精品解析：浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题

2026年高二4月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4. 若随机事件满足，则的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.08 5. 某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（ ） A. 40种 B. 20种 C. 10种 D. 6种 6. 已知数列的前项和为．若，则的值为（ ） A. 1890 B. 1980 C. 2010 D. 2100 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左､右两支于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（其中为自然对数的底数，）有2个极值点，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 -1 0 1 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正方体的棱长为2，点为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 平面与底面夹角的余弦值为 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 210在杨辉三角中出现了6次 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 13. 随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，AI工具已深度融入内容创作领域，极大提升了短视频的制作效率．一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案､生成素材､配音配乐､剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表： 步骤 可选AI工具 选题与文案 ChatGPT､豆包､Kimi､DeepSeek 生成素材 可灵AI､即梦AI 配音配乐 剪映､魔音工坊､讯飞配音 剪辑包装 剪映､Runway､PikaLabs 剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映），每个阶段只能且必须选择1个工具．则不同的搭配方案共有______种． 14. 甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 从这6个数字中选取4个数字组成没有重复的四位数． （1）若组成四位数的4个数字中没有“0”，这样的四位数共有多少个？ （2）若四位数是5的倍数，这样的四位数共有多少个？（结果用具体数字作答） 16. 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． （1）求一位顾客获得纪念品的概率； （2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 17. 已知． （1）当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求的值； ②求展开式中系数最大的项； （2）若时，在上恒成立，求的取值范围． 18. 为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． （1）求的值； （2）用表示，并求的通项公式； （3）在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 19. 已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）． （1）证明：点在一条定直线上； （2）记的面积分别为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二4月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由排列数公式可知． 2. 已知，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理和赋值法计算即可. 【详解】已知， 根据赋值法，令可得． 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线对称性求解即可. 【详解】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则． 4. 若随机事件满足，则的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.08 【答案】D 【解析】 【详解】根据条件概率公式，可得． 5. 某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（ ） A. 40种 B. 20种 C. 10种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得社区2名､社区2名或者社区3名､社区1名， 所以不同的分配方案数为10． 6. 已知数列的前项和为．若，则的值为（ ） A. 1890 B. 1980 C. 2010 D. 2100 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以是等差数列， 所以，这是一个首项为5，末项为121，项数为30 的等差数列的和， 所以． 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左､右两支于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，借助双曲线定义可得，再在及中，使用余弦定理计算即可得. 【详解】设，则， 在中，， 整理得，又，故，则， 在中，， 化简得，所以. 8. 已知函数（其中为自然对数的底数，）有2个极值点，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将“有2个极值点”等价转化为“有2个不同的正实根”，对方程化简后，可进一步转化为过定点的直线与函数的图象有2个交点，通过分析的单调性、求过定点的切线斜率即可得到的取值范围。 【详解】由，所以直线与函数图象有两个交点． 因为，所以在递减，在递增，且． 函数大致的图象（如下图所示），结合图象可以判断过点与函数图象相切的直线有两条． 设切点，切线方程，即． 可知是方程的一个解，此时的切线方程为，因此符合题意，故选项错误，选项正确． 当时，由，可得在点,处的切线为，与轴交点在点的左边， 所以直线与图象没有交点，选项错误； 当时，由，可得在点处的切线方程为，与轴交点在点的左边， 所以直线与图象没有交点，选项错误． 【点睛】方法归纳：已知含参函数的极值点个数求参数范围时，优先将问题转化为“动直线与定函数图象的交点个数”问题，通过导数分析定函数的单调性、图象特征，再结合切线斜率确定参数范围，比直接分析含参导函数的单调性运算更简便。 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 -1 0 1 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：由分布列的性质，得，解得，所以，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误． 10. 如图所示，正方体的棱长为2，点为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 平面与底面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法，逐项判断. 【详解】以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则． 选项A:，因为，所以，故A正确； 选项B:，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则平面的一个法向量， 因为，所以与平面不平行，故B错误； 选项C：点到面的距离为，故C正确； 选项D：底面的法向量，所以平面与底面所成夹角的余弦值为，故D正确． 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 210在杨辉三角中出现了6次 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据杨辉三角，利用二项式定理结合组合数运算性质逐一判断即可. 【详解】选项A，第6行第4个数为，故A正确； 选项B，第2026行共2027项，最大项为只有一项，为第1014个数，故B错误； 选项C，， 所以，故C正确； 选项D，设，由对称性只需考虑的情况． 对逐个代入验算，可得当时，成立； 当时，，因为，故没有其他组合数等于210， 综上210可以表示为共6个，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】借助组合数定义及性质计算即可得. 【详解】因为，则使得的可取. 13. 随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，AI工具已深度融入内容创作领域，极大提升了短视频的制作效率．一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案､生成素材､配音配乐､剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表： 步骤 可选AI工具 选题与文案 ChatGPT､豆包､Kimi､DeepSeek 生成素材 可灵AI､即梦AI 配音配乐 剪映､魔音工坊､讯飞配音 剪辑包装 剪映､Runway､PikaLabs 剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映），每个阶段只能且必须选择1个工具．则不同的搭配方案共有______种． 【答案】40 【解析】 【分析】分使用剪映和不使用剪映，再分别按四个步骤求解. 【详解】使用剪映：种；不使用剪映：种； 共种． 故答案为：40 14. 甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去张牌是和，分两类： ①若第次甲抽到的是，则乙可以是或，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙抽到，故概率为； ②若第次甲抽到的是，则乙抽到了，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙可以抽到或，故概率为. 所以次比较大小后，甲的牌盒中只剩张扑克牌的概率为． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 从这6个数字中选取4个数字组成没有重复的四位数． （1）若组成四位数的4个数字中没有“0”，这样的四位数共有多少个？ （2）若四位数是5的倍数，这样的四位数共有多少个？（结果用具体数字作答） 【答案】（1）120 （2）108 【解析】 【小问1详解】 从这5个数字中选取4个数字，组成没有重复的四位数有个． 【小问2详解】 若个位数字为0，则有（个）； 若个位数字为5，则有（个）； 所以这样的四位数共有：（个）． 16. 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． （1）求一位顾客获得纪念品的概率； （2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列: 数学期望为. 【解析】 【小问1详解】 设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． 【小问2详解】 由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 17. 已知． （1）当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求的值； ②求展开式中系数最大的项； （2）若时，在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）①9；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题目条件得到方程，求出；②写出通项公式，进而得到不等式组，求出，从而得到系数最大的项； （2）等价于 ，构造函数，求导，分两种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出答案 【小问1详解】 ①由已知得：，所以， 解得：． ②通项公式为， 设，设最大， 令所以 化简得，又，所以． 所以当时，系数最大项为． 【小问2详解】 若时，， 则 ； 设，则恒成立； ， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 又时，， 所以，要想恒成立，需满足， 解得，结合，所以． 当时，，， 所以在单调递减，在单调递增， 故 ， 又，由，故． 综上． 18. 为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． （1）求的值； （2）用表示，并求的通项公式； （3）在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 【答案】（1）； （2）；； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用全概率公式求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式求出；再结合及构造法求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用条件概率公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，；，所以. 【小问2详解】 依题意，当时，，， 则，即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出， 则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， ， 所以. 19. 已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）． （1）证明：点在一条定直线上； （2）记的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入得到，再由求导，得到两条切线方程，求交点即可； （2）由（1）得到，从而得到垂线方程，代入椭圆方程，求得点M，N的坐标，从而得到点M，N到直线的距离，表示求解． 【小问1详解】 如图所示： 代入，得：， 设，则； 导函数为，所以在点处的切线方程为， 化简得，同理得， 所以两直线交点为，所以， 故点在定直线上． 【小问2详解】 ， 由（1）得，所以垂线，即，代入椭圆， 得：，因为点在点上方，所以； 到直线的距离； 同理可得到直线的距离． ． 当，即时，． ，所以； 当时，， 所以，设， 设； ，所以在上单调递增； 所以，故，当且仅当，即时取到“”， 显然，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $