．故答案为：． 二. 选择题（本大题共4题，每个题目只有一个选项是符合题目要求的，13、14每题4分，15、16每题 5分，满分18分） 13．（改编题）已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（    ） A．吸烟者一定会患肺癌 B．吸烟者患肺癌的概率为99% C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 13．D【详解】根据独立性检验思想可知，有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%；故选：D. 14．（新情境）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面 和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D． 14．C【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后， 由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值. 【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，四边形为正方形， ，平面，平面，，，平面，平面； 同理可得：平面；平面的法向量为， 平面的法向量为，， ，，， 即与的夹角为，所求锐二面角的大小的余弦值是；故选：C． 15．（改编题）设和是定义在上的两个函数，，是上任意两个不相等的实数， 下列结论正确的有（   ）． （1）若恒成立且为奇函数，则为奇函数； （2）若恒成立且为周期函数，则也是周期函数； （3）若恒成立且为上的严格增函数， 则，都是上的严格增函数 A．（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3） 15．A【详解】对于（1），令， ，则为奇函数， 为非奇非偶函数，显然恒成立，故（1）错误； 对于（2），设的周期为，取，，则， 是以为周期的周期函数，，， ，即，是以为周期的周期函数，故（2）正确； 对于（3），不妨设， 是上的严格增函数，当时，， 又，即， ，， 当时，，是上的严格增函数， ，当时，， 函数是上的严格增函数，故（3）正确；正确的命题为：（2）（3）． 16．（新情境）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数， 满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 16．C【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以；故选：C. 第二部分（解答题 共78分） 三. 解答题（本大题共5题，第17、18、19题，每题14分；第20、21题，每题18分；满分78分） 17．（改编题）记（）． （1）若，解不等式：；（2）若恒成立，求实数的取值范围． 17．（1）；（2）. 【详解】（1）当时，，因此， 等价转化为，即，解得，故原不等式的解集为； （2）将代入得. 故，其中，令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为，从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为，故的取值范围是. 18．（新情境）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为；由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时， 被其误判为合格的概率为，且；现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行 检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. （1）单件产品的检测结果为合格的概率p（用）；（2）若为定值， 当取最大值时的值为，当足够大时，以上中的近似服从；设， 当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数. 参考数据：. 18．（1）；（2）最小值为19600，. 【详解】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件，“单件合格品检测为合格”为事件， “单件不合格品误判为合格”为事件，则由全概率公式知， ， 即单件产品的检测结果为合格的概率为； （2）因为每件产品的检测结果相互独立，所以件产品中检测结果为合格的件数服从二项分布，当时，，令，其中，则 ，令，得，且， 所以当 时，，所以在上单调递增，当 时，， 所以在上单调递减，所以，当时，取得最大值．因此， 由于为随机变量，且，所以，因为， 所以，所以， ，将代入， 整理得，因为，所以， 由题知，近似服从，所以，故， 由参考数据，故，解得，又， 所以恒成立，因为时，取得最大值19600. 所以的最小值为19600，此时. 19．（新情境）在如图所示的圆柱中，AB，DC分别是下底面圆、上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，过直线BD且与平面ABCD垂直的平面记为，平面与该圆柱侧面的交线记为 ．    （1）证明：平面；（2）已知为下底面圆周上的一点，当时，求平面与平面 所成角的正弦值；（3）将圆柱沿母线BC剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中， 以为原点，以的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 求的平面展开曲线的方程． 53．（1）证明见解析；（2）；（3）. 【详解】（1）因为AD，BC是圆柱的母线，所以底面底面， 所以，因为，所以四边形ABCD为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面，所以平面； （2）在底面内过点作直线AB的垂线，以为原点， 分别以l，AB，AD所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，  则 ，所以 ， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 此时，   由（1）可知为平面的一个法向量，   因为，    所以平面与平面所成角的正弦值为； （3）方法一：设的平面展开曲线上任意一点的坐标为， 当时，；当；当时，设点在圆柱侧面上对应点为，过点的 母线交上底面于点，则，劣弧DM的弧长为|x|，作分别为垂足， 连接QN，因为平面平面，底面平面ABCD，所以平面平面ABCD， 所以，因为，所以平面ABCD，所以， 可得四边形为矩形，所以，   因为底面圆周半径为1，所以， 因为，所以，  当时，在Rt中， ，因为，所以，即， 当时，，所以， 当时，在Rt中，， 因为，所以，因此，即．    综上可得，．    方法二：设的平面展开曲线上任意一点的坐标为，设点在圆柱侧面上对应点为，则在空间直角坐标系中，   所以，   因为为平面的法向量，所以，  可得，即； 综上可得，． 20．（改编题）已知双曲线经过点，且右顶点为； 过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求的方程； （2）若的方程为，求的面积； （3）设点、到的距离分别为、，求的最大值. 20．（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为双曲线的右顶点为，且经过点， 所以，解得，所以的方程为. （2）联立得， 设、，则，， 所以， 所以； （3）方法一：由题意可知，直线不与轴平行，故其斜率存在，设的方程为， 联立，得，设、， 则，，直线的方程为，所以， 同理可得，所以的中点的纵坐标为 ， 所以的中点为定点，设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以，所以最大值为； 方法二：设、，不妨设，则直线的方程为， 与联立得：， 则，，，则，， 同理，，而，， 又、、三点共线，则有，则， 等式两边同时乘以可得，即， 即，因为，故，即，所以的中点为定点. 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以，所以最大值为. 21．（热点）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数定义域，对任意实数，定义集合． （1）已知，求；（2）已知，若集合只有一个元素，求的值； （3）已知，其中且，求证：集合是一个区间． 21．（1）；（2）1；（3）见详解. 【详解】（1）函数的定义域为，由题意可知即不等式的解集，可化为，整理可得，即，解得或， 所以； （2）函数的定义域为，由题意可知即不等式 的解集，令，所以即的解集，若集合只有一个元素， 即方程有唯一解，且函数在该点处与轴相切，因为， （i）当时，恒成立，在上单调递增，所以，无解，故不成立；（ii）当时，令，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，即，即， 解得；经检验，当时， ， 所以只有一个解，且，符合题意，故a的值为1； （3）函数的定义域为， 由题意可知即不等式（且）的解集， 即（且）的解集令， 则， ①当时，恒成立，单调递增，当，所以的解集， 即集合必是一个区间； ②当时，令，解得，所以在上单调递增， 在和单调递减，且，所以的解集，即集合必是一个区间； ③当时，令，解得，所以在上单调递增，在和 单调递减，且，所以的解集，即集合必是一个区间. / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海高考预测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．增加上海高考数学特有的考点：台体、祖暅定理、马尔科夫链。 第一部分（填空题、选择题 共72分） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．（改编题）已知，则 _______. 2．（热点）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 3．（热点）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 4．（改编题）从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 5．（改编题）已知数列是以3为首项、为公比的等比数列，则其无穷项和为________． 6．（改编题）在的二项展开式中，项的系数为_____. 7．（改编题）函数解析式为，值域为，图象过点， 则函数的值域为__________. 8．（热点）在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________. 9．（新情境）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台） 建筑物为方亭”. 现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成 的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍； 已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为________. 10．（新情境）已知正整数，满足，若关于的方程有实数解， 则符合条件的共有________对. 11．（新情境）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米）    12．（热点）一只青蛙在正方体的顶点处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个， 那么六次跳跃后回到顶点的概率为 二. 选择题（本大题共4题，每个题目只有一个选项是符合题目要求的，13、14每题4分，15、16每题 5分，满分18分） 13．（改编题）已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（    ） A．吸烟者一定会患肺癌 B．吸烟者患肺癌的概率为99% C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 14．（新情境）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面 和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D． 15．（改编题）设和是定义在上的两个函数，，是上任意两个不相等的实数， 下列结论正确的有（   ）． （1）若恒成立且为奇函数，则为奇函数； （2）若恒成立且为周期函数，则也是周期函数； （3）若恒成立且为上的严格增函数， 则，都是上的严格增函数 A．（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3） 16．（新情境）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数， 满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（解答题 共78分） 三. 解答题（本大题共5题，第17、18、19题，每题14分；第20、21题，每题18分；满分78分） 17．（改编题）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 记（）． （1）若，解不等式：；（2）若恒成立，求实数的取值范围． 18．（新情境）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为；由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时， 被其误判为合格的概率为，且；现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行 检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. （1）单件产品的检测结果为合格的概率p（用）；（2）若为定值， 当取最大值时的值为，当足够大时，以上中的近似服从；设， 当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数. 参考数据：. 19．（新情境）（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分. 在如图所示的圆柱中，AB，DC分别是下底面圆、上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，过直线BD且与平面ABCD垂直的平面记为，平面与该圆柱侧面的交线记为 ．    （1）证明：平面；（2）已知为下底面圆周上的一点，当时，求平面与平面 所成角的正弦值；（3）将圆柱沿母线BC剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中， 以为原点，以的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 求的平面展开曲线的方程． 20．（改编题）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知双曲线经过点，且右顶点为； 过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的方程；（2）若的方程为，求的面积； （3）设点、到的距离分别为、，求的最大值. 21．（热点）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知函数定义域，对任意实数，定义集合． （1）已知，求；（2）已知，若集合只有一个元素，求的值； （3）已知，其中且，求证：集合是一个区间． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考预测卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．4 2． 3．-2 4. 5．6 6．40 7． 8. 9．450 10．37 11．3.7 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13． D 14．C 15．A 16.C 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（改编题）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 记（）． （1）若，解不等式：；（2）若恒成立，求实数的取值范围． 17．（1）；（2）. 【详解】（1）当时，，因此，，……2分 等价转化为，即，解得，……2分 故原不等式的解集为；……2分 （2）将代入得，故，其中，令，则在上是严格增函数，……2分 故不等式转化为，从而，即对于恒成立，……1分 令，故，，……2分 + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数，……1分 因此，在上的极大值也是最大值为，故的取值范围是.……2分 18．（新情境）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为；由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时， 被其误判为合格的概率为，且；现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行 检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. （1）单件产品的检测结果为合格的概率p（用）；（2）若为定值， 当取最大值时的值为，当足够大时，以上中的近似服从；设， 当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数. 参考数据：. 18．（1）；（2）最小值为19600，. 【详解】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件，“单件合格品检测为合格”为事件， “单件不合格品误判为合格”为事件，则由全概率公式知，……2分 ，……2分 即单件产品的检测结果为合格的概率为；……2分 （2）因为每件产品的检测结果相互独立，所以件产品中检测结果为合格的件数服从二项分布，当时，，令，其中，……1分 则 ，……1分，令，得，且， 所以当 时，，所以在上单调递增， 当 时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值，因此，……1分 由于为随机变量，且，所以，因为， 所以，所以， ，将代入， 整理得，……2分 因为，所以，由题知，近似服从， 所以，故，……1分 由参考数据，故，解得，又， 所以恒成立，因为时，取得最大值19600. 所以的最小值为19600，此时.……2分 19．（新情境）（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分. 在如图所示的圆柱中，AB，DC分别是下底面圆、上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，过直线BD且与平面ABCD垂直的平面记为，平面与该圆柱侧面的交线记为 ．    （1）证明：平面；（2）已知为下底面圆周上的一点，当时，求平面与平面所成角的正弦值；（3）将圆柱沿母线BC剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中，以为原点，以的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，求的平面展开曲线的方程． 53．（1）证明见解析；（2）；（3）. 【详解】（1）因为AD，BC是圆柱的母线，所以底面底面，……1分， 所以，因为，……1分， 所以四边形ABCD为正方形， 所以， ……1分 又因为平面平面，平面平面，所以平面；……1分 （2）在底面内过点作直线AB的垂线，以为原点， 分别以l，AB，AD所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，  ……1分 则 ，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，此时，   ……1分 由（1）可知为平面的一个法向量，   因为，    所以平面与平面所成角的正弦值为；……2分 （3）方法一：设的平面展开曲线上任意一点的坐标为，……1分 当时，；当；当时，设点在圆柱侧面上对应点为，过点的 母线交上底面于点，则，劣弧DM的弧长为|x|，作分别为垂足， 连接QN，因为平面平面，底面平面ABCD，所以平面平面ABCD， 所以，因为，所以平面ABCD，所以， 可得四边形为矩形，所以，   ……1分 因为底面圆周半径为1，所以，因为，所以，   当时，在Rt中，，因为， 所以，即， ……1分 当时，，所以， ……1分 当时，在Rt中，，因为， 所以，因此，即．   ……1分 综上可得，．   ……1分 方法二：设的平面展开曲线上任意一点的坐标为，……2分 设点在圆柱侧面上对应点为，则在空间直角坐标系中，    所以，  因为为平面的法向量，所以，……2分   可得，即； 综上可得，．……2分 20．（改编题）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知双曲线经过点，且右顶点为； 过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求的方程； （2）若的方程为，求的面积； （3）设点、到的距离分别为、，求的最大值. 20．（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为双曲线的右顶点为， 且经过点，……2分 所以，解得， 所以的方程为.……2分 （2）联立得， 设、，则，，……2分 所以，……2分 所以；……2分 （3）方法一：由题意可知，直线不与轴平行，故其斜率存在，设的方程为， 联立，得，……2分 设、，则，，直线的方程为， 所以，同理可得，……2分 所以的中点的纵坐标为 ，……2分 所以的中点为定点，设到的距离为，由图易知、两点在的同侧， 所以，又过定点，所以， 所以最大值为.……2分 方法二：设、，不妨设，则直线的方程为， 与联立得：，……2分 则，，，则，， 同理，，……1分 而，， 又、、三点共线，则有，则，……2分 等式两边同时乘以可得，即， 即，因为，故，即， 所以的中点为定点，……2分 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以，所以最大值为.……1分 21．（热点）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知函数定义域，对任意实数，定义集合． （1）已知，求；（2）已知，若集合只有一个元素，求的值； （3）已知，其中且，求证：集合是一个区间． 21．（1）；（2）1；（3）见详解. 【详解】（1）函数的定义域为，……1分 由题意可知即不等式的解集，可化为， 整理可得，即，解得或，……2分 所以；……1分 （2）函数的定义域为，由题意可知即不等式的解集， 令，所以即的解集，……1分 若集合只有一个元素，即方程有唯一解，且函数在该点处与轴相切，因为， （i）当时，恒成立，在上单调递增，所以，无解，故不成立；……2分 （ii）当时，令，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，即， 即，解得；……2分，经检验，当时， ， 所以只有一个解，且，符合题意，故a的值为1；……1分 （3）函数的定义域为，……1分 由题意可知即不等式（且）的解集， 即（且）的解集令， 则，……2分 ①当时，恒成立，单调递增，当，所以的解集， 即集合必是一个区间；……1分 ②当时，令，解得，所以在上单调递增，在和 单调递减，且，所以的解集，即集合必是一个区间；……2分 ③当时，令，解得，所以在上单调递增，在和 单调递减，且，所以的解集，即集合必是一个区间.……2分 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海高考预测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 1234 1234 123 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 S 5 破。 5 正确填涂 6789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分， 第 -6题每题4分，第7-12 题每题5分) 製 3 5 6 ! 7 8 9 10 11 12 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[AB][C][D] 14[A][B][C]D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][CD] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 w" C14) ■■■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年上海高考预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．增加上海高考数学特有的考点：台体、祖暅定理、马尔科夫链。 第一部分（填空题、选择题 共72分） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．（改编题）已知，则 _______. 2．（热点）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 3．（热点）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 4．（改编题）从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 5．（改编题）已知数列是以3为首项、为公比的等比数列，则其无穷项和为________． 6．（改编题）在的二项展开式中，项的系数为_____. 7．（改编题）函数解析式为，值域为，图象过点， 则函数的值域为__________. 8．（热点）在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________. 9．（新情境）《九章算术》是我国古代的数学名著；其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台） 建筑物为方亭”. 现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成 的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍； 已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为________. 10．（新情境）已知正整数，满足，若关于的方程有实数解， 则符合条件的共有________对. 11．（新情境）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米）    12．（热点）一只青蛙在正方体的顶点处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个， 那么六次跳跃后回到顶点的概率为 二. 选择题（本大题共4题，每个题目只有一个选项是符合题目要求的，13、14每题4分，15、16每题 5分，满分18分） 13．（改编题）已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（    ） A．吸烟者一定会患肺癌 B．吸烟者患肺癌的概率为99% C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 14．（新情境）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面 和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D． 15．（改编题）设和是定义在上的两个函数，，是上 任意两个不相等的实数，下列结论正确的有（   ）． （1）若恒成立且为奇函数，则为奇函数； （2）若恒成立且为周期函数，则也是周期函数； （3）若恒成立且为上的严格增函数， 则，都是上的严格增函数 A．（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3） 16．（新情境）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数， 满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（解答题 共78分） 三. 解答题（本大题共5题，第17、18、19题，每题14分；第20、21题，每题18分；满分78分） 17．（改编题）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 记（）． （1）若，解不等式：；（2）若恒成立，求实数的取值范围． 18．（新情境）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为；由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时， 被其误判为合格的概率为，且；现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行 检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. （1）单件产品的检测结果为合格的概率p（用）；（2）若为定值， 当取最大值时的值为，当足够大时，以上中的近似服从；设， 当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数. 参考数据：. 19．（新情境）（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分. 在如图所示的圆柱中，AB，DC分别是下底面圆、上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，过直线BD且与平面ABCD垂直的平面记为，平面与该圆柱侧面的交线记为 ．    （1）证明：平面；（2）已知为下底面圆周上的一点，当时，求平面与平面 所成角的正弦值；（3）将圆柱沿母线BC剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中， 以为原点，以的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 求的平面展开曲线的方程． 20．（改编题）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知双曲线经过点，且右顶点为； 过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的方程；（2）若的方程为，求的面积； （3）设点、到的距离分别为、，求的最大值. 21．（热点）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知函数定义域，对任意实数，定义集合． （1）已知，求；（2）已知，若集合只有一个元素，求的值； （3）已知，其中且，求证：集合是一个区间． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $