圆：扇形的相关计算问题、阴影面积的计算问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

圆：扇形的相关计算问题、阴影面积的计算问题复习讲义 圆：扇形的相关计算问题、阴影面积的计算问题复习讲义 考点目录 扇形的相关计算问题 阴影面积的计算问题 知识点解析 考点一 扇形的相关计算问题 一、解题原理 扇形是圆的一部分，弧长、面积大小由圆心角与半径共同决定。 核心原理： 1. 圆心角占整个周角的比例，等于弧长占圆周长的比例、扇形面积占圆面积的比例； 2. 依托弧度制公式与角度制公式，实现弧长、扇形面积、圆心角、半径四个量知二求二； 3. 扇形周长为弧长+两条半径，不可遗漏半径边； 4. 扇形可分割为等腰三角形，结合三角函数、勾股求解弦长、弓形高衍生量。 二、核心公式 设半径为，圆心角角度，弧度 1. 弧长： 2. 扇形面积： 3. 扇形周长： 三、通用解题思路 1. 梳理已知量 明确题干给出半径、圆心角、弧长、面积中的已知条件，区分角度制/弧度制，统一单位再计算。 1. 匹配公式列式 根据所求量选择对应公式： · 求弧长：优先用圆心角与半径公式； · 求面积：已知弧长选用更简便； · 求圆心角：逆用公式，方程求解。 1. 注意易混概念 严格区分： · 扇形面积 ≠ 弓形面积； · 扇形周长 必须加两条半径，只算弧长为常见错误。 1. 综合拓展计算 涉及弦长、弓形、最值时： 连接半径构造等腰三角形，作弦心距垂直弦，利用垂径定理、勾股定理求解弦长、弓形高。 考点二 阴影面积的计算问题 一、解题原理 阴影图形多为不规则图形，无法直接套用基础面积公式。 核心原理： 1. 割补转化思想：将不规则阴影，转化为圆、扇形、三角形、矩形、平行四边形等规则图形的和差； 2. 等积转化原理：利用平移、旋转、对称、同底等高，实现面积等量替换，消去复杂重叠部分； 3. 重叠容斥原理：多图形重叠区域，用总面积相加减重叠部分，避免重复计算。 二、常见模型分类 1. 和差型 阴影面积 = 大规则图形面积 空白规则图形面积 1. 割补平移型 通过平移、旋转拼接，把分散阴影拼成完整扇形、三角形、正方形，简化计算； 1. 重叠容斥型 两圆/扇形重叠，阴影 = 两图形面积和 重叠部分 1. 弓形组合型 弓形面积 = 扇形面积 对应三角形面积 三、通用解题思路 1. 观察图形结构 判断阴影是零散、重叠还是拼接形式，识别基础规则图形（圆、扇形、三角形、特殊四边形）。 1. 选择转化方法 · 不规则优先作差法：整体减空白； · 有对称、旋转特征优先割补法，拼接为规则图形； · 多图形重叠使用容斥原理； · 含圆弧阴影，必拆分扇形+三角形组合。 1. 分步计算规则面积 依次求出所需要的扇形、三角形、四边形等基础图形面积，代入和差关系式。 1. 化简求值 合并同类项，保留形式或代入近似值，注意单位统一。 真题速递 1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点一 扇形的相关计算问题 【例题分析】 例1．（2026·云南文山·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设母线长为，利用弧长公式建立等式求解即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥底面圆半径， ∴底面圆的周长， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，且扇形圆心角为， ∴可得等式， 化简得，两边同除以得， 解得， 即圆锥母线长为． 例2．（2026·河南平顶山·一模）某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 例3．（25-26九年级下·安徽阜阳·月考）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：． 例4．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 例5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，，，则________． 【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，半径分别为，推导出，得到，根据弧长公式为，得到，将代入，可推导出，则，即可解答． 【详解】解：设扇形的圆心角为，半径分别为， ∵， ∴， ∵扇形面积公式为， ∴， ∴，即， ∵弧长公式为，且， ∴， 将代入上式，得 ， 整理得： ∴， ∴． 例6．（2026·浙江金华·模拟预测）如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 【答案】 【详解】解：， ∴图2中的阴影部分的面积为． 【变式训练】 变式1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，已知直线与与圆O分别相切于点A，B，若，，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，证明四边形为正方形，可得，，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵直线与与圆O分别相切于点，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴劣弧的长为． 变式2．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，弧的长为． 变式3．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由三角形外角的定义及性质得出，结合圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 变式4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据正六边形的性质求出扇形的半径，再根据多边形的内角和定理求出，然后根据扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵正六边形中，， ∴，， ∴扇形的面积． 变式5．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 变式6．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】先根据正多边形内角公式求得，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 考点二 阴影面积的计算问题 【例题分析】 例1．（2026·山西阳泉·一模）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据题意先求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 例2．（2026·山西运城·二模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，的延长线交于点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，连接，利用锐角三角函数求出，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵四边形为平行四边形，且，， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 例3．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 【答案】 【分析】连接，推导出是等腰直角三角形，且，得到，再求出扇形的面积与的面积，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵ ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， 扇形的面积为， 的面积为 ∴． 例4．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及直角三角形的性质，解题的关键是明确阴影部分面积为两个扇形面积之和减去三角形面积．先在中由求出，再分别求出以为圆心为半径的扇形面积和以为圆心、为半径的扇形面积：最后用两个扇形面积之和减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】解：， ， ， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， ． 故答案为：． 例5．（2026·广东佛山·一模）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）推导出，是的半径，则与相切，即可解答； （2）先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点 ∴ ∵以点A为圆心，且过点D ∴是的半径 ∴与相切； （2）解：在中，， ∴ ∴，， ∴， ∵点D是的中点 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为． 例6．（2026·山东济宁·一模）如图（1），工人师傅想在这张直径为的半圆的铁皮上裁剪出如阴影部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点，若时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】连接，，求出，作于点，得，，，根据求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， 由旋转得，, 又， ∴， ∴， 连接，则， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽亳州·一模）如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用勾股定理可求得的长，根据切线的性质可得，利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长，从而可求得，，最后根据求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ， 如图，连接， 以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点， ， 是等腰直角三角形， 点是的中点， ， ，， 小球停在图中阴影部分的概率是． 变式2．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，在边长为的正六边形中，以为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用正六边形内角与边长性质证、为直角三角形，得出，进而得圆心角，再用两个直角三角形的面积和减去该圆心角的扇形面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是边长为的正六边形， ∴，每个内角为，平分， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴， ∴． 变式3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 变式4．（2026·山东德州·一模）如图，在扇形中，，点，分别在，上，于点，连接，，．若，，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】连接，设，由等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，可得，由平行线的判定定理，可得，可得，根据扇形的面积公式可得扇形的面积，即为阴影部分面积． 【详解】解：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 变式5．（2026·湖北·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，过点C作的切线，与过点C的切线交于点D，与交于点的延长线与切线交于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，的半径为1，求，围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用切线的性质及垂直的定义，证明即可； （2）先证为等边三角形，得到，再利用三角形面积公式及扇形面积公式，结合即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，则， ， ， 又， ， ， 又, ， ； （2）解：点E为的中点，， ， 又， 为等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ． 变式6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段，和围成的阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质证得，即可得到是的切线； （2）连接，作于点，证得四边形是正方形，得到，解直角三角形求得，在中，解直角三角形求得，再根据阴影部分面积，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴阴影部分面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：扇形的相关计算问题、阴影面积的计算问题复习讲义 圆：扇形的相关计算问题、阴影面积的计算问题复习讲义 考点目录 扇形的相关计算问题 阴影面积的计算问题 知识点解析 考点一 扇形的相关计算问题 一、解题原理 扇形是圆的一部分，弧长、面积大小由圆心角与半径共同决定。 核心原理： 1. 圆心角占整个周角的比例，等于弧长占圆周长的比例、扇形面积占圆面积的比例； 2. 依托弧度制公式与角度制公式，实现弧长、扇形面积、圆心角、半径四个量知二求二； 3. 扇形周长为弧长+两条半径，不可遗漏半径边； 4. 扇形可分割为等腰三角形，结合三角函数、勾股求解弦长、弓形高衍生量。 二、核心公式 设半径为，圆心角角度，弧度 1. 弧长： 2. 扇形面积： 3. 扇形周长： 三、通用解题思路 1. 梳理已知量 明确题干给出半径、圆心角、弧长、面积中的已知条件，区分角度制/弧度制，统一单位再计算。 1. 匹配公式列式 根据所求量选择对应公式： · 求弧长：优先用圆心角与半径公式； · 求面积：已知弧长选用更简便； · 求圆心角：逆用公式，方程求解。 1. 注意易混概念 严格区分： · 扇形面积 ≠ 弓形面积； · 扇形周长 必须加两条半径，只算弧长为常见错误。 1. 综合拓展计算 涉及弦长、弓形、最值时： 连接半径构造等腰三角形，作弦心距垂直弦，利用垂径定理、勾股定理求解弦长、弓形高。 考点二 阴影面积的计算问题 一、解题原理 阴影图形多为不规则图形，无法直接套用基础面积公式。 核心原理： 1. 割补转化思想：将不规则阴影，转化为圆、扇形、三角形、矩形、平行四边形等规则图形的和差； 2. 等积转化原理：利用平移、旋转、对称、同底等高，实现面积等量替换，消去复杂重叠部分； 3. 重叠容斥原理：多图形重叠区域，用总面积相加减重叠部分，避免重复计算。 二、常见模型分类 1. 和差型 阴影面积 = 大规则图形面积 空白规则图形面积 1. 割补平移型 通过平移、旋转拼接，把分散阴影拼成完整扇形、三角形、正方形，简化计算； 1. 重叠容斥型 两圆/扇形重叠，阴影 = 两图形面积和 重叠部分 1. 弓形组合型 弓形面积 = 扇形面积 对应三角形面积 三、通用解题思路 1. 观察图形结构 判断阴影是零散、重叠还是拼接形式，识别基础规则图形（圆、扇形、三角形、特殊四边形）。 1. 选择转化方法 · 不规则优先作差法：整体减空白； · 有对称、旋转特征优先割补法，拼接为规则图形； · 多图形重叠使用容斥原理； · 含圆弧阴影，必拆分扇形+三角形组合。 1. 分步计算规则面积 依次求出所需要的扇形、三角形、四边形等基础图形面积，代入和差关系式。 1. 化简求值 合并同类项，保留形式或代入近似值，注意单位统一。 真题速递 1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 考点一 扇形的相关计算问题 【例题分析】 例1．（2026·云南文山·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南平顶山·一模）某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级下·安徽阜阳·月考）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 例4．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 例5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，，，则________． 例6．（2026·浙江金华·模拟预测）如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 【变式训练】 变式1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，已知直线与与圆O分别相切于点A，B，若，，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 变式5．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 变式6．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 考点二 阴影面积的计算问题 【例题分析】 例1．（2026·山西阳泉·一模）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·山西运城·二模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，的延长线交于点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 例4．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 例5．（2026·广东佛山·一模）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 例6．（2026·山东济宁·一模）如图（1），工人师傅想在这张直径为的半圆的铁皮上裁剪出如阴影部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点，若时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图中阴影部分的面积． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽亳州·一模）如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，在边长为的正六边形中，以为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 变式4．（2026·山东德州·一模）如图，在扇形中，，点，分别在，上，于点，连接，，．若，，则图中阴影部分面积为______． 变式5．（2026·湖北·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，过点C作的切线，与过点C的切线交于点D，与交于点的延长线与切线交于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，的半径为1，求，围成的阴影部分的面积． 变式6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，是的外接圆，是的直径，，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段，和围成的阴影部分面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $