2026年【内蒙古专版】九年级数学中考限时综合训练卷（2）

**基本信息** 以中考高频考点为核心，整合基础概念与综合应用，提炼实用解题方法，培养抽象能力、运算能力及模型意识，构建知识逻辑链条。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-8、填空9-12|概念辨析、性质直接应用|从实数、图形性质到概率计算，形成概念到简单应用的逻辑| |统计与概率|解答14|图表分析、树状图法求概率|数据收集→整理→分析→决策，体现数据意识| |代数综合|解答13、15|实数运算、分式方程与一次函数最值|运算规则→方程建模→函数应用，强化运算能力| |几何综合|解答16、18|切线判定、旋转性质与勾股定理|圆的性质→图形变换→推理证明，发展推理意识| |函数应用|解答17|待定系数法、二次函数最值|解析式求解→实际问题建模→最值计算，渗透模型意识|

2026届【内蒙古专版】九年级数学中考限时综合训练卷（2） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是(    ) A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 2.如图，，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.一只不透明的袋子中，装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为(    ) A. B. C. D. 4.书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐，其中篆书具有象形特征，充满美感下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是(    ) A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 等角的余角相等 6.若代数式在实数范围内有意义，则取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 7.如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为(    ) A. B. C. D. 8.反比例函数的图象上有，两点下列正确的选项是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.从拼音“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 10.年春节联欢晚会上，机器人表演的武术的节目引发人们对人工智能的广泛关注，据统计，年北京人工智能核心产业规模达亿元数据“”用科学记数法表示为        ． 11.如图，在边长为的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为        ． 12.如图，矩形的对角线，相交于点，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，若，，则的长为       ． 第11题图 第12题图 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题7分中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： 本次调查所得数据的总人数是______人，中位数是______部； 扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______度；并补全条形图； 从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率并针对此次调查结果给学校提一条合理化建议． 15.本小题分 卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同． 求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？ 若学校需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，至少要花多少钱？ 16.本小题分 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． 求证：是的切线； 若，求证：； 在的条件下，若的半径为，求图中阴影部分的面积． 17.本小题分 问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线和“矩形”构成，抛物线最高点到地面的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系已知米，米． 建立建模 求抛物线的解析式； 问题解决 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”即三根支架，其中，垂直地面，平行地面，求“脚手架”的最大长度； 如图，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数． 18.本小题分 综合与实践 问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点，延长交于点，连接． 猜想证明： 试判断四边形的形状，并说明理由； 如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： 如图，若，，请直接写出的长． 2026届【内蒙古专版】九年级数学中考限时综合训练卷（2） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C B D C A 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.    10.    11.      12.    三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.解：原式 原式 根据实数运算的运算法则进行计算； 根据分式混合运算的运算法则进行计算． 本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 14.解：本次调查所得数据的总人数是人，读完部的人数是人， ，， 中位数是部． 故答案为： “部”所在扇形的圆心角为， 补全条形图为 故答案为：； 将西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别记作，，，， 画树状图可得： 由图可知，共有种等可能的结果，其中符合条件的有种结果， 所以他们恰好选中同一名著的概率为． 根据调查可发现超过一半的学生阅读名著不超过部，学校应通过活动鼓励学生阅读名著． 将读完部的人数除以其百分比，即可求出总人数．求出读完部的人数，根据中位数的定义求解即可； 将乘以读完部的人数比例，即可求得对应扇形的圆心角度数，根据读完部的人数即可补全条形图； 运用列表法或画树状图的方法得到所有等可能结果，和其中选中同一名著的结果，根据概率公式计算即可；根据调查结果提出建议即可． 本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解答本题的关键要明确：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15.解：设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元， 元， ， 解得， 经检验：是方程的解， ， 则购买一件种器材需元、一件种器材需元 设购买器材件，总费用元， 根据题意得， 解得， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最小值，为元， 则至少要花元 设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可； 设购买器材件，则器材件，总费用元，根据不等关系，列出不等式求出的取值范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可． 本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 16.证明：是的直径，是上的一点，如图，连接． ，， ，， ， ， ，即， ， 又为圆的半径， 是的切线 证明：， ， ． 由知，， ， ， ， 解：由知，， ， 的半径为， ， 在中，， ． 连接证明即可证明是的切线； 根据，得到，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明； 根据解答即可． 本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 17.解：由题意可知顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设点的坐标为，，，的长度之和为米， 可得：，， 则， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：，，的长度之和的最大值为米 当时，， 解得， 左右外侧的两个照明灯之间的距离为米， ，且每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米， 至少要安装个照明灯 【解析】根据题意，用待定系数法求函数解析式； 设点的坐标为，，，的长度之和为米，得出与的函数解析式，由函数的性质求最值； 当时，求出的值，结合实际情况确定照明灯的个数． 本题考查二次函数的应用，关键是利用函数的性质解答． 18.解：四边形是正方形，  理由：由旋转可知：，，，  又，，  ，  四边形是矩形．    四边形是正方形   证明：如图，过点作，垂足为，    则，，  ，  ，  四边形是正方形，  ，，  ，  ，  ，      ，  ，  ，  ，  ； 如图：过作，    ，  ，  设，则，，  在中，，，，  ，  即，  解得舍，，  ，，  ，，  ，，  ，，  ，  ． 由旋转可知：，，再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明；  过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答；  过作，先说明，再设、则、，再在中运用勾股定理求得，进一步求得和的长，然后运用三角函数和线段的和差求得和的长，最后在中运用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $