精品解析：山东省青岛第五十八中学2026届高三4月模拟预测数学试题

山东省青岛第五十八中学高三4月模拟预测 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】全集，， ，. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的共线定理进行求解. 【详解】由,得, 得, 当时，，则， 故“”是“”的充要条件. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程计算得出，即可得出准线方程. 【详解】抛物线的焦点在纵轴上，且开口向上，可得，则，所以准线方程为. 4. 已知数列的各项均不为0，其前n项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，，得； 当时，，， 得，，得； 令，则，， 数列是以2为首项，公差为1的等差数列，即； ； . 5. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 6. 已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】当A是第一名时，C只能是第三名，则有种排列种数； 当A是第二名时，C不能是第一名，则有种排列种数； 当A是第三名时，C不能是第四名，则有种排列种数， 综上可知，这4人名次排列情况可能的种数为. 7. 设，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分、讨论解不等式即可． 【详解】对任意，，，， 当时，，恒成立； 当时，，，分别作出和的图象， 结合图象可知，不等式等价于，解不等式，可得， 综上，实数的取值范围是． 8. 点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率. 【详解】如图， 中，若 则， 所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由B得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以有最小值，D错误. 故选：BC 10. 已知曲线与坐标轴交于A，B两点，点在上，则（ ） A. B. 为轴对称图形 C. 直线与有两个公共点 D. 使得的面积为的点恰有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分别令求得曲线与坐标轴的交点，结合两点间的距离公式即可判断；对于B，验证关于的对称点也在上即可判断；对于C，将直线代入到曲线方程，该方程无解，故直线与曲线无公共点，对于D，通过分析曲线在不同象限的分支，并考虑其渐近线，结合的值与面积，即可判断满足条件的点的个数. 【详解】对于A，不妨设与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，即， 令，则，解得，即，易得直线， 则，故A正确； 对于B，当时，，在第一象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，，在第四象限内有图象（圆的一部分）， 当时，，在第三象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，，此时等式不成立，故在第二象限内没有图象， 设在上，因为关于的对称点也在上， 所以关于直线对称，为轴对称图形，故B正确； 对于C，联立，得，无解，故C错误； 对于D，若的面积为，且，则到的距离为， 若在第四象限，此时的轨迹是圆心为，半径为1的圆在第四象限的部分图像， 圆心到的距离为， 则到的距离的最大值为， 则面积的最大值为， 因为，所以不存在满足条件的点， 因为曲线，的渐近线为， 直线与直线的距离为， 若的面积为，且， 则到直线和渐近线的距离都为， 如图，满足题意的点恰有两个，故选项D正确. 11. 已知定义在上的非常数函数可导，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 若是的导函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A直接赋值可得；对B直接赋值可得；对C先赋值，再计算可得；对D先赋值得，再通过赋值得，进而可得，再分别对两个式子求导可得. 【详解】对于A，令，由得， 所以，又为非常数函数，所以，故A正确； 对于B，令，由得， 又由A知,所以,整理得，则为偶函数，故B错误； 对于C，令，由得，即， 所以，故C正确； 对于D，令，由且， 得，即， 以代替，得，即， 以代替，得，即. 所以6是函数的一个周期，所以， 即，两边求导得，即，——① 又因为，两边求导得，即，——② ①②相加得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令即可将等式右边化为所求式子，然后计算. 【详解】令，则， 所以， 所以. 13. 已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得． 故， 所以与的夹角的余弦值为. 14. 焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据求出，进而推得，由推得平分，即得，设，利用椭圆与双曲线的定义推得，结合余弦定理求得，代入离心率公式计算即得. 【详解】由条件可得，，因、、三点共线， 则得，则， 即，故， 因，而表示与同方向的单位向量，表示与同方向的单位向量， 由菱形的性质可得平分，故. 设，则， 因点是与的公共点，故得（为椭圆的长半轴长）， （为双曲线的实半轴长）. 则得，即 在中，由余弦定理得，解得， 设椭圆，双曲线的离心率分别为、，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了治疗某种疾病，一厂商研制了一种新药，为了检验该药的治疗效果，随机抽取了患该病的雌小鼠和雄小鼠各50只进行注射实验，一段时间后检测其血液中的某项指标值，并将数据进行整理得到如下频率分布直方图： 按规定，当该项指标值大于250时，则可认为小鼠已经治愈．为了检验二次用药的效果，对第一次注射新药后未治愈的小鼠进行第二次注射，第二次注射后又有10只小鼠治愈． （1）根据频率分布直方图估计第一次注射新药后这100只小鼠的某项指标值的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只． （ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断小鼠被治愈与性别是否有关； 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 未治愈 合计 （ⅱ）若从这100只小鼠中有放回地抽2次，每次抽1只，则在两只都是雌小鼠的条件下，求第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠的概率． 附：，其中． 【答案】（1） （2）（ⅰ）补全列联表如下： 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 45 35 80 未治愈 5 15 20 合计 50 50 100 认为小鼠被治愈与性别无关；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）直接根据直方图中数据计算可得； （2）（i）结合直方图中数据及二次注射后的结果补全列联表，根据公式进行计算，并结合做出判断；（ii）利用条件概率公式进行计算. 【小问1详解】 由题意得 ． 【小问2详解】 （ⅰ）由频率分布直方图，第一次注射后治愈的小鼠有只， 第二次注射后又有10只小鼠治愈，故治愈共80只，未治愈共20只；已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只， 故可得治愈的雄性小鼠有35只；则剩余未治愈雌性小鼠5只，未治愈雄性小鼠15只. 补全列联表如下： 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 45 35 80 未治愈 5 15 20 合计 50 50 100 零假设为：小鼠被治愈与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为小鼠被治愈与性别无关． （ⅱ）记“两只都是雌小鼠”为事件，“第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠”为事件， 故． 【点睛】关键点点睛：正确理解频率分布直方图中的数据，从中提取有效信息是解答问题的关键. 16. 在中，角的对边分别，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式进行化简，结合的范围，得出，即得角； （2）通过进行变量代换，借助余弦定理得出的值，再利用面积公式即得面积. 【小问1详解】 由， 得， 即，因为， 所以， 即， 故（舍）或， 由于，所以. 【小问2详解】 ，由， 得，又， 所以， 解得或（负值舍），故， 又由（1）知， 故的面积为. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求直线和平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值. （2）设，利用二面角的大小列方程，求得，进而求得. 【小问1详解】 分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； 【小问2详解】 在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（1）知，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴， 即， 整理得，，解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 18. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①不存在，理由： 由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ② 【解析】 【分析】(1)利用双曲线离心率及之间的关系得到双曲线方程； (2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将 转化为，整理出参数方程最终得到直线方程； ②为得到的面积，首先得到弦长，到直线的距离，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即可. 【小问1详解】 因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. 【小问2详解】 略 ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 19. 已知函数，． （1）当时，证明有唯一极值点； （2）讨论的零点个数； （3）若存在，当时，总有，求符合条件的的最小值． 【答案】（1）， 令， 则， 当时， ①当时，， ，，故； ②当时，令， ， 因为， ，，故， 单调递减，因为，， 所以，使得， 当时，当时， 综合①②，得， 当时，当时， 所以有唯一极值点，即有唯一极值点． （2）当时，有2个零点；当 时，有1个零点． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，令，求导讨论单调性，确定极值点；（2）分类讨论分析的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数；（3）先将问题转化为，构造函数，，分别讨论单调性确定. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增，在上单调递减， ，， 又，，使得， 当时 ，单调递增， 当时 ，单调递减， ，当时，， ，又， 存在唯一，使得， 因此有2个零点和； ②当时，，，有唯一零点； ③当时，当时，，，， 又，，有唯一零点． 综上所述：当时，有2个零点；当 时，有1个零点． 【小问3详解】 原问题等价于存在，当时，总有． 设，则， 设，则， 若，，单调递增， 当时，，即， ，单调递减， 当时，，即，命题成立． 下面仅需考虑的情况： 在上单调递减，其中， 故，在上均单调递减， ，， ①如果，即， 则，单调递增， ，即， 又，在上单调递减， 故，所以在上单调递减， 所以，即， 当时，总有，命题成立． ②如果，即，故由零点存在定理知，使得， 当时，，单调递减，， 即（不合题意，舍去）． 综上：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛第五十八中学高三4月模拟预测 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的各项均不为0，其前n项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 设，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最大值 10. 已知曲线与坐标轴交于A，B两点，点在上，则（ ） A. B. 为轴对称图形 C. 直线与有两个公共点 D. 使得的面积为的点恰有2个 11. 已知定义在上的非常数函数可导，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 若是的导函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为___________． 14. 焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了治疗某种疾病，一厂商研制了一种新药，为了检验该药的治疗效果，随机抽取了患该病的雌小鼠和雄小鼠各50只进行注射实验，一段时间后检测其血液中的某项指标值，并将数据进行整理得到如下频率分布直方图： 按规定，当该项指标值大于250时，则可认为小鼠已经治愈．为了检验二次用药的效果，对第一次注射新药后未治愈的小鼠进行第二次注射，第二次注射后又有10只小鼠治愈． （1）根据频率分布直方图估计第一次注射新药后这100只小鼠的某项指标值的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只． （ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断小鼠被治愈与性别是否有关； 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 未治愈 合计 （ⅱ）若从这100只小鼠中有放回地抽2次，每次抽1只，则在两只都是雌小鼠的条件下，求第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠的概率． 附：，其中． 16. 在中，角的对边分别，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. （1）求直线和平面所成角的正弦值； （2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 18. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 19. 已知函数，． （1）当时，证明有唯一极值点； （2）讨论的零点个数； （3）若存在，当时，总有，求符合条件的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $