第05讲 截长补短模型（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第五讲 截长补短模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 “截长补短”实际上包括两层含义：“截长法”与“补短法”，所谓“截长法”就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短法”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系，有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 模型：截长补短 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可. 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可. 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 常见模型示例：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD . 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【典例精讲二】数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 3．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 4．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 5．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（    ）个 ①  ②连接，则平分  ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 7．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 8．如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 9．如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 10．如图，是等边三角形，，，，则________． 11．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号）． 12．如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．    三、解答题 13．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 14．平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 15．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 16．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 17．已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 18．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； 19．【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 20．在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 21．在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 22．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 截长补短模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 “截长补短”实际上包括两层含义：“截长法”与“补短法”，所谓“截长法”就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短法”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系，有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 模型：截长补短 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可. 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可. 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 常见模型示例：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD . 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【规范解答】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【典例精讲二】数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【思路引导】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【规范解答】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【规范解答】解：如图，在上截取，连接，   是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【思路引导】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论． 【规范解答】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC， ∵∠DAB＝∠BCD＝90°， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD， ∵∠DAC+∠CAB＝90°， ∴∠BAE+∠CAB＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴△EAC是等腰直角三角形， ∵， ∴AE＝， ∴EC＝4， ∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、面积及等积变换、三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是综合运用以上知识． 3．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路引导】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度． 【规范解答】在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 4．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【思路引导】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可． 【规范解答】在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 5．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（    ）个 ①  ②连接，则平分  ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明①；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明④． 【规范解答】解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ②如图所示，作于点，于点， 则， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ③如图所示，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴整理得：， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④如图所示，在上取点，使得， ∵，平分， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，①②③④均正确； 故选：A． 【考点剖析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键． 二、填空题 6．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 7．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【答案】13 【思路引导】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【规范解答】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 8．如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【规范解答】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 9．如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】/ 【思路引导】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【规范解答】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，是等边三角形，，，，则________． 【答案】6 【思路引导】在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，由四点共圆得∠，再证明，△是等边三角形，得，再由线段的和差关系可得结论． 【规范解答】解：在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE， ∵ ∴四点共圆， ∴∠ ∴∠ ∵△是等边三角形， ∴，， ∴△，∠， ∴， ∴∠，即， ∴△是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点剖析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠是解答此题的关键． 11．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；过作交于，截取，而，证明，可得③符合题意；作，连接，证明，可得，，再证明，可得④不符合题意；从而可得答案． 【规范解答】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，又， ∴， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，又 ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【考点剖析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．    【答案】 【思路引导】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可． 【规范解答】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，      ∵是边中点， ∴BD＝CD， 又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝6， 又∵AB＝10， ∴AE2＋BE2＝AB2， ∴∠E＝90°， ∴在Rt△BED中，， ∴BC＝2BD＝， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题 13．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【规范解答】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 14．平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 【答案】(1)点坐标，点坐标 (2) (3) 【思路引导】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可； （2）过点作轴，交延长线于，先证明，进而可得，，再证明即可得，即可得出结论； （3）作出如图所示的辅助线，证明为等腰直角三角形，利用证明， ，证明，得到，求出n的值，然后得出点G的坐标． 【规范解答】（1）【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，； 点坐标，点坐标 （2）结论： 理由如下： 过点作轴，交延长线于， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标，点的坐标 ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （3）过点G作y轴的平行线，分别过H，B作于E，于F，交x轴于Q，交y轴于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，即：， ∴ ∵， ∴轴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， 解得，即点G的坐标为， 【考点剖析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题． 15．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【规范解答】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【规范解答】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 17．已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质． （1）根据点D到边的距离相等，即点D在的角平分线上，又根据，即点D在线段的垂直平分线上，所以，点D为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此作图即可； （2）过点点D作交于点E，过点D作交于点F，由（1）知，证明，再证，推出，再根据即可求出的长 【规范解答】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 18．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【规范解答】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【思路引导】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【规范解答】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 20．在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键． （1）作，通过证和全等，得到，同时利用等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． （3）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， 同理， 要使点恰好落在上，则， 平分， ， ， 如图，作， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）关系成立， 如图作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故（1）问中、、的数量关系成立． （3）不成立，关系为， 如图，作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 21．在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）取的一点使，连接，由已知求出，进而可求，由此证明，进而可得，即可利用等角对等边可以证明，从而得出结论； （3）当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，，可求得，得到，进而求得． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，取的一点使，连接， ∵，， ∴．， 又∵， ∴，， 由（1）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 解： 如图所示，当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，． 根据图形翻折的性质可知． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 22．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析； (3)结论不成立，结论：；证明见解析． 【思路引导】（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （）结论不成立，结论：．如图中，在上截取，使，连接，证明和即可求证； 本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：． 证明：如图中，在上截取，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $