正态分布 课件——2027届高三数学一轮复习

正态分布 知 识 梳 理 知识点一　正态曲线及其性质 X～N(μ，σ2) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 上方 x＝μ x＝μ 1 集中 分散 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈___________； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈___________. σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等． 0.682 7 0.954 5 0.997 3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 归 纳 拓 展 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5； (2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)； (4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)． 注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线解题．关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二　走进教材 2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165<X≤180)＝________. [答案]　0.818 6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三　走向考场 3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________. [答案]　0.14 [解析]　因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点突破 · 互动探究 返回导航 正态密度函数——自主练透 A．600 B．800 C．1 200 D．1 400 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B [解析]　依题意可知，μ＝78，又因为P(78≤X≤120)＝0.42，所以P(X>120)＝0.5－0.42＝0.08，所以数学成绩超过120分的人数约为0.08×10 000＝800，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(多选题)(2024·湖北省十一校联考)若X～N(100，1.52)，则下列说法正确的有(　　) B．E(X)＝1.5 C．P(X<101.5)＝P(X>98.5) D．P(97<X<101.5)＝P(98.5<X<103) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 A．μ甲>μ乙，σ甲>σ乙 B．μ甲>μ乙，σ甲<σ乙 C．μ甲<μ乙，σ甲>σ乙 D．μ甲<μ乙，σ甲<σ乙 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　从图可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，故甲的平均数小于乙的平均数，即μ甲<μ乙，且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即σ甲>σ乙．故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 A．该地水稻的平均株高为100 cm B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　依题意μ＝100，σ＝10，所以平均数为100 cm，方差为σ2＝100，所以A、B选项正确；依题意P(X≥100＋20)＝P(X≤100－20)，P(X≥120)＝P(X≤80)，而P(X≤80)>P(X≤70)，即P(X≥120)>P(X≤70)，所以C选项错误；P(100－10<X<100)＝P(100<X<100＋10)，P(90<X<100)＝P(100<X<110)，所以D选项正确．故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(多选题)(2026·陕西师大附中收心考试)已知随机变量X服从正态分布X～N(2,4)，则以下选项正确的是(　　) A．若Y＝X＋2，则E(Y)＝4 B．若Y＝2X＋4，则D(Y)＝8 C．P(X≤0)＝P(X≥4) D．P(1≤X≤4)＝1－2P(X≥4) [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　E(Y)＝E(X＋2)＝E(X)＋2＝4，故A正确；D(Y)＝D(2X＋4)＝4D(X)＝16，故B错误；由正态分布密度曲线知其关于X＝2对称，利用对称性知P(X≤0)＝P(X≥4)，故C正确；因为P(X≤1)＋P(1≤X≤4)＋P(X≥4)＝1，P(X≥4)＝P(X≤0)≠P(X≤1)，所以，P(1≤X≤4)＋2P(X≥4)≠1，故D错误．故选AC. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 正态分布——多维探究 角度1　正态曲线的对称性 1．(2025·湖北部分州市联测)已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，则P(X<4)的值为________. [答案]　0.8 [解析]　因为X～N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，所以μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，所以P(X<4)＝0.8. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·山东部分学校质检)已知随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥3)＝P(X≤7)，则P(X≥5)＝(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2　服从正态分布的概率计算 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·河北衡水中学检测)某校高三学年的模考数学成绩X服从正态分布N(105,102)，按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为112分，则他的等级是(　　) 附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 1．熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． 2．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(角度1)设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.2，则P(X>8－m)＝(　　) A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(角度2)(多选题)(2025·湖南长沙六校联考)某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X～N(80,25)，则(　　) 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3 A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过80分的约有45人 C．这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人 D．P(65<X<75)＝0.157 3 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 正态分布的综合应用 1．(2026·江苏徐州一中检测)某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从正态分布N(3，σ2)，且P(|X－3|≤0.5)＝0.8，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为________. [答案]　0.291 6 [解析]　根据P(|X－3|≤0.5)＝0.8可得P(|X－3|>0.5)＝1－0.8＝0.2，即P(X>3.5)＋P(X<2.5)＝0.2，又由对称性可知P(X>3.5)＝P(X<2.5)＝0.1，所以P(X>3.5)＝0.1，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为0.1；因此4个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为P＝C×0.1×(1－0.1)3＝0.291 6. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·四川成都二诊)某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10 000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布N(μ，σ2)． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的人数，求P(X≥1)的概率及X的数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 参考数据：0.997 340≈0.897 5 参考公式：若X～N(μ，σ2)，有 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 即P(X>μ＋2σ)＝0.022 8.∴μ＋2σ＝87， 解得σ＝11. ∵甲市学生A在该次考试中成绩为76分， 即P(X>μ＋σ)＝0.158 7. ∴学生A在甲市本次考试的大致名次为1 587名． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)在本次考试中，抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3. ∴抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3α)之外的概率为0.002 7. ∴随机变量X服从二项分布，即X～B(40,0.002 7)， ∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 340≈0.102 5或1－0.997 440≈0.098 9. X的数学期望为E(X)＝np＝40×0.002 7＝0.108. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：解决正态分布问题的三个关键点 若随机变量X～N(μ，σ2)，则 (1)对称轴x＝μ； (2)标准差σ； (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(2026·四川资阳诊断)某果园中某品种水果的单果质量m(单位：g)服从正态分布N(70，σ2)，且P(m<50)＝0.2，若从该果园中随机选取400个该品种水果，则质量在50 g～90 g的水果个数的期望为(　　) A．120 B．160 C．180 D．240 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　因为m～N(70，σ2)，则P(m<50)＝0.2，所以P(50≤m≤90)＝1－2P(m<50)＝1－2×0.2＝0.6，从该果园中随机选取400个该品种水果，设质量在50 g～90 g的水果个数为X，由题意可知X～B(400,0.6)，由二项分布的期望可得E(X)＝400×0.6＝240.故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·江苏扬州中学月考)为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关．现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查． 分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 人数 10 15 45 20 10 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4) [解析]　(1)样本的平均数 (2)分数Z近似服从正态分布N(51,212)， 即μ＝51，σ＝21，可得μ－σ＝30，μ＋σ＝72， 所以P(30<Z<72)＝0.682 6， 所以分数在(30,72)内的学生数约为4 000×0.682 6≈2 730(人)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 概率统计的综合应用 题型一　概率与统计图表的综合应用 (2025·宁夏调研)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]．根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品．现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3) (2)从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题型二　概率与回归分析的综合应用 (2026·福建漳州质检)2025年漳州市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个． (1)为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入x(单位：万元)和最终得分y(单位：分)，数据如下表： 研发投入x 20 30 40 50 60 最终得分y 66 69 76 79 84 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题型三　概率与独立性检验的综合应用 (2025·重庆一中适应性考试)某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2×2列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)根据表中数据，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X，求X的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1 000件，记其中合格的件数为Y，求使事件“Y＝k”的概率最大时k的取值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 参考公式及数据： α 0.025 0.01 0.005 0.001 χα 5.024 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)零假设为H0：假设依据α＝0.01的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 故依据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据说明零假设H0不成立，因此可认为H0成立，即认为参数调试与产品质量无关联． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题型四　概率、统计与函数、数列的综合应用 (2026·湖北腾云联盟联考)某企业的生产设备控制系统由2k－1(k∈N*)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为Pk(例如：P2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，P3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (ⅰ)求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望； (ⅱ)求P2； (2)讨论Pk与Pk＋1(k∈N*)的大小关系． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由Pk＋1表示系统在原来2k－1个元件增加2个元件，则至少要有k＋1个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为ξ， 第一类：原系统中至少有k＋1个元件正常工作， 第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 1．(2026·重庆西北狼教育联盟诊断)为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩(卷面共100分)频率分布直方图如图所示． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； (2)将此次竞赛成绩ξ近似看作服从正态分布N(μ，σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ，σ的近似值)，已知样本的标准差s≈7.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望； (3)从得分区间[80,90)和[90,100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[90,100]的概率． 参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.99. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为80.5. (2)由题意有ξ～N(80.5,7.52)， 因为P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.68， 即P(73<ξ<88)≈0.68， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，即X～B(100,0.16)，所以E(X)＝100×0.16＝16， 所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·江西赣抚吉十二校联考)平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长 (分钟) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50] 频数 30 50 80 30 10 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； (2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取k次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为Y. (ⅰ)当k＝3时，求Y的分布列和数学期望； (ⅱ)若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于90%，至少需抽取多少次？(参考数据：ln 5≈1.609，ln 2≈0.693) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为200×70%＝140， 前两组累计频数30＋50＝80<140，前3组累计频数30＋50＋80＝160>140， 故第70百分位数落在区间[20,30)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望； (2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”，该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0<p<1)且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，试求p0的值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 1．正态曲线：函数f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作______________________. 2．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴________，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线__________对称；(3)曲线在__________处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为______；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越________；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越________. 知识点二　正态分布 1．正态分布的定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)． (4)若X～N(0,1)，则P<P.(　　) [解析]　P(165<X≤180)＝＋＝＝0.818 6. 5．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) [解析]　依题知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1,0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误；因为X～N(1.8,0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC. 1．(2026·河北省沧衡名校联盟模拟)在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数f(x)＝的图象拟合，且P(78≤X≤120)＝0.42，若参加本次考试的学生共有10 000人，则数学成绩超过120分的人数约为(　　) A．P(X<100)＝ [解析]　由X～N(100,1.52)，可得期望为μ＝100，方差为σ2＝1.52，根据正态分布曲线的对称性，可得P(X<100)＝，所以A正确；因为μ＝100，即E(X)＝100，所以B不正确；根据正态分布曲线的对称性，可得P(X<101.5)＝P(X>98.5)，所以C正确；由正态分布曲线的性质，可得P(97<X<101.5)＝P(μ－2σ<X<μ＋σ)，且P(98.5<X<103)＝P(μ－σ<X<μ＋2σ)，可得P(97<X<101.5)＝P(98.5<X<103)，所以D正确．故选ACD. 3．(2026·四川成都摸底)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位：g)分别服从正态分布N(μ甲，σ)和N(μ乙，σ)，其正态曲线如图所示，则(　　) 名师点拨： 正态曲线问题关注顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为(显然纵坐标越大样本的方差越小)． 【变式训练】 1．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)＝，x∈R，则下列说法错误的是(　　) [解析]　因为P(X≥3)＝P(X≤7)，所以μ＝＝5，所以P(X≥5)＝0.5.故选C. 1．(2025·广东六校联考)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X<0)＋P(X<3)＝，则P(2<X<3)＝(　　) [解析]　随机变量X的密度曲线关于x＝1对称，所以P(X<0)＝P(X>2)，又P(X<0)＋P(X<3)＝，所以P(X>2)＋P(X≤2)＋P(2<X<3)＝，因为P(X>2)＋P(X≤2)＝1，所以P(2<X<3)＝0.1，故选A． [解析]　由题意可知μ＝105，σ＝10，所以μ＋σ＝115，μ－σ＝95，因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P(X>115)≈＝0.158 65≈16%，根据比例成绩，大于115分为优秀．又P(105<X≤115)≈＝0.341 35≈34%，根据比例成绩，在105到115之间为良好．又P(95≤X≤105)≈＝0.341 35≈34%，根据比例成绩，在95到105之间为合格，又P(X<95)≈＝0.158 65≈16%，根据比例成绩，小于95分为基本合格，因为这位同学的数学成绩为112分，所以他的等级是良好．故选B. [解析]　由于＝4，所以P(X<8－m)＝P(X>m)＝0.2，所以P(X>8－m)＝1－0.2＝0.8.故选A． [解析]　因X～N(80,25)，则σ＝＝5，故A正确；因μ＝80，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；因P(70≤X≤80)＝P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝×0.954 5≈0.48，故这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×100＝48人，故C正确；因P(65<X<75)＝P(μ－3σ≤X≤μ－σ)＝[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]＝(0.997 3－0.682 7)＝0.157 3，故D正确．故选ACD. [解析]　(1)已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布N(μ，σ2)，由题意可得μ＝65. ∵＝0.022 8，又＝0.022 8. 且76＝μ＋σ，又＝0.158 7， (1)求样本中学生分数的平均数(每组数据取区间的中点值)； (2)假设分数Z近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中点值)，σ2近似为样本方差s2≈212，若该校有4 000名学生参与答题活动，试估计分数在(30,72)内的学生数(结果四舍五入)； (3)学校规定：分数在[60,100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分．在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的．从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望． ＝10×0.1＋30×0.15＋50×0.45＋70×0.2＋90×0.1＝51. (3)随机变量X的所有可能取值为10,15,20， P(X＝10)＝2＝， P(X＝15)＝C××＝， P(X＝20)＝C×2＝， 所以X的分布列为 X 10 15 20 P E(X)＝10×＋15×＋20×＝17.5. (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值．若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； [解析]　(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为 ＝10×(0.01×50＋0.025×60＋0.04×70＋0.015×80＋0.01×90)＝69. 即μ≈＝69，σ≈s≈11，所以X～N(69,112)， 因为质量指标值X近似服从正态分布N(69,112)， 所以P(X≥80)＝＝≈＝0.158 65≈0.16， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16. (2)(0.01＋0.01)×10×100＝20，所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0,1,2,3， 相应的概率为P(η＝0)＝＝， P(η＝1)＝＝， P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝＝， 随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以η的数学期望 E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程＝x＋； (2)从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望． (参考公式与数据：＝，＝－， (xi－)(yi－)＝460，(xi－)2＝1 000) [解析]　(1)＝＝40， ＝＝74.8， 因为(xi－)(yi－)＝460， (xi－)2＝1 000， 所以＝＝＝0.46， ＝74.8－0.46×40＝56.4， 所以回归直线方程为＝0.46x＋56.4. (2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 则χ2＝≈2.344<x0.01＝6.635， (2)依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有8×＝6件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X的可能值有1,2,3.则 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (3)依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为＝，故Y～B， 则P(Y＝k)＝Ck1 000－k，k＝0,1，…，1 000， 由＝＝×7＝， 故由>1可解得k<874， 因k∈Z，故当0<k≤874时，P(Y＝k)单调递增； 由≤1可解得k≥874，即当k≥875时，P(Y＝k)单调递减． 故当事件“Y＝k”的概率最大时，k＝875. (1)若p＝，当k＝2时， [解析]　(1)(ⅰ)因为k＝2，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p＝，所以X～B. 所以P(X＝0)＝C·0·3＝， P(X＝1)＝C·1·2＝， P(X＝2)＝C·2·1＝， P(X＝3)＝C·3·0＝. 所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为 X 0 1 2 3 P 控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为E(X)＝3×＝2. (ⅱ)P2＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 其概率为P(ξ≥k＋1)＝Pk－C·pk·(1－p)k－1； 其概率为P(ξ＝k)＝C·pk·(1－p)k－1·[1－(1－p)2]＝C·pk＋1·(1－p)k－1·(2－p)； 第三类：原系统中恰好有k－1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为P(ξ＝k－1)＝C·pk－1·(1－p)k·p2＝C·pk＋1·(1－p)k. 所以Pk＋1＝Pk－C·pk·(1－p)k－1＋C·pk＋1·(1－p)k－1·(2－p)＋C·pk＋1·(1－p)k ＝Pk＋C·pk·(1－p)k·(2p－1)， 所以Pk＋1－Pk＝C·pk·(1－p)k·(2p－1)， 所以当<p<1时，Pk＋1>Pk， 当0<p<时，Pk＋1<Pk， 当p＝时，Pk＋1＝Pk. [解析]　(1)由题意有＝65×0.01×10＋75×0.04×10＋85×0.035×10＋95×0.015×10＝80.5， 所以P(ξ>88)＝[1－P(73<ξ<88)]＝0.16， (3)由频率分布直方图有：分数在[80,90)和[90,100]的频率分别为0.35和0.15，按照分层抽样，抽取10份，其中在[80,90)应抽取10×＝7份，分数[90,100]应抽取10×＝3份， 令事件A：抽取3份试卷来自不同区间，事件B：取出的试卷有2份来自区间[90,100]， 所以P(A)＝＝， P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 所以抽测3份试卷有2份来自区间[90,100]的概率为. 则第70百分位数约为20＋×10＝27.5. (2)(ⅰ)潜在高粘性用户的频率为＝， 易得Y～B，Y的可能取值有0,1,2,3， 则P(Y＝0)＝3＝， P(Y＝1)＝C××2＝， P(Y＝2)＝C×2×＝， P(Y＝3)＝3＝， 故Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E(Y)＝3×＝. (ⅱ)设至少需抽取n次，则1－n≥0.9， 即n≤0.1， 即n≥＝≈≈10.3， 故至少需抽取11次． 3．某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛，初赛每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立． [解析]　(1)设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件A1、A2，则 P(A1)＝×＝，P(A2)＝×＝. 由题意X的取值可能为0,1,2，则 P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝. 则X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (2)由题意知，小组中2人答对的概率为 C(1－p)2p2,3人答对的概率C(1－p)p3， 则f(p)＝6(1－p)2p2＋4(1－p)p3＝2p4－8p3＋6p2. 令f′(p)＝0得p1＝0，p2＝，p3＝， 所以在上，f(p)单调递增，在上，f(p)单调递减，故p0＝时，f(p)最大．　　　　　　　　　　　　　　　 $