专题05 解直角三角形综合问题（压轴题专练，6大题型+强化训练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05解直角三角形综合问题 01压轴命题透视 江苏中考解直角三角形压轴，以锐角三角函数为核心，依托直角三角形、特殊角、 命题预测 仰俯角、坡度、方位角命题。常结合实际测量、几何图形、折叠动点考查，融合勾 股、相似、方程计算，侧重边角转化、建模运算与分类讨论，综合应用性强。 1.解直角三角形相关计算压轴（选填） 2.解直角三角形的应用压轴 3.解直角三角形与圆综合 高频考法 4.解直角三角形与函数综合 5.解直角三角形与最值综合 6.解直角三角形中的旋转、翻折问题 02压轴题型精讲 ●典例靶向突破。 口题型01解直角三角形相关计算压轴（选填） 1.(2025江苏无锡模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BE平分∠ABC交AD于点E,交AC于 点G,过E作EF⊥BC于点F,交AC于点H,若3AG=2CH,则sin∠EGH的值是() E D G H 1 A. C. D. 3 4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质， 利用一元二次方程解几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用 根据条件先证明出四边形ABFE是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质， 找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出FC的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦 值即可. 【详解】解：如图，过点B作BM⊥AC于点M, 1/71 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M G H B F :矩形ABCD, ∠ABC=∠BAD=90°，AD∥BC, EF⊥BC, ∠ABC=∠BAD=∠BFE=90°， ·四边形ABFE是矩形， BE平分∠ABC, 1 ∴.∠ABE=∠EBF= 2 ∠ABC=45°， .∠ABE=∠EBF=∠AEB=45°， .AB=AE, :四边形ABFE是正方形， :AB=AE EF BF=4, 3AG=2CH, ·设AG=2x,GH=a,则CH=3x,AH=AG+GH=2x+a, AD‖BC, △AEH∽△CFH, AEAHEH CF CH FH 42x+a CF 3x 解得CF= 12x 2x+a AD川BC, △AEGn△CBG, AE AG BC CG' 42x CF+4 a+3x 解得CF=2a+2x 2171 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12x2a+2x ∴.CF= 2x+a 整理得a2+3ax-4x2=0, 解得a=x或a=-4x(舍去)， ..CF=12x =4, 2xta :BC=8 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC=AB2+BC2=45 根据三角形等面积法可得， BM 4B.BC85 AC 5 在Rt△ABE中，由勾股定理得， BE=AB2+AE2=42 EG AE 1 BGBC2 v2 :.BG-2BE- 3 3 ∴.sin∠AGB= BM 3v10 BG 10 :∠EGH=∠AGB sin∠EGH=sin∠AGB=3vi0 10 故选：C 2.(2025江苏南通模拟预测)如图，在四边形ABCD中，LACB=∠ADB=90°，DE:BE=3:5, 画ZDAE5,则an2BDC D B 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，通过 ∠ACB=∠4DB=90,可得点人B、C、D四点共圆，所以∠BDC=∠B4C,由sin∠DAE=DE-5,设 AE 5 3/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE=V5a,则AE=5a,所以AD=VAE2-DE=V5a2-(5a=25a,得BE=5V5 a,再证明 3 2W5a-5a=5a △46D-△8EC,所以0=2E=4E,放行C=CE行，从而求得BC=0。 a,CE=4,所以 BC CE BE 3 3 3 -9 10 tan∠BAC= 4C202从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 BC 3 a1, 3 【详解】解：：∠ACB=∠ADB=90°， 点A、B、C、D四点共圆，如图， .∠BDC=∠BAC, sin ZDAE DE5 AE 5 设DE=√5a,则AE=5a, AD=VAE-DE=(5a)-(5a)=25a, :DE:BE=3:5, BE= 3, :∠CAD=LCBD,∠AED=LBEC, ∴△AED-△BEC, AD=DE AE ·BC CE BE 25a=5a-5a .BC CE 55, 3 a BC=10 ,CE 5 30, 4/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC-AE+CE-Sa+a-20a.BC=BE-CE 55)2 3 3 4 10 .tan∠BAC= BC 3 a I 4c=20=2' 3 1 ∴tan∠BDC=tan∠BAC= 故答案为：2： 1 口型02解直角三角形的应用压轴 3.(2026江苏无锡.一模)在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物AB的高度.如 图，在建筑物AB旁有一小山坡CD,测得山坡CD的坡度i(即tana)为1：√3，CD=32m,在D处测得A 处的仰角为75°，在C处测得A处的仰角为30°. 30°C 75%1 B D (1)求∠DAC的度数； (2)求建筑物AB的高度.（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1)45 (2(24+8v5)m 【分析】(1)过点C作CF1AB于点F,由三角形内角和定理得LBAC=60°，在Rt△ABD中， ∠ADB=75°，可得∠BAD=15°，从而可求出∠DAC; (2)过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG1AC于点G,求出CE=16m,再求出CG=16m, DG=165m,可得4C=6+165)m,进而得出4-方4C=(8+8m,即可求出B. 【详解】(1)解：过点C作CF⊥AB于点F,如图， 5/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G C 300-Is C 75a B E 则∠AFC=90°， :∠ACF=30°， .∠CAF=180°-90°-30°=60°， 在Rt△ABD中，∠ADB=75°，∠ABD=90°， ∠BAD=180°-90°-75°=15° ∠DAC=LBAC-∠BAD=60°-15°=45°； (2)解：过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,如图， “i=1:5, .'tana CE。1-V3 DE√33 a=30°， 设CE=x,则DE=√5x, 在Rt DCE中，CD=32m,DE2+CE2=CD2, (3x+r2=32, 解得x=16(负值舍去)， .CE=16m, :CF⊥AB,FB⊥BE,CE⊥BE, 四边形CFBE是矩形， .FB=CE =16m, :CF⊥AB,FB⊥BE, CF∥BE, ∠DCF=∠CDE=30°， ∠DCA=∠DCF+∠FDA=30°+30°=60°； 又∠ADB=75°， 6/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADC=180°-∠ADB-CDE=180°-75°-30°=75°， :DG⊥AC,即∠DGC=90°，且∠ACD=60°， ∠CDG=180°-90°-60°=30°， ∠ADG=45°： 在Rt△CDG中，CD=32m,∠CDG=30°， CG=CD=16(m), DG=VCD2-DG2=V322-162=16V5m, 又∠DAC=∠ADG=45°， ..4G=DG=16v3(m), :AC=AG+CG=163+16(m), 4F=4C=(8+85jm, AB=AF+FB=8+8V3+16=24+8V3m. 4.(2026江苏连云港.一模)水晶公园是市民休闲时的一个好去处.如图，小明和他的综合实践活动小组 利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度AB,他们选定了两个观测点C,D,观测点D在点A的北 偏东45°方向上，观测点C在点B的北偏西22.6°方向上，点B在点A的正东方，又测量得BC=260m, CD=120m，∠ADC=90°.求水晶公园的东西最大宽度AB.(结果精确到1m.参考数据：sin2.6°≈ 13, 226日51414) c0s22.6°≈12 D 22.6° 西A B东 【答案】最大完度AB=510m 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作CG⊥DE交DE于点 G,构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出DG、GC、CF、FB的长度，最终即可求 出最大宽度AB的长度。 【详解】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作CG⊥DE交DE 7171 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点G,如下图所示： D G 459 22.6° 西 B东 根据题意，可知∠DAE=45°，四边形GEFC为矩形， .∠ADE=45°， :∠ADC=90°， :AE DE, .LGDC=45°， :∠DGC=90°， .LDCG=45°， ∴.DG=GC, :CD=120m, .DG2+GC2=CD2, 解得DG=GC=60V2m, :∠FCB=22.6°，BC=260m, ∴CF=BC×cos22.6°=240m,BF=BC×sin22.6°=100m, .AE =DE=DG+GE=DG+CF=(60v2+240)m, EB=EF+BF=GC+BF=(602+100m, .AB=AE+EB=60√2+240+60V2+100≈510m 题型3解直角三角形与圆综合 5.(2026江苏宿迁一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB为直径，点D是ABC的内心，连接AD并 延长交OO于点E,过点E作EF∥BC交AB的延长线于点F. 8/71 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：EF是⊙0的切线； 2若00的半径为6，$m∠4BC=求阴影部分的面积（结果用合x的武子表示）. 【答案】(1)见解析 (2)18V3-6π 【分析】(1)连接OE,交BC于点G,根据等腰三角形的性质得到LOAE=LOEA,由D为ABC的内心， 得到∠OAE=∠CAE,求得OE∥AC,根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BGO=90°，根据切线的 性质得到∠FE0=90°即可； (2)根据三角函数的定义得到∠AEC=30°，求得LBAC=2LEAC=60°，再求得EF=OE·tan60°=6V3, 根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论 【详解】(1)证明：连接OE,交BC于点G, D :0A=0E, G别 .∠OAE=∠OEA, 又：D为ABC的内心， .∠OAE=∠CAE, ∴.∠OEA=∠CAE, OE∥AC, ∴∠BG0=∠BCA, 又：AB为O0的直径， ∠ACB=90°， ∴.∠BG0=90°， 又：BC∥EF, ∠FE0=∠BG0=90°， EF是OO的切线； (2)解：sinLAEC= 2 ∠AEC=30°， 9/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ABC=LAEC=30°， 又∠FE0=∠BG0=90°， ∠B0E=60°，LEF0=30°， .EF=0E.tan60°=6√3， ·.S阴影B分=S△EF0-S扇形BOE 2×6x6V5.60x元x62 360 =18V5-6π 6.(2026江苏连云港模拟预测)如图，在△ABF中，点C是边BF上的一点， A D C B 图1 图2 (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边AF上作一点D,使得∠ADB=∠ACB(保留作图痕迹，不写 作法)· (2)若AB=AC,BD⊥AC. ①求证：∠BAC=2LCAF. ②当an∠ABC=3时，求匹的值. SABF 【答案】(1)见解析 20见解析；②1 9 【分析】(1)根据三角形外角的性质得出∠FBD=∠FAC,然后作图即可； (2)①根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,确定∠ADB=∠ABC,再由垂直得出 ∠CAF=90°-∠ADB,利用三角形内角和得出∠BAC=180°-2∠ABC,即可证明；②过点A作AH⊥BC, 得出BH=CH,设BH=3a,则AH=9a,BH=CH=3a,BC=6a,确定AB=AC=310a,由(1)得 LABC=LACB=LADB,利用正切函数及勾股定理确定CD=VCE?+DE?=√0a,再由圆内接四边形的性 质及相似三角形的判定和性质即可求解 10/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图所示，作∠FBD=∠FAC,BD交AF于点D,即为所求； :LACB=LF+LFAC,∠ADB=∠F+∠FBD, ∠ADB=∠ACB: (2)证明：：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, ZADB=ZACB, ∠ADB=LABC, :BD⊥AC, ∠ADB+∠CAF=90°， .∠CAF=90°-∠ADB, :∠ABC+∠BAC=180°-LACB=180°-LABC, ∴∠BAC=180°-2∠ABC, .∠BAC=2LCAF; ②过点A作AH⊥BC，如图所示， E D AB=AC, .BH=CH, 设BH=CH=3a,则BC=BH+CH=6a, :tan∠ABC=AH BH 3 .AH =3BH=9a, AB=AC=AH2+BH2=3v10a, 11/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(1)得∠ABC=∠ACB=LADB, ∴.tan∠ABC=tan∠ACB=tan∠ADB=3, :BD⊥AC, 六tam∠4CB=BE-3. CE .BE =3CE, BC =6a,CE2+BE2 BC2, .CE2+(3CE)=(6a, CE=30 5a, ÷AE=AC-CE=12 -a, 5 Ftan∠ADB=A =3, DE ·DE=4E=40 3 5a, CD=CE2+DE2=10a, :四边形ABCD为圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°， :∠FDC+∠ADC=180°， :ZABC ZFDC :∠F=LF, .△FDC∽△FBA, DC 10a1 BA 310a 3 BA 9 题型04解直角三角形与函数综合 7.(2026江苏扬州一模)抛物线y=-x2+br+c(b、c为常数)图象交x轴于点A1,0和点B,交y轴于 点C(0,3. 12/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式及其对称轴： (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，PM⊥x轴，交直线BC于点M,PV⊥y轴，交抛物线的 对称轴于点N. ①如图1，连接MN,若sin∠PMN=5 求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线1∥BC,MQ⊥y轴，交抛物线的对称轴于点Q.若四边形PMQN在直线BC与1 之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为 【答案】(1)y=-x2-2x+3,对称轴为直线x=-1 20-2或5-匝：②-V2-1或-1-0 2 【分析】(1)利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可： (2)①先求出直线BC:y=x+3,设Pp,-p2-2p+3(p<-1),表示出PN=-1-p,PM=p2+3p, 再由正弦得到an∠PMN=PN--1-p1 PWD+3可2，据此解方程即可： ②可得四边形PMQN是矩形，连接MN,分两种情况讨论求解：当MN落在BC上时，符合题意；当矩形 PMQN的对角线的中点落在直线I上，符合题意 【详解】(1)解：由题意得，将点A1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c, -1+b+c=0 则 c=3 b=-2 解得 c=3 ·抛物线表达式为y=-x2-2x+3, 2 x=- =-1 2×(-1) 13/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 对称轴为直线x=-1: (2)解：①抛物线对称轴为直线x=-1,且抛物线交x轴于点A(1,0)和点B, B-3,0), 设直线BC:y=mx+n, 则代入点B,C得， 「-3m+n=0 n=3 m=1 解得 n=3, :直线BC:y=x+3 设P(p,-p2-2p+3(p<-1), :PM⊥x轴，交直线BC于点M,PN⊥y轴，交抛物线的对称轴于点N M(P,p+3),N-1,-p2-2p+3,∠NPM=90° PN=-1-p,PM=p2-2p+3-(p+3=p2-3pl=p2+3p :sin∠PMw=PW=51 MN=5=5 则MW=V5PN, PM =MN2-PN2=2PN :tan∠PwN=PN=-l-p-1 PM p2+3p2 当，解得p=5成-5亚)： 2 2 ,释p-2成p1（海) 当 综上：点P的横坐标为-2或-5-7 2 ②由题意得，∠NPM=∠PWQ=∠MQN=90°， .四边形PMQN是矩形， 连接MN,当MN落在BC上时，如图： 14/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时四边形PMON在直线BC与I之间的部分是△MNQ,符合题意， 将点N(-1,-p2-2p+3代入y=x+3, 则-1+3=-p2-2p+3 解得p=-√2-1或p=√2-1（舍去）： 当矩形PMQW的对角线的中点落在直线I上，中点记为点T, B :矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， :.此时四边形PMQN在直线BC与1之间的部分的面积是它的面积的一半， 1∥BC, 设直线l:y=x+t, 代入点A1,0得，1+t=0, 解得t=-1, :直线1：y=x-1, :Mp,p+3,N-1,-p2-2p+3, 15/71 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 代入y=x-1, 则-p+6=1+-1, 2 2 解得p=-1-V10或p=-1+V0(舍去)， 综上：点P的横坐标为-√2-1或-1-√10. 8.(2026江苏连云港模拟预测)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+m与直线y=2x相交于点 A2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y=(k<0)图象上. 备用图 (1)求a,b,m的值. (2)若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值 (3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得 tan∠DAE=8,求k的值. 【答案】(1)a=4,b=6,m=6 (2)点C的坐标为(-4,4)或(4，-4)，k=-16 =等 【分析】(1)把A2,a)代入y=2x得到a=2×2=4,即A2,4).将A2,4代入y=-x+m得到m=6.令 y=0,则-x+6=0,得到B的坐标为6,0)，即b=6. (2)设点C的坐标为x,y),根据平行四边形对角线互相平分即两条对角线的中点是同一个点列方程求解 即可，注意分情况讨论： 16/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)过点D作DH⊥AE于点H,过点H作x轴的垂线交x轴于点N,交过点A且与x轴平行的直线于点 M.则an∠DAE=DA=8.设H(m,,D(-,0),则M(m,4),N(m,0.再证明AMHHND,得到 AH 160-t m= 兴烟识令 160-t240-8t 代入后解得 240-8’即 65 、65’ 65 再把H直线AE表达式为 n= 65 4 2.8 y 2-K-2)+4解得1=4，即可求出直线4D的表达式为y=号x+兮，最后根据有且只有一点C,使得 tan∠D4E=8,得到直线AD与y=《只有一个交点，联立以后根据：△=82-4×2x-3k)=0求解即可. 【详解】(1)解：：A2,a在直线y=2x上， a=2×2=4,即A2,4). 将A2,4)代入y=-x+m得4=-2+m, .m=6。 :直线y=-x+m即为y=-x+6. 令y=0,则-x+6=0, x=6, .B的坐标为6,0). 六b=6 综上所述，a=4,b=6,m=6. (2)解：设点C的坐标为x,y). 若OA和BC为对角线， x.+6_0+2 22 根据平行四边形对角线互相平分可得： 上+0-0+4' 2 2 x。=4 解得 y.=4 .C-4,4, 把C(-4,4到代入y=《得：k=-4×4=-16. 17/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若0B和AC为对角线，同理可得C(4,-4),k=4x(-4)=-16. 若OC和AB为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意. 故点C的坐标为(-4,4)或(4，-4)，k=-16. (3)解：如答图，过点D作DH⊥AE于点H,过点H作x轴的垂线交x轴于点N,交过点A且与x轴平 行的直线于点M. 答图 .∠AHD=90°. tan∠DAE=DH =8 AH 设H(m,n),D-t,0),则M(m,4),N(m,0 AM =m-2,HN=n,MH =4-n,ND =m+t, :∠M=∠HND=∠AHD=90°，∠AHM=LHDN=90°-∠DHN, .aAMH∽aHND, AM MHAH1 HN ND HD 8 :m-2=4-n。1 n m+t 8 160-t m= 65 解得 n=240-8: 65 160-t240-8t ..H 65’ 65 :点E与点D关于y轴对称， .E(t,0. :A2,4, 18/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :直线AE表达式为y= 4 x-2)+4 2-t 将H 160-t240-81 65 代入得 40-8t4160=-2+4, 65 652- 65 整理，得2+t-20=0 解得=4,2=-5（不合题意，舍去）· E(4,0),D(-4,0). :直线AD的表达式为y=号x+ 28 :有且只有一点C,使得tan∠DAE=8, :直线AD与y=只有一个交点， k V= 联立方程组 x 28 y=x+9 33 消去y,整理得2x2+8x-3k=0. △=82-4×2×-3k)=0. 解得= 3 【点晴】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正切，解 题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度. 题型05解直角三角形与最值综合 9.(2025江苏宿迁·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是对角线AC上的一动点，连接 BE,若以BE为边向右上侧作等边△BEG;点E从点A运动到点C的过程中，连接CG,则线段CG的最小 值是 D B 【答案】25-5 5 【分析】以BC为边作等边BCF,连接FG,证明△EBC≌aGBF(SAS),得到LBCE=∠BFG,从而 19/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 tan ZBFG=tan∠ECB=2,因此LBFG是定值，即点G在与BF成定角的直线GF上运动，过点C作 CH⊥FG于点H,则点G在点H时，CG取得最小值，最小值为CH的长，当点E与点A重合时，过点G 作GM⊥AB于点M,过点F作FN⊥BC于点N,求出△BCG,BCF,△GBF的面积，得到 S.FcG=SGBr-S,cG-SBCF=2-V5,根据勾股定理求出GF,再由三角形的面积求出CH,即可解答。 【详解】解：如图，以BC为边作等边BCF,连接FG, G D :△BEG和BCF都是等边三角形， .BE=BG,BC=BF,∠EBG=∠CBF=60°， .∠EBC=∠GBF, △EBC≌aGBF(SAS), .∠BCE=∠BFG, :在矩形ABCD中，AB=4,BC=2, ·tan∠ACB=A =2, BC tan∠BFG=tan∠ECB=2, ·∠BFG是定值，即点G在与BF成定角的直线GF上运动， 过点C作CH⊥FG于点H,则点G在点H时，CG取得最小值，最小值为CH的长 D B 如图，当点E与点A重合时， D E F M B 20/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点G作GM⊥AB于点M,过点F作FN⊥BC于点N, BAM三)AB=2 ·SBcG= c-M 1 ×2×2=2. 2 :BCF是等边三角形， BF=BC=2,FN=BF.sin∠CBF=2sin60°=5， Sr号8cwx2x5=5. 1 SRIAABC= AB-BC=)x4×2=4,&GBF≌△4BC, 2 2 六.SRIGBF=SRA4BC=4, ∠GBF=LABC=90°，BG=AB=4, 在Rt△GBF中，GF=√BG2+BF2=V42+22=25 S.FcG=SRLGBF-S.acG-S.BCF =4-2-13=2-3, FG.CH, 又S.rc=2 2-5-号250H, ·cH=25-5 :点E从点A运动到点C的过程中，线段CG的最小值是25-西 5 故答案为： 2W5-5 5 【点晴】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨 迹，根据三角形的面积求解是解题的关键 10.(2025江苏宿迁三模)如图，在ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=5,将BC绕点C顺时针旋转 120°得到CD,则线段AD长度的最小值是· 21/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】55 2 【分析】在AC的上方作∠ACE=120°，且使CE=CA,连接AE,DE,设AB=x,则AC=5-x=CE, 根据SAS证明aBAC≌△DEC得出DE=BA=x,∠CED=∠BAC=I20°，得出∠AED=90°，即可推出结论 【详解】解：如图，在AC的上方作∠ACE=I20°，且使CE=CA,连接AE,DE,过点C作AE的垂线， F为垂足 B :∠ACE=120°，AC=CE, ∠AEC=180°-120）÷2=30°， 设AB=x,则AC=5-x=CE, :.CF=LCE, Γ2 Vce:-c 2 EF =CE2-CF2 :.AE=2EF=3CE=3(5-x), :将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD, ∠BCD=LBCA+LACD=I20°，BC=CD, 又：∠ACD+∠DCE=∠ACE=120°， .LACB=∠DCE, 在△BAC和△DEC中， BC=CD ∠ACB=∠DCE, CE=CA ∴△BAC≌△DEC(SAS, .DE=BA=x,∠CED=∠BAC=120°. .∠AED=120°-30°=90°， 22/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0+0=5-+=5空 :0<x<5,4>0, :当x=15时，AD有最小值，最小值为 4 4 :4D的最小值为5 2 故答案为：5 2 【点晴】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的最值问题，全等 三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键， 题型06解直角三角形中的旋转、翻折问题 11.(2025江苏宿迁.三模)如图，E在矩形ABCD边BC上，将△ABE沿AE翻折得到△AB'E,F、F分 别是△ABE和ABE的内切圆圆心，FF交AE于点G,若AG=3,EG=2,∠B'AE=∠B'CE,则B'C= D G B E 借1兰 【分析】本题考查了矩形的问题，解直角三角形，三角形的内切圆，切线长定理，相似三角形的性质与判 定，过点F分别作AB,BC的垂线，垂足分别为M,N,过点B作PQ∥AB,交BC,AD分别为P,Q,则四 边形MBNF和四边形ABPQ是矩形，根据切线长定理，设MB=BN=r,根据勾股定理，求得AB,BE,进而 得sin∠B'AE= E=,证明△OAB'∽△∠PB'E,求得B'P的长，进而解Rt△B'CP,即可求解 【详解】解：如图，过点F分别作AB,BC的垂线，垂足分别为M,N,过点B作PQ∥AB,交BC,AD分别 为P,Q,则四边形MBNF和四边形ABPQ是矩形， 23/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q D B G Mh_ B N E :F是△ABE的内切圆圆心， :FM =FN :四边形MBNF是正方形， .MB NB, 设MB=BN=r, .AB=AM+MB=AG+r=3+r,BE=BN+NE=BN+GE=2+r 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2 (3+r)+(2+r)2=(3+22 解得：r=1或r=-6(舍去) :AB'=AB=4,B'E =BE=3 sin∠BAE=B'E_3 AE5 :∠B'AE=∠B'CE sin /B'CE=snZB'AE= :LAB'E=LABE=90°，∠AQB'=∠B'PE=90° ∴.∠QAB'=90°-∠QB'A=∠EB'P .△QAB'∽△∠PB'E QB'OA AB'4 EP PB'EB'3 QB'3+EP 4 EP 4-QB3 OB- 8 5 解得： EP= 21 25 PB'=4-QB=4-28_72 2525 24/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 72 .B'C= PB' 25_24 in∠B'CE3 故答案为： 24 12. (2025-江苏无锡二模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,4D=5,∠B为锐角，且cosB=! 图1 图2 备用图 (1)如图1，求AB边上的高CH的长； (2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D, ①如图2，当C落在射线CA上时，求BP的长； ②当△AC'D'是直角三角形时，则BP的长为· (请直接写出答案) 【答案】(1)4 a0号@3现4：号 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角函数 等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键， (1)由平行四边形的性质对边相等和三角函数可求得BH,进而根据勾股定理即可得出结果： (2)①由三角形全等和三角形相似可得出结论： ②三角形的直角顶点不确定，故要分类讨论，分三种情况讨论，求出结论. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， :BC=AD=5, 在Rt△BCH中，cosB=3 :BH BC.cosB=3, .CH=√BC2-BH2=4: (2)①如图2，过点C作CH⊥BA于点H, 25/71 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图2 由(1)得，BH=√BC2-CH2=V52-42=3, 由旋转知，PC'=PC,∠CPC'=90°； 作CQ⊥BA交BA延长线于点Q, ∴.∠CHP=∠PQC'=90°， ∴.∠PCQ+∠CPQ=90°， :LCPQ+LCPH=90°， ,∠PCQ=∠CPH, PC'=PC, △PQC'≌aCHP(AAS), ..PO=CH=4, BP=x,C'O=PH=3-x,OA=PO-PA=4-(6-x)=x-2, :C'Q⊥AB,CH⊥AB, C'Q∥CH, AOC'AHC, C'oOA CH AH 3-x_x-2 43 即-7 ②：点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C、D, △PCD≌aPCD',CD=CD',CD⊥C'D', :AB CD C'D'⊥AB, 26/71 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当以C为直角顶点时，如图. ◇C DC'D'⊥AB, B :点C落在线段BA延长线上， :PC⊥PC', .PC⊥AB, 由(1)知，PC=4,BP=3. ②当以A为直角顶点时，如图， D' 图1 设CD与射线BA的交点为T, 过点C作CH⊥AB于点H, :PC⊥PC', .∠CPH+∠TPC'=90°， ·点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D, .PC=PC',PD=PD',∠CPC'=∠DPD'=90°， ∠CPD=∠CPD', △PCD≌aPC'D'SAS, .∠PCD=∠PCD', :ABI CD, .∠BPC=∠PCD=∠PC'D', 27/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CPT+∠CPB=90°， ∠C'PT+∠PCT=90°， ∠PTC'=90°=LCHP, ∴△CPH≌△PC'TAAS), ∴.C'T=PH,PT=CH=4, 设CT=PH=t,则AP=3-t, :AT =PT-PA=t+1, :∠C'AD'=90°，C'D'⊥AB, △ATD'∽aC'TA, AT CT ·TD4T :.AT:=C'T.TD', (1+=(6-, 化简得2t2-4t+1=0, 解得，1=2±2 2 :BP=BH+HP=3+2±5=4士2 2 2 ③当以D为直角顶点时， 点P落在BA的延长线上，不符合题意. 综上所述，BP=3或4士 2 故答案为：3或4牡2 13.(2025江苏宿迁.三模)如图1，己知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC, 以BC为边在BC上方作RtABDC,且∠DBC=30°. D D B 图1 图2 A 图3 A (1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且LAEB=90°，∠EBA=30°，连接DE,用等式表 28/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 示线段AC与DE的数量关系是 (2)如图2，在(1)的条件下，若DE1AB,AB=8,AC=4,求BC的长； (3)如图3，若∠BCD=90°，AB=8,AC=4,当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值. 【答案】山DE=5 (2)47 ( 5 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾 股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题 的关键。 (1)证明ABE”CBD,根据相似三角形的性质得到2=BE ∠DBE=∠CBA,进而证明 BC BD △ABC∽△EBD,根据相似三角形的性质即可求解： (2)求出AE=2,延长DE交AB于点F,在Rt△AEF中，由直角三角形的性质求得EF,AF,进而求得 BF的长，根据(I)的结论，得出DE=2√5，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD,进而根据△ABC∽△EBD ,即可求出案。 (3)如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠EAB=90,∠EBA=30°，连接BE,EA,ED,EC ,同(1)可得。BDEABCA,求出AE的长，进而得出D在以E为圆心，8W5为半径的圆上运动，当点 3 本E,D三点共线时，AD的值最大，进而求得cos∠BDA=D-4N万， ♪D,sn∠BDA=三一，根据 BD 7 △ABC∽△EBD得出LBDE=LBCA,过点A作AF⊥BC于点F,由直角三角形的性质分别求得AF,CF, 然后求出BF,最后根据正切的定义即可得出答案。 【详解】(1)解：在RtaBDC中，∠DBC=30°， 在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°， ∴△ABEn△CBD, ∠DBC=∠EBA, AB BE BC BD' ∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC, .∠DBE=∠CBA, ∴△ABCn△EBD, ACAB ·DEBE 29/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△ABE中 BE=AB·cOS∠ABE= -AB, AC AB AB 25 DE BE AB 3, 2 ..DE= 2 -AC, 故答案为：DE=V5 (2)解：在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°，AB=8, AE=4B.sin∠EBA=AB=4,∠BAE=60°， 延长DE交AB于点F,如图所示， D E C.EF-AESi Bx F-E2 B A .BF=AB-AF=8-2=6, 由(1)可得DE=5 AC, DE= -AC=23, :DF DE+EF=43, 在RtaBFD中，BD=VBF2+DF2=2V21, 由(1)知△ABCn△EBD, BC-AC-43_25 BD DE 6 3' ·BC= 23 ×221=4V7, 3 即BC=4V7: (3)解：如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠EAB=90°，∠EBA=30°，连接 BE,EA,ED,EC, 30/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 同(1)可得：△BDE∽△BCA, DE BD 23 ·ACBC3 AC=4, DE=85 3 在RtaAEB中，an∠EBA=tan30°=5 AB=8.4E=AB.tan 2EB4-8x8 3 :D在以E为圆心8V5为半径的圆上运动， 3 当点A,E,D三点共线时，AD的值最大， 此时如图所示，则AD=AB+DE=16V5 3 B 在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD2 82+ 16V3 8v21 3 3 163 BD 8VT-,sin 2BD4-4B=8 1 Cos /BDA=AD 3 2v7 BD8217 3 :∠BEA=60°， ∠BED=120°， ,△ABCn△EBD, 31/71 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBDE=∠BCA, 过点A作AF⊥BC交于F, D e1C8c1=429-8y,r-ACsBC4 7 A 在Rt△DBC中，LBCD=90°，∠DBC=30°， BC=Bpxcos∠DBC=BDx5-5x4yZ=4W万， 2-23 BF=BC-CF=4820 7 7 在Rt△AFB中， 4v21 AF 5 tan∠CBA= 7 BE 20W7 5 7 32/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 03压轴强化训练 1.(2025江苏连云港.中考真题)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB, BE⊥AD,E为垂足，则4D 的值为() BE A.25 B.73 c. D.83 3 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设BC=x,根据含 30度的直角三角形的性质，得到AB=2x,AC=√5x,根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于 长边比，剂指需G:进而求出CD的长，匀服定里我出D的长，等角的弦值村等，待到C”.上 BD AB 求出BE的长，进而求出 BE的长即可 【详解】解：：∠ACB=90°，∠CAB=30°， .AB=2BC,AC=3BC, 设BC=x,则：AB=2x,AC=√5x, :AD平分∠CAB,∠ACB=90°， :点D到AC,AB的距离相等均为CD的长，LCAD=LBAD, 1 AC.CD CD SABD 2 AB.CD BD :CD_AC BDAB2 3 CD 2+58C-(25-3x, :AD=AC+CD:=(32-6x. :BE⊥AD,∠CAD=∠BAD, .sin∠CAD=sin ZBAD, 33/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD BE BE 23-3 AD 2.x3√2-√6 6-√2 .BE= 2 AD (32-6)x BE √6-√2】 -25 2 故选：A. 2.(2025江苏苏州中考真题)如图，在四边形ABCD中，BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的O0经 过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE. D (1)求证：BC为O0的切线： 2)若AB=10,sin∠AED=i0 求BE的长. 10 【答案】(1)详见解析 2)BE=3v10 【分析】(1)只要证明∠CBA=90°，即可证明BC为00的切线： (2)过点D作DF1BC,垂足为F,在△ABD中，LADB=90,AB=0,sin∠ABD= 10 ,求得 AD=1,BD=3,在BDF中，∠BFD=90°，BD=3,sin∠BDF=0,求得BF=30 再根据圆内 10 10 接四边形的性质结合等边对等角求得∠CEB=∠C,据此求解即可. 【详解】(1)证明：：BD=CD, .ZC=ZDBC 又：∠C=∠BAD, .∠BAD=∠DBC, :AB为OO的直径， .∠ADB=90°， .∠BAD+∠DBA=90°， 34/71 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DBC+∠DBA=90°，即∠CBA=90°， AB⊥BC, BC为OO的切线； (2)解：如图，过点D作DF⊥BC,垂足为F, AD=AD' ∠ABD=∠AED, ÷sin∠ABD=sin∠AED=io 10 :△ABD中，∠ADB=90°，AB=10,sin∠ABD= V10 10 .AD=1, BD=3, :DF⊥BC,AB⊥BC, DF∥AB, .∠BDF=∠ABD, .sin∠BDF=sin∠ABD= 10 10 :BDF中，∠BFD=90°，BD=3,sin∠BDF= 0 10 ·BF=30 10 :BD=CD,DF⊥BC, BC=2BF= 310 5 :四边形ABED内接于OO, ∠DAB+∠BED=180°， :∠C=LBAD, ∴∠CEB=LC, 35/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE=BC=310 【点晴】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用.正确引出辅 助线解决问题是解题的关键， 3.(2025江苏连云港.中考真题)已知AD是ABC的高，⊙0是ABC的外接圆。 O. D D 图1 图2 图3 (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； 2)如图2，若⊙0的半径为R,求证：R=4C,B 2AD (3)如图3，延长AD交⊙0于点E,过点E的切线交0C的延长线于点F,若BC=7,AD=3√5， LACB=60°，求CF的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3CF=29 3 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌 握以上知识是解题的关键； (1)分别作AB,BC的垂直平分线交于点0，以OA为半径作圆，即可求解. (2)作OO的直径AM,连接BM，证明△ABM∽△ADC,根据相似三角形的性质，即可求解； (3)连接OE,根据EF为O0的切线，得出∠0EF=90°，进而证明△OEC是等边三角形，得出 CE=CF=R,在RIADC,R1HBD中分别求得AB,4C,根据(2)的结论求得R=29,即可求解. 3 【详解】(1)解：如图所示， 36/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 (2)解：如图2，作O0的直径AM,连接BM, O+ B D M 图2 .∠ABM=90°，AM=2R, :AD是ABC的高， .∠ADC=90°. :∠ACB=∠AMB, .△ABM∽△ADC. 4DAC,即2R AB AM AD AC R=AB.AC 2AD (3)如图3，连接OE, 4 O. B D F 图3 37/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EF为OO的切线， ∴.∠0EF=90°. :∠ACB=60°，∠ADC=90°， ∴∠DAC=30°， ∠E0C=60°，∠F=30°. :0E=0C, ∴.△0EC是等边三角形，∠0EC=∠0CE=60°， ∴.∠CEF=30°，∠CEF=∠F, ..CE=CF=R. 在Ra4DC中，4D=3V5,∠ACB=60°，an60=4D_3V5 CD CD CD=3,BD=BC-CD=7-3=4, 在Rt△ACD中，AC=√AD2+CD2 V35+32=6, 在R△ABD中，AB=VAD2+BD=42+(3V5=V4丽， 代入R=AB:AC 2AD 得R=29 3 即cF=129 3 4.(2025江苏苏州.中考真题)两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC=90°，AB=40m ,BC=30m,直线BD为生产流水线，且BD平分ABC的面积（即D为AC中点），机器人甲从点A出发， 沿A→B的方向以y(m/m)的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿 B→C→D的方向以'，(m/mi)的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发，设机器 人运动的时间为t(min),记点P到BD的距离（即垂线段PP'的长）为d,(m),点Q到BD的距离（即垂线 段Qg的长)为d,(m).当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d,-7.5m,d2与t的 部分对应数值如下表(4<12)： t(min) 0 5.5 d2(m) 0 16 16 0 38/71 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D d 甲 备用图 (1)机器人乙运动的路线长为 m; (2)求12-41的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d=d2)时，求t的值. 【答案】(1)55 e 6 31=24或1=48 11 11 【分析】(1)利用勾股定理求解即可； (2)利用直角三角形斜边中线的性质求得BD=CD=AD=25,得到∠ABD=∠BAC,LDBC=∠C,推出 3 &血∠D=sm∠BC-sin /DBC=smC{,分当点Q在BC上和点Q在CD上时，两种情流时跑 6,据此求解即可， 23 分别求得t=2,t= (3)根据题意求得d,=24-3t,分当点Q在BC上和点Q在CD上时两种情况讨论，列式一元一次方程方 程，求解即可 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，AB=40m,BC=30m, AC=√302+402=50m, :D为AC中点， :CD=4C=25m, :BC+CD=30+25=55m, ∴机器人乙运动的路线长为55m, 故答案为：55； 55 2心解：根据题意，得。10 :ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点， 39/71 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BD=CD=AD=25, ∴∠ABD=∠BAC,∠DBC=∠C, sn∠MBD=sm∠BAC=3,sm∠DiC=snC=4 当点Q在BC上时，d,=BQ.sin∠DBC=10e×号=8， 81=16,解得4=2， 当点Q在CD上时，作AH⊥BD,垂足为H(如图)， d Q B 则AH=AB:sin∠ABD=40x3 =24. ∠CDB=∠ADH, sin∠CDB=sin∠ADH= 24 25 2426448 d2=QD.sin∠CDB=(55-10t)× 25551, :26448 555=16, 解得5=23 6 864-23 2=1 6 6 (3)解：当t=5.5时，d1=7.5, 此时，BP= Pp=75=12.5 in∠ABD3 5 AP=AB-BP=40-12.5=27.5, AP27.5 y= 5.55.5 =5, 4=Psn乙48D=40-到×g24-. 当点Q在BC上时，由d=d2,得24-31=81， 40/71 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得1=24 1 当点0在CD上时，由d=d,得24-3=264_48 t, 55 解得1=8 11 24或t 48 .t= 11 11 【点晴】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件 5.(2025江苏南京.一模)如图①，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF;如图②，展开纸片，连接 BD,EC交于点G:如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH,则4D () AB E D D H ① ② ③ A.2 B.√2 D.√5 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据折叠得到AE=DE=】AD, 证明△DEG∽△BCG,得到BG=2DG,折叠推出AH垂直平分BG,设BP=PG=DG=m,同角的余角相 高得到480：P0.进而有到品部治证行术解球可。 【详解】解：折叠可知：E=DE=4D,设AH交BD于点P, E D :矩形ABCD, .AD=BC,AD‖BC,∠BAD=90°， .△DEG∽△BCG, 41/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DG DEDE 1 BG BC AD2' ∴BG=2DG, :翻折， ·AH垂直平分BG, :BP=PG=BG=DG,∠APB=∠APD=90°， 设BP=PG=DG=m,则：DP=PG+DG=2m, :∠ABD=∠PAD=90°-∠ADB, .tan∠ABD=tan∠PAD, AP DP AD BPAP AB :AP2 BP.DP=2m2, :AP=√2m(负值舍去)， AD DP 2m =V2; ABAP√2m 故选B 徐州模拟预测)如图，在40B中，L40B=90°，an∠ABC3,00 AB与OO相切，过点C作DC⊥OB,交AB于点D,M是边OA上一动点，则当△MCD的周长最小时， tan/MC0的值为() D M A.V2 B.V10-1 c.10-2 D.2 4 6 3 6 【答案】B 【分析】如图，延长CO交⊙O于点E,连接ED,交AO于点M,此时△MCD周长最小.设OM=x, OC=r,证明△EOM∽△ECD得到CD=2x,由正切定义和勾股定理求得BC=3CD=6x,BD=2W10x,根 据切线性质得∠0FB=90°=∠DCB,证明*BCDBF0,利用相似三角形的性质求得上-i0-,进而可 6 求解。 42/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长CO交⊙0于点E,连接ED,交AO于点M, :∠A0B=90°，0E=0C, .OA垂直平分CE,则EM=CM, ∴.CM+MD=EM+MD=DE,此时△MCD周长最小 设0M=x,OC=r, :DC⊥0B,∠A0B=90°， ∠E0M=∠ECD=90°，又∠OEM=∠CED, .△EOM∽△ECD, OM OE 1 CD CE2 .CD=20M=2x, .tan∠ABC= 1 CD 3 BC .BC 3CD=6x,BD =CD:+BC2=210x, 设AB于O0相切于点F,连接OF, 则∠0FB=90°=∠DCB,又∠B=∠B, .△BCD∽△BFO, :CD、BD OF-08 即2x-20x r r+6x 解得x=10-1 6 ÷tanZMCO= 0M-x-0-1 OC r 6 故选：B 【点晴】本题考查了切线的性质、轴对称求最短路线、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等问题， 解题的关键在于正确找到M点位置 7.(2025江苏南京一模)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE LAB于点E且 DE交4C于点F,DB交AC于点G,若F=3,则CG AE 4 GB 43/71 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C D A E 0 B 【答案】 5 【分析】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.由AB是直径，推出∠ADB=90°，设EF=3k,AE=4k,则 AF=DF=FG=5k,AG=10k,DE=8k,再求出DG、AG即可解决间题. 【详解】解：连接AD,BC, D :AB是半圆的直径， A E B :∠ADB=90°，又DE⊥AB, ,∠ADE=∠ABD, D是AC的中点， .∠DAC=∠ABD, ∴.∠ADE=∠DAC, :FA=FD; ∠ADE=∠DBC,LADE+LEDB=90°，∠DBC+LCGB=90°， ∠EDB=∠CGB, 又LDGF=LCGB, :∠EDB=LDGF, :FD FG, :FA=FD=FG, EF、 EEF-3k,AE-4k AF-DF-FG-5k.AG=10k.DE=8k, 在RtAADE中，AD=VDE2+AE2=45k, :AB是直径， 44/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADG=LGCB=90°， :∠AGD=LCGB, cos∠CGB=cos∠AGD, CG DG BG AG 在RtAADG中，DG=VAG2-AD2=2√5k, CG_DG25k5 BG AG 10k 5 故答案为： 5 5 8.(2025江苏常州.三模)如图，一副三角板ABC和DEF中， ∠ACB=LD=90°，LB=30°，∠E=45,BC=EF=8.将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相 交于点G(如图1)·现将aDEF绕点C(F)按顺时针方向旋转，边EF与AB相交于点H,连结DH,在旋 转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 C(F) B(E) D 【答案】8+16元 3π-8V5 【分析】将△DEF绕点C顺时针旋转60°得到△D,E,F,FE与AB交于G,连接DD,AD,△D,E,F是 △DEF旋转O°到6O°的过程中任意位置，作DN⊥CD,于N,过点B作BM⊥DD交DD的延长线于M,首 先证明△CDD是等边三角形，点D在直线AB上，然后可得线段DH扫过的面积是弓形D,D,D的面积加上 △D,DB的面积，求出DN和BM,然后根据线段DH扫过的面积=S号形DD,D+SD,DB=S扇形cD,D-ScD,D+S,D,DB列 式计算即可， 【详解】解：如图，将aDEF绕点C顺时针旋转60°得到△D,E,F,FE与AB交于G,连接DD,AD, 由旋转的性质得，∠E,CB=∠DCD,=60°，CD=CD, :.△CD,D是等边三角形， ∠ABC=30°， .∠CG,B=90°， 45/71 0学科网·上好课 ww ，zxxk.com 上好每一堂课 $$C G _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } B C ，$$ $$C E _ { 1 } = B C ，$$ $$\therefore C G _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } C E _ { 1 } ，$$ 即AB垂直平分 $$C E _ { 1 }$$ $$\overrightarrow { 1 } ，$$ $$\triangle C D _ { 1 } E _ { 1 }$$ 是等腰直角三角形， $$D _ { 1 }$$ 在直线AB上， $$\triangle { D _ { 2 } } { E _ { 2 } } F$$ 是 △DEF 旋转 $$0 ^ { \circ }$$ 到 $$6 0 ^ { \circ }$$ 的过程中任意位置， 则线段DH扫过的面积是弓形 $$D _ { 1 } D _ { 2 } D$$ 的面积加上 $$\triangle { D _ { 1 } } D B$$ 的面积， BC=EF=8， $$\therefore D C = D B = \frac { \sqrt 2 } { 2 } B C = 4 \sqrt 2 ，$$ $$D _ { 1 } C = D _ { 1 } D = 4 \sqrt 2 ，$$ 作 $$D N \bot C D _ { 1 } 千 N ，$$ 则 $$N D _ { 1 } = N C = 2 \sqrt 2 ，$$ $$D N = \sqrt { D _ { 1 } D ^ { 2 } - N D _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { \left( 4 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } - \left( 2 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } } = 2 \sqrt 6 ，$$ 过点B作 $$B M \bot { D _ { 1 } } D$$ 交 $$D _ { 1 } D$$ 的延长线于M 则 $$\angle M = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\because \angle D _ { 1 } D C = 6 0 ^ { \circ } ， \angle C D B = 9 0 ^ { \circ }$$ $$\therefore \angle B D M = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle D _ { 1 } D C - \angle C D B = 3 0 ^ { \circ }$$ $$\therefore B M = \frac { 1 } { 2 } B D = 2 \sqrt 2 ，$$ ∴线段DH扫过的面积 $$= S _ { 5 } F D _ { 1 } D _ { 2 } D + S _ { \triangle { D _ { 1 } } D B }$$ $$= S _ { } C O _ { 1 } D - S _ { \triangle A C D _ { 1 } D } + S _ { \triangle D _ { 1 } D B }$$ $$= \frac { 6 0 \pi \cdot \left( 4 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } } { 3 6 0 } - \frac { 1 } { 2 } \times 4 \sqrt 2 \times 2 \sqrt 6 + \frac { 1 } { 2 } \times 4 \sqrt 2 \times 2 \sqrt 2$$ $$= 8 + \frac { 1 6 } { 3 } \pi - 8 \sqrt 3 ，$$ 46/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：8+ 3π-8V5 1 C(F) D B(E) D. D E 【点晴】本题主要考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等 边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点D在直线AB上是本题的突 破点，灵活运用各知识点是解题的关键， 9.(2025江苏宿迁模拟预测)如图①，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF;如图②，展开纸片，连接 BD,EC交于点G;如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH,则tan∠ABD的 值为 E E F ⊙ ① ② ③ 【答案】√2 【分析】由图①、图②，根据折叠的性质得AE=DE,在图③中，设AH交BD于点P,延长CG交AD于点 E,南矩形的性质得4D=BC,则DE=方4D-号8C,可证明△DEG△BCG,得GC-) BGBC2,则 DG=BG,因为AB垂直平分8G,所以G=P9BG,则DG=PG=PB,设DG=PG=PB=,则 PD=2m,由把路mABD=m0=设，得P:P0P8:2,则PA=m:求符0路5， AB=PB 于是得到问题的答案。 【详解】解：由图①、图②，根据折叠的性质得AE=DE, 如图③，设AH交BD于点P,延长CG交AD于点E,则AE=DE, :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AD=BC,∠BAD=90°， 47/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE-TAD-BC 1 2 :DE∥BC, :△DEG∽△BCG, DG DE 1 BG BC2 DG80. :沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH, ·点G与点B关于直线AH对称， :AB垂直平分BG, ∠APB=∠DPMA=90PG=PB=2BG, .DG=PG=PB, ·设DG=PG=PB=m,则PD=2m, :LABD=∠PAD=90°-∠ADB, 4D-PA-tan∠ABD=tan∠PAD=PD AB PB PA PA2=PD·PB=2m2,. ∴PA=√2m或PA=-√2m(不符合题意，舍去)， tan LA8D-4D4m AB PB m 故答案为：√2， 【点晴】本题重点考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质， 推导出DG=BG是解题的关键. 10.(2025-江苏扬州，二模)如图，∠ACB=60°，⊙0的半径为3且与∠ACB两边都相切，点P为圆上一 动点，分别作PM⊥CA,PN⊥CB,令S=PM+2PN,则S的最大值与最小值的差为 B 【答案】65 48/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先证明PM+2PV=2 2PM+PN 作M上PN,从而可利用三角函数证得P=)P/,进面 证明PN+一PM=NH,得出当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，分别画出图形确定HN的最大值 和最小值，从而得出S的最大值与最小值的差 【详解】解：作MH⊥NB于H,作MF⊥BC于F, A :PM⊥AC,PN⊥CB, B ∠PMC=∠PNC=90°， .∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°， ∴.∠MPH=180°-∠MPN=60°， HP=PM cos∠MPH=PM cos60°=IPM, :PN+-PM PN+HP=NH ) :MH⊥HN,MF⊥FN,FH⊥HN, .四边形MFNH是矩形， :MF =NH, :当MP与OO相切时，MF取得最大和最小， 如图1， M -TH 图1 连接OP,0G,0C, :MP与O0相切，MG与O0相切，PM⊥CA,G0=OP, 49/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形oPMG是正方形， .MG=0P=3, :⊙0的半径为3且与∠ACB两边都相切， ∴.OC平分∠MCN, :∠ACB=60°， 20CG=)∠ACB=30P ∴在RtaC0G中，∠C0G=90-∠0CG=60°， CG=0Gtan∠C0G=0G.tan60°=35， .CM=CG+GM=3+33, 在Rt△CMF中， MF-CM sin Z4CB-(3+3)x+9 2 2 ∴.HN=MF= 3V3+9 2 Pw+2Pw-2gw+PW-2w-35+9 如图2， :CG=3V5,MG=2, B 图2 .CM=3V3-3, HM=35-3)x5_9-3V5 221 :PM+2PN-2(PM+PN)=2HV-9-35. .9-3V5≤PM+2PN≤9+3V5. S=PM +2PN, :S的最大值为9+35与最小值为9-3√5 50/71 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :S的最大值与最小值的差为9+3V5-(9-35=65 故答案为：65。 【点晴】本题考查了解直角三角形的相关计算，切线的性质定理，正方形的性质与判定，三角形内角和定 理等知识点，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解。 11.（2025江苏苏州一模)如图，在ABC中，LB=90°，以AB为直径的O0与AC交于点D,连接 0C0D,若m1-子，则s加∠coD的值为 B 【答案】16 5 【分折】木题考查解直角三角形，垂径定惠，过点0作0E14D,过点D作0P10C,根据m4子，设 BC=2x,AB=3x,进而求出半径的长，勾股定理求出OC的长，垂径定理求出OE,AE的长，进而求出AD的 长，等积法求出DF的长，再利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：过点O作OE⊥AD,过点D作DF⊥OC, 2 :LB=90°，tanA= 3 .BC 2 AB-3' 设BC=2x,AB=3x, 3 ∴.OA=OB=OD= , B0C=0B2+BC2=3x, OE⊥AD, AD=2AE,tan∠OAE=OE=2 .设OE=2a,AE=3a, 51/71 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O4=VOE+AE=13a=3x a=31 -x, 26 0E=2a=33 x,AE=3a= 9√13 -x, 13 26 ÷AD=2AE= 913 x 13 S.ABC =S.o8c+S.AOD+S.COD A8-8C=0B-8C+40-0B+0C-DF,即：2x3x=-2x+9Ex3Ex+2-DF, 13 13 24 .DF= X, 65 24 ÷sin∠coD=DF_ x16 OD 3 65 B 故答案为： 16 6 12.(2025江苏宿迁·一模)矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E在边AB上运动，点A关于DE的对称 点为点F,点F到AB边的距离是点F到CD边距离的3倍，则tan∠AED的值为 【答案】5或3 3 3 【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出 △DFM∽△FEN,利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的 三角函数值求出∠FDM=30°，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出∠AED=LFED=30°即可求解. 【详解】解： EN 52/71 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图所示， 根据题意得，FN=3MF,MN=AD=4, 则MF=1,FN=3, 根据翻折的性质可得DF=AD=4,∠AED=∠FED,LDFE=∠A=90°， 在Rt△DMF中，由勾股定理得DM=√DF2-MF2=V16-1=√5， .∠EFN+∠DFM=90°，∠EFN+∠FEN=90°， :∠FEN=∠DFM, 又：∠DMF=∠FNE=90°， ∴△DFMAFEN, DF DM EF FN ∴.tan∠AED=tan∠FED= DF DM 15 ； EF FN 3 F N E B ②如图所示，FN=3FM，MN=AD=4, 则FM=2,FN=6, 在RIA DMF中，sin∠FDM=FM_L, DF 2 ∠FDM=30°， :DC∥AB, ∴.∠MDE=∠AED, 又：∠AED=∠FED, .∠MDE=∠FED, ∠MDE+∠FED=90°-∠MDF=60°， .∠AED=∠FED=30°， tan∠AED= 3 综上，an∠AED=M5或an∠AED=5 3 53/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【点晴】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数 比等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并根据题意构造出图形进行求解。 13.(2025江苏连云港二模)在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行 现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最 左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF=∠GHK=∠NMR=I5°，最右侧书的一角S恰好 落在格挡边沿.若已知书的高度AB=26cm,宽BC=4cm,解决下列问题： 4 D 图1 图2 (1)图中∠HKF的度数为°： (2)求FK的长（精确到0.1cm); (3)请直接写出格挡的宽度BT的大小（精确到1cm)(参考数据：si15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27,3≈1.73，√2≈1.41) 【答案】(1)60 (211.1cm (3)37cm 【分析】(1)延长HG交BT于点X,易得∠GXF=∠EFC=75°，则减去∠GHK的度数即为∠HKF的度数； (2)延长NK交G于点Y,根据15的余弦值可得FX的长度，根据15°的正切值可得YK的值，则KX=KY, 加上FX的长度即为FK的长度； (3)延长MN,SR交于点Z,作ZA⊥BT于点A,分别求出CF,KC,CA,A,R,RT的长度，再加 上BC和FK的长度，即为BT的大小. 【详解】(1)解：延长HG交BT于点X, G N BC F X K RT 由题意得：∠ECF=90°、EF∥HG, 54/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CEF=15 ∠EFC=90°-15°=75° :∠HXF=∠EFC=75 :∠GHK=15°、∠HXF是△HXK的外角 :∠HXF=∠GHK+∠HKF ∠HKF=75°-15°=60° 故答案为：60； (2)解：延长NK交G于点Y, MA D .∠HKY=90°， BCFX.·K :∠FGX=90°、FG=4cm、HK=26cm 由(1)知，∠HXF=75 :∠KXY=75° ∠GFX=90°-75°=15° .FX=FG4 cos15°0.97 ≈4.12cm :∠GHK=15 .YK=HK,tan15°=26x0.27≈7.02cm ∠Y=90°-15°=75° ∠Y=LHXF=∠KXY .XK =YK =7.02cm FK=FX+XK=4.12+7.02≈11.lcm FK的长约为11.lcm: (3)解：延长MN,SR交于点Z,MN与KR于点G, 55/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠KNZ=∠MRZ=90° B C FX.KCRT 1 由(1)知∠HKF=60° :∠NKT=∠XKY=90°-60°=30°、KN=BC=4cm ∠KCM=90°-30°=60° ∴KC,=KW=48V5 ≈4.62cm cos30°√33 2 :∠NMR=15° ∠MRC1=60°-15°=45 :∠MRC,+∠MRT+∠SRT=180° ∠SRT=180°-90°-45°=45° .∠KRZ=∠SRT=45o 作ZA⊥BT于点A,则∠ZA,C1=∠ZA,R=90° ∠AZR=90°-45°=45° :A Z=A R 根据题意可得ZR=YK=7.02cm 在Rt△ZA,R中，由勾股定理得：A,Z2+A,R2=ZR2 42=4R-141 ZR7.02 4.98cm :∠A,C,Z=∠KCM=60° 4C=42=498、49 an60-√51.73 ≈2.89cm SR =4cm 44 ..RT=- 214 ≈2.84cm 由题意得：EF=26cm,∠ECF=90° :∠CEF=15 .CF=EF.sinl5°≈26x0.26≈6.8cm 56/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BT=4+6.8+11.1+4.62+2.89+4.98+2.84≈37cm .BT的长约为37cm, 【点晴】本题考查解直角三角形的应用，利用所给长度的线段和角度构造合适的直角三角形是解题的关键 14.(2025江苏苏州一模)如图，ABC中，D为BC上一点，∠CAD=LABC,⊙0是△ABD的外接圆， AE为OO的直径，连接DE. (1)求证AC为⊙0的切线： 2)若⊙0的直径AE=8N7,cosB= 4cos∠ADB=V ,求AC的长 4 【答案】(1)见解析 (2)AC的长为28 【分析】(1)由直径所对圆周角为直角可知∠E+∠EAD=90°，根据圆周角定理可知∠B=∠E,结合 ∠CAD=∠ABC,可知LCAD+∠EAD=90°，进而证明结论； 2》由G1)可知cos∠AED=os∠A8D-子，进而解直角三角形求得DE=6N5,4D=14,连接BE,由圆 周角定理可知co∠AEB-ca∠AD8,,进而解直角三角形求科BE=2厅。B=14反，过点A作 AF1BC于F,则DP=75,BF.21 2 2 ,得BD=BF+DF=14N2,再证△CADn△CBA,得 CBC4BM2,设CD=r,则4AC=2x,根据CA-C CA CD AD 1 CB CA ,列方程即可求解4C=V2x=28. 【详解】(1)证明：：AE为⊙0的直径， ∴∠EDA=90°，则∠E+∠EAD=90°， AD=AD' ∠B=∠E, 又：∠CAD=LABC, ∴∠CAD=∠E,则LCAD+∠EAD=90°， AE⊥AC, AC为O0的切线： (2)解：由(1)可知∠ABD=∠AED,∠EDA=90°， 57/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Cos∠AED=cos LABD=3 4 :AE=87, DE=AE·cosE=67,则AD=√AE2-DE=14, 连接BE, :AE为OO的直径， ∠ABE=90°， AB=AB ∠AEB=∠ADB,则eos∠ABB=cos∠ADB= 4 BE=AE.cos.∠AEB=2V14,则AB=VAE2-BE2=14V2, 过点A作AF L BC于F,则DF=AD-cos ZADB=)，BF=AB:cs∠ABD=21V2 2 BD=BF+DF=142, :∠CAD=∠ABC,∠C=∠C, .△CAD∽△CBA, 则C4=cD4D14.1 CB-CA BA14 设CD=x,则AC=√2x CA_CD 即CA=CD CB CA CD+BD CA' +142√2：解得：x=14V2, .1 2x X :AC=V2x=28. 【点晴】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知 识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键。 15.(2025江苏淮安.二模)在菱形ABCD中，AD=6,∠ADC=60°，点E在DC边上，将ADE沿AE折 叠到△AFE上. 尝试： (1)如图1，过点D的直线DQ,交AF于点Q,交FE的延长线于点P,∠FQD=60°.显然，△PFQ是 58/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三角形（按边分类），若∠EDP=40°.则∠DAF=: 探究： (2)在(1)的条件下，当DE=2时，求DP和PQ的长； 操作： (3)把ADE沿AE折叠到△AFE的过程中，当点F落在DC上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出 折痕AE,并在AE上作一点K,使得直线BK平分四边形ABCE的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 拓展： (4)如图3，若DE=2,点G在AE的延长线上，AF=FG,FE的延长线交AD于点H.求DH的长. D E B A 图1 图2 图3 【答案】(1)等边，40；(2)DP= ,P0= 号：(3)见解析：(4)DH= 4 【分析】(1)根据折叠得出LAFE=∠ADC=60°，进而得出△PFQ是等边三角形，根据 ∠DAQ+∠ADQ=60°，∠ADQ+∠EDP=∠ADC=60°得出结果： 作D1于所设，可E得：DD40.从面0答-后-片从面考出 AQ=3DP=3a,可表示出PQ,DQ,DW,WQ,AW,根据AW2+DW2=AD2列出方程，从而得出a 的值，进一步得出结果； (3)作CD的垂直平分线交CD于E,则AE就是求作的折痕，在AE上截取AH=CE,作HE的中点K, 连接BK,则BK平分四边形ABCE的周长； (4)作AW⊥GF,交GF的延长线于W,作EV⊥AD于'，可得出tanG=tan /DAE,设AW=V3m, GP=5m，在RIVAFW中，由勾股定理得列出关于m的方程，求得m的值，从而求得AM=5V5, 7 Fm=5m-6=3,从而得出an∠DAF=an∠AFM=4亚=55，作HR上AF于R,从而得出 7 -FW11 tan∠DAF HR_5V5,设HR=5N5n,AR=1ln,从而得出FR= HR 53n =5n,根据 AR 11 tan∠FE tan60° AR+FR=AF得5n+11n=6,求得n的值，进一步得出结果. 59/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：ADE沿AE折叠到△AFE, ∴∠AFE=∠ADC=60°， :∠FQD=60°， ∴△PFQ是等边三角形， ∠DQF=60°， .∠DAQ+∠ADQ=60°， :∠ADQ+∠EDP=∠ADC=60°， ∴.∠DAF=∠EDP=40°， 故答案为：等边；40°， (2)如图1， D E B 图1 作DW⊥AF于W, 设DP=a, 由(1)知，∠EDP=∠DAQ,∠FPQ=∠PQF=60°， 180°-∠FPQ=180°-∠PQF, ∠DPE=∠AQD, .△EDP△DAO, DP DE 2 1 AQ AD63' .AO=3DP=3a, ∴.PQ=FQ=AF-AQ=6-3a, .DO=DP+PO=a=6-3a=6-2a, :.DW=DO-sin /POF=3(3-a).wo=ID0=3-a. .AW=A0+WO=3a+3-a=2a+3, 由勾股定理得，AW2+DW2=AD2, (2a+3)2+[V5(3-a=62, 60/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .a1= 74,=0(舍去)， 0p-9P0=6-3x 624 77 (3)如图， E CF) Hi 图2 :ADE沿AE折叠到△AFE, AD=AF,DE EF, :点F在DC上， AE⊥CD, 连接AC, :四边形ABCD是菱形， .AD=CD, :∠ADC=60°， :△ACD是等边三角形， .AC=AD, .AC=AF, 点F在点C处， 作CD的垂直平分线交CD于E,则AE就是求作的折痕， 在AE上截取AH=CE,作HE的中点K,连接BK,则BK平分四边形ABCE的周长，理由如下： AH=CE,HK=EK, .AK CE +EK 又AB=BC, 61/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BK平分四边形ABCE的周长； (4)如图3， G D E W B 图3 作AW⊥GF,交GF的延长线于W,作EV⊥AD于V, :∠ADC=60°，DE=2, ∴DV=2c0s60°=1，EV=2sin60°=√5， ta∠DAE=Eg-5 FG=AF, .LG=∠FAG, 由折叠得，∠FAG=∠DAE, .ZG ZDAE 3 .tanG=tan∠DAE= 5 :AW-5 GW-5 设AW=V3m,GW=5m, .FW =GW FG =5m-6, 在Rt△AFW中，由勾股定理得AW2+FW2=AF2, (3m+(5m-62=62, 15 六m=气，m,=0（舍去)， :Am=15V5,Fw=5m-6=33 ÷tan∠DAF=tan∠AFM=A形_5v5 FW 11 作HR⊥AF于R, 62/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 tan∠DAF=HR_55 AR 11 设HR=5V3n,AR=11n, ·FR= HR 53n =5n, tan∠AFE tan60 由AR+FR=AF得5n+11n=6, n8 3 4h=r+㎡-+6w网=- :DH=AD-4H=6- 21_3 4=4 【点晴】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解决 问题的关键是作辅助线，构造直角三角形 16.(2025江苏常州三模)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD1AB,垂足为 D,点E是线段CD上一点（不与点C、D重合），连接AE并延长交BC于点F. (1)求CD的长： (2)若点F是BC的中点，求tan∠FAB的值； (3)若△CEF是等腰三角形，求CF的长 【答案】 24 3或号 4 【分析】(1)由勾股定理可得AB=10,再由三角形面积公式计算即可得解： ，证明 2)过点F作FP1AB于点P,则FP∥CD,证明FP是△BCD的中位线，得出PF=CD=2 。FP9:4C8、求出8P-号、从而可特P-号再由正切的定义即可得解， (3)分三种情况：当CE=CF时，过点F作FK⊥AB于点K;当CF=EF时，过点F作FM⊥AB于点M; 当CE=EF时，过点E作EN⊥AC于点N;分别利用相似三角形的性质求解即可. 63/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=V62+82=10, CD⊥AB, =LAC.BC=1AB-CD. 2 :CD=4C:BC=6x824 AB 10=5 (2)解：如图，过点F作FP⊥AB于点P, B 图1 :CD⊥AB, FP∥CD, :点F是BC的中点， BP BF DP CF =1, .BP=DP, FP是△BCD的中位线， r-0-号 2 :∠ACB=90°，FP⊥AB, ∠FPB=∠ACB=90°， :∠B=∠B, △FPB∽△ACB, BP FP BC AC' 128 六BP=FP,BC=5 16 -=1 AC 6 5 AP=AB-BP=10-16-34 Γ5=5' 64/71 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12 tan∠FAB= FP5_6 AP34179 U (3)解：：△CEF是等腰三角形， :当CE=CF时，过点F作FK⊥AB于点K, C D P 图2 则∠1=∠2=∠3， :∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴∠1+∠CAF=90°，∠3+∠DAF=90°， .∠3+∠DAF=90°， ·AF平分∠CAB, :∠ACB=90°，FK⊥AB, .CF=FK, 设CF=FK=a,则BF=BC-CF=8-a, :FK⊥AB,CD⊥AB, ∴.FK∥CD, △BFK∽aBCD, BF FK BC CD 8-a_a 8=24, 5 0=3, CF=3; 如图，当CF=EF时，过点F作FM⊥AB于点M, 65/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 D M B 图3 则∠1=∠2=∠3， :CD⊥AB, ∠1+∠B=90°，∠3+∠FAB=90°， ∠B=∠FAB, ∴△FAB是等腰三角形， :FM⊥AB, :BM AM -2AB-5. :∠FMB=∠ACB=90°，∠B=∠B, aFMB△ACB, BF BM AB BC :BF=AB.BM_10x5 25 BC 84 CF=BC-BF-8-4 25_7 如图，当CE=EF时，过点E作EN⊥AC于点N, 图4 则∠1=∠2， :∠ACB=90°， ∠ECA+∠1=90°，∠EAC+∠2=90°， ∠EAC=LECA, .CE=AE=EF, EN⊥AC, 66/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AN=CN=4C-3 EN是△ACF的中位线， .CF=2EN :∠B+∠1=90°， ∴∠B=LEAC, :∠ANE=∠ACB=90°， △ANE∽△BCA, EN AN AC BC :EN=4C·AW_6x39 BC =8=41 :CF-2EN= 9 达，若△CEF是等腰三角形，则CF的长是3或 【点晴】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线定理、等腰三角 形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键。 17.(2025江苏淮安模拟预测)【初步感知】如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当 ∠DPC=∠A=∠B时，求证：P=P BP BC 【探索发现】如图2，在ABC中，∠ABC=50°，AB=4,BC=3,点F是CB延长线上的一点，且 BF=BC,在FC下方作LCFG=LABC,将射线CA绕点C逆时针旋转130°，交射线FG于点G,求FG的 长 【尝试应用】如图3，在4BC中，∠A>∠C,E为4C边上一点，连接E,A8E=∠C,aC=子且 CE了求8C的能 AE 7 CE 【拓展提升】如图4，己知在菱形ABCD中，∠A=60°，点E在边AB上，且AE=mEB,连结CE交对角线 BD于F,点G在线段CF上，连结DG,GB,若LDGB=120°，GB=n,则DG=一·（用含有m、n 的式子表示) 67/71 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ☒2 图3 图4 【答关】初步感如：见解折：探索发现：PG=号：尝试应用：8C-8+y ；拓展提升：nVm+1 CE 3 【分析】初步感知：可证得∠ADP=∠PBC,进而证得△APD∽△BCP,从而得出结论； 深索发现：可证有C△CF6,从而8C一5进一步得出结果。 尝试应用：作AD⊥BC于D,设CE=3a,AE=7a,则AC=10a,可求得CD=8a,AD=6a,可证得 △ABE∽CFD,从而AB-=AE AC AB 从而表示出AB,进而表示出BD,进一步得出结果： 拓展提升：作GV∥BD,交CD于V,交BC于W,可证得aCGV∽△CFD,△CGW∽aCFB,从而得出 CV CW GV CG GW CD BC DF CF BF ,可证得aBEF∽aDCF,△BCD是等边三角形，从而BF=BE=BE。1 DF CD AB m+1 ,∠C08=∠CD=60,从而得8。∠0rG:L8G=130,C:CB,进证行 DGY6GBW,从而BC_GP-_B,进一步得出结果 DG DV VG 【详解】初步感知：证明：：∠DPC=∠A=∠B,LAPD+LADP=180°-LA,LAPD+∠BPC=180°-∠DPC, :ZADP=ZBPC, △APDABCP, ADAP BP BC 探索发现：解：：∠ABC=50°， ∠A+∠ACB=130°， :射线CA绕点C逆时针旋转130°，交射线FG于点G, .∠ACG=130°， .∠ACB+∠FCG=130°， ∴.∠A=∠FCG, :∠CFG=∠ABC, ∴.△ABC∽△CFG, 68/71 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FG CF BC AB' BF=BC=3, :CF=BC+BF=6, :AB=4, FG6 341 :FG=2 9 尝试应用：解：如图1，作AD1BC于D, E B D 图1 AE7 CE3' 设CE=3a,则AE=7a, .AC=AE+CE =10a, :tanC=4D、3 CD=4' .设AD=3b,则CD=4b, AC=VAD2+CD2=V3b)2+4b)2=5b=10a, ∴.b=2a CD=4b=4×2a=8a,AD=3b=3×2a=6a, :∠ABE=LC,∠BAC=∠EAB, △ABEAACB, AB AE AC AB .AB2 AE.AC=70a2, .BD=VAB2-AD2=V70a2-(6a)2=√34a, :BC=CD+BD=8+4a, 69/71 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC 8+34 CE 3 拓展提升：解：如图2， 图2 作GV∥BD,交CD于V,交BC于W, ACGVACFD,ACGWACFB, CV CW GV CG GW CD BC DF CF BF BF GW DF GV' :四边形ABCD是菱形， .CD∥AB,CD=AB=BC,∠BCD=∠A=60°， :△BEF∽△DCF,△BCD是等边三角形， BF BEBE DF CD AB ,∠CDB=∠CBD=60°， FAE=mEB,即BE=】 AE m BF BE BE 1 DF CD AB m+1 GW BF 1 GV DF m+1' GV∥BD, ∴.LCVW=∠CDB=60,∠CWV=∠CBD=60 ∴∠DG=∠BWG=I20°，C'=CW, ∠WBG+∠BGW=180°-∠BWG=60°，DV=BW, :∠DGB=120°， ∠BGW+LDG=60°， .∠DGV=∠WBG, △DGV∽aGBW, BG GW BW DG DV VG 70/71 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设GW=x,G∥=(m+1)x, DV BW, DV DV (m+1)x' .DV =Vm+1.x, GB=n, 小DGm+1x ∴.DG=nWm+1, 故答案为：n√m+l 【点晴】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，旋转 的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形， 71/71 专题05 解直角三角形综合问题 命题预测 江苏中考解直角三角形压轴，以锐角三角函数为核心，依托直角三角形、特殊角、仰俯角、坡度、方位角命题。常结合实际测量、几何图形、折叠动点考查，融合勾股、相似、方程计算，侧重边角转化、建模运算与分类讨论，综合应用性强。 高频考法 1.解直角三角形相关计算压轴（选填） 2.解直角三角形的应用压轴 3.解直角三角形与圆综合 4.解直角三角形与函数综合 5.解直角三角形与最值综合 6.解直角三角形中的旋转、翻折问题 典例·靶向·突破 题型01 解直角三角形相关计算压轴（选填） 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在四边形中，，，，则______． 题型02 解直角三角形的应用压轴 3．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 4．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 题型03 解直角三角形与圆综合 5．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 题型04 解直角三角形与函数综合 7．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 题型05 解直角三角形与最值综合 9．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 10．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，则线段长度的最小值是______． 题型06 解直角三角形中的旋转、翻折问题 11．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形边上，将沿翻折得到，、分别是和的内切圆圆心，交于点，若，，，则______． 12．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，，，为锐角，且． (1)如图1，求边上的高的长； (2)是边上的一动点，点，同时绕点按逆时针方向旋转得点，， ①如图2，当落在射线上时，求的长； ②当是直角三角形时，则的长为_____．（请直接写出答案） 13．（2025·江苏宿迁·三模）如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 5．（2025·江苏南京·一模）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（    ） A．2 B． C． D． 6．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点且交于点，交于点，若，则______． 8．（2025·江苏常州·三模）如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接，交于点；如图③，再沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕为，则的值为_____________． 10．（2025·江苏扬州·二模）如图，，的半径为3且与两边都相切，点P为圆上一动点，分别作，，令，则的最大值与最小值的差为______． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．若，则的值为______． 12．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为______． 13．（2025·江苏连云港·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 14．（2025·江苏苏州·一模）如图，中，D为上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证为的切线； (2)若⊙O的直径，求的长． 15．（2025·江苏淮安·二模）在菱形中，，，点E在边上，将沿折叠到上． 尝试： （1）如图1，过点D的直线，交于点Q，交的延长线于点P，．显然，是______三角形（按边分类），若．则______； 探究： （2）在（1）的条件下，当时，求和的长； 操作： （3）把沿折叠到的过程中，当点F落在上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出折痕，并在上作一点K，使得直线平分四边形的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 拓展： （4）如图3，若，点G在的延长线上，，的延长线交于点H．求的长． 16．（2025·江苏常州·三模）如图，已知中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的值； (3)若是等腰三角形，求的长． 17．（2025·江苏淮安·模拟预测）【初步感知】如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证： 【探索发现】如图2，在中，，，，点F是延长线上的一点，且，在下方作，将射线绕点C逆时针旋转，交射线于点G，求的长． 【尝试应用】如图3，在中，，E为边上一点，连接，，，且，求的值． 【拓展提升】如图4，已知在菱形中，，点E在边上，且，连结交对角线于F，点G在线段上，连结，若，，则______用含有m、n的式子表示 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $