第04讲 倍长中线模型（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第四讲 倍长中线模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 倍长中线模型（又称中线加倍法）是几何解题方法长期演化的结果，欧几里得《几何原本》提出 SAS（边角边） 全等判定、中点、对顶角相等等公理。 利用中心对称（点对称）转化图形—这是倍长中线的几何本质，《几何原本》未直接写“倍长中线”，但提供了全部逻辑基础。 该模型常用于初中几何题中，把原三角形的边、角转移到新三角形，方便用三边关系、平行、全等解题。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 【典例精讲二】【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 2．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 二、填空题 4．如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则__． 5．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 6．如图，中，，，，为边的中点，则 ______． 7．如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为________． 8．如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________． 9．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与、分别交于点、．已知，，则的长为______________． 10．如图，为AD上的中点，则BE＝______．    三、解答题 11．如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 12．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 13．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 14．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 15．阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 16．综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 17．八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； (1)的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； (2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； (3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 18．定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 19．某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 20．【阅读理解】小明利用三角形全等知识解决有关三角形三边关系问题时遇到了如下练习题：在中，，，点是的中点，连接，求的取值范围．小明进行了如下操作：在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可证明，进而可以得出． (1)【实践应用】如图②，在中，，，点是的中点，连接，则的取值范围是 ． (2)【类比探究】如图③，在正方形中，是边上一点，是的中点，且平分．求证：． (3)【能力提升】如图④，在矩形中，，．点在上，点在矩形的边上，且平分．当时，直接写出的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 倍长中线模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 倍长中线模型（又称中线加倍法）是几何解题方法长期演化的结果，欧几里得《几何原本》提出 SAS（边角边） 全等判定、中点、对顶角相等等公理。 利用中心对称（点对称）转化图形—这是倍长中线的几何本质，《几何原本》未直接写“倍长中线”，但提供了全部逻辑基础。 该模型常用于初中几何题中，把原三角形的边、角转移到新三角形，方便用三边关系、平行、全等解题。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 【答案】（1）①图见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析； （2）． 【思路引导】本题主要考查旋转的性质、全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质、多边形的内角和等，能作出辅助线是解题的关键． （1）①作，作，连接即可求解； ②延长作，连接，证明，结合全等性质和五边形的内角和推出，再证明，推出为等腰直角三角形，最后根据三线合一为等腰直角三角形； （2）延长作，连接，，，证明，再证明，结合全等性质和三角形内角和性质即可求解． 【规范解答】（1）①解：如图所示： ； ②如图，延长作，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点为中， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形的内角和为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）如图，延长作，连接，，， ∵绕点顺时针旋转得，绕点逆时针旋转得， ∴，，，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵内角和为， ∴， ， ∴． 【典例精讲二】【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）见解析；（2）米． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【规范解答】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【思路引导】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长． 【规范解答】解：延长BE交CD延长线于P， ∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECP， 在△AEB和△CEP中， ∴△AEB≌△CEP（ASA） ∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3， ∴PD=2， ∵ ∴ ∴BE＝BP＝． 故选：C． 【考点剖析】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP． 2．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】①根据面积法可得，，从而可得①正确；②由是中线，无法得出，故可判断②错误；③运用SAS证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在上截取，连接，运用证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④． 【规范解答】解：①过作于，于，过作于， 是角平分线，，， ， ， ， ，故①正确； ② ， 平分， ， 是中线， 无法得出，故②错误； ③延长到使，连接， 是中线， ， 在和中， 在中， ，， ，故③正确； ④在上截取，连接， 是角平分线， ， 在和中， ， ， 在中，， ， 即，故④正确； 综上①③④正确． 故选B． 【考点剖析】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线． 3．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【思路引导】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【规范解答】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题 4．如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则__． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．延长交于点，判定，即可得出，再根据三线合一即可得到即可解答． 【规范解答】解：如图，延长交于点， ∵点是的中点， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴中，， 故答案为：． 5．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】/ 【思路引导】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【规范解答】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 6．如图，中，，，，为边的中点，则 ______． 【答案】 【思路引导】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解． 【规范解答】解：延长到使，连接，如图所示： 在和中， ， ≌， ，， ， 在中，， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为________． 【答案】/ 【思路引导】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 通过延长线构造全等三角形，得出的长度，结合勾股定理先求出的长度，再求出的长度，即可得出答案． 【规范解答】解：延长交的延长线于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________． 【答案】 【思路引导】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识， 四边形是正方形，设，利用相似三角形的性质，求出（用表示），构建方程求出，再想办法求出，即可解决问题． 解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程解决问题． 【规范解答】解：四边形是正方形，设， ， 由翻折可知，，设， ， 在中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，，，， 设， 在 中，则有， 解得， ， 连接，延长交于，则四边形是平行四边形，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ． 故答案为． 9．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与、分别交于点、．已知，，则的长为______________． 【答案】 【思路引导】延长，交于，已知，，则，因为为中点，即可得，通过，根据对应边成比例可得FN、CN的长；同理延长，交于点，即可求出CM的长，即可得MN． 【规范解答】解：延长，交于， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵为中点，∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，，为中点，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴，， 延长，交于点， ∵为中点，∴， 在与中， ∴，∴， ∴，， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∴ ， 即的长度为． 【考点剖析】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型． 10．如图，为AD上的中点，则BE＝______．    【答案】 【思路引导】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可. 【规范解答】解：延长BE交CD于点F, ∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE， 又E为AD上的中点，∴AE=DE, 所以. ∴ ∴ 在直角三角形BCF中，BF==. ∴. 【考点剖析】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.    三、解答题 11．如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】延长至G，使得，连接，利用“”易证，得，，根据“等边对等角”，得，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【规范解答】证明：如图，延长至G，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ，即为等腰三角形， 则， 平分， ，则， 又， ， ． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定等知识点，掌握倍长中线法和平行线的判定定理是解题的关键． 12．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）， （3） 【思路引导】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 13．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【规范解答】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 14．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【规范解答】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 15．阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)2 【思路引导】（1）由平行四边形的判定定理可得出答案； （2）延长到点F．使．连接，．证明四边形是平行四边形． 从而可证得四边形是矩形，由矩形的性质得到，继而可得出结论． （3）延长到点N，使，连接，．证明四边形是平行四边形．得到，．从而有．再证明，得出，继而可求解． 【规范解答】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）证明：如图，延长到点F．使．连接，． ∵点E为的中点． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵． ∴． ∴． （3）解：如图，延长到点N，使，连接，． ∵点M是的中点， ∴． 又∵． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∵四边形和四边形都是正方形 ∴，．． ∴，． ∴． ∴， ∴． ∴． 【考点剖析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明，直角三角形斜边 中线等于斜边的一半性质的证明，全等三角形的判定与性质． 本题是四边形综合题，熟练掌握“倍长线段法”是解题的关键． 16．综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【思路引导】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由 ，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【考点剖析】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 17．八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； (1)的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； (2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； (3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据“倍长”中线法，构造，再根据三角形三边关系即可求解； （2）根据“倍长”中线法，构造，再根据角之间的关系，证明，从而，易证是等腰直角三角形，最后利用“三线合一”即可求证； （3）根据题意，易得点在线段的垂直平分线上，作垂直平分线的尺规作图，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，延长至点M，使，连接， O是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 则， ，即O是中点， ， ； 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， 如图，连接， O为的中点， ， ，， ， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即，则是等腰直角三角形， ， ，即， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，点O即为所作， 由（2）可知，，故点在线段的垂直平分线上，分别以点、为圆心，大于为半径，作圆弧交于两点，作过这两点的直线，即是线段的垂直平分线， 点O在的下方， 在的下方的垂直平分线上取一点，即为点． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的尺规作图等知识点，读懂材料，理解倍长中线法是解题的关键． 18．定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． 【规范解答】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 19．某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【答案】[性质探究]①3；②；[拓展应用]①，理由见解析；② 【思路引导】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可； ②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可； [拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论； ②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解． 【规范解答】解：[拓展应用] ①∵在中，是的中点，的面积为6， ∴的面积为， 故答案为：3； ②如图1，延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴； [拓展应用] ①．理由如下： 如图2，延长到点H，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图3，作交于P，过E作于T， ∵是的角平分线， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴； ∵是的中点， ∴, 设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故的最大值为． 【考点剖析】本题考查三角形的中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 20．【阅读理解】小明利用三角形全等知识解决有关三角形三边关系问题时遇到了如下练习题：在中，，，点是的中点，连接，求的取值范围．小明进行了如下操作：在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可证明，进而可以得出． (1)【实践应用】如图②，在中，，，点是的中点，连接，则的取值范围是 ． (2)【类比探究】如图③，在正方形中，是边上一点，是的中点，且平分．求证：． (3)【能力提升】如图④，在矩形中，，．点在上，点在矩形的边上，且平分．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【思路引导】（1）先延长至点，使，连接，再证明，得出，最后根据三角形的三边关系即可解答； （2）先延长与的延长线交于点，根据正方形的性质和角平分线的定义，进一步得出，再证明，得出，最后根据线段的和差关系即可解答； （3）需分情况讨论：当点在上时，延长与的延长线交于点，连接，根据矩形的性质和勾股定理，得出，再利用角平分线的定义，得出，根据平行得出，进一步得出，进一步得出，，的长，最后代入计算即可；当点在上时，过点作于点，延长与的延长线交于点，先证明四边形为矩形，四边形为矩形，同理可得出，最后利用相似三角形的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：如图②，延长至点，使，连接， ． 点是的中点， ． ，， ， ． 在中，， 即， ， ． （2）证明：如图③，延长与的延长线交于点， 四边形是正方形， ，，， ，． 平分， ， ， ． 是的中点， ． ，， ， ， ． ， ． （3）解：如图④，当点在上时，延长与的延长线交于点，连接， 四边形为矩形， ，，，， ． ，， ． 在中，． 平分， ， ， ， ． ， ， ， ， 解得，（经检验，符合题意）， ． 在中，， ； 如图⑤，当点在上时，过点作于点，延长与的延长线交于点， 四边形为矩形，， ， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，， ，． 在中，． 平分， ， ， ． ， ， ， ， 综上，的值为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $