概率统计解答题（各种类型）讲义-2026届高考数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率统计解答题，涵盖二项分布与超几何分布、正态分布等七大核心题型，按“概念梳理-方法提炼-真题解析-分层练习”逻辑架构知识点，通过考点对比、解题步骤归纳、典型真题演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高频难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过比赛问题分类讨论培养逻辑推理能力，利用回归方程残差分析强化数据观念。设置基础巩固与综合应用分层练习，真题选自各地模拟及高考题，确保复习针对性，助力学生高效掌握解题策略，为教师提供清晰复习路径，提升复习效率。

概率统计解答题 题型一 二项分布与超几何分布 1、独立重复试验与二项分布 （1）定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． （2）定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． （3）列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． （4）求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2、超几何分布的适用范围及本质 （1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布； （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。 3、超几何分布与二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。 1.（25-26高三上·江苏南京·开学考试）袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 2.（23-24高三下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 3.（2025·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 4.（2025·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 题型二 正态分布 （1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。 其图像如图13-7所示，有以下性质： ①曲线在轴上方，并且关于直线对称； ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”； ④图像与轴之间的面积为1. （2）=，=，记作 . 当时，服从标准正态分布，记作 . （3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。 1.（2024·黑龙江·三模）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75). ①求P(60.29≤X≤87.92)； ②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E(). 附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，. 2.(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试(满分100分),其中甲市有20 000名学生参加.根据经验,本次模拟考试该省总体成绩及各市成绩都近似服从正态分布N(μ,σ2). (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有455人.甲市学生A的成绩为76分,试估计学生A在甲市的大致名次; (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取40人,记Y表示在本次化学考试中成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的人数,求P(Y≥1)及Y的数学期望. 参考数据:0.997 340≈0.897 5. 参考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 3.（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 题型三 条件概率与全概率公式 1、条件概率：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 2、全概率公式：； 3、贝叶斯公式：一般地，当且时，有 1．（25-26高三上·广东·月考）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 2．（25-26高三上·福建泉州·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 3．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 4．（24-25高三下·福建厦门·月考）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求； (2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明． 题型四 概率中的比赛问题 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？（2）“谁赢了”；（3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 1．甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 2．（2025·江苏南京·三模）魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. (1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； (2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 4．若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. (1)求，； (2)求； (3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 题型五 独立性检验 独立性检验 （1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立； （2） 2×2列联表： y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c+d 合计 a+c b＋d a+b +c+d (3)公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （5）下结论：①当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过； ②当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为独立. 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 题型六 经验回归方程 样本相关系数 (1) 样本相关系数r的取值范围为． (2) 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． (3)注意点： 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 经验回归直线 1. 最小二乘法：我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. ＝x＋ 其中 注意点：经验回归方程＝x＋必过点样本点中心． 2.残差平方和法：越小，模型的拟合效果越好． 3．决定系数R2 可以用来比较两个模型的拟合效果. R2越大，模型拟合效果越好; R2越小，模型拟合效果越差． 1.（2025·云南曲靖·二模）自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 2.（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. (1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； (2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 3．（2025·湖北荆州·一模）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： . 题型七 概率中的决策问题 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。 1.(2024·云南昆明模拟)某校举行知识竞赛,最后一个名额要在A,B两名同学中产生,测试方案如下:A,B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答,在这4个问题中,已知A能正确作答其中的3个,B能正确作答每个问题的概率都是,A,B两名同学作答问题相互独立. (1)求A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率; (2)若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生,简要说明理由. 2.（2025·广东惠州·模拟预测）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 3.普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 课后作业： 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． (1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； (2)记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 2.（2025·福建南平·三模）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 3．（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 4．（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 6．（2026·广东广州·模拟预测）某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 7.（2026·福建泉州·一模）为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. (1)根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； (3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 8.（2025·江西新余·模拟预测）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取200个教师的考试成绩，制作了如下的列联表： 教师 合格 不合格 合计 参加学校演练 90 10 100 没参加学校演练 70 30 100 合计 160 40 200 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联； (2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取8人的成绩，再从这8个数据中随机抽取3个做对比分析，记抽取的3个中没参加学校演练的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区1000名教师，记其中合格的人数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 9.（2025·湖北武汉·模拟预测）近年来新能源汽车的热度明显上升．某平台对某地区2020~2024年新能源汽车购买数量y（单位：万台）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 y/万台 30 36 51 60 78 (1)分析上述统计表可知y与t有较强的线性相关关系，求y关于t的经验回归方程． (2)通过调查发现男性比女性更愿意购买新能源汽车．某平台随机抽查某天在该平台购买新车的400名车主作为样本，其中男性购买新能源汽车的有N名，购买汽油车的有90名，女性购买新能源汽车的有80名． （ⅰ）当时，将样本中购买新能源汽车的男性人数与样本中购买新能源汽车的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2025年在该平台购买新能源汽车的男性人数（精确到个位数，四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设男性车主中购买汽油车的概率为p，从所有男性车主中随机抽出3名，记恰好有2名男性购买汽油车的概率为，当取得最大值时，求N的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 10.（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立. (1)求四局结束比赛的概率； (2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3:1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望. 11．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 12.(2024·山西太原模拟)山西某地打造旅游特色村,鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租,增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况,随机选取6间民宿进行调查,统计它们在淡季的100天里的出租情况,得到每间民宿租金x(单位:元/日)与其出租率y(出租天数/100)的对应关系表和散点图如下: 租金x 88 128 188 288 388 488 出租率y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15 (1)请根据散点图判断,x+ln x+哪一个更适合作为租金x和出租率y的回归方程类型(不用证明),并根据下表数据(表中z=ln x),求其相应的回归方程(系数的值精确到0.1). (xi- )2 (zi- )2 (xi-)· (yi-) (zi-)· (yi-) 261.3 0.46 5.4 121 333.33 2.19 -218.67 -0.98 (2)已知该地一年旅游淡季按100天计算,在此期间,民宿无论是否出租,每天都要支出租金x的10%的费用.若民宿出租,则每天需要再支付租金x的10%的开支.请用(1)中结论的模型,计算租金为多少元时,该民宿在这100天内的收益W最大. 附:e5.2≈181,e5.3≈200;对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归方程为u+. 13．（2025·河南南阳·模拟预测）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． (1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； (2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 14．（2025·湖北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式； (3)求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率统计解答题 题型一 二项分布与超几何分布 1、独立重复试验与二项分布 （1）定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． （2）定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． （3）列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． （4）求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2、超几何分布的适用范围及本质 （1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布； （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。 3、超几何分布与二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。 1.（25-26高三上·江苏南京·开学考试）袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列间解析；. 【分析】（1）根据二项分布的有关公式求值计算. （2）根据超几何分布的公式计算求值. 【详解】（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数， 所以，， 所以. （2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2. 且，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 2.（23-24高三下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 3.（2025·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得，进而求出礼品果的个数，求出的可能取值及对应的概率，得到的分布列，代入期望公式求解期望； （2）根据且，求出n的取值范围，代入判断求解即可. 【详解】（1）由题意，所以， 所以这100个水果中礼品果的个数为， 采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，，. 所以的分布列为 0 1 2 期望. （2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为， 则， 所以， 要使最大，则且， 解得，因为， 所以，所以当最大时，或. 4.（2025·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【答案】(1)，平均时间为小时 (2)分布列见解析，期望 (3) 【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可； （2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望； （3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知，解得， 所以平均数为 . （2）这名高中学生户外运动的时间分配， 在，两组内的学生分别有人，和人； 所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，， 所以，， 则分布列为 期望； （3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为， 则， 若为最大值，则， 即， 即，解得， 又，且，则. 题型二 正态分布 （1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。 其图像如图13-7所示，有以下性质： ①曲线在轴上方，并且关于直线对称； ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”； ④图像与轴之间的面积为1. （2）=，=，记作 . 当时，服从标准正态分布，记作 . （3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。 1.（2024·黑龙江·三模）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75). ①求P(60.29≤X≤87.92)； ②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E(). 附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，. 【答案】(1)69.5 (2)①0.819；②24570 【详解】（1）由题意得，平均数=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5； （2）①由(1)可知=69.5，≈9.21， 则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2) 则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2) =P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819； ②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819， 依题意，服从二项分布，即～B(30000,0.819)， 则E()=np=24570. 2.(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试(满分100分),其中甲市有20 000名学生参加.根据经验,本次模拟考试该省总体成绩及各市成绩都近似服从正态分布N(μ,σ2). (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有455人.甲市学生A的成绩为76分,试估计学生A在甲市的大致名次; (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取40人,记Y表示在本次化学考试中成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的人数,求P(Y≥1)及Y的数学期望. 参考数据:0.997 340≈0.897 5. 参考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 答案 解析(1)用X表示本次模拟考试甲市成绩,由题可知X近似服从正态分布,即X~N(μ,σ2). 因为甲市平均成绩为65分,所以N=65. 因为=0.022 75, 所以P(X>87)=0.022 75.又P(X>μ+2σ)==0.022 75, 所以μ+2σ=65+2σ≈87,即σ≈11, 所以X~N(65,112), 所以μ+σ=65+11=76, 所以P(X>76)==0.158 65. 因为甲市学生A在该次考试中成绩为76分, 所以甲市成绩高于学生A的学生人数约为20 000×P(X>76)=20 000×0.158 65=3 173, 所以学生A在甲市的大致名次为3 174名. (2)由题可知该省成绩近似服从正态分布, 所以在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取1人,其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3, 所以其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7. 由题可知随机变量Y服从二项分布,即Y~B(40,0.002 7), 所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.997 340≈1-0.897 5=0.102 5, E(Y)=40×0.002 7=0.108. 3.（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 【答案】(1)0.046 (2)检测员的判断是合理的，理由见解析 (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）计算这两包糖果其净含量误差均不小于5g的概率，并用这个概率值的大小下结论； （3）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于． 令，则．因此，． 故净含量误差不小于5g的概率约为0.046． （2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的． （发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）． （3）可能的取值为、、、． 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为． 故服从二项分布，记， ，，， 从而的分布列为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此． 题型三 条件概率与全概率公式 1、条件概率：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 2、全概率公式：； 3、贝叶斯公式：一般地，当且时，有 1．（25-26高三上·广东·月考）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与贝叶斯公式计算即可得. 【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则，， 故； （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则，，，， 则， 故． 2．（25-26高三上·福建泉州·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 3．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 4．（24-25高三下·福建厦门·月考）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求； (2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）用表示第次摸出红球，再根据古典概型的概率公式求，用条件概率的概率公式求； （2）利用条件概率的概率公式化简即可. 【详解】（1）用表示第次摸出红球， 由已知得， ， ． 所以． （2）由（1）可得，即， 猜想：．             证明：由条件概率及， 得，           所以． 题型四 概率中的比赛问题 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？（2）“谁赢了”；（3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 1．甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为． (1)求甲获得第二局比赛胜利的概率； (2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率； (3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见详解； 【分析】（1）根据题意分情况列举即可； （2）结合（1），再利用条件概率公式即可求解； （3）由题知，对局数最多5局，的取值可以为2，3，4，先分析，的情形并计算概率，再利用概率和为1，确定的概率，写出分布列并计算期望. 【详解】（1）根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为， ，设甲获得第二局比赛胜利为事件， 若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可， 所以， 甲获得第二局比赛胜利的概率. （2）由题知， ， 所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为. （3）由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4 时，丙分别在第2局和第4局输了比赛， 所以， 时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛， 所以， 所以， 则分布列为： 2 3 4 . 2．（2025·江苏南京·三模）魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. (1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； (2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 【答案】(1)分布列见解析； (2)小王应选择“五局三胜制” 【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件与互斥事件的概率公式求得其对应的概率，从而得解； （2）分类讨论小王不同选择下对应的获胜概率，从而得解. 【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为， 表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负； 所以，， 所以的分布列为： 则的数学期望为. （2）若小王选择“三局两胜制”， 则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜； 则小王获胜的概率为； 若小王选择“五局三胜制”， 则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜； 则小王获胜的概率为 ， 因为， 所以小王应选择“五局三胜制”. 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】（1）由题意可知队参加的三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率； （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望． 【详解】（1）由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜， 所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜， 所以队全胜夺冠的概率为． （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5， 若，即队在第一轮，第二轮均失败， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为； ②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为， 所以， 所以的分布列为： 2 3 4 5 故的数学期望为． 4．若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. (1)求，； (2)求； (3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析；数学期望为 【分析】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，即可计算，由是不能事件，即得； （2）先计算，根据条件概率公式即可计算； （3）利用条件概率分别计算，，，即可得的分布列，最后根据数学期望的公式计算即可. 【详解】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球， 所以， 因为是不可能事件， 所以； （2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签， 所以， 所以； （3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签， 所以， 又的可能取值为， 所以， ， ， 所以， ， ， 所以的分布列为 所以 题型五 独立性检验 独立性检验 （1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立； （2） 2×2列联表： y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c+d 合计 a+c b＋d a+b +c+d (3)公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （5）下结论：①当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过； ②当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为独立. 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)； (2)根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可； （2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论. 【详解】（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率； （2）列联表如下，    品牌 性别 男性 15 30 45 女性 30 25 55 45 55 100 由题设，， 所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 题型六 经验回归方程 样本相关系数 (1) 样本相关系数r的取值范围为． (2) 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． (3)注意点： 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 经验回归直线 1. 最小二乘法：我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. ＝x＋ 其中 注意点：经验回归方程＝x＋必过点样本点中心． 2.残差平方和法：越小，模型的拟合效果越好． 3．决定系数R2 可以用来比较两个模型的拟合效果. R2越大，模型拟合效果越好; R2越小，模型拟合效果越差． 1.（2025·云南曲靖·二模）自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为1.2 【分析】（1）由线性回归方程，分别计算各部分的值，代入公式求解即可； （2）先计算各组数据的残差，再结合超几何分布，得到所有取值的概率，从而得到分布列和数学期望. 【详解】（1）由表格可得，，， ，， 所以，， 故y关于x的经验回归方程是. （2）当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为. 所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据. 故“次数据”对数的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望. 2.（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. (1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； (2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 【答案】(1) (2)分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金，最大销售额为万元. 【难度】0.7 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程 【分析】(1)利用公式求解回归系数，即可得回归方程； (2)利用题意比较销售额最大值，可得到最优方案. 【详解】（1）由题意知，样本量 ， ，, 根据公式变形得回归系数： , 则 ， 因此，销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程为：； （2）方案一：全部投入平台流量推广，即代入回归方程得销售额：万元； 方案二：投入万元到流量推广，万元到主播佣金，且， 总销售额为流量销售额加佣金销售额：， 对称轴为 ，在定义域内，最大值为 万元， 因为 ，所以投入6万元到平台流量推广，4万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元。 综上可得：分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为万元. 3．（2025·湖北荆州·一模）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】(1)模型②， (2)①；②，． 【分析】 【详解】（1）由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适， 令，则，由所给参考数据得，， ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为. （2）①依题意，， 求导得 ， 令，得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值，当时，， 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布， 所以，. 题型七 概率中的决策问题 决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。 1.(2024·云南昆明模拟)某校举行知识竞赛,最后一个名额要在A,B两名同学中产生,测试方案如下:A,B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答,在这4个问题中,已知A能正确作答其中的3个,B能正确作答每个问题的概率都是,A,B两名同学作答问题相互独立. (1)求A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率; (2)若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生,简要说明理由. 解 (1)设A同学答对的题数为X, 则随机变量X的所有可能取值为2,3. 则P(X=2)=,P(X=3)=; 设B同学答对的题数为Y,则随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3. P(Y=0)=3=,P(Y=1)=·2=, P(Y=2)=·2·,P(Y=3)=3=. 所以A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率为P(X=2)P(Y=0)=. (2)由(1)知,E(X)=2×+3×,E(Y)=0×+1×+2×+3×,而D(X)=2-2×+3-2×, D(Y)=0-2×+1-2×+2-2×+3-2×. 因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以应该选择学生A. 2.（2025·广东惠州·模拟预测）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】(1)（i）；（ⅱ），7.5 (2)答案见解析 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【详解】（1）（i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 3.普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 【答案】(1) (2)该同学没有希望进入决赛 【分析】（1）由题意分析出超过8分的题型，求出对应的概率，相加即可求解； （2）设强化训练后法律文书题超过8分的概率为，案例分析题的为，则，求得强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为，结合二次函数的性质求得，令，利用换元法可得，由二次函数的性质和二项分布的数学期望计算公式可得，即可下结论. 【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，， ②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，， ③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，， 故所求的概率； （2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为： ， ，且，，即，， 则，， 故可得：，， ， ， 令，则在上单调递减， ． 该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数， ， 故该同学没有希望进入决赛． 课后作业： 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． (1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； (2)记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13分 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女学生人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （3）根据一名女学生和一名男学生参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【详解】（1）设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件， ，，． （2）依题意知服从超几何分布，且， ，，， 的分布列为 0 1 2 ． （3）设一名女学生参加活动可获得的分数为，一名男学生参加活动可获得的分数为，则的所有可能的取值为3，6，的所有可能的取值为6，9， ，， ，， 有名女学生参加活动，有名男学生参加活动， ，， 两个学生的得分之和的期望为13分． 2.（2025·福建南平·三模）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可得比赛局数为或，求出比赛局数为的概率，即可得解； （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件，求出、，再由条件概率公式计算可得； （3）依题意可得，令，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）依题意比赛局数为或， 又比赛局数为的概率， 比赛局数为的概率， （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件， 则， ， 所以. （3）依题意， 所以，且， 令，即， 即，解得， 又，所以. 3．（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频数总和为样本总数的性质来求解和的值. （2）先根据分层随机抽样确定抽取的10人中成绩在内的人数，再确定的取值，通过组合数公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和期望. （3）先根据正态分布的参数求出和，再利用正态分布的性质和参考数据计算成绩在内的概率，最后根据总人数估计该区间内的学生人数. 【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，将其代入，可得，即，解得. 把代入，可得. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的性质，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 4．（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 【答案】(1) (2)317 (3)分布列见解析 【分析】（1）应用对立事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用正态分布性质计算概率； （3）先根据独立事件概率乘积公式计算概率，再写出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 （2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400， 所以X的分布列为 x 0 800 1 600 2 400 P 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 6．（2026·广东广州·模拟预测）某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)数学成绩与单日运动时间有关； (2) 【难度】0.65 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、求回归直线方程 【分析】（1）先计算，再与临界值比较判断求解； （2）先计算样本中心点，再应用公式计算，最后代入样本中心点计算. 【详解】（1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关， ， 零假设不成立，故可认为根据小概率值的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关． （2）， ， 于是， 于是． 7.（2026·福建泉州·一模）为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. (1)根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； (3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 【答案】(1)0.997，与的线性相关程度强； (2)，1.78 (3)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 【难度】0.74 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程、相关系数的计算、指定区间的概率 【分析】（1）由散点图可知与之间线性相关，用不同公式计算可知相关系数，即线性相关程度强； （2）用不同的公式计算出回归直线方程为，将代入可得出估计值为1.78. （3）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 本小题主要考查变量间的相关关系､样本相关系数､一元线性回归方程､正态分布的等知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想､化归与转化思想､或然与必然思想等；体现综合性､应用性，导向对数学建模､数学运算核心素养的关注. 【详解】（1）解法一： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 解法二： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， ，，， ， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） （2）解法一： 设，则， 所以， 故时，. 解法二： 设，则， 所以， 故时，. （3）依题意，得， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 8.（2025·江西新余·模拟预测）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取200个教师的考试成绩，制作了如下的列联表： 教师 合格 不合格 合计 参加学校演练 90 10 100 没参加学校演练 70 30 100 合计 160 40 200 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联； (2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取8人的成绩，再从这8个数据中随机抽取3个做对比分析，记抽取的3个中没参加学校演练的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区1000名教师，记其中合格的人数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关联 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据二阶列联表计算出值，再由独立性检验判定即可； （2）由题知的可能值有1，2，3，再由随机抽样计算出对应概率，写出分布列，计算期望即可； （3）由题可知，利用的值判断单调性，根据单调性即可求解. 【详解】（1）零假设为：考试合格与参加学校演练无关， 则， 故依据的独立性检验，参加学校演练与考试合格有关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 参加学校演练的有人，没参加学校演练的有6人， 从这8人中随机抽取3人，其中没参加学校演练的人数的可能值有1，2，3. 则． 故的分布列为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取的合格率为，故， 则， 由， 故由可解得，因，故当时，单调递增； 由可解得，即当时，单调递减． 故当事件“”的概率最大时，. 9.（2025·湖北武汉·模拟预测）近年来新能源汽车的热度明显上升．某平台对某地区2020~2024年新能源汽车购买数量y（单位：万台）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 y/万台 30 36 51 60 78 (1)分析上述统计表可知y与t有较强的线性相关关系，求y关于t的经验回归方程． (2)通过调查发现男性比女性更愿意购买新能源汽车．某平台随机抽查某天在该平台购买新车的400名车主作为样本，其中男性购买新能源汽车的有N名，购买汽油车的有90名，女性购买新能源汽车的有80名． （ⅰ）当时，将样本中购买新能源汽车的男性人数与样本中购买新能源汽车的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2025年在该平台购买新能源汽车的男性人数（精确到个位数，四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设男性车主中购买汽油车的概率为p，从所有男性车主中随机抽出3名，记恰好有2名男性购买汽油车的概率为，当取得最大值时，求N的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）612222；（ⅱ） 【分析】（1）先求出和，结合题设条件代入公式求出和，即可得到y关于t的经验回归方程； （2）（ⅰ）先算出购买新能源汽车的车主中，男性所占比例，由（1）求得的回归方程求出，依题意即可求得购买新能源汽车的车主中男性的人数；（ⅱ）因，推理得，，通过求导得到其单调性，继而推得当时，取得最大值，由此求出. 【详解】（1）由题意得， 则 于是，， 所以关于的经验回归方程为． （2）（ⅰ）由题意知，400名车主中购买新能源汽车有270（名），其中男性有190（名）， 则样本中购买新能源汽车的车主中，男性所占比例为， 所以估计一名购买新能源汽车的车主为男性的概率为． 因为2025年对应的年份代码，所以， 因此估计2025年在该平台购买新能源汽车的车主中男性的人数为． （ⅱ）由题意知，， 则当时，取得最大值1，当时，取得最小值， 即，且． 设函数，则． 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减． 故当时，取得最大值，即当时，取得最大值，此时，得． 10.（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立. (1)求四局结束比赛的概率； (2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3:1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可； （2）先确定的所有可能取值，然后再求出对应事件的概率，代入期望公式求解即可. 【详解】（1）记事件：“四局结束比赛”， 则李猛赢张明赢. （2）由题意知，的所有可能的取值为2，3，4，6，7，8， 所以， ， 所以的分布列为： 2 3 4 6 7 8 所以奖金数的期望为（万元）. 11．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【答案】(1) (2) (3)，，选择方案二更合适 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断. 【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 12.(2024·山西太原模拟)山西某地打造旅游特色村,鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租,增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况,随机选取6间民宿进行调查,统计它们在淡季的100天里的出租情况,得到每间民宿租金x(单位:元/日)与其出租率y(出租天数/100)的对应关系表和散点图如下: 租金x 88 128 188 288 388 488 出租率y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15 (1)请根据散点图判断,x+ln x+哪一个更适合作为租金x和出租率y的回归方程类型(不用证明),并根据下表数据(表中z=ln x),求其相应的回归方程(系数的值精确到0.1). (xi- )2 (zi- )2 (xi-)· (yi-) (zi-)· (yi-) 261.3 0.46 5.4 121 333.33 2.19 -218.67 -0.98 (2)已知该地一年旅游淡季按100天计算,在此期间,民宿无论是否出租,每天都要支出租金x的10%的费用.若民宿出租,则每天需要再支付租金x的10%的开支.请用(1)中结论的模型,计算租金为多少元时,该民宿在这100天内的收益W最大. 附:e5.2≈181,e5.3≈200;对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归方程为u+. 解(1)由散点图知,选ln x+更合适.由z=ln x,得z+,则≈-0.4,=0.46-(-0.4)×5.4≈2.6, 所以=-0.4z+2.6=-0.4ln x+2.6. (2)依题意,W=100(xy-0.1xy-0.1x)=10x(9y-1)=10x[9(-0.4ln x+2.6)-1]=10x(-3.6ln x+22.4),求导得W'=10(-3.6ln x+18.8),令W'=0,得ln x=≈5.2,解得x=e5.2≈181, 当x∈(0,181)时,W'>0,W随着x的增大而增大,当x∈(181,+∞)时,W'<0,W随着x的增大而减小,所以当x=181,即租金为181元时民宿在这100天内的收益W最大. 13．（2025·河南南阳·模拟预测）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． (1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； (2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析；数学期望为. (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以， 则，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以， 的通项公式是. 14．（2025·湖北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式； (3)求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，利用数列分组求和即可 【详解】（1）由题意知，. ， ， ； ，      所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为 （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有，        变形为. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以 所以数列的通项公式； （3）由（2）可得； 所以 学科网（北京）股份有限公司 $