专题2 集合之间的关系及其运算（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 集合之间的关系及其运算 【复习目标】 1. 掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）； 2. 理解集合的运算（交、并、补）。 【考点1 集合之间的关系】 1. 子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的 每一个 元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作_______（或_______），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.特别地，任何一个集合是_______的子集，即A⊆A；空集是_______的子集，即⊆A. 2. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中______________不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作_______（或______）.空集是___________的真子集. 3. 集合相等：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么这两个集合_______，记作_______，即A⊆B且B⊆A ⇔ A=B. 4. 子集个数公式：若集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为_______，真子集个数为_______，非空子集的个数为_______，非空真子集个数为_______. 【即时训练】 （一）单选题 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. 0⊆{0} B. ∈{0} C. {0}⊆{0} 2. 已知集合A={1,2}，则集合A的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若集合MN，且M≠，则下列说法正确的是（ ） A. N中没有元素属于M B. M中所有元素都属于N C. M中元素个数多于N D. N是M的真子集 4. 已知集合A={x|x是偶数}，B={x|x是整数}，则A与B的关系是（ ） A. AB B. BA C. A=B D. 无包含关系 5. 若集合A={x|x²=1}，B={-1,1}，则A与B的关系是（ ） A. AB B. BA C. A=B D. A∈B 6. 已知集合A⊆{1,2,3}，且A中至少有一个元素，则A的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 若集合M={x|x<3}，N={x|x≤2}，则下列关系正确的是（ ） A. M⊆N B. N⊆M C. M=N D. MN 8. 满足关系 {} 的集合的个数是（ ） A. B. C. D. （二）多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 空集是任何集合的子集 B. 任何集合都有真子集 C. 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C D. 若AB，BC，则AC 10. 已知集合A={1,2,3}，则下列集合中是A的真子集的有（ ） A. B. {1} C. {1,3} D.{1,2,3} （三）填空题 11. 若A⊆{1,2}，则集合A的可能情况为__________. 12. （1）已知集合A={a,b}，B={a,b,c}，则A与B的关系是__________； （2）若集合A⊆B，且A≠B，则A是B的__________. 13. 已知集合，集合. （1）用列举法表示集合A=___________; （2）若且，则实数的值分别为__________. 14. 已知集合，集合，且，则实数的取值范围是________. （四）计算题 15. 已知集合，B={1,2,3}， （1）判断A与B的关系；（2）写出A的所有真子集. 16. 已知集合 ，集合 . （1）用列举法表示集合A； （2）若 ，求实数的所有可能值组成的集合，并写出该集合的所有非空真子集. 【考点2 集合的运算】 1. 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即.性质：A∩A=_______；A∩=_______；A∩B=B∩A；若A⊆B，则A∩B=_______. 2. 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A 或 x∈B}.性质：A∪A=_______；A∪=_______；A∪B=B∪A；若A⊆B，则A∪B=_______. 3. 补集：一般地，设U为全集，集合A是U的子集，由U中______________的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作，即.性质：A∪= _______；A∩=_______；=_______；=_______；=_______. 4. 运算优先级：先求补集，再求交集、并集；若有括号，先算括号内的集合运算. 【即时训练】 （一）单选题 1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（ ） A. {1,2,3,4} B. {2,3} C. {1,4} D. 2. 若集合A={x|x>0}，B={x|x<2}，则A∪B=（ ） A. {x|0<x<2} B. {x|x>0} C. {x|x<2} D. R 3. 设全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则=（ ） A. {4,5} B. {1,2,3} C. {1,2,3,4,5} D. 4. 设全集U=R，A=，则=（ ） A. B. C. D. R 5. 若A∩B=A，则下列关系正确的是（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A=B D. AB 6. 已知集合，则A∪B=（ ） A. {2} B. {-2,2,3} C. {-2} D. 7. 已知集合A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3}，则(A∪B)∩C=（ ） A. {1,2,3} B. {1,3} C. {2} D. 8. 已知集合，集合，且，则的值为（ ） A. B. C. D.或 （二）多选题 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. A∩B= B. C. D. （三）填空题 11. 已知集合A={a,b,c}，B={b,c,d}，则A∩B=__________，A∪B=__________. 12. （1）设全集U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,4}，则=__________； （2）若集合，则A∩B=__________. 13. 已知集合，集合，则=_____. 14. 已知集合，集合，若，则的取值范围是______. （四）计算题 15. 设全集U={x|x是小于10的正整数}，集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}， （1）求A∩B，A∪B；（2）求. 16. 已知集合 (1) 求 ，； (2) 若 ，求实数 的取值范围. 1.（2026年湖北省技能高考第19题）若 ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 2.（2025年湖北省技能高考第19题）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　） A. 　 B. 　 C. 　D. 3.（2024年湖北省技能高考第20题）已知集合 ，，记 ，则 中元素的个数是（　） A. 　 B. 　C. 　 D. 4.（2023年湖北省技能高考第19题）设集合 ，，若 ，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 5.（2022年湖北省技能高考第19题）设集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 6.（2021年湖北省技能高考第20题）若集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　D. 7.（2020年湖北省技能高考第19题）若集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 8.（2019年湖北省技能高考第19题）下列三个命题中真命题的个数是（　） （1）不大于 的所有实数组成的集合用描述法可表示为 ； （2）集合 有 个真子集； （3）若全集 ，集合 ，则 . A. 　 B. 　 C. 　 D. 9.（2018年湖北省技能高考第19题）下列三个命题中真命题的个数是（　） （1）若集合 ，则 ； （2）若全集 ，且 ，则 ； （3）若 ，，则条件 是结论 成立的必要条件. A. 　 B. 　C. 　 D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 集合之间的关系及其运算 【复习目标】 1. 掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）； 2. 理解集合的运算（交、并、补）。 【考点1 集合之间的关系】 1. 子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的 每一个 元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A⊆B （或 B⊇A ），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.特别地，任何一个集合是 它本身 的子集，即A⊆A；空集是 任何集合 的子集，即⊆A. 2. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中 至少有一个元素 不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作 AB （或 BA ）.空集是 任何非空集合 的真子集. 3. 集合相等：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么这两个集合 相等 ，记作 A=B ，即A⊆B且B⊆A ⇔ A=B. 4. 子集个数公式：若集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为 2ⁿ ，真子集个数为2ⁿ - 1 ，非空子集的个数为 2ⁿ - 1 ，非空真子集个数为 2ⁿ - 2 . 【即时训练】 （一）单选题 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. 0⊆{0} B. ∈{0} C. {0}⊆{0} 【考点】子集的定义、元素与集合的关系辨析 【答案】C 【解析】A选项：0是元素，{0}是集合，元素与集合不能用“⊆”（子集符号），应表示为0∈{0}，故A错误；B选项：是集合，{0}是集合，集合与集合之间不能用“∈”（属于符号），应表示为⊆{0}或者{0}，故B错误；C选项：任何集合是它本身的子集，{0}⊆{0}符合子集定义，故C正确；D选项：空集是任何非空集合的真子集，{1}是非空集合，{1}，而非，故D错误. 2. 已知集合A={1,2}，则集合A的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】子集个数公式 【答案】D 【解析】根据子集个数公式：若集合A中有n个元素，子集个数为2ⁿ.集合A={1,2}，n=2，因此子集个数为2²=4，分别为、{1}、{2}、{1,2}，故D正确. 3. 若集合MN，且M≠，则下列说法正确的是（ ） A. N中没有元素属于M B. M中所有元素都属于N C. M中元素个数多于N D. N是M的真子集 【考点】真子集的定义 【答案】B 【解析】由真子集的定义可知：若MN，则M是N的真子集，即M是N的子集且N中至少有一个元素不属于M，因此M中所有元素都属于N，故B正确；A选项与真子集定义矛盾，错误；C选项：真子集的元素个数一定少于原集合，错误；D选项：应为M是N的真子集，而非N是M的真子集，错误. 4. 已知集合A={x|x是偶数}，B={x|x是整数}，则A与B的关系是（ ） A. AB B. BA C. A=B D. 无包含关系 【考点】子集、真子集的判断 【答案】A 【解析】所有偶数都是整数，即集合A的每一个元素都是集合B的元素，因此A⊆B；又因为整数中存在不是偶数的数（如1、3），即B中至少有一个元素不属于A，因此AB，故A正确. 5. 若集合A={x|x²=1}，B={-1,1}，则A与B的关系是（ ） A. AB B. BA C. A=B D. A∈B 【考点】集合相等的判断 【答案】C 【解析】先求解集合A：x²=1，解得x=1或x=-1，因此A={-1,1}；集合B={-1,1}，A和B的元素完全相同，根据集合相等的定义，A=B，故C正确；A、B选项错误，D选项中A和B都是集合，不能用“∈”符号，错误. 6. 已知集合A⊆{1,2,3}，且A中至少有一个元素，则A的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【考点】子集个数公式（非空子集） 【答案】C 【解析】集合{1,2,3}有3个元素，其子集个数为2³=8个，其中不满足“至少有一个元素”的条件，因此满足条件的集合A的个数为8-1=7个，故C正确. 7. 若集合M={x|x<3}，N={x|x≤2}，则下列关系正确的是（ ） A. M⊆N B. N⊆M C. M=N D. MN 【考点】子集的判断（数集的包含关系） 【答案】B 【解析】分析两个集合的范围：N中所有元素x≤2都满足x<3，即N的每一个元素都是M的元素，因此N⊆M；A选项错误，因为M中存在元素（如2.5）不属于N；C选项错误，M和N范围不同；D选项错误，正确关系是NM，故B正确. 8. 满足关系 {} 的集合的个数是（ ） A. B. C. D. 【考点】集合的真子集、子集个数公式 【答案】B 【解析】条件拆解：：说明集合必须包含元素，且不能等于，还要额外含有中至少 1 个元素；：说明的元素只能来自.因此是在基础上，从中选取非空子集添加元素.的非空子集有：，共个. 对应集合分别为：，故B正确. （二）多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 空集是任何集合的子集 B. 任何集合都有真子集 C. 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C D. 若AB，BC，则AC 【考点】子集、真子集的性质 【答案】ACD 【解析】A选项：空集是任何集合的子集，是基本性质，正确；B选项：空集没有真子集（空集的子集只有它本身），因此“任何集合都有真子集”错误；C选项：子集具有传递性，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C，正确；D选项：真子集具有传递性，若AB且BC，则AC，正确. 10. 已知集合A={1,2,3}，则下列集合中是A的真子集的有（ ） A. B. {1} C. {1,3} D.{1,2,3} 【考点】真子集的判断 【答案】ABC 【解析】真子集的定义：是子集且与原集合不相等.A选项：是任何非空集合的真子集，A是非空集合，因此是A的真子集，正确；B选项：{1}⊆A且{1}≠A，是真子集，正确；C选项：{1,3}⊆A且{1,3}≠A，是真子集，正确；D选项：{1,2,3}=A，不是真子集，错误. （三）填空题 11. 若A⊆{1,2}，则集合A的可能情况为__________. 【考点】真子集、子集的综合判断 【答案】{1}，{2}，{1,2} 【解析】由A可知，A是非空集合；由A⊆{1,2}可知，A是{1,2}的子集.因此A的可能情况为{1,2}的所有非空子集，即{1}、{2}、{1,2}. 12. （1）已知集合A={a,b}，B={a,b,c}，则A与B的关系是__________； （2）若集合A⊆B，且A≠B，则A是B的__________. 【考点】真子集的定义，真子集的判断 【答案】AB；真子集 【解析】（1）A的所有元素a、b都属于B，且B中存在元素c不属于A，根据真子集的定义，A是B的真子集，即AB； （2）根据真子集的定义：若A⊆B且A≠B，则A是B的真子集，此处填“真子集”. 13. 已知集合，集合. （1）用列举法表示集合A=___________; （2）若且，则实数的值分别为____________. 【考点】列举法；集合间真包含关系 【答案】 （1）；（2）或 【解析】（1）化简集合：解方程 ，因式分解得 ， 解得 或 ，即 . （2）分析条件：且，说明非空集合是的真子集，因此只有两种可能：、.分情况用韦达定理求解： 情况 1：，方程有两个相等根 方程为 ，对应得 情况 2：，方程有两个相等根 方程为 ，对应得 14. 已知集合，集合，且，则实数的取值范围是________. 【考点】数集之间的真包含关系、数轴分析集合 【答案】 【解析】集合含义：：数轴上所有大于 2的实数；：数轴上所有大于 的实数. 条件 ：所有大于的数，都必须大于，且范围比更广. 数轴分析：要让，必须满足分界点. 若，则，不满足真包含；若，完全包含在内，且两集合不相等，满足真包含.所以实数的取值范围是. （四）计算题 15. 已知集合，B={1,2,3}， （1）判断A与B的关系；（2）写出A的所有真子集. 【考点】（1）集合相等、真子集的判断；（2）真子集的列举； 【答案】（1）AB；（2），{1}，{2}； 【解析】（1）先求解集合A：解方程，因式分解得(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2，因此A={1,2}.因为A的所有元素都属于B，且B中元素3不属于A，所以AB； （2）集合A={1,2}，其真子集是所有子集去掉自身，即、{1}、{2}. 16. 已知集合 ，集合 . （1）用列举法表示集合A； （2）若 ，求实数的所有可能值组成的集合，并写出该集合的所有非空真子集. 【考点】列举法表示集合、空集是任何集合的子集、子集的概念、含参数的方程解集分类讨论 【答案】（1）； （2）的取值集合： ；非空真子集：. 【解析】（1）化简集合：解方程 ，因式分解 ， 解得 ，即 . （2）分类讨论：集合是方程的解集，分空集、非空集两类： ① 当时：方程变为 ，无解，.空集是任何集合的子集，满足，故符合条件. ② 当时：方程有唯一解 ，即.由，得 或 ， 解得 或 .汇总的所有可能值： 集合元素个数，非空真子集个数：个，即上述答案列出的全部集合. 【考点2 集合的运算】 1. 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即.性质：A∩A= A ；A∩= ；A∩B=B∩A；若A⊆B，则A∩B= A . 2. 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A 或 x∈B}.性质：A∪A= A ；A∪= A ；A∪B=B∪A；若A⊆B，则A∪B= B . 3. 补集：一般地，设U为全集，集合A是U的子集，由U中 所有不属于集合A 的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作，即.性质：A∪= U ；A∩= ；= A ；= ；= U . 4. 运算优先级：先求补集，再求交集、并集；若有括号，先算括号内的集合运算. 【即时训练】 （一）单选题 1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（ ） A. {1,2,3,4} B. {2,3} C. {1,4} D. 【考点】交集的定义 【答案】B 【解析】交集是指所有既属于A又属于B的元素组成的集合.A={1,2,3}，B={2,3,4}，共同元素为2、3，因此A∩B={2,3}，故B正确. 2. 若集合A={x|x>0}，B={x|x<2}，则A∪B=（ ） A. {x|0<x<2} B. {x|x>0} C. {x|x<2} D. R 【考点】并集的定义 【答案】D 【解析】并集是指所有属于A或属于B的元素组成的集合.A是x>0的所有实数，B是x<2的所有实数，两者合并后覆盖所有实数，因此A∪B=R，故D正确. 3. 设全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则=（ ） A. {4,5} B. {1,2,3} C. {1,2,3,4,5} D. 【考点】补集的定义 【答案】A 【解析】补集是指全集中不属于A的元素组成的集合.全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，不属于A的元素为4、5，因此={4,5}，故A正确. 4. 设全集U=R，A=，则=（ ） A. B. C. D. R 【考点】补集的定义 【答案】B 【解析】全集U=R，A是x≤1的所有实数，补集是全集中不属于A的元素，即x>1的所有实数，因此，故B正确. 5. 若A∩B=A，则下列关系正确的是（ ） A. A⊆B B. B⊆A C. A=B D. AB 【考点】交集与子集的关系 【答案】A 【解析】由A∩B=A可知，所有属于A的元素都属于B（因为交集是A和B的公共元素，若交集等于A，说明A的元素都在B中），根据子集定义，A⊆B；C选项不一定成立（A可能是B的真子集），D选项也不一定成立（A可能等于B），故A正确. 6. 已知集合，则A∪B=（ ） A. {2} B. {-2,2,3} C. {-2} D. 【考点】并集的定义（先求解集合） 【答案】B 【解析】先求解集合A：解方程x²=4，解得x=2或x=-2，因此A={-2,2}；再求解集合B：解方程 ，解得 ，即B={2,3}，并集是A和B所有元素的集合（不重复），因此A∪B={-2,2,3}，故B正确. 7. 已知集合A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3}，则(A∪B)∩C=（ ） A. {1,2,3} B. {1,3} C. {2} D. 【考点】集合运算的优先级（先并后交） 【答案】A 【解析】先算括号内的并集：A∪B={1,2,3,4,5,6}；再算交集：(A∪B)∩C是A∪B和C的公共元素，即1、2、3，因此(A∪B)∩C={1,2,3}，故A正确. 8. 已知集合，集合，且，则的值为（ ） A. B. C. D.或 【考点】集合的交集运算、集合元素的互异性（集合内元素互不相同） 【答案】 【解析】已知 ，说明是集合的元素，且集合中其余元素都不属于集合.集合，其中 ，永远不可能等于，因此只有两种情况：情况 1：, 解得：, 将代入两个集合： , 此时 ，与条件矛盾，舍去. 情况 2：, 解得：, 将代入两个集合： , , 此时 ，符合题意. 综上，，选. （二）多选题 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【考点】集合运算的分配律、德摩根定律 【答案】ABCD 【解析】A选项：交集对并集的分配律，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，正确；B选项：并集对交集的分配律，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，正确；C选项：德摩根定律（交集的补集等于补集的并集），，正确；D选项：德摩根定律（并集的补集等于补集的交集），，正确. 10. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. A∩B= B. C. D. 【考点】交集、并集、补集的综合运算（实数集） 【答案】ABD 【解析】A选项：A∩B是x≥-1且x≤3的实数，即，正确；B选项：A是x≥-1，B是x≤3，合并后覆盖所有实数，即A∪B=R，正确；C选项：全集为R，是x<-1的实数，错误；D选项：由公式，因为A∪B=R，所以=，正确. （三）填空题 11. 已知集合A={a,b,c}，B={b,c,d}，则A∩B=__________，A∪B=__________. 【考点】交集、并集的定义 【答案】{b,c}，{a,b,c,d} 【解析】交集：A和B的公共元素为b、c，故A∩B={b,c}；并集：A和B的所有元素（不重复）为a、b、c、d，故A∪B={a,b,c,d}. 12. （1）设全集U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,4}，则=__________； （2）若集合，则A∩B=__________. 【考点】集合的运算 【答案】（1）{3}；（2）. 【解析】（1）先算A∪B：A={1,2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}；再算补集：全集U={1,2,3,4}，不属于A∪B的元素为3，故={3}. （2）交集是x同时满足和的部分，即，因此A∩B=. 13. 已知集合，集合，则=_____. 【考点】集合的交集运算、直线交点求解（方程组求解） 【答案】{ 【解析】 表示同时满足两个直线方程的点，即联立方程组： 将代入第二个方程：把代回，得. 因此两个集合的交集为唯一交点，即 14. 已知集合，集合，若，则的取值范围是______. 【考点】集合交集为空集的条件、数集区间端点分析 【答案】 【解析】 表示集合与集合没有公共元素. 集合：所有大于等于、小于的数，区间为 集合：所有小于等于的数，区间为 要让两个区间无公共部分，的最大边界必须小于的左端点. 若，则同时属于，，不符合条件； 因此最终取值范围：. （四）计算题 15. 设全集U={x|x是小于10的正整数}，集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}， （1）求A∩B，A∪B；（2）求. 【考点】（1）交集、并集的计算；（2）补集、交集的综合计算 【答案】（1）A∩B={3,5}，A∪B={1,2,3,4,5,7}；（2）； 【解析】（1）先确定全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}；A∩B是A和B的公共元素，即3、5，故A∩B={3,5}；A∪B是A和B的所有元素（不重复），即1,2,3,4,5,7，故A∪B={1,2,3,4,5,7}；（2）是U中不属于A的元素，即2,4,6,8,9，故={2,4,6,8,9}；是U中不属于B的元素，即1,6,7,8,9，故={1,6,7,8,9}；是和的公共元素，即6,8,9，故={6,8,9}. 16. 已知集合 (1) 求 ，； (2) 若 ，求实数 的取值范围. 【考点】集合的交集、并集运算；集合包含关系的转化（）；含参方程解集为空集、子集的分类讨论（二次项系数含参，需分一次方程、二次方程讨论） 【答案】(1)；(2) 实数的取值范围{}. 【解析】（1）先求解集合： 解方程 ，得 或 ，因此 解方程 ，得 或 ，因此 根据交集、并集定义计算：交集 ：两个集合的公共元素组成的集合 并集 ：两个集合所有元素（不重复）组成的集合 （2）由 ，根据集合运算性质可得： 含义：集合的所有元素都属于集合，. 因此分两大类讨论：（空集）、（非空子集）. 集合对应方程：，方程二次项系数含参数，需分、讨论. 情况 1：，方程退化为一元一次方程： 此时 ，满足 ，因此 符合条件. 情况 2：，方程为一元二次方程 ，此时再分两小类： 子情况 2.1：（方程无实数根） 一元二次方程无实根的条件：判别式 ，解不等式： 此时方程无实根，，空集是任何集合的子集，满足 . 子情况 2.2：（方程有实数根） 要求根只能是中的元素或，分别代入验证： 代入：与当前前提 矛盾，舍去. 代入： 将代回原方程：解得根为 . 根，不满足，因此舍去. 综上，时，只有 满足条件. 综合、两种情况，最终的取值范围：{} 1.（2026年湖北省技能高考第19题）若 ，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】集合的交集运算、韦恩图 【答案】C 【解析】韦恩图重叠区域表示两集合的交集 . 由交集定义，取两个集合的公共元素： ，因此本题选 C. 2.（2025年湖北省技能高考第19题）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　） A. 　 B. 　 C. 　D. 【考点】 集合的交集运算 【答案】 A 【解析】交集的定义：由所有既属于集合 又属于集合 的元素组成的集合，记作 . ，，公共元素为 ，故 .集合中元素的个数为 ，故选 A. 3.（2024年湖北省技能高考第20题）已知集合 ，，记 ，则 中元素的个数是（　） A. 　 B. 　C. 　 D. 【考点】 集合的交集运算 【答案】 A 【解析】根据交集定义，找出 与 的公共元素： ，，公共元素为 ，故 . 集合 中元素的个数为 ，故选 A. 4.（2023年湖北省技能高考第19题）设集合 ，，若 ，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】 集合相等的定义 【答案】 A 【解析】集合相等的定义：两个集合所含的元素完全相同（与元素顺序无关）. ，，对比可知 缺少元素 ，故 . 验证：当 时，，符合题意，故选 A. 5.（2022年湖北省技能高考第19题）设集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】 集合的并集运算 【答案】 A 【解析】并集的定义：由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，记作 . ，，合并元素并去重，得 ，故选 A. 6.（2021年湖北省技能高考第20题）若集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　D. 【考点】 集合的交集运算 【答案】 C 【解析】根据交集定义，找出 与 的公共元素： ，，公共元素为 ，故 ，故选 C. 7.（2020年湖北省技能高考第19题）若集合 ，，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】 集合的交集运算 【答案】 A 【解析】根据交集定义，找出 与 的公共元素： ，，公共元素为 ，故 ，故选 A. 8.（2019年湖北省技能高考第19题）下列三个命题中真命题的个数是（　） （1）不大于 的所有实数组成的集合用描述法可表示为 ； （2）集合 有 个真子集； （3）若全集 ，集合 ，则 . A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】 集合的描述法、真子集、补集运算 【答案】 C 【解析】 逐个分析命题： 命题（1）：“不大于 5” 即 ，对应集合应为，而非，故（1）为假命题. 命题（2）：若集合有个元素，则真子集个数为.集合 有个元素，真子集个数为（分别为 ），故（2）为真命题. 命题（3）：全集 ，，补集是全集中不属于 的元素组成的集合：，而选项中为 ，漏掉了元素 ，故（3）为假命题. 综上，仅（2）为真命题，真命题个数为 ，故选 C. 9.（2018年湖北省技能高考第19题）下列三个命题中真命题的个数是（　） （1）若集合 ，则 ； （2）若全集 ，且 ，则 ； （3）若 ，，则条件 是结论 成立的必要条件. A. 　 B. 　C. 　 D. 【考点】 集合的交集、补集运算，元素与集合的关系，充分条件与必要条件 【答案】 B 【解析】 逐个分析命题： 命题（1）： 表示 是集合 与 的公共元素，元素与集合的关系用 “属于（）” 表示，集合与集合的关系用 “包含（）” 表示.故应为 ，而非 ，故（1）为假命题. 命题（2）：全集 ，补集 ，则 是 中不属于 的元素组成的集合：，故（2）为真命题. 命题（3）：先化简条件：；，即 . 必要条件的定义：若 ，则 是 的必要条件.但当 时， 成立（），但 不成立（），故 ，因此 不是 的必要条件，而是充分条件，故（3）为假命题. 综上，仅（2）为真命题，真命题个数为 ，故选 B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $