精品解析：2026年辽宁省中考数学模拟试卷

2026年辽宁省中考数学模拟试卷 本试卷共 23道题 满分 120分 考试时间 120分钟 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了主视图的识别，熟练掌握主视图的定义（从正面观察几何体所得到的视图）是解题的关键．根据主视图的定义（从正面观察几何体得到的视图），分析图中模型的正面形状，判断各部分的投影． 【详解】解：该几何体的主视图是． 故选：B． 3. 哈尔滨工业大学与其他单位联合开发出直径为20微米（1微米米）仿水熊虫医用微纳机器人，那么20微米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可． 【详解】解：1微米米, 20微米米, 根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到2后面，动了有5位，从而用科学记数法表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键． 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； C．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； D．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故此选项结果错误，不符合题意； B、，故此选项结果错误，不符合题意； C、，故此选项结果错误，不符合题意； D、，故此选项结果正确，符合题意． 6. 如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凹透镜的折射后，折射光线， 的反向延长线交于主光轴 上一点 ．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】证明：∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∴． 7. 每年的3月14日是国际圆周率日，也是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转数独”“巧解鲁班锁”和“我爱魔方”四个挑战活动，若小红和小丽每人随机选择参加其中的一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图确定共有多少种可能结果以及满足题意的结果，最后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转数独”“巧解鲁班锁”和“我爱魔方”四个挑战活动分别记为A，B，C，D． 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中她们恰好选到同一个活动的结果有4种． ∴P(她们恰好选到同一个活动) 8. 有一张矩形纸片，已知，，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 9. 我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现有7 匹绢”可得；根据“1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺”以及“1匹丈，1丈尺”可得，即可列出方程组． 【详解】解：设卖掉x匹绢，剩余y匹绢， 根据题意，可列方程组为． 10. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设交于点H，由作图可得，，平分，根据菱形的判定证明四边形是菱形，则，，，在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点H． 由作图可得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】关于x轴对称的点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 13. 如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理求出的长，最后利用菱形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵M，N 分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴菱形的周长为． 14. 如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 【答案】13 【解析】 【分析】可证明，解求出的长，则可求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中， ∴， ， ∴； 在中，∵ ∴． 根据题意，得， ∴． 15. 如图，在中，，正方形的顶点 D，E，G 分别在边上，若 则正方形的边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于点H，证明，得到；求出，解直角三角形得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 三、解答题（本题共8小题，共 75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）解不等式组： （2）计算∶ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集； （2）先计算括号内的运算，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ． 17. 某商店购进A，B两种商品，已知A商品的单价比B商品的单价高10元．用900元购进A商品的数量和用600元购进B商品的数量相同．求A，B两种商品的单价． 【答案】A商品的单价为30元，B商品的单价为20元 【解析】 【分析】设B商品的单价为x元，则A商品的单价为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设B商品的单价为x元，则A商品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：A商品的单价为30元，B商品的单价为20元． 18. 暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； （2）本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ （3）通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 【答案】（1）20，88，图见解析 （2）90分 （3）乙班，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据90分以下的人数除以所占百分比求出抽取的学生人数，根据中位数的定义求出甲班学生的成绩的中位数，再求出甲班学生成绩为90分的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数的公式计算即可； （3）从平均分、中位数和最高分等角度分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：（名）， ∴本次考试一个班级抽取了20名学生； 将选取的甲班学生的成绩按从小到大排列，位于最中间的两个数据都是88， ∴中位数是（分）， 甲班学生成绩为90分的人数为， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（分）， 答：本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为90分； 【小问3详解】 解：该校选派乙班的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动，理由如下： ∵乙班和甲班的平均分相同，但乙班的中位数高于甲班，乙班的最高分高于甲班，有高分学生，可以争取单项奖， ∴该校选派乙班的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动．（答案不唯一） 19. 洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为元、元，与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求，与x之间的函数解析式； （2）若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】（1）， （2）在乙超市购买更划算 【解析】 【分析】（1）根据题意求出与x之间的函数解析式；结合图象，利用待定系数法求出与x之间的函数解析式； （2）代入到（1）中的函数解析式，求出对应和的值，比较二者的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 当时，设， 代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 代入和得，， 解得， ∴； ∴综上，，； 【小问2详解】 解：当时， ， ， ∵， ∴在乙超市购买更划算． 20. 如图，四边形是菱形，，点，双曲线经过点C，与边交于点 D． （1）求双曲线的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过点B作轴于点E．根据菱形的性质、等边对等角以及相关已知条件可得，利用勾股定理可得，进而得到，即；再结合图形确定，然后代入解析式求得k的值即可； （2）如图，过点D作轴于点F．易得，设，则，即．代入函数解析式可求得n的值，即的长度，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点E． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴ ， 在中，根据勾股定理，得 ∴． ∴， ∴， ∴点C的横坐标为 ∴， 将点代入得： ∴双曲线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴于点F． ∴． ∴． 设，则． ∴． 将点代入得， 解得 (不合题意，舍去)． ∴， ． 21. 如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为6，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，则，由得到，得出，再根据圆周角定理得到，即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点D， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的半径为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 22. 【阅读理解】 利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，是等边内一点，， ，．求的度数． 为了利用已知条件，可以把绕点顺时针旋转得到，连接，则可求出的长为；在中，易证，且的度数为，综上可得的度数为． （1）请你写出推理过程； 【类比探究】 （2）如图2，是等腰内一点，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，点，分别在，上，，连接．将绕点逆时针旋转一周，当点，，在同一条直线上时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知是等边三角形，由等边三角形的性质知，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，继而可得答案． （2）如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，同理可得是等腰直角三角形和是直角三角形，进而可得； （3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长． 【小问1详解】 解∶由旋转的性质，得， ∴是等边三角形． ∴，， ∴是直角三角形，． 在中， ∴． ∴ 【小问2详解】 如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转的性质，得 ∴是等腰直角三角形． ∴． 在中，根据勾股定理，得 ∴是直角三角形，． 又， ∴是等腰直角三角形． 【小问3详解】 当点在线段上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接． ． ． ， ． ． 为等腰直角三角形． 在中，根据勾股定理，得 在中，根据勾股定理，得 ． 由旋转的性质，得，， ． 在中，根据勾股定理，得 在中，根据勾股定理，得 当点在线段上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接． 同理上种情况可得，，．，，，． ， 在中，根据勾股定理，得 在中，根据勾股定理，得 ． 综上所述，的长为或． 23. 在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． 【小问2详解】 解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年辽宁省中考数学模拟试卷 本试卷共 23道题 满分 120分 考试时间 120分钟 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 哈尔滨工业大学与其他单位联合开发出直径为20微米（1微米米）仿水熊虫医用微纳机器人，那么20微米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凹透镜的折射后，折射光线， 的反向延长线交于主光轴 上一点 ．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 每年的3月14日是国际圆周率日，也是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转数独”“巧解鲁班锁”和“我爱魔方”四个挑战活动，若小红和小丽每人随机选择参加其中的一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 有一张矩形纸片，已知，，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 15 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为___________． 13. 如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 14. 如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 15. 如图，在中，，正方形的顶点 D，E，G 分别在边上，若 则正方形的边长为_________． 三、解答题（本题共8小题，共 75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）解不等式组： （2）计算∶ 17. 某商店购进A，B两种商品，已知A商品的单价比B商品的单价高10元．用900元购进A商品的数量和用600元购进B商品的数量相同．求A，B两种商品的单价． 18. 暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； （2）本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ （3）通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 19. 洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为元、元，与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求，与x之间的函数解析式； （2）若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 20. 如图，四边形是菱形，，点，双曲线经过点C，与边交于点 D． （1）求双曲线的解析式； （2）连接，求的面积． 21. 如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为6，求的长． 22. 【阅读理解】 利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，是等边内一点，， ，．求的度数． 为了利用已知条件，可以把绕点顺时针旋转得到，连接，则可求出的长为；在中，易证，且的度数为，综上可得的度数为． （1）请你写出推理过程； 【类比探究】 （2）如图2，是等腰内一点，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，点，分别在，上，，连接．将绕点逆时针旋转一周，当点，，在同一条直线上时，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $