专题03 数列 （抢分专练）（北京专用） 2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题03 数列 题型 高考考情分析 考向预测 1. 等差数列的通项与前n项和 2025北京高考：考查等差数列基本量运算、等比中项应用；2023北京高考：考查数列递推关系及性质；2022北京高考：考查等差数列的单调性与存在性判断 以等差数列基本量（首项、公差）运算为核心，结合单调性、最值、充要条件判断，侧重公式应用与逻辑推理 2. 等比数列的通项与前n项和 2024北京高考：结合等比数列性质考查多面体体积；重点考查等比数列通项、前n项和及公比范围判断 侧重等比数列基本量运算、前n项和的最值、公比的取值范围，常与等差数列综合考查 3. 数列的综合应用 2023北京高考：考查环权数列（等差+等比综合）；2024北京高考：考查两个不同数列的集合交集问题；2022北京高考：考查等差数列的单调性与存在性 以递推数列、等差与等比综合、数列与集合、数列性质判断为核心，侧重转化与化归思想，难度中等偏上 题型1 等差数列的通项与前n项和 1. 核心公式 · 通项公式：（为首项，为公差） · 前n项和公式： · 性质：若，则（） 2. 速解方法 · 基本量法：将已知条件转化为和的方程组，求解后代入公式 · 性质法：利用等差数列的对称性、单调性，快速判断项的大小或和的最值 · 充要条件判断：紧扣等差数列定义（为常数），结合特殊值验证 【例1】（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质建立关于的等式，再化简整理即可. 【解析】是公差为的等差数列，所以 则， 所以的公差为. 【变式1-2】（25-26高三上·北京昌平·期末）已知数列满足（，2，3，）.若（），都有成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，则，即， 令， 则， 所以对于，恒成立，即， ， 整理得：， 解得， 当时，， 当时，， 当时，，，所以， 的最大值为，即． 故选：C． 题型2等比数列的通项与前n项和 1. 核心公式 · 通项公式：（为首项，为公比，） · 前n项和公式： · 性质：若，则（） 2. 速解方法 · 基本量法：抓住和两个核心量，结合已知条件列方程求解 · 性质法：利用等比数列的乘积性质、前n项和的性质，简化运算 · 分类讨论：对公比和分类，避免漏解；涉及无穷等比数列时，注意的条件 【例2】（2026·北京门头沟·一模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．31 B．15 C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 由等比数列性质可得，即，解得； 又，可得； 所以. 【变式2-1】（25-26高三下·北京海淀·月考）已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，则n的最小值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 则，即， 化简得，得， 所以， 因为，所以n的最小值是11. 【变式2-2】（25-26高三上·北京石景山·期末）若数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得，即得数列的偶数项是2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式求解. 【解析】由题，令，得，又，则， 所以数列的偶数项构成一个以为首项，公比为2的等比数列， . 故选：C. 题型3数列的综合应用 1. 核心考点 · 递推数列：常见递推形式（、）的通项求解 · 等差与等比综合：结合两种数列的性质，求解通项、前n项和及最值 · 数列与充要条件：结合数列单调性、周期性，判断充分必要条件 · 数列与实际应用：结合环权、铜嘉量等传统文化背景，转化为数列问题求解 2. 速解方法 · 递推数列：累加法、累乘法、构造法（构造等差或等比数列）求解通项 · 综合判断：利用特殊值法排除错误选项，结合数列单调性、周期性分析 · 实际应用：提取题干中的数列特征（等差、等比），转化为基本量运算 【例3】（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 【变式3-1】（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 【答案】 23 57.5/ 【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度. 【解析】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（   ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式求首项和公差，再代入求和公式. 【解析】设等差数列的公差为，，即， 由，，成等比数列，得，即， 得，所以. 1（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以“，（k为常数）”是“为等差数列”的必要不充分条件. 2．（24-25高三上·北京·月考）已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】正项等比数列，，则公比, 充分性：若公差，等差数列递减，显然存在正整数，当时，； 若公差，等差数列递增，等比呈指数增长，等差呈线性增长， 则时，，所以存在正整数，当时，， 若，则为常数列，显然成立. 所以充分性成立； 必要性：取，，显然存在正整数，当时，， 但，必要性不成立. 故选：A 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）直线与圆交于两点，若是的等差中项，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】D 【解析】∵是的等差中项，∴，即， 将代入直线方程并整理可得 ∴直线过定点， 整理圆方程得，∴圆的圆心为，半径为， ∵，即点在圆内， ∴当时，取得最小值， ∴. 故选：D. 4．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】是递增数列的充要条件是对任意恒成立. 已知，所以. 令，则. 因为，所以恒成立， 故只需对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，该函数是关于的增函数， 因此在时取得最小值，. 故是递增数列的充要条件是. 故选：C. 5．（18-19高三上·上海宝山·月考）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D. 【解析】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由得：，，，……，， 不等式左右两边分别相加，得， 消去两边相同的项得，， 所以； 取数列满足，，，且对且有. 满足，，但.不满足. 即“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 8．（25-26高三下·北京·开学考试）记为等差数列的前项和，为的公差，，则不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A：利用等差数列的基本量，结合，即可求得公差；对B：求得，以及，即可求得；对C：根据等差数列的前项和公式，直接计算即可；对D：求得，再结合裂项求和法，即可求得目标式的结果为，结合，即可判断. 【解析】对A：，故可得，又，故，则A成立； 对B：，故可得，故，则B成立； 对C：，故C不成立； 对D：，故， 则，又，则， 故，D成立. 故选：C. 9．（2026·北京密云·一模）任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由，，解得； 由，解得； 由，解得或； 由，解得或； 由，解得或或； 由，解得或或或； 由，或或或或或， 所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素. 10．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：不妨取，所以可得, 因此，即“，”成立； 此时其前n项和为, 因为恒成立，所以,，即“，”不成立， 综上可知，充分性不成立； 必要性：假设“，”成立； 当时，易知，故“，”成立； 当时，可知， 又因为，所以异号， 若，可知时，则，因此“，”成立； 若，由可得，即“，”成立； 当时，，因为，数列成摆动规律，若“，”成立； 可得，即, 当为偶数时，可知同号，若满足题意，可得，所以，此时“，”成立； 当为奇数时，可知异号，若满足题意，可得， 若时，可得，此时必有满足题意， 若，则，若，，则必有， 若，则随着的增大而趋向于无穷大，最终必有存在， 综上可知，必要性成立； 综上可得，“，”是“，”的必要不充分条件. 11．（25-26高三下·北京·月考）已知正项数列满足为数列的前项和，则下列结论中正确的是（　　） ①数列为递增数列    ②          ③       ④ A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【解析】 对于①，由，得，所以，即，递增数列，①正确； 对于②，由，得，即，又， 则，所以，②错误； 对于③，由于，当时，，当时，，当时，先证，即证， 由于， 所以，即，所以，③正确； 对于④，由，得，所以，④正确. 12．（2026·北京·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，若，则（   ） A．不可能是等差数列 B．可能是等比数列 C．不可能是递减数列 D．可能是周期数列 【答案】C 【解析】已知，时，两式作差得：， 因，两边除以得：，且时，，得， 同时可知：奇数项是公差为的递增数列，偶数项也是公差为的递增数列， 选项A：若是等差数列，由得，结合得， 即，验证得，满足条件，因此可以是等差数列，A错误； 选项B：若是等比数列，公比为，则要求对所有恒成立， 左边随变化，不可能恒等于常数，矛盾，不存在这样的等比数列，B错误； 选项C：递减数列要求对任意，，由前面推导： 若，则，即，不满足递减； 若，直接得，不满足递减；且奇数项、偶数项本身都是递增的， 因此不可能是递减数列，C正确， 选项D：数列的奇数项和偶数项都是单调递增数列，故数列不是周期数列，D错误. 13．（2026·北京丰台·一模）已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性： 若，对于无穷等比数列，其通项公式为. 当时，当为奇数时，；当时，当为偶数时，. 对于无穷等差数列，其通项公式为（为首项，为公差）. 所以对于任意，即给定，总可以找到一个足够大的正整数，使得. 因此“”能推出“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”，充分性成立. 必要性： 若任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使， 当时，若，等比数列单调递增，同样满足条件. 所以“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”不能推出“”，必要性不成立. 14．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以， 因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以， 由得： ， 当时，即，即， 当时，， 当时，， 所以n的最大值是. 15．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 16．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论： ①对任意，存在，使得为递增数列； ②对任意，存在，使得为等差数列； 则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【解析】对于①，不妨取， 因为数列为周期数列，即存在，使得对任意成立， 所以，此时数列不是递增数列，①错； 对于②，因为，则， 令，则，则数列为常数列，不妨设，即， 所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列， 当为奇数时，设，可得， 则， 当为偶数时，设，可得， 则， 不妨取，则， 显然对任意的，，即数列是周期为的周期数列， 此时，即为等差数列， 故对任意，存在，使得为等差数列，②对. 故选：D. 17．（25-26高三上·北京西城·期末）记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，等比数列前项的和， 因为，所以随着的增大而增大，且时，， 那么对于任意，一定存在正整数，当时，； 当时，等比数列前项的和， 若，则随着的增大而增大，且时，， 那么也会随着的增大而增大，且时，， 所以对于任意，存在正整数，当时，； 若，则随着的增大而减小，且时，， 那么随着的增大而增大，且时，， 此时，若，则不存在正整数，使得当时，； 综上所述，当公比时，若，存在，使得不存在正整数，当时，，所以“公比”不能推出“对任意，存在正整数，当时，”，故充分性不成立； 若对任意，存在正整数，当时，，则必须单调递增且无界，此时必有，而能推出，故必要性成立. 所以“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的必要不充分条件. 故选：B 18．（25-26高三下·北京·开学考试）设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 【答案】D 【解析】AB选项，若递减，则， 设等比数列公比为，则，于是， 又，则，则，， 时，，递减； 时，，递增，AB错误； CD选项，若递减，则， 由于，则对于一切正整数成立，解得， 此时，则递增，C错误，D正确 19．（2026·北京通州·一模）已知数列满足，给出下面3个结论， ①若为常数列，则； ②当时，总有； ③当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①若为常数列，则假设，则，代入得：，解得：， 即：或均满足为常数列，所以①错误； ②当时，由题意得时，，所以恒成立，， 当且仅当，即时等号成立，因为，所以当时，； 又因为，因为，所以，，则， 即数列是递减数列，所以，综上所述：，所以②正确； ③当时，由题意得时，，所以恒成立，则，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以，，， 则，所以为递增数列，且存在常数，使得恒成立，所以③正确. 20．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】B 【解析】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 21．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03数列 ONE PART1命题溯源 题型 高考考情分析 考向预测 1. 等差数列的通项与前n项和 2025北京高考：考查等差数列基本量运 以等差数列基本量（首 算、等比中项应用；2023北京高考：考 项、公差)运算为核心， 查数列递推关系及性质；2022北京高考：结合单调性、最值、充 考查等差数列的单调性与存在性判断 要条件判断，侧重公式 应用与逻辑推理 2.等比数列的通项与前n项和 2024北京高考：结合等比数列性质考查 侧重等比数列基本量运 多面体体积；重点考查等比数列通项、 算、前n项和的最值、 前n项和及公比范围判断 公比的取值范围，常与 等差数列综合考查 3.数列的综合应用 2023北京高考：考查环权数列（等差+ 以递推数列、等差与等 等比综合)；2024北京高考：考查两个 比综合、数列与集合、 不同数列的集合交集问题；2022北京高数列性质判断为核心， 考：考查等差数列的单调性与存在性 侧重转化与化归思想， 难度中等偏上 TWO PART2押题预测 题型1等差数列的通项与前n项和 01抢分攻瞪 1.核心公式 通项公式：an=a1+(n-1)d(a1为首项，d为公差) 0 前n顶和公式：Sa=a空=na+d 。性质：若m+n=p+g,则am+an=ap+ag(m,n,p,g∈N) 1/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.速解方法 。基本量法：将已知条件转化为1和d的方程组，求解后代入公式 。性质法：利用等差数列的对称性、单调性，快速判断项的大小或和的最值 0 充要条件判断：紧扣等差数列定义(a:1-an=d为常数)，结合特殊值验证 02押题预测 【例1】(2025·北京·高考真题)己知{an}是公差不为零的等差数列，a1=-2,若a,a4,a6成等比数列， 则a。=() A.-20 B.-18 C.16 D.18 【变式1-1】(2026·北京房山·一模)若{an}是以d为公差的等差数列，b,=-2a,+1(n∈N),则等差数列 {bn}的公差为() A.-2 B.-2d+1 C.d D.-2d 【变式1-2】(25-26高三上·北京昌平·期末)已知数列a}满足a,=m2-a(m=1,2,3,).若 Vm,neN(m≠n),都有。-a≥6成立，则a的取值范围是(） m-n A.[3,+0 B.[4,+o∞) C.[6,+∞ D.[8,+o） 题型2等比数列的通项与前n项和 01抢分攻略 1.核心公式 o通项公式：an=a1q-1（a1为首项，9为公比，q≠0) na1 (9=1) 0 前n项和公式： Sn= 1-g型=agL-1 1-9 q-1 (g≠1) 0 性质：若m+n=p+q,则aman=apag(m,n,p,geN) 2.速解方法 o基本量法：抓住1和q两个核心量，结合已知条件列方程求解 。性质法：利用等比数列的乘积性质、前项和的性质，简化运算 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 分类讨论：对公比g=1和q≠1分类，避免漏解；涉及无穷等比数列时，注意g<1的条件 02押题预测 【例2】(2026·北京门头沟·一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a4+a,=3,a+a。=6,则 S=() 31 15 A.31 B.15 C. 6 D. 8 【变式2-1】(25-26高三下·北京海淀·月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a=1,且a2,a+1 ,a4成等差数列，an+S,>2026,则n的最小值是() A.10 B.11 C.12 D.13 【变式2-2】(25-26高三上·北京石景山·期末)若数列an}满足a=2,且m,n∈N，am+n=aman,则 a2+a4+a6+…+a2026=(） A.21013-2 B.21013-1 C.21014-2 D.2014-1 题型3数列的综合应用 01抢分攻略 1.核心考点 0 递推数列：常见递推形式(a#1=an十f(@、a#1=f(nan)的通项求解 。等差与等比综合：结合两种数列的性质，求解通项、前项和及最值 。数列与充要条件：结合数列单调性、周期性，判断充分必要条件 。数列与实际应用：结合环权、铜嘉量等传统文化背景，转化为数列问题求解 2.速解方法 。递推数列：累加法、累乘法、构造法（构造等差或等比数列）求解通项 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 综合判断：利用特殊值法排除错误选项，结合数列单调性、周期性分析 0 实际应用：提取题干中的数列特征（等差、等比），转化为基本量运算 02押题预测 【例3】(2023·北京·高考真题)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码 的、用来测量物体质量的“环权”，已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列(a}, 该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a=1,a,=12,a,=192,则4= ；数列{an} 所有项的和为】 【变式3-1】(2024·北京·高考真题)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准 量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数 列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm,且斜量器的高为230mm,则斗量器的高为 mm,升量 器的高为 mm. 【变式3-2】(2026·北京顺义·一模)己知等差数列an}的前n项和为Sn,若a4-a2=4,a,a2,a4成 等比数列，则S,=() A.28 B.42 C.56 D.112 THREE PART3通关特训 1(2026北京通州一模)已知数列{an},则“n∈N°，ant2=an+k(k为常数)"是“{an}为等差数列"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(24-25高三上北京·月考)已知等差数列{an},正项等比数列{bn},则“b<b”是“存在正整数N。,当 n>N。时，bn>an"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上北京昌平.期末)直线ax+by+c=0与圆x2+y2+2x-10=0交于A,B两点，若a是b,c的 等差中项，则AB的最小值为() 4/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.213 D.6 4。(25-26高三上北京朝阳期末)已知数列a,满足a.=nn+1(a-小，则1<"是a,是递增数列的 2 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(18-19高三上上海宝山·月考)设Sn为等差数列an}的前n项和，则“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增 数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2026·浙江·模拟预测)己知数列an}的前n项和为Sn,则对neN，“a+2>a+1+an"是 “a2>Sn+a2”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2026北京延庆.一模)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，其前n项和为Sn,则“d>0”是“Sn存在最 小值”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(25-26高三下.北京·开学考试)记Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{a}的公差，S;=12,a=6,则 不成立的是() A.d=2 B.a=18 11 1 C.S。=72 D. S S2 51 9.(2026北京密云.一模)任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除 以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的冰雹 猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤 变成1（简称8步“雹程”）现给出冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列an}满足：a,=mm∈N), 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,当a,为偶数时， 2 若as=1,则m的所有可能取值的总个数为() 3an+1,当an为奇数时. A.5 B.6 C.7 D.8 10.(25-26高三下北京海淀开学考试)已知{an}是公比q<0的无穷等比数列，其前n项和为Sn,则 “3peN,a。>2026"是"3m∈N,Sm>2026"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.(25-26高三下.北京月考)已知正项数列{a,}满足0<a,<1,1=a+2a,S,为数列 的前n项和， a 则下列结论中正确的是() ①数列an}为递增数列②a>8 ③1、1) ④S,>n a.2 n+1 A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 12.(2026北京模拟预测)已知各项均不为零的数列{an},其前n项和是Sn,若S。=a,a1n=1,2,…）, 则() A.{an}不可能是等差数列 B.{an}可能是等比数列 C.{an}不可能是递减数列 D.{an}可能是周期数列 13.(2026北京丰台一模)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，则“q<-1”是“任取无穷等差数列{b}, 对于任意N。∈N,存在正整数k,使a>b,"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.（2026北京朝阳·模拟预测)已知数列{a,}是以1为首项，2为公差的等差数列，{b,}是以1为首项，2 为公比的等比数列，设cn=a,Tn=c+c2+…+cn（n∈N),则当Tn<2026时，n的最大值是() A.8 B.9 C.10 D.11 15.(2022北京·高考真题)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则"{a}为递增数列"是“存在正整数N。, 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当n>No时，an>0"的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 16.(25-26高三上.北京海淀·期末)己知数列(an}满足an+a3=a1+a+2,对任意n∈N成立.数列{bn}为 周期数列，即存在k∈N，使得bn+k=bn对任意neN成立，给出下列两个结论： ①对任意{an},存在{bn}，使得{a+bn}为递增数列； ②对任意{an},存在{b},使得{an+bn}为等差数列： 则下列判断正确的是() A.①②都正确 B.①正确，②错误 C.①②都错误 D.①错误，②正确 17.(25-26高三上北京西城期末)记无穷等比数列an}前项的和为Sn,若a,>0,则“公比q>0"是“对 任意M>0,存在正整数N。,当n>N。时，Sn>M"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 18.(25-26高三下.北京开学考试)设无穷等比数列{an}的前项和为Sn,则下列结论一定成立的是() A.若a<0,{Sn}递减，则{an}递增 B.若a,<0,{Sn}递减，则an}递减 c.若a>0,{a}递减，则{Sn}递减 D.若a>0,{an}递减，则{S}递增 19.（2026北京通州一模)已知数列a满足4=3u=2小，给出下面3个结论， ①若{an}为常数列，则a,=V3; ②当a,>2时，总有V3<an≤a1: ③当a,=-2时，{an}为递增数列，且存在常数M<0,使得an≤M恒成立. 其中正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 1 20.（2023北京：高考真题）已知数列a,}满足a=4a,-6)+6(n=12,3),则（） 7/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.当a,=3时，{an}为递减数列，且存在常数M≤0，使得an>M恒成立 B.当a=5时，{a,}为递增数列，且存在常数M≤6，使得an<M恒成立 C.当a=7时，{an}为递减数列，且存在常数M>6,，使得a.>M恒成立 D.当a,=9时，{an}为递增数列，且存在常数M>0,使得an<M恒成立 21.(2024北京·高考真题)设{an}与{b}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 M={ka=b,k∈N},给出下列4个结论： ①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若{an}与{b,}均为等比数列，则M中最多有2个元素： ③若{an}为等差数列，{b,}为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若{a,}为递增数列，{b,}为递减数列，则M中最多有1个元素。 其中正确结论的序号是· 8/8