【解答题专项】03概率与统计2026年湖南省对口招生考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生考试 解答题专项 （三）概率与统计 一、解答题 1．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号．现从中任取个球，以表示取出球的最大号码． (1)求的分布列； (2)求的概率． 2．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为．现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值． 3．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球． (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列． 4．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值；(2)求随机变量X的分布列和数学期望． 5．在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 6．操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立． (1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率． 7．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求： (1)求X的分布列； (2)求． 8．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 9．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为现有3个篮球，该运动员准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完(不重复使用)．设耗用篮球数为X，求： (1)X的概率分布列； (2)均值 E(X)，方差 D(X)． 10．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为． (1)求的分布列； (2)求的均值和方差． 11 操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立． (1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率． 12．从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲 乙 (1)分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数： (2)选派谁去参赛更好？请说明理由． 13．一个袋子中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋子中同时取3个球，以ξ表示取出的3个球中的最小号码． (1) 写出随机变量的分布列；(2) 求随机变量的数学期望和方差． 14． 某学校乒乓球社团招募了6名新成员，其中2名来自特长生班，现从这6名新成员中随机选择4人参加校运会比赛． (1)设A 为事件“选出的4人中恰有1人来自特长生班”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中来自特长生班的人数，写出随机变量 X 的分布列． 15． 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，则记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求 X 的分布列和数学期望． 16．袋中有1个白球、2个红球、3个蓝球，从中任取2个球，若取到1个白球记4分，取到1个红球记3分，取到1个蓝球记2分，设随机变量ξ为取到的2个球的记分之和．求： (1)随机变量ξ的分布列； (2)E(ξ)和D(ξ)． 17．甲、乙、丙3人破译同1份密码，已知甲能破译出密码的概率是 甲、乙2人都不能破译出密码的概率乙、丙2人都能破译出密码的概率是 设他们是否破译出密码互不影响． (1)求丙能破译出密码的概率； (2)设甲、乙、丙3人中破译出密码的人数为X，求 X 的分布列和数学期望E(X)． 18、某中职学校为筑牢校园安全防线，提升学生安全意识，举办了一次安全知识竞赛，以学生团队为单位参加比赛，每个团队每题作答正确得5分，错误得1分，已知甲队回答题库中三类相关知识 题目正确率见下表 题目类别 交通安全 消防安全 防溺水 正确率 （1）若甲队抽到交通安全、消防安全各1道题目，求甲队作答这2道题目后得分不低于6分的概率； (2)已知甲队抽到3道题目，且类别均不相同，设甲队在作答完这3道题目后的总分为X，求X 的分布列及数学期望． 19、一个不透明的袋中有4个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)若1次取1个，有放回地从袋中抽取4个球，记其中红球的个数为X，求X的数学期望； (2)若1次取1个，不放回地从袋中抽取4个球，记其中白球的个数为Y求Y的分布列与数学期望 20、现有8名奥运志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语。从中选出通晓日语韩语俄语的志愿者各一名，组成一个小组。 (1)求A1被选中的概率； (2)求B1、C1不全被选中的概率。 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生考试 解答题专项 （三）概率与统计 一、解答题 1．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号．现从中任取个球，以表示取出球的最大号码． (1)求的分布列； (2)求的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率． 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：，，，， 所以，，，，所以分布列为 （2）由（1）得． 2．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为．现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求： (1)的概率分布列； (2)均值． 【答案】(1) X 1 2 3 (2) 【分析】（1）求出的可能取值及相应的概率，求出分布列；（2）在第一问的基础上求出均值． 【详解】（1）随机变量的所有取值是 ， X 1 2 3 （2） 3．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球． (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率； (2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析． 【分析】设出事件，利用超几何分布求概率公式进行求解；（2）写出随机变量X的可能取值及相应的概率，求出分布列． 【详解】（1）设取出的3个球恰有一个红球为事件A， 则 （2）随机变量X可能取值为0，1，2， ，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 4．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值；(2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可． （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望． 【详解】（1）根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以． （2）根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 5．在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解； （2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列． 【详解】（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”， 则取出的2个球没有白球，得， 所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为． （2）依题意，随机变量的取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 6．操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立． (1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立重复试验概率公式结合条件即可求解． （2）分别计算出四人投中和五人投中的概率，相加即可 【详解】（1）恰好有4名同学投中的概率为 （2）至少有4名同学投中包括恰有4名同学投中和恰有5名同学投中两种情况， 所以至少有4名同学投中的概率为． 7．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求： (1)求X的分布列； (2)求． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列．（2）由二项分布的期望公式即可求解． 【详解】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为， 所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故 即 ，     ，  ，   ，  ； X的分布列如下： 0 1 2 3 4 （2） 8．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）： 一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30 二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29 (1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？ (2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？ 【答案】(1)平均数为30.27次；29.09次；中位数33次，29次，众数33次，29次． (2)平均数 【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的概念计算即可； （2）利用平均数、中位数和众数的统计意义分析即可． 【详解】（1）一班平均数为（次）， 一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35， 所以一班的中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次； 二班平均数为（次）， 二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35， 所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次． （2）运用平均数表示两个班的成绩更合适． 9．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为现有3个篮球，该运动员准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完(不重复使用)．设耗用篮球数为X，求： (1)X的概率分布列； (2)均值 E(X)，方差 D(X)． (1)随机变量的所有取值是1，2，3 ， X 1 2 3 (2)， ． 10．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为． (1)求的分布列； (2)求的均值和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率； （2）利用（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即得． 【详解】（1）依题意，的可能值有． 则，，． 则的分布列为： （2）由（1）中的分布列，可得 ． 另解：因 则 11 操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立． (1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立重复试验概率公式结合条件即可求解． （2）分别计算出四人投中和五人投中的概率，相加即可 【详解】（1）恰好有4名同学投中的概率为 （2）至少有4名同学投中包括恰有4名同学投中和恰有5名同学投中两种情况， 所以至少有4名同学投中的概率为． 12．从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲 乙 (1)分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数： (2)选派谁去参赛更好？请说明理由． 【答案】(1)甲乙的平均数均为7； (2)选派乙，理由见解析． 【分析】（1）应用平均数的求法求甲乙平均数； （2）由（1）知甲乙平均数相同，求出甲乙的方差并比较大小，即可确定选派方法． 【详解】（1）由题设，甲的平均数为， 乙的平均数为． （2）甲的方差为， 乙的方差为． 由（1）知：，而， 所以选派乙去参赛更好． 13．一个袋子中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋子中同时取3个球，以ξ表示取出的3个球中的最小号码． (1) 写出随机变量的分布列；(2) 求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)随机变量的分布列见解析 (2)、 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，求出概率； （2）利用（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即得 【详解】(1)随机变量的所有可能取值为1，2，3． 当时，即取出的三个球中最小号码为1，则其他两个球只能在编号为2，3，4，5的四个球中任取两个，所以； 当时，即取出的三个球中最小号码为2，则其他两个球只能在编号为3，4，5的三个球中任取两个，所以； 当时，即取出的三个球中最小号码为3，则其他两个球只能在编号为4，5的两个球中任取两个，所以． 因此，随机变量的分布列见下表． 1 2 3 （2）由（1）可得， 又因为， 所以． 14． 某学校乒乓球社团招募了6名新成员，其中2名来自特长生班，现从这6名新成员中随机选择4人参加校运会比赛． (1)设A 为事件“选出的4人中恰有1人来自特长生班”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中来自特长生班的人数，写出随机变量 X 的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】（1）设为事件“选出的4人中恰有1人来自特长生班”，则． （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，并且 ；；． 因此，随机变量的分布列见下表： 0 1 2 15． 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，则记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求 X 的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】（1）设顾客抽奖一次能获奖的概率为P，不能获奖的概率为，则，所以P＝． （2）顾客抽奖一次获一等奖的概率为， 的可能取值为0，1，2，3 则， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 16．袋中有1个白球、2个红球、3个蓝球，从中任取2个球，若取到1个白球记4分，取到1个红球记3分，取到1个蓝球记2分，设随机变量ξ为取到的2个球的记分之和．求： (1)随机变量ξ的分布列； (2)E(ξ)和D(ξ)． 【答案】(1) 分布列见解析 (2) 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】（1）ξ可以取4，5，6，7， p（ξ＝4）＝，P（ξ＝5）＝，p（ξ＝6）＝， p（ξ＝7）＝， 分布列如下： ξ 4 5 6 7 P （2）E（ξ）＝4×＋5×＋6×＝， E（ξ2）＝16×＋25×＋36×＋49×＝＋10＋＝10＋＋＝＝， D（ξ）＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝＝＝ 17．甲、乙、丙3人破译同1份密码，已知甲能破译出密码的概率是 甲、乙2人都不能破译出密码的概率乙、丙2人都能破译出密码的概率是 设他们是否破译出密码互不影响． (1)求丙能破译出密码的概率； (2)设甲、乙、丙3人中破译出密码的人数为X，求 X 的分布列和数学期望E(X)． 【答案】(1) (2) 分布列见解析 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】（1）∵甲能破译出密码的概率是，甲、乙两人都不能破译出密码的概率是， ∴乙不能破译出密码的概率是＝，∴乙能破译出密码的概率是， ∵乙、丙两人都能破译出密码的概率是，∴丙能破译出密码的概率是＝． （2）X可以为0，1，2，3， P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， X的分布列如下所示： X 0 1 2 3 P E（X）＝1×＋2×＋3×＝． 18、某中职学校为筑牢校园安全防线，提升学生安全意识，举办了一次安全知识竞赛，以学生团队为单位参加比赛，每个团队每题作答正确得5分，错误得1分，已知甲队回答题库中三类相关知识 题目正确率见下表 题目类别 交通安全 消防安全 防溺水 正确率 （1）若甲队抽到交通安全、消防安全各1道题目，求甲队作答这2道题目后得分不低于6分的概率； (2)已知甲队抽到3道题目，且类别均不相同，设甲队在作答完这3道题目后的总分为X，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) 分布列见解析 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】（（1）设答对交通安全题目、答对消防安全题目的事件分别为A1，A2，两道题目回答得分不低于6分的事件为B， 则P（B）＝＝×＋×＋×＝， 所以该队两道题目回答得分不低于6分的概率为． （2）由题意可知，X所有可能的取值为3，7，11，15， P（X＝3）＝××＝， P（X＝7）＝××＋××＋×× ＝， P（X＝11）＝××＋××＋×× ＝， P（X＝15）＝××＝， X的分布列为 X 3 7 11 15 P 所以数学期望为E（X）＝3×＋7×＋11×＋15×＝9． 19、一个不透明的袋中有4个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)若1次取1个，有放回地从袋中抽取4个球，记其中红球的个数为X，求X的数学期望； (2)若1次取1个，不放回地从袋中抽取4个球，记其中白球的个数为Y求Y的分布列与数学期望 【答案】(1) (2) 分布列见解析 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】（1）从袋中任取1个球，该球为红球的概率为， 则，∴X的数学期望 （2）由题意可知Y可能的取值为0，1，2，3，4，则，，， ，． ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P 20、现有8名奥运志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语。从中选出通晓日语韩语俄语的志愿者各一名，组成一个小组。 (1)求A1被选中的概率； (2)求B1、C1不全被选中的概率。 【答案】(1) (2) 【分析】确定随机变量的可能取值，求出概率； 【详解】解：（1）从8人中选出通晓日语韩语俄语的志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有； “事件A1被选中”有个结果，所以A1被选中的概率为； （2）“事件B1、C1全被选中这一事件”，包含(A1，B1，C1)、(A2，B1，C1)、 (A3，B1，C1)3个结果；∴B1、C1不全被选中的概率。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $