2026年【内蒙古专版】九年级数学中考限时综合训练卷（3）

绝密★启用前 2026届【内蒙古专版】九年级数学中考限时综合训练卷（3） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(    ) A. B. C. D. 4.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙足够长和长的围栏围成一个面积为的矩形场地设矩形的宽为，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 5.下列判断正确的是(    ) A. 若点关于轴的对称点在第二象限，则 B. 夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C. 的平方根是 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6.如图，是的直径，是弦，，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.一辆快车从地匀速驶向地，一辆慢车从地匀速驶向地，两车同时出发，各自到达目的地后停止两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是(    ) A. 两车出发后相遇 B. ，两地相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是      ． 10.某玩具汽车的功率单位：为定值，行驶速度单位：与所受阻力单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率       11.不透明袋子中有个红球、个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别从袋中随机摸出个球恰好是红球的概率为      ． 12.如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图其中，侧面展开图的边，在坐标轴上，点坐标为将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是      结果保留整数，取，壁厚忽略不计 第10题图 第12题图 四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题分跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展颖立中学为了解全校学生秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． 组学生跳绳次数单位：次如下： 组别 次数单位：次 频数 组 组 组 组 根据以上信息回答下列问题： 在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ 组学生跳绳次数的中位数是______，的值是______； 若颖立中学共有名学生，估计该中学秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 15.本小题分 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需用元；若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需用元． 求盏甲型节能灯和盏乙型节能灯的售价各是多少元； 晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共盏，总费用不超过元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 16.本小题分 如图，为的直径，为上一点，于点，，交于点，交于点． 求证：是的切线； 若，，求的长． 17.本小题2分 天山胜利隧道预计于年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． 求抛物线的函数解析式； 该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米中心线宽度不计若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 18.本小题分 如图，在和中，，，连接，点是的中点，连接，，． 如图，当点在上时，求证：是等边三角形； 将图中的绕点顺时针旋转． 当旋转角为时，如图所示，中的结论还成立吗？说明理由； 当最长时，与的交点记作若，则 ______． 2026届【内蒙古专版】九年级数学中考限时综合训练卷（3） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D A A C A C 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.    10.20   11.      12.    三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.  原式 原式  根据绝对值、算术平方根以及有理数的乘法的计算方法进行计算即可；  根据分式乘除法的计算方法进行计算即可 本题考查有理数的运算，分式的乘除法，掌握有理数混合运算的方法以及分式乘除法的计算方法是正确解答的关键． 14.名． 答：一共抽取名学生． 组学生跳绳次数的中位数， ． 故答案为：，； 名． 答：估计该中学秒钟的跳绳次数在范围的学生有名． 将组人数除以其所占百分比即可求出抽取的学生共有多少人； 根据中位数的定义即可求解，将抽取的总人数减去其他组人数即可求出组的频数，即可得的值； 将秒钟的跳绳次数在范围所占比乘以即可求解． 本题考查频数分布表，扇形统计图，由样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． 15.设盏甲型节能灯的售价是元，盏乙型节能灯的售价是元，  根据题意得： 解得：  答：盏甲型节能灯的售价是元，盏乙型节能灯的售价是元 设购买盏甲型节能灯，则购买盏乙型节能灯，  根据题意得： 解得：，  的最小值为  答：该工厂最少可以购买盏甲型节能灯 设盏甲型节能灯的售价是元，盏乙型节能灯的售价是元，根据“购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需用元；购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需用元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；  设购买盏甲型节能灯，则购买盏乙型节能灯，利用总价单价数量，结合总费用不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 16.证明：于点， ． ， ， ， ． ， ， 即， 又为半径， 是的切线 解：为直径， ． 作于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， 设，，，， 由勾股定理可得． ， ，即，解得， 故AB，，． 又， 故BF， ， ，， 故BH， ，， ， 又， 故DG 由得，由，可得因为，所以，即，即证明是的切线； 根据为直径可得作于点，导角可得， 由，可得，进而，设，，，，由勾股定理可得再由，可列比例式，解得，，，，，故BF，由，可得，，，故BF，，可得又由，可得． 本题考查了圆的切线的证明，圆周角定理推论，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识点内容是解题关键． 17.由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为：， 代入点得， 解得：， 抛物线解析式为 能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ， 能安全通过． 先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； 先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 18.证明：在 中，  ，  在中，  ，  点是的中点，  在中，，在中，，  ，，，  ，  是等边三角形； 中的结论还成立，理由如下：  如图，延长交于点，分别延长，相交于点，    由旋转角为可得  ，  又，，  ≌，  ，  ，  是的中位线，  ，  ，  同理可得≌  ，  ，  是的中位线，  ，  ，  是等边三角形；  如图，点在以点为圆心，为半径的圆上，  是等边三角形，  ，  最大时，即取得最大值时，  当，，三点共线时，取得最大值，此时最大，    即绕点顺时针旋转度时，最大，  延长交于点，分别延长，相交于点，  由得是的中位线，是的中位线，  ，，  ，  是等边三角形，  ，  故答案为： 由直角三角形斜边中线性质可得在中，，在 中，，得出，，，再证明，即可得出结论；  延长交于点，分别延长，相交于点，先证明≌，可得，同理可得≌，，再利用中位线的性质可得结论；  点在以点为圆心，为半径的圆上，由是等边三角形，可得，可得最大时，即取得最大值时，当，，三点共线时，取得最大值，此时最大，再求解即可． 本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造中位线解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $