21.3 特殊的平行四边形-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学八年级下册RJ 21.3 特殊的平行四边形 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些 敲黑板多 特殊条件时，就得到特殊的平行四边形.本节就来研究这些特殊的 平行四边形 21.3.1矩形 先来看角满足特殊条件的平行四边形.如图21.3-1，当平行四边 形的一个角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形.有一 个角是直角的平行四边形叫作矩形(ectangle),矩形也就是长方形. 平行四边形 一个角是直角 矩形 ◇ 图21.3-1 矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等（图21.3-2） 都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗？ 图21.3-2 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定 匀思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性 质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有 的一些特殊性质呢？ 与研究平行四边形的性质类似，对于矩形，我们仍然从它的边、角、 对角线出发进行研究.可以发现并证明（请你自己完成证明），矩形 还有以下性质： 72|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 矩形的四个角都是直角； 敲黑板多 矩形的对角线相等 矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的等 腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等 另外，容易发现，矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在 的直线就是它的对称轴 >矩形有两条对称轴 例1如图21.3-3，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长 解： 四边形ABCD是矩形 AC与BD相等且互相平分. OA =OB 有一个角是60°的等腰 又 ∠A0B=60°，7三角形是等边三角形 因方法点拨 B △OAB是等边三角形 图21.3-3 当矩形对角线所夹的锐 角是60°时，矩形中就会 OA =AB =4. 有等边三角形和含30° . AC=BD 20A =8. 角的直角三角形. 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位 线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质. 交思考 如图21.3-4，B0是Rt△ABC斜边AC上的 0 中线，B0与AC有什么关系？你能证明你发现的 结论吗？ 图21.3-4 可以发现B0=分AC.下面对它进行证明. 类似于证明三角形中位线定理的过程，如 图21.3-5，延长B0到点D,使OD=OB,连接 风拓展提升 该性质的逆命题“如 AD,CD,则四边形ABCD是矩形（想一想为什么). 图21.3-5 果一个三角形一边上 的中线等于这条边的 根据矩形的性质，BD=AC.所以BO=2BD=)AC 一半，那么这个三角 形是直角三角形”仍 由此得到直角三角形的一个性质： 然成立，它可以用来 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 判断一个三角形是否 为直角三角形. 它是直角三角形的一个重要性质，主要用于解 决线段长或线段倍分关系问题 中小学AI教辅引领者|73 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个 。练习答案 为120°.求这个矩形相邻两边的长 1.4.45 2.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延 2.是.理由如下：四 边形ABCD是矩形， 长线上，DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？ ∴.AD∥BC,AC 试说明理由 (第2题)》 BD.DE∥AC,.四 边形ACED是平行四 边形，AC=DE.又 接下来研究矩形的判定.由矩形的定义可知，有一个角是直角的 AC=BD,∴.BD=DE 即△DBE是等腰三 平行四边形是矩形.除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 角形。 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的 逆命题，看一看它们是否成立· 交思孝 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线 区易错提醒 相等的平行四边形是矩形吗？ (1)对角线相等的四边 形不一定是矩形，如等 如图21.3-6，由口ABCD的对角线AC,BD相等， 腰梯形； 再根据AB=DC,BC=CB,可以证明△ABC≌△DCB (2)判定矩形时，首 先要分清是在平行四边 从而∠ABC=∠DCB,又∠ABC与∠DCB互补，所以它 形基础上判定还是在四 们都是直角.这样，就证明了口ABCD是矩形.由此得 边形基础上判定，然后 到矩形的一个判定定理： 图21.3-6 根据已知条件选择判定 方法 对角线相等的平行四边形是矩形 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形， 不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条 对角线是否相等.你知道其中的道理吗？ 测量它们的两组对边长度相等，以此确认其是平行四边形；再测 。思考答案 这思老量它们的两条对角线相等，从而保证它们是拒形 是.3个 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立 吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角 是直角的四边形是矩形？ 可以发现并证明（请你自己完成证明）矩形的另一个判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形，由四边形的内角和等于360°可知 第四个角也是直角 例2如图21.3-7，口ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E, F,G,H.求证：四边形EFGH是矩形 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的 个内角∠F为直角，同理可证∠H,∠AEB 也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形. 图21.3-7 74|中小学A教辅引领者 第二十一章四边形 敲黑板多 证明：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD ∠BAD+∠ADC=180° 又AF,DF分别平分∠BAD,∠ADC, ·.∠DAF+LADF=2∠BAD+)∠ADC=)(LBAD+∠ADC) =90°」 .∴.∠F=90°. 同理∠H=∠AEB=90° ..∠FEH=∠AEB=90° 四边形EFGH是矩形. 凸练习 。练习答案 1.求证：四个角都相等的四边形是矩形 1.略.提示：先由四 2.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形， 边形的内角和等于 且AB=2.求□ABCD的面积 360°，求得这四个 角都是直角，再利 用“有三个角是直 角的四边形是矩形” 判定即可 2.45. (第2题) (第3题) 3.略.提示：先证明 AF IL DC,再证明 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是线段BC,AD的中点， 四边形ADCF内有 过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.求证：四边形 一个角是直角. ADCF是矩形 21.3.2菱形 前面研究了角满足特殊条件的平行四边形 矩形，再来看边满 足特殊条件的平行四边形 如图21.3-8，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形也 是特殊的平行四边形.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(hombus). 平行四边形 组邻边相等 菱形 图21.3-8 菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、 活动挂架（图21.3-9)等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗？ 中小学A1教辅引领者|75 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 图21.3-9 ☑速记口诀 类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定 两条对称抽分别是两 条对角线所在的直线. 交思老 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性 质.但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有 的一些特殊性质呢？ 回拓展提升 我们仍从菱形的边、角、对角线出发进行研究.可以发现并证明（请 对角线互相垂直的任 你自己完成证明)，菱形还具有以下性质： 意四边形的面积等 」可以利用萎形的定义和平行四边 于对角线长乘积的一 菱形的四条边都相等；形对边相等的性质证明 半，如图，在四边形 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角· ABCD中，AC⊥BD, 可以利用等腰三角形“三线合一 那么S四边形ABCD= 的性质证明 另外，容易发现， 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的 BD·AC. 2 直线就是它的对称轴 菱形有两条对称轴 如图21.3-10，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，可以 发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行 四边形一般只被分成两对全等的三角形 000ccc000000000c0 由菱形两条对角 线的长，你能求出它 的面积吗？ 菱形的面积等子它的两条 图21.3-10 对角线长的乘积的一半 例3如图21.3-11，菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°，沿着菱形 的对角线修建了两条小路AC和BD.求两 条小路的长（结果保留小数点后两位）和 图21.3-11 花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 76|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 解：设AC,BD相交于点O. 敲黑板多 ,花坛ABCD的形状是菱形， ·AC1BD,∠AB0=7∠ABC=7×60=30°. 图方法点拨 (1)如果菱形的一个 在Rt△ABO中， 内角为60°，那么菱形 A0=7AB=分×20=10. 的两条边与较短的对角 线构成的三角形为等边 B0=JAB2-A02=202-102=10J3. 三角形： “.花坛的两条小路长 (2)较长的对角线把 菱形分成两个全等的顶 AC=2A0=20(m),BD=2B0=20/3≈34.64(m). 角为120°的等腰三角 花坛的面积 形.较短对角线的长等 于菱形的边长，较长对 S菱8m=4×S6m=4×2A0·B0=200/3≈3464(m2). 角线的长等于菱形边长 &练习 的3倍. 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,且AB=5, AO=4.求AC,BD的长以及菱形ABCD的面积 2.如图，在菱形ABCD中，BD=4,∠A:∠ABC=1:2.求△MBD的周长 可练习答案 1.AC=8,BD=6,菱形 B ABCD的面积为24. (第2题) (第3题) 2.12. 3.如图，在菱形ABCD中，∠A=6O°，连接对角线BD,E,F分别是边 3.略，提示：先证明 AB,BC的中点，分别连接DE,DF,EF.求证：△DEF是等边三角形 △ABD和△BCD是等 边三角形，进而证得 DE=DF,再利用有 接下来研究菱形的判定.由菱形的定义可知，有一组邻边相等的 一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形， 平行四边形是菱形.除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 证得△DEF是等边三 与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理 角形. 的逆命题，看一看它们是否成立· 交思考 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，反过来， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 同样地，菱形是四条边相等的四边形，反过来，四条边相等的 四边形是菱形吗？ 中小学AI教辅引领者|77 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板多 可以发现并证明（请你自己完成证明）菱形的判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；可以利用“线段垂直平分线上 的点与这条线段两个端点的 区易错提醒 四条边相等的四边形是菱形 距离相等”证明它的郁边相等 判定菱形时，需分清是 在平行四边形的基础上 例4如图21.3-12，在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边 判定，还是在四边形的 AD,BC分别相交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形 基础上判定 分析：已知AC⊥EF,由“对角线互相垂直的平 行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是 平行四边形.由题意可知A0=C0,还需 B 证明E0=FO. 图21.3-12 证明：四边形ABCD是平行四边形， .AE∥CF 00000000000000000800 ∠1=∠2. 你能利用“四 又∠AOE=∠COF,A0=CO, 条边相等的四边形 △AOE≌△COF. 是菱形”证明这个 EO FO 例题吗？ 四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF, 略提示：先利用 垂直平分线的性质 四边形AFCE是菱形. 得到EA=EC,FA= FC,再由全等的性 质得到AE=AF 一练习答亲 凸练习 L略 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O且互相垂直 2.是.理由略 平分.求证：四边形ABCD是菱形 3.略.提示：先将纸片 折叠，使AB边落在 AC边上，展开后得 折痕AD,再折叠纸 片，使点D和点A 重合 (第1题) (第2题) (第3题)》 2.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成 的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 3.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱 形的一个内角，和点A相对的顶，点在边BC上，并说明所折图形是 菱形的理由 78|中小学A教辅引领者 第二十一章四边形 敲黑板多 21.3.3正方形 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个 角是直角，那么它就是正方形（square).正方形既是有一组邻边相等 的矩形，也是有一个角是直角的菱形（图21.3-13) 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴 组邻边 个角是 矩形 相等之 正方形 菱形 直角 正方形 图21.3-13 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它 具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质· ?可探究 对边平行，四条 两条对角线互相垂直平分且相 边都相等 等，每条对角线平分一组对角 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方 形的性质，并证明其中的一些结论， )是轴对称图形，有四条 一思考答案 四个角都是直角 对称轴 平行四边形 例52求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等 或 有 腰直角三角形 或对 组 个 已知：如图21.3-14，四边形ABCD是正方形 对角线AC,BD相交于点O. 边相等 角是 相 求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等 B 图21.3-14 菱形 矩形 的等腰直角三角形 证明：·四边形ABCD是正方形， 或 AC=BD,AC⊥BD. 个角是直角 角线相等 组邻边 .∠AOB=∠B0C=∠COD=∠AOD=90°， 等 角线互相垂 AO=BO=CO=DO △ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形， 正方形 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 这思老 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨 论一下，并列表或画框图表示这些关系 中小学AI教辅引领者|79 )新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板扇 凸练习 可练习答案 1.（1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可 1.(1)这样得到的是一 以裁出正方形纸片.为什么？ 个邻边相等的矩形， (2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的 (第1题) 从而得到它是一个 正方形木板呢？ 正方形 (2)以矩形木板的短边 2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C, 长为边长裁出的就是 D.李明和张华在边AB上取了一点E,EC=30m, 面积最大的正方形 EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 木板， (第2题)》 2.800m2.40m 3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B,C, ED 3.BE和AF两条路等长 并日五相垂直。 D.要修建BE和AF两条路，使点E,F分别在边 理由略 AD,CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有 什么位置关系？为什么？ (第3题) 。探究答亲 矩形： 要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个 (1)有一组邻边相等的 矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形 矩形是正方形： 判定四边形是正方形的一般思路《 (2)对角线互相垂直的 矩形是正方形 可探究 菱形： 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的 (1)有一个角是直角的 判定方法，并与同学交流你的结论 菱形是正方形： (2)对角线相等的菱形 是正方形 例62如图21.3-15，E,F,G,H分别是正方形ABCD四条边上的点， 平行四边形：对角线互 相垂直且相等的平行四 且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形 边形是正方形 分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩 四边形：对角线互相垂 形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是 直平分且相等的四边形 是正方形 直角，而这可以由△AEH,△BFE,△CGF,△DHG全等 得出· 证明：四边形ABCD是正方形， AB BC=CD DA 又AE=BF=CG=DH, EB FC GD HA. B ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 图21.3-15 △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. HE EF FG GH. 四边形EFGH是菱形， 80|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 .·△AEH≌△BFE, 敲黑板国函 ∠2=∠3 又∠1+∠2=90°， 因方法点拨 ∠1+∠3=90° 四边形、平行四边形、矩 形、菱形、正方形之间的 .∴.∠HEF=180°-（∠1+∠3）=90°. 关系如下图： .四边形EFGH是正方形. 四边形 平行形 、矩形（正方形）菱形 凸练习 1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ 同练习答案 (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； 1.四个都是，理由略. (2)对角线互相垂直的矩形； 2.略.提示：先根据“有 (3)对角线相等的菱形； 三个角是直角的四边 (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. 形是矩形”得到四边形 CEDF是矩形，再由角 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,DE⊥BC, 平分线的性质定理得 DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证：四边形CEDF是正方形. 到一组邻边相等， 3.不一定.售货员的做法 只能说明丝巾是菱形 样式，无法确定是正方 形样式. E B (第2题) (第3题) 3.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售 货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝 巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把 丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合.王芳发现这两次都重合， 就买下了这条丝巾.你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？ 中小学A1教辅引领者|81 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 。定义}有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形的四个角都是直角 。性质 矩形的对角线相等 只适用于直角三角形 矩形 Q推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半入 有一个角是直角的评行四边形是矩形 注意是在平行 。判定 对角线相等的平行四边形是矩形 四边形的茶件下 有三个角是直角的四边形是矩形 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 21.3.1 矩形 一、矩形的性质 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( 4.选材新风向翻花绳)翻花绳是中国民间流 传的儿童游戏，这是一种利用绳子玩耍的 游戏，只需灵巧的手指，就可翻转出许多 0 的花样.其中一种花样如图（1)所示， (第1题) (第2题) 其示意图如图(2)所示.在矩形ABCD中， A.AB=AD B.AC⊥BD LK∥IJ,EF∥GH,∠1=∠2=25°， C.AO=BO D.∠ACB=∠ACD ∠3的度数为 2.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， D M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则 四边形ABOM的周长为 A.22 B.20 (1 (2 C.19 D.18 5.中考新角度分类讨论如图，在△ABC中， 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3,点E在 ∠B=45°，AB=2J6,DE是△ABC的中 边BC上，且BE=1.若EA平分∠BED, 位线，点P为线段ED延长线上的一个动 则AD的长为 点（可与点D重合)，作PF∥AC交BC 82|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 边于点F,连接AP,EF.若四边形AEFP 8.已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点. 为矩形，求∠ACB的度数的取值范围， (1)如图(1)，求证：△ECD是等腰三角形 (2)如图(2)，CD与AB的交点为F.若 AD=BD,EF=6,DE=8,求CD的长， (2) 6.真实狂务情境水杯倒水如图，矩形 ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图， 杯中水面与CD的交点为E.当水杯底面 BC与水平面的夹角为27°时，求∠AED 的度数· 三、矩形的性质和判定的综合应用 9.在数学活动课上，老师要求同学们判断一 个四边形木框是否为矩形.下面是某合作 270 学习小组的四位同学拟定的方案，其中正 确的是 () A.测量对角线是否相等 B.测量四边形中的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 二、直角三角形斜边上的中线的性质 7.如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是AB D.测量两组对边是否分别相等 的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地 1O.如图，点D是△ABC的边BC(不含点 面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和 B,C)上的一点，DE∥AB交AC于点 点P之间的距离 E,DF∥AC交AB于点F,要使四边形 AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一 个条件是 A.始终不变 B.不断变小 D E C.不断变大 D.先变小后变大 (第10题) (第11题) 中小学AI教辅引领者|83 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 11.重点题如图，在矩形ABCD中，E,F分 (2)判断四边形DEGH的形状，并说明 别是边AB,AD上的动点，P是线段EF 理由. 的中点，PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为 垂足，连接GH.若AB=10,AD=8, EF=8,则GH的最小值是 12.如图，点E是□ABCD的边BC的中点， 连接AE并延长，交DC的延长线于点F. 连接AC,BF,若∠AEC=2∠ABC.求证： 四边形ABFC为矩形 四、矩形中的动点问题 14.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E, F是对角线AC上的两个动点，分别从点 A,C同时出发相向而行，速度均为1cm/s, 运动时间为ts,0≤t≤10 (1）AE= EF= ；（用含 t的代数式表示) (2)若G,H分别是AB,DC的中点，求证 四边形EGFH是平行四边形； (3)在（2)的条件下，当t为何值时， 四边形EGFH为矩形？ 13.中考新角度分类讨论如图，在矩形 ABCD中，AB=6,AD=8,E,F分别是 对角线AC上的点，且AE=CF,过点E 作EG⊥BF,交BC于点G,平移BF,使B, F的对应点分别是G,H,连接DE,DH, CH,FH B B 备用图 (1)当△ADE是以AE为腰的等腰三角形 时，求CE的长； 84|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 定义}有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 菱形的四条边都相等 0性质 菱形 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 Q判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是菱形 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 21.3.2 菱形 一、菱形的性质 (如图(1))，其示意图如图(2)所示， 1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 对角线AC,BD相交于点O,测得AB= 的顶点D在x轴上，边BC在y轴上.若 10cm,BD=16cm,过点A作AH⊥BC 点A的坐标为(4,5)，则点C的坐 于点H,连接OH,则OH的长为( 标为 D (1) (2) C A.（0,-2) B.(0,-3) A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10cm 4.如图，在菱形ABCD中，∠BAC=30°， C.(0,-2.5) D.（-2,0) AB=6,E为BC的中点，F为AC上的 2.如图，菱形ABCD的面积为120，对角线 个动点，则△BEF周长的最小值为 AC=24,则这个菱形的边长为( ) D 5.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB A.5 B.10 C.13 D.12 6,AC是一条对角线，E是AC上一点， 过点E作EF⊥AB,垂D 3.选材新风向中国结)中国结象征着团圆、 足为F,连接DE.若 吉祥，以独特的东方神韵体现中华民族的 CE=AF,则DE的长 文化底蕴.荣荣家有一个菱形中国结装饰 为 中小学A1教辅引领者|85 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 6.真实任务情境铺瓷砖用一种彭罗斯瓷砖 二、菱形的判定 平铺成的图案如图(1)所示，它的基础部分 8.如图，在菱形ABCD中，E,F,G,H分别 是“风筝”和“飞镖”两部分，图(2)中的“风 是菱形ABCD四边的中点，连接EG,FH并 筝”和“飞镖”是由特殊菱形（如图(3)) 相交于点O,则图中的菱形共有 个. 制作而成的.在菱形ABCD中，∠BAD= 72°，在对角线AC上截取AE=AB,连接 BE,DE,可将菱形分割为“风筝”（凸 四边形ABED)和“飞镖”（凹四边 形BCDE)两部分，则图(2)中的 (第8题) (第9题) Q= 9.中考新角度发散性试题)如图，在四边形 飞镖 ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于点O.请 添加一个条件： 使四边形 风争 ABCD为菱形 (1) (2) 3 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC 7.如图，已知AC是菱形ABCD的对角线，点E, 边上的中线，点E在DA的延长线上， F分别在CA,CB的延长线上，且A,B分 连接BE,CE.过点C作CF∥BE交AD 别是CE,CF的中点，连接BE,EF 的延长线于点F,连接BF.求证：四边形 (1)求证：EF=CF; BECF是菱形 (2)若AC=6,BE=√85，求菱形ABCD 的面积 D D 86|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 三、菱形的性质和判定的综合应用 四、菱形中的折叠问题 11.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交 13.重点题如图，在菱形ABCD中，E,F分 于点O,过点D,C分别作DE∥AC, 别是菱形AB,BC边上的点，将△BEF CE∥BD,连接OE交CD于点F. 沿着EF折叠，使点B恰好落在边CD的 (1)求证：四边形ODEC是菱形； 中点G上.已知AB=2,∠B=60°，则 (2)若DE=2,DF=,求BC的长。 FG的长度为 R写 c n号 五、菱形中的动点问题 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是 斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作 14.中考新角度分类讨论)如图，在R△4BC中， ∠B=90°，AC=60cm,∠A=60°，点D AF∥BC交BE的诞长线于点F,连接CF 从点C出发沿CA方向以2cml/s的速度 (1)求证：BD=AF; 向点A匀速运动，同时，点E从点A出 (2)判断四边形ADCF的形状，并证明 发沿AB方向以1cms的速度向点B匀 你的结论； 速运动，当其中一个点到达终点时，另 （3)若AC=4,AB=5,求四边形ADCF 一个点也随之停止运动.设点D,E运动 的面积。 的时间是ts,过点D作DF⊥BC于点F, 连接DE,EF (1)求证：AE=DF (2)四边形AEFD能够是菱形吗？如果 D 能，求出相应的t值；如果不能，请说明 理由· (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 请说明理由 E B 中小学AI教辅引领者|87 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 正方形的四条边都相等 Q定义 正方形的四个角都是直角 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线 平分一组对角 正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 具有平行四边形、拒形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是 菱形的所有性质 Q判定 正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 21.3.3 正方形 一、正方形的性质 3.重点题如图，在正方形ABCD中，已知 1.选材新风向人文历史杜岭二号方鼎（如 AB=4,E是BC的中点，点F在BC的延 图(1))是河南博物院九大镇院之宝之一， 长线上，且CF=2,连接AC,BD相交于 方鼎的口呈正方形，示意图如图(2)所示， 点O,连接OF交CD于点H,连接OE, 正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点 EH,求EH的长 0,则下列说法不正确的是 0 D (1) (2) 4.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD A.AC⊥BD B.AD=AO 上一点，连接AE,CE,延长AE交CD边 C.DO=CO D.∠DAO=∠BAC 于点F 2.如图，E,F是正方形ABCD内的点， (1)求证：△ABE≌△CBE; AE⊥EF,EF⊥FC,AE=EF=3,CF=1, (2)设∠AEC=x,∠AFD=B,试用含 则正方形ABCD的面积为 D α的代数式表示B. A 88|中小学AI教辅引领者 第二十一章四边形 5.真实任务情境玻璃清理机器人科技改变7.如图，等边三角形AEF的顶点E,F在 生活，某公司生产的正方形玻璃清理机器 矩形ABCD的边BC,CD上，且∠CEF= 人如图(1)所示.当机器人到达玻璃窗的 45°.求证：矩形ABCD是正方形， 边沿清理时，示意图如图(2)所示，机 器人的顶点A,D分别在玻璃框EF,EG 上，玻璃窗的顶角∠E=90°，EA=5cm, ∠EDA=30°.机器人的型号和相关数据 如下表，则此次参与清理的机器人是哪一 种型号？ (1) (2) 型号 5001 5030 5075 6010 8.如图，点P是□ABCD内一点，连接AP, 对角线长/cm 10 10√2 15 15√2 BP,过点C作CE⊥BP于点E,△ABP≌ △BCE.求证：四边形ABCD是正方形. 二、正方形的判定 6.如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC, BD相交于点O,添加一个条件使矩 形ABCD为正方形，不正确的是() 0 A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABD=45° 中小学AI教辅引领者丨89 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 9.如图，在菱形ABCD中，E,O,F分别 11.重点题如图，在正方形ABCD中，AB=6, 为AB,AC,AD的中点，连接CE,CF, E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠， OE,OF.当AB⊥BC时，请判断四边形 点B落在点F处，延长EF交CD于点G, AEOF的形状，并说明理由 连接AG,求AG的长。 4 D G 五、正方形中的动点问题 12.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E, F分别是边AB,BC上的动，点，且满足AE BF,AF与DE交于点O,M是DF的中 三、正方形的性质和判定的综合应用 点，G是边AB上的点，AG=2GB,求 10.如图，在正方形ABCD中，G,E,F分 别是正方形AD,CD,BC边上的点，连 OM+FG的最小值 C 接BE,GF,BE与GF交于点M,MB= M ME,∠MGD+∠MED=18O°. (1)求证：BE=FG: (2)分别连接EF,BF,BG,GE的中点P, Q,R,S,试说明四边形PQRS是什么 特殊的四边形？ A D M 90|中小学AI教辅引领者位线，0E=方BC,0E+DE=BC+ 2CD=2(BC+CD)=2△D0E的周长为 OE+DE +OD=3. 7.B如图，连接DE,过点E作EF∥BD,交CB 的延长线于点F ·BD和CE分别是两边上的中线， DE=2BC,DE∥BC.EF∥BD,四边 形DEFB是平行四边形，∴.EF=BD=8 EF∥BD,BD⊥CE,∴.EF⊥CE, ÷Sm=2EF.CE=7x6x8=24 四边形DEFB是平行四边形， BF=DB=2BC,BC=子FC, 2 SACB三片SAcr=3×24三1 .CE是△ABC的边AB上的中线， SAABC =2SABCE =2 x16=32. B 8.证明：BE,CD是△ABC的中线， .D,E分别为AB,AC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， DE/BC,DE BC. F,G分别是OB,OC的中点， .FG是△OBC的中位线， Fc∥Bc,G=2BC, .DE∥FG,DE=FG, .四边形DFGE是平行四边形 9.D:E,F分别是AB,CD的中点，G,H分别 是AC,BD的中点，EH∥AD,EH=2AD, GF∥AD,GF=2AD,.EH∥CF,AD=12, GF=6. 10.A:等腰三角形三条中位线的长度之和 为8，.等腰三角形的周长为16.当腰长为4 时，则底边长为16-2×4=8..4+4=8， ∴.不能构成三角形.当底边长为4时，腰长 为7×(16-4)=6.：4+6>6，能构成三 角形.综上，底边长为4. 11.（1)证明：.·AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∴.∠ADE=∠AED, ∴.AD=AE,∴.AB-AD=AC-AE,即BD=CE. F,G,H分别为BE,DE,BC的中点， ∴.FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的 中位线， FG-BD,FH-7CE, .FG=FH. (2)解：如图，延长FG交AC于点N. C ·FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的 中位线， ∴.AB∥FN,AC∥FH. .FG⊥FH,∴.∠NFH=90°，∴.∠FNC=180°- ∠NFH=90°， ∴.∠A=∠FNC=90°， ∴.当∠A=90时，FG⊥FH. 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 1.C·四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,AC= 9 BD,AD∥BC,A0=CO,BO=D0,∴.∠ACB= ∠DAC,AO=BO,∴.选项A中AB=AD不 定正确，故不符合题意；选项B中AC⊥BD不 一定正确，故不符合题意；选项C中AO=BO 一定正确，故符合题意；选项D中∠ACB= ∠ACD不一定正确，故不符合题意. 2.B.O是矩形ABCD的对角线AC的中点， M是AD的中点，∴.∠ABC=∠D=90°，CD= AB=5,BC =AD =12,0A BO =OC,OM △ACD的中位线，0M=CD=2.5,AC= VCD2+AD2=V5+12=13,AM=)AD= 6,B0=0M=2AC=6.5,四边形AB0M 的周长为AB+AM+B0+OM=5+6+6.5+ 2.5=20. 3.5,四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,AB= CD=3,AD=BC,∴.∠DAE=∠AEB.EA平 分∠BED,·.∠AED=∠AEB,·.∠AED= ∠DAE,∴.AD=DE,∴.AD=DE=BC.设EC= x,则AD=DE=BC=x+1.在Rt△DEC中， EC2+CD2=DE2,x2+32=(x+1)2,解得 x=4,∴.AD=4+1=5. 4.130°如图，标示∠4，∠5，∠6，∠7.四边 形ABCD是矩形，∴.∠B=∠C=90°，∴.∠1+ ∠5=90°，∠2+∠4=90°.：∠1=∠2= 25°，.∠4=∠5=90°-25°=65°，∴.∠6= 180°-∠4-∠5=180°-65°-65°=50° ∴.∠7=∠6=50°.EF∥GH,.∠3= 180°-∠7=180°-50°=130°. 5.解：如图(1)，当点F在点B处时，四边形 AEFP为矩形，∴.BE⊥AC. DE是△ABC的中位线，∴.AE=CE,∴.AB= BC,∠C=∠BAC=180°-，∠ABC=67.59 2 如图(2)，当点P在点D处时，连接AF.四 边形AEFP为矩形，∴.PE=AF=2OP= 2OE=20A=20F.DE是△ABC的中位线， .AD BD,AE CE,..BF =20D,CF=20E, .AF=BF=CF,∴.∠BAF=∠B=45°，∠C= ∠FAC,∴.∠AFB=90°，∴.∠C=∠FAC= 45°.综上，45°≤∠ACB≤67.5. D (P) D B（F) (1) (2) 6.解：如图，标示点F.AE∥BF,∴.∠EAB= ∠ABF.:四边形ABCD是矩形，.AB∥CD, ∠ABC=90°，∴.∠ABF+27°=90°， ∴.∠ABF=63°，∴.∠EAB=63°..AB∥CD, ∴.∠AED=∠EAB=63. 27° B 7.A如图，连接CP.∠ACB=90°，点P是 AB的中点，CP=2AB.:AB为定值，CP 为定值，即点C和点P之间的距离始终不变 8.(1)证明：.AC⊥BC,AD⊥BD, ∴.∠ACB=90°，∠ADB=90°. 又E为AB的中点， .CE-TAB.DE-TAB, ∴.CE=DE,即△ECD是等腰三角形 （2)解：如图，过点E作EH⊥CD于点H. 'AD=BD,E为AB的中点，DE=8,EF=6, .DE⊥AB,.DF=√DE2+EF2=10. ,·∠FED=90°，EH⊥DF, .EH=EF ED=4.8, .DH=√DE2-E=6.4. △ECD是等腰三角形， .∴.CD=2DH=12.8. 9.BA.对角线相等的四边形可能是等腰梯 形，也可能是矩形，还有可能是其他形式的四 边形，此选项错误；B.测量四边形中的三个角 是直角，能判定为矩形，此选项正确；C.测量 一组对角是否都为直角，不能判断是否是矩 形，此选项错误；D.测量两组对边是否分别 相等，只能判断是否为平行四边形，不能断定 是否为矩形，此选项错误 10.∠A=90°（答案不唯一)易证四边形 AEDF是平行四边形.根据矩形的定义可 知，需要加一个直角的条件 11.2√41-4如图，连接PA,PC,AC..四边 形ABCD是矩形，∴.BC=AD=8,∠B= ∠BCD=∠BAD=90°，∴.由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=√100+64=2√4I. :PG⊥BC,PH⊥CD,∴.∠PHC=∠PGC= 90°，∴.四边形PGCH是矩形，∴.GH=PC. :P是线段EF的中点，AP=EF=4,当 AP+PC=AC时，PC的值最小，即GH的值 最小，最小值为241-4. 2 12.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DF, ∴.∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE. 又E为BC的中点， ∴.BE=CE,∴.△AEB≌△FEC(AAS), .AE=FE, ∴.四边形ABFC是平行四边形 .'∠AEC=2∠ABE,∠AEC=∠ABE+∠BAE, ∴.∠ABE=∠BAE, ∴.AE=BE, ∴.AF=BC, ∴.四边形ABFC是矩形 13.解：(1)在矩形ABCD中，AB=6,AD=8=BC, .AC=√AB2+BC2=√62+82=10. ①当AE=AD=8时，CE=AC-AE=10- 8=2; ②当AE=ED时，∠EAD=∠EDA. 在Rt△ADC中，∠EAD+∠ECD=90°， ∠EDA+∠EDC=90°， ∴.∠ECD=∠EDC, .CE-EDCE-AE-AC-5. 综上所述，CE的长为2或5， (2)四边形DEGH是矩形.理由如下： :四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AD=CB,∴.∠DAE=∠BCF .AD=CB, 在△ADE和△CBF中，{∠DAE=∠BCF, LAE CF, ∴.△ADE≌△CBF(SAS), ∴.∠AED=∠CFB,DE=BF, .180°-∠AED=180°-∠CFB, 即∠DEF=∠BFE,∴.DE∥BF. 线段GH由线段BF平移得到， .BF∥GH,BF=GH, .DE∥GH,DE=GH, ∴.四边形DEGH是平行四边形 .EG⊥BF,∴.EG⊥GH,∴.∠EGH=90°， ∴.四边形DEGH是矩形. 14.(1)t110-2tl 提示：由题意得，AE=FC=t. .∠ABC=90°，AB=6,BC=8, ∴.AC=√WAB2+BC=√62+82=10 当0≤t≤5时，EF=AC-AE-FC=10-2t, 当5<t≤10时，EF=AE+FC-AC= 2t-10, 综上，EF=110-2tl. (2)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=90°， .AC=√AB2+BC2=10,∠GAF=∠HCE. G,H分别是AB,DC的中点， .AG-7AB,CH-7CD,.AG-CH .'AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE. AG=CH, 在△AFG和△CEH中，∠GAF=∠HCE, LAF=CE, ∴.△AFG≌△CEH(SAS), ∴.GF=HE,∠AFG=∠CEH, ∴.GF∥EH,∴.四边形EGFH是平行四边形 (3)解：如图，连接GH. G H 由(2)可知四边形EGFH是平行四边形 .点G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的 中点， .GH=BC=8, ∴.当EF=GH=8时，四边形EGFH是矩形， 分两种情况讨论： ①当0≤t≤5时，EF=10-2t=8,解得t=1; ②当5<t≤10时，EF=2t-10=8,解得t=9. 综上可知，当t为1或9时，四边形EGFH为 矩形 21.3.2菱形 1.B.点A的坐标为(4,5)，∴.0D=4,AD= 5..四边形ABCD是菱形，∴.CD=AD=5.在 Rt△0DC中，0C=√CD2-0D2=√52-42= 3,∴.点C的坐标为(0，-3). 2.C由菱形的面积S=4C·BD,可得BD= 2S_2×120=10.菱形的对角线互相垂直 AC 24 平分，∴.菱形的两条对角线AC,BD的一半分 别为12和5，.菱形的边长=√122+52=13. 3.B,四边形ABCD是菱形，AB=10cm, BD=16 cm,B=BD=8 cm,AC=20A, AC⊥BD,.OA=√AB2-OB2=6cm,.AC= 12cm.在Rt△AHC中，0是斜边AC的中点， 0H=24c=6cm 4.33+3如图，连接DE交AC于点F',连接 BD,BF',DF.四边形ABCD是菱形，∴.AB八 CD,AC⊥BD,∴.B,D关于直线AC对称， .DF"=BF'..DE DF'FE,..DE BF'+ FE.当F,F'两点重合时，DF+FE有最小值， 即BF+FE有最小值，最小值为DE的长，即 FE+BF的长..·∠BAC=30°，∴.∠BAD=60°， ∴.∠BCD=60°，∴.△BCD是等边三角形.：E是 BC的中点，DE⊥BC,BE=CE=2BC= 2AB=7x6=3,0B=Cm2-CE= √62-32=33，.△BEF的周长=BF'+ F'E +BE=DE +BE=33 +3. 5.2√7如图，过D作DH⊥AC于点H.在菱形 ABCD中，·∠B=60°，AB=6,.AB=BC= CD=AD,∠ADC=∠B=60°，∴.△ABC, △ACD都是等边三角形，∴.∠EAF=60, AC-AB-6.AH-CH-ZAC-3.EFLAB. .∠AEF=30°，.AE=2AF.又CE=AF .∴.AE=2CE,∴CE=2,.HE=CH-CE=1. 在Rt△CDH中，D=CD2-C=27, .DE=√Df+HE2=2√万 D 6.144°在菱形ABCD中，∠DAE=∠BAE. :∠BAD=72,∠DAE=LBAE=7× ∠BMD=7×72=36:AB=AB, ÷∠AEB=∠ABE=3(I80°-∠BAE)= 2×(180°-360)=72.在△ABE和△ADE AB=AD, ∠EAB=∠EAD,∴.△ABE≌△ADE(SAS), LAE=AE, ∴.∠AEB=∠AED=72°，∴.=72°×2=144°. 7.（1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC ,A,B分别是CE,CF的中点， ∴.AB是△CEF的中位线，CF=2BC, ∴.EF=2AB, .EF CF. (2)解：如图，连接BD,交AC于点O. :四边形ABCD是菱形 ACLBD,AO-CO-AC-3,RO=DO. 又A是CE的中点，.AE=AC=6, .E0=AE+A0=6+3=9. .BE=85,.B0=√BE2-E0=2, BD=2B0=4,Ss=24C·BD= ×6×4=12. 2 8.5.四边形ABCD是菱形，E,F,G,H分别是 菱形四边的中点，∴.AE=AH=HD=GD= CG=CF=FB =BE =OE =0G=OH=OF, .四边形AEOH,四边形HOGD,四边形 EBFO,四边形OFCG和四边形ABCD均为菱 形，共有5个 9.AD∥BC(答案不唯一)答案不唯一.①若添 加条件AD∥BC:AD=BC,AD∥BC∴.四边 形ABCD是平行四边形.：AC⊥BD,.四边 形ABCD为菱形.②若添加条件AB=CD: ,AD=BC,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四 边形.，AC⊥BD,∴.四边形ABCD为菱形.③若 添加条件OB=OD:.AC⊥BD,.∠AOD= ∠COB=90°..AD=BC,OB=OD, ∴.Rt△AOD≌Rt△COB(HL),∴.OA=OC, .四边形ABCD是平行四边形.，AC⊥BD, .四边形ABCD为菱形.④若添加条件 ∠ADB=∠CBD:·∠ADB=∠CBD,∴.AD∥ BC,.四边形ABCD是平行四边形.，AC⊥ BD,∴.四边形ABCD为菱形 10.证明：：AB=AC,AD是BC边上的中线， ·.AD垂直平分BC, 3 ∴.BE=CE,BF=CF CF∥BE, .∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD BD =CD ∴.△EBD≌△FCD(AAS), .BE=CF, ∴.BE=BF=CF=EC, ∴.四边形EBFC是菱形 11.（1)证明：DE∥AC,CE∥BD, .DE∥OC,CE∥OD: “.四边形ODEC是平行四边形 :四边形ABCD是矩形， ∴.OD=0C=0A=0B, ∴.四边形ODEC是菱形 (2)解：由(1)知四边形ODEC是菱形. DE=2,DF=2, 3 ∴.OD=DE=2,DC=2DF=3. 四边形ABCD是矩形， .BD=20D=4 在Rt△BCD中，BD=4,DC=3, .BC=√BD2-DC=√7 12.（1)证明：.AF∥BC,∴.∠AFE=∠DBE. E是AD的中点，.AE=DE. ∠AEF=∠DEB,.△AEF≌△DEB(AAS) .BD =AF. （(2)解：四边形ADCF是菱形.证明如下： D是BC的中点，.BD=CD 由(1)得BD=AF, .AF CD AF∥BC, .四边形ADCF是平行四边形 :∠BAC=90°，AD是斜边上的中线， ∴AD=2BC=CD, ∴.四边形ADCF是菱形. (3)解：如图，连接DF. B :BD=AF,AF∥BC, ∴.四边形ABDF是平行四边形， .DF=AB=5. 由(2)得四边形ADCF是菱形， S8ner=7AC·DF=7×4x5=10, 13.B如图，过点F作FM⊥CD,交DC的延长 线于点M.在菱形ABCD中，AB∥CD,∠B= 60°，∴.∠MCF=∠B=60°，∠MFC=30°.设 MC=x,则FC=2x,FM=√3x.G为CD的 中点，AB=CD=2,.CG=1,∴.MC=MG+ CG=x+1.又△GEF为△BEF沿EF折叠所 得，∴.FG=BF=BC-FC=2-2x,∴.在 Rt△FMG中，MG2+FM2=FG2,即(x+1)2+ (3x)=(2-2x3,解得x=,则FG= 2-2 B F M 14.（1)证明：根据题意可知，CD=2t,AE=t, AD =AC -CD=60-2t. ∠B=90°，∠A=60°， ∴.∠C=30°， DF=3c0-7×2=, ∴.AE=DF (2)解：能. 24 .AB⊥BC,DF⊥BC, .AE∥DF 又AE=DF, .四边形AEFD为平行四边形 ∴.要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE= AD,即t=60-2t, 解得t=20, ∴.当t=20时，四边形AEFD为菱形 (3)解：当t=15或24时，△DEF为直角三 角形.理由如下：分两种情况讨论， ①当∠EDF=90°时，，：∠EDF=∠B= ∠DFB=90°，∴.四边形DEBF是矩形， ∴.∠DEB=90°，.∠AED=180°-∠DEB=90°. 又∠A=60°，∴.∠ADE=30°，∴.AD=2AE,即 60-2t=2t,解得t=15. ②当∠DEF=90时，·四边形AEFD为平行 四边形，∴.EF∥AD,∴.∠ADE=∠DEF=90. 又LA=60,∠ABD=30,AD=7AE, 即60-21=2，解得1=24， 综上所述，当t=15或24时，△DEF为直角 三角形 21.3.3正方形 1.B:正方形ABCD的对角线AC与BD相交 于点O,∴.AC⊥BD,OA=OC=OB=OD, ∠DAO=∠BAC=45°，在Rt△AOD中，AD= √A02+D02=√A0+A02=√2A0,故选项 A,C,D正确，选项B错误， 2.苧如图，连接AC,过点C作CG1AB,交A5 的延长线于点G 2 :AE⊥EF,EF⊥FC, .四边形EFCG是矩形， .EG=FC=1,CG=EF=3, .∴.AG=AE+EG=3+1=4. 在Rt△ACG中，AC=√AG+CG2=5. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=90° .AB2+BC2=AC2,.2BC2=52=25, SEw-Bc-空 3.解：四边形ABCD是正方形，AC,BD相交于 点0， ∴.∠BOC=90°，∠BCD=90°=∠FCD,OB= OC,BC=AB=4. E是BC的中点， *.OELBC.OE-CE-BC-2, ∴.EF=CE+CF=4, ∴.0F=W√OE2+EF2=25. .CE=CF=2,CH⊥EF, ∴.CH垂直平分EF, .∴.EH=FH,.∠HEF=∠F. ,∠HEF+∠HE0=∠F+∠HOE=90°， ∴.∠HEO=∠HOE, .∴.OH=EH=FH, .∴.OF=OH+FH=2EH, EH=20F=5. 4.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CB,∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE= ∠CBE=∠ADB=45°. 在△ABE和△CBE中， ,AB=CB, ∠ABE=∠CBE, BEBE, ∴.△ABE≌△CBE(SAS). (2)解：由(1)知，△ABE≌△CBE, ∴.∠AEB=∠CEB. 又LABC=a,LCEB=∠AB=a, ∠DEF=∠ABB=7a,∠AFD=180- ∠DEF-∠BDF=180-2&-45=B, B=135°- 2 5.解：如图，连接BD.在Rt△AED中，EA= 5cm,∠EDA=30°.∴.AD=2EA=10cm..四 边形ABCD为正方形，∴.AB=AD=10cm, ∠BAD=90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD=√AB2+AD2=10W2cm, 由机器人的型号和相关数据可知，此次参与 清理的机器人的型号是5030. B 6.B 选项 分析 正误 ·四边形ABCD为矩形， A AB=AD,∴.四边形ABCD为 正方形 :四边形ABCD为矩形， B AC=BD,∴.四边形ABCD不 一定为正方形 ,·四边形ABCD为矩形， 0 AC⊥BD,.四边形ABCD为 正方形 ·四边形ABCD为矩形， ∠ABD=45°，∴.∠ADB=45°， D .AB=AD,.四边形ABCD 为正方形 7.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠D=∠C=90° :△AEF是等边三角形， ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°. 又∠CEF=45°， ∴.∠CFE=90°-∠CEF=45°， .∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°， ∴.△AEB≌△AFD(AAS), .AB =AD, ∴.矩形ABCD是正方形. 8.证明：△ABP≌△BCE, ∴.AB=BC,∠ABP=∠BCE. :四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABCD是菱形 .CE⊥BP,∴.∠BEC=90°， ∴.∠PBC+∠BCE=90°， ∴.∠PBC+∠ABP=90°，即∠ABC=90°， .四边形ABCD是正方形. 9.解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形 理由如下： ·四边形ABCD是菱形， ∴.∠B=∠D,AB=BC=DC=AD. E,O,F分别为AB,AC,AD的中点， AE=BE DF-AF,OF -DC.OE 2BC,0E∥BC, .AE=OE=OF=AF, ∴.四边形AEOF是菱形. AB⊥BC,OE∥BC, .OE⊥AB, ∴.∠AE0=90°) .四边形AEOF是正方形. 10.(1)证明：如图(1)，过点G作GH⊥BC于点 H,则∠GHF=90° 四边形ABCD是正方形， .AD∥BC,∠ABC=∠C=90°，AB=BC, ∴.AB=GH,∠DGF=∠GFH, 6 .BC=GH .·∠MGD+∠MED=180°，∠MED+ ∠BEC=180°， ∴.∠MGD=∠BEC,∴.∠BEC=∠GFH. 在△BCE和△GHF中， ,∠C=∠GHF=90°， ∠BEC=∠GFH, BC GH, ∴.△BCE≌△GHF(AAS),∴.BE=FG. 、M t:P (1) (2) (2)解：如图(2)，分别连接EF,BF,BG,GE 的中点P,Q,R,S, ∴.PQ,QR,RS,PS分别是△BEF,△BFG, △BEG,△EFG的中位线， .PQ-7BE.QR-7FC.RS-7BE,PS- 2FG,PQ∥BE,Ps∥FG, +.PQ-RS-]BE.QR-PS-jFG. .四边形PQRS是平行四边形 由(1)可知，△BCE≌△GHF, ∴.BE=FG,∠CBE=∠HGF. .'∠HGF+∠GFH=90°，∴.∠CBE+∠GFH= 90°，.∠BMF=90°，∴.BE⊥FG ∴.PQ=RS=QR=PS,PQ⊥PS, ∴.四边形PQRS是正方形 11.解：.四边形ABCD是正方形，.AB=AD= BC=CD=6,∠B=∠C=∠D=90° :E是BC的中点，BE=CE=BC=3. 由折叠的性质，可得AF=AB=6,EF=BE= 3,∠AFE=∠B=90°，∴.∠AFG=90°= ∠D,AF=AD. 27 又AG=AG,∴.Rt△AFG≌Rt△ADG(HL), ∴.DG=FG. 设DG=FG=x,则EG=x+3,CG=6-x. 在Rt△CEG中，由勾股定理，得EG=CE2+ CG2,∴.(x+3)2=32+(6-x)2,即18x=36, 解得x=2,.DG=2. 在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG= WJAD2+DG=2√/10. 12.解：如图，在边AB的延长线上截取BH= BG,连接FH. 四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°. 又AE=BF,∴.△ADE≌△BAF(SAS), ∴.∠ADE=∠BAF,∴.∠DOF=∠ADO+ ∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°. :M是DF的中点，OM=2DE ,∠FBG=∠FBH=90°，BH=BG,∴.FH= FG..M+GDF+(DF+ HF),∴.当H,D,F三点共线时，DF+HF有 最小值，即此时OM+FC有最小值，最小 值为DH的长的一半. .AG=2GB,AB=6, ∴.BH=BG=2,∴.AH=8. 在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH= √AD2+AM=10,0M+2FC的最小值 为5. 第二十二章函数 22.1函数的概念 1.C在匀速运动公式s=t中，速度v是常量， 路程s和时间t是变量.