专项07 尺规作图与网格作图（大题专练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以“命题解码-解题建模-实战刷题”为框架，系统整合尺规作图基础技法与综合应用，通过分层训练提升几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题解码|命题趋势+2026预测|分析中考8-10分中档题命题逻辑，明确从基础作图到原理证明的梯度要求|以五大基本作图为核心，关联三角形、四边形、圆的性质应用，构建“操作-推理-探究”递进链条| |解题建模|4类题型+典型例题|提炼“基本作图规范+图形性质融合+痕迹保留”技法，强调无刻度直尺与圆规的规范操作|按“三角形/四边形→圆→网格→实际应用”分类，每种情境对应具体作图策略，突出原理溯源与逻辑严谨性| |实战刷题|精选中考大题+名校模拟题|通过变式训练强化作图依据说理、多方案设计及误差分析能力|结合动点、最短路径等综合情境，实现从单一作图到复杂问题解决的能力迁移，契合中考数形结合趋势|

专项07 尺规作图 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年江苏中考尺规作图固定为解答中档/次压轴大题，分值稳定8~10分。2024年侧重基础五大基本作图+三角形、简单圆的性质结合；2025年强化作图原理证明、复杂情境定点定位、尺规+几何计算、作图与几何证明深度融合。核心考点：五种基本尺规作图（作线段/角相等、作垂直平分线、作角平分线、过点作垂线）、作图痕迹保留、作图步骤还原、依据定理说理、图形性质综合计算 命题趋势：几何推理与作图实操深度绑定、无刻度限制逻辑作图、数形结合、多情况分类验证；从单一机械画图，转向原理溯源、逻辑说理、方案设计与思维严谨性考查；设问梯度清晰（固定2-3小问）：基础作图→推理证明→拓展计算/探究 2026年预测：仍为中考几何核心大题；重点考查限定条件创新尺规作图、结合三角形/四边形/圆的综合作图、动点背景定点作图、最短路径作图、特殊图形（等腰、直角、平行四边形）精准构造；强化作图背后几何依据、误差分析、多方案作图、最值类作图构造；全程注重逻辑严谨性、痕迹规范、分类讨论、几何转化与推理表达. 题型01 与三角形、四边形有关的尺规作图 析典例·建模型 1.（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 研考点·通技法 本题型以三角形、四边形为背景，考查尺规作图及简单几何推理，依托基础作图结合图形性质解题。 1.掌握五大基本作图：作等线段、等角、角平分线、线段垂直平分线、过点作垂线。 2.结合图形性质：利用三角形中线、高线、角平分线，以及四边形平行、垂直、对角线特征构思作图。 3.严格规范操作：只用无刻度直尺与圆规，保留全部作图圆弧痕迹，禁止徒手画图。 4.复杂图形分步画：先定关键点，再补全图形，分清作图要求。 5.作图后核对图形边角、位置关系，保证符合题意，规范标注字母。 易错点：擦除作图痕迹、混淆平分线作图方法、徒手画特殊线条、看错作图要求。 破类题·提能力 1．（2026·江苏镇江·模拟预测）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； (4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 2.（2026·江苏徐州·一模）如图，已知，．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (1)作的高，垂足为D； (2)在上求作点E，使． 3.（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点，使得点到的距离相等，且满足：（不写作法，保留作图痕迹） (2)设直线与交于，若，则的长为________．（如需草图，请用备用图） 4.（2025·江苏扬州·二模）【问题提出】已知线段，用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得． 【问题探究】如图1，在中，，在线段上求作一点，使得．以下是小明同学的作法：作的角平分线交于点，则点为所求作的点．你是否认同小明的作法？在图1中补全图形，说明理由．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【问题解决】请你借助以上方法，用无刻度直尺和圆规在图2的线段上作一点，使．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 5.（2026·江苏扬州·一模）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 6.（2025·江苏淮安·一模）如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图，在边上找一点，使得； (2)如图，在边上找一点，使得． 7.（2026·江苏常州·模拟预测）如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)如图1，与相交于点，则_________； (2)如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 8.（2025·江苏南京·模拟预测）（1）已知线段OM，，，用尺规作满足条件的点 （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形，请提供两种不同的作法． 题型02 与圆有关的尺规作图 析典例·建模型 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 研考点·通技法 此类题型围绕圆展开尺规作图，结合圆的性质、切线、圆心、圆弧、内接外切图形考查。 1.熟练基础作图，结合垂径、垂直平分线、角平分线找圆心、定半径。 2.找圆心：作弦的垂直平分线，交点即为圆心。 3.作切线：连半径、作垂直；或利用切点特征规范作图。 4.圆内接、外切图形作图，依托等弧、等弦、等角原理绘制。 5.严格使用尺规，保留圆弧痕迹，不徒手绘制，规范标注点线。 6.作图后结合圆的性质检验，确保位置、垂直、相等关系准确。 破类题·提能力 1.（2026·江苏南京·模拟预测）如图，已知点、在上和线段．用两种不同的方法在上作一点，使得．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 2.（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则________． 3.（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 4.（2026·江苏连云港·一模）如图，为的直径． (1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； (2)说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 5.（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 6.（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 题型03 网格中的尺规作图 析典例·建模型 1.（2026·江苏南通·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图并保留作图痕迹． (1)在图1中，点为线段与网格线的交点，在图中画出两格点，使为线段与网格线的交点，以为位似中心，把线段扩大为原来的2倍，画出对应线段． (2)在图2中，点为线段与网格线的交点，在线段上画点，使线段与线段平行，再在线段上画点，使． 研考点·通技法 此类网格尺规作图大题，依托方格特点，结合尺规操作与网格几何特征解题。 1.利用网格横竖线、格点、直角、等距特点，快速构造垂直、平行、相等线段。 2.结合勾股、格点距离，确定线段长短、角度关系，辅助作图。 3.熟练基本尺规操作：平分线段、平分角、作垂线、画等长线段，保留作图痕迹。 4.按要求作图形：角平分线、垂直平分线、高线、特殊三角形、阴影分割等。 5.严格规范：只用直尺圆规，保留圆弧，不徒手乱画，标点连线完整。 6.做完对照网格位置、边长、角度检验，保证图形准确合规。 易错点：遗漏作图痕迹、不会用格点构造垂直平行、作图超出要求、线条不规范。 破类题·提能力 1.（2026·江苏宿迁·模拟预测）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角； (2)在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线； (3)在图3中，每个小正方形的边长为1，借助于网格，或用尺规作图在边上求作一点F，使得． 2.（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 3.（2026·江苏苏州·模拟预测）图1~图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在格点上． (1)如图1，_____； (2)如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点，连接，，使得；嘉淇说：作点关于的对称点，连接与交于点…… 请根据嘉淇的方案在图2中画出点的位置，并判断是否可行，说明理由． (3)如图3，在上找一点（仅借助无刻度的直尺作图），使． 4.（2026·江苏南通·模拟预测）如图1、图2、图3均是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形： (2)在图2中，在边上确定一点，使得； (3)在图3中，在边上确定一点，在边上确定一点，连接，使垂直平分． 5.（2026·江苏宿迁·模拟预测）在正方形网格中，请你仅用无刻度直尺完成下列问题． 【理论依据】平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段长度相等，则这组平行线在其它直线上截得的线段长度也必然相等． 【模型感知】（1）如图1，在正方形网格中，点A、B、C、D、O都为网格线上的点，观察网格中横向的一组平行线，根据平行线等分线段定理可得，因此四边形为平行四边形，从而得； 如图2，在正方形网格中，点E、F、G、H、P 都为网格线上的点，观察网格中纵向的一组平行线，根据平行线等分线段定理可得____，，因此四边形_____为平行四边形，从而得； 【模型应用】（2）如图3，在正方形网格中，点A、B、C 都为网格线上的点，过点C画，使且； 【模型拓展】（3）如图4，在正方形网格中，线段是圆的一条弦，点A是格点，点B、C 是圆与网格线的交点，画弦，使． 题型04实际应用与综合探究中的尺规作图 析典例·建模型 1.（2026·江苏徐州·一模）月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，如图1，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代．但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计原理图，若月洞门所在圆与地面相切于点E，四边形是一个矩形； (1)已知月洞门所在的圆中，为横跨，长度为4，拱高为4，（D为中点，），则该月洞门所在圆的半径为 ． (2)上图是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．用无刻度直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） ①在图2中画出月洞门所在圆的圆心 ②记洞门的横跨为，拱高为a．利用截取等方法，仅用无刻度直尺和圆规在图3中作出月洞门的设计图 研考点·通技法 此类作图结合实际情境与综合探究，条件灵活、应用性强。 1.结合实际背景，读懂题意，明确作图目标与限制条件。 2.依托几何性质，搭配基础尺规作图，确定关键点、关键线。 3.综合运用垂直、平分、等距、对称等特征构思作图方案。 4.严格尺规规范，保留所有作图痕迹，不徒手画图。 5.分步作图，先定核心点线，再补全图形，简洁准确。 6.结合探究要求检验图形，贴合实际，符合题意。 易错点：审题不清画错图形、遗漏作图痕迹、忽略实际限制、作图逻辑混乱。 破类题·提能力 1.（2025·江苏南京·模拟预测）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且． （2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 2.（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 3.（2025·江苏无锡·二模）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 4.（2025·江苏扬州·二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 5.（2026·江苏盐城·模拟预测）在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美． 【基础探究】 (1)如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上． ①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分； ②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个． 【迁移应用】 受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？ (2)如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹） 【创新应用】 (3)某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植． ①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤： ②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项07 尺规作图 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年江苏中考尺规作图固定为解答中档/次压轴大题，分值稳定8~10分。2024年侧重基础五大基本作图+三角形、简单圆的性质结合；2025年强化作图原理证明、复杂情境定点定位、尺规+几何计算、作图与几何证明深度融合。核心考点：五种基本尺规作图（作线段/角相等、作垂直平分线、作角平分线、过点作垂线）、作图痕迹保留、作图步骤还原、依据定理说理、图形性质综合计算 命题趋势：几何推理与作图实操深度绑定、无刻度限制逻辑作图、数形结合、多情况分类验证；从单一机械画图，转向原理溯源、逻辑说理、方案设计与思维严谨性考查；设问梯度清晰（固定2-3小问）：基础作图→推理证明→拓展计算/探究 2026年预测：仍为中考几何核心大题；重点考查限定条件创新尺规作图、结合三角形/四边形/圆的综合作图、动点背景定点作图、最短路径作图、特殊图形（等腰、直角、平行四边形）精准构造；强化作图背后几何依据、误差分析、多方案作图、最值类作图构造；全程注重逻辑严谨性、痕迹规范、分类讨论、几何转化与推理表达. 题型01 与三角形、四边形有关的尺规作图 析典例·建模型 1.（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． （3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 研考点·通技法 本题型以三角形、四边形为背景，考查尺规作图及简单几何推理，依托基础作图结合图形性质解题。 1.掌握五大基本作图：作等线段、等角、角平分线、线段垂直平分线、过点作垂线。 2.结合图形性质：利用三角形中线、高线、角平分线，以及四边形平行、垂直、对角线特征构思作图。 3.严格规范操作：只用无刻度直尺与圆规，保留全部作图圆弧痕迹，禁止徒手画图。 4.复杂图形分步画：先定关键点，再补全图形，分清作图要求。 5.作图后核对图形边角、位置关系，保证符合题意，规范标注字母。 易错点：擦除作图痕迹、混淆平分线作图方法、徒手画特殊线条、看错作图要求。 破类题·提能力 1．（2026·江苏镇江·模拟预测）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； (4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据正方形的中心对称性作图即可； （2）根据菱形的性质和三角形中位线定理构造中点四边形，根据矩形的判定即可得到答案； （3）根据平行四边形的中心对称性构造平行四边形，即可得到答案； （4）根据菱形判定和性质、平行四边形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求， （2）四边形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，点G即为所求， 2.（2026·江苏徐州·一模）如图，已知，．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (1)作的高，垂足为D； (2)在上求作点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧与有两个交点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径画弧，两条弧交于点P，作射线交于点D，则即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点F，以点F为圆心，为半径作，交于点E，连接、，此时． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点E即为所求． 3.（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点，使得点到的距离相等，且满足：（不写作法，保留作图痕迹） (2)设直线与交于，若，则的长为________．（如需草图，请用备用图） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先作的角平分线，再过作角平分线的垂线即可. （2）如图2，记的交点为，连接，过作于，证明，可得，证明为等边三角形， ， 是的垂直平分线，可得，设，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）解：如图2，记的交点为，连接，过作于， 由作图可得：，，而， ∴， ∴， ∵，． ∴，为等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴. 4.（2025·江苏扬州·二模）【问题提出】已知线段，用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得． 【问题探究】如图1，在中，，在线段上求作一点，使得．以下是小明同学的作法：作的角平分线交于点，则点为所求作的点．你是否认同小明的作法？在图1中补全图形，说明理由．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【问题解决】请你借助以上方法，用无刻度直尺和圆规在图2的线段上作一点，使．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】问题探究：见解析；问题解决：见解析 【分析】问题探究：根据作一个角平分线的方法作图即可；过点B作，交的延长线于点Q，先证明，得出，即可得出，再证明，得出，即可证明结论； 问题解决：以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点G，连接、，作的平分线，交于点Q，作的平分线，交于点P，则点P即为所求作的点，先根据等边三角形性质，三角函数定义，证明，根据问题探究方法可得． 【详解】问题探究： 解：认同小明的作法，如图，点P即为所求作的点： 过点B作，交的延长线于点Q， 则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； 问题解决： 以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点G，连接、，作的平分线，交于点Q，作的平分线，交于点P，则点P即为所求作的点，如图所示： 根据作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据作图可知：平分，由问题探究可知，此时， 即． 5.（2026·江苏扬州·一模）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解，的长为1或6 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求；由对称性得，由矩形中得，从而； （2）分两种情况讨论：①在线段上取点，使得，可证明，均为等腰直角三角形，易得，即点符合题意；②在线段上取点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，即点符合题意． 【详解】（1）解：作点关于直线的对称点，连接，交于点，则点即为所求． 理由：由对称性， ∵， ； （2）解：∵四边形为矩形，， ∴，， 分两种情况讨论： ①在线段上取点，使得，如下图， 则此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点符合题意，此时； ②在线段上取点，使得，如下图， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点符合题意，此时． 综上所述，的长为1或6． 6.（2025·江苏淮安·一模）如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图，在边上找一点，使得； (2)如图，在边上找一点，使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的作法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）在的延长线上截取，可得，由可得，即可得，故点即为所求； （）作的垂直平分线，交于点，可得，即得，故点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 7.（2026·江苏常州·模拟预测）如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)如图1，与相交于点，则_________； (2)如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据可得，由此得出，根据网格线段即可得出比值； （2）同理可得，再在上找一点，使即可， 本题考查了相似三角形的判定和性质，无刻度直尺作图，解题关键是以网格格点作图为背景，利用平行线和线段长转化线段比． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）如图2，，点为所求， 同理（1）可得， 在图中找出格点、，同理可得， ∴，即， 又∵， ∴． 8.（2025·江苏南京·模拟预测）（1）已知线段OM，，，用尺规作满足条件的点 （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质． （1）先分别以O、M点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作和的平分线、，然后以M点为圆心，为半径画弧交、于点N、，则点N、满足条件； （2）方法一：先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件； 方法二：先过A点作于H点，再作的垂直平分线，接着以点A圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件． 【详解】解：（1）先分别以O、M点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作和的平分线、，然后以M点为圆心，为半径画弧交、于点N、，如图1，点N、为所作； 理由：由作法可知， 是等边三角形， 平分， ， ， 此时点满足题意，同理可证明点满足题意； （2）方法一：先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件； 方法二：先过A点作于H点，再作的垂直平分线，接着以点A圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件． 如图2、3，为所作． 理由： 方法一：由作法可知，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 方法二：是的垂直平分线， ， ， ， 中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型02 与圆有关的尺规作图 析典例·建模型 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． （2）按照要求作图即可． 【详解】（1）解：即为所求， ∵四边形是矩形， ∴ 由作图得出且为的半径， ∴都是的切线 故与边、分别相切于点、； （2）解：①作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点； ②作线段的垂直平分线交于点Q； ③以Q为圆心，长为半径作， 如下：即为所求． ∵经过、两点， ∴点在的垂直平分线上， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 则点为切点，故在圆上， ∴是圆的弦， ∴作出弦的垂直平分线，与上述的垂直平分线交于一点即为点（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点） 研考点·通技法 此类题型围绕圆展开尺规作图，结合圆的性质、切线、圆心、圆弧、内接外切图形考查。 1.熟练基础作图，结合垂径、垂直平分线、角平分线找圆心、定半径。 2.找圆心：作弦的垂直平分线，交点即为圆心。 3.作切线：连半径、作垂直；或利用切点特征规范作图。 4.圆内接、外切图形作图，依托等弧、等弦、等角原理绘制。 5.严格使用尺规，保留圆弧痕迹，不徒手绘制，规范标注点线。 6.作图后结合圆的性质检验，确保位置、垂直、相等关系准确。 破类题·提能力 1.（2026·江苏南京·模拟预测）如图，已知点、在上和线段．用两种不同的方法在上作一点，使得．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理；要使得，方法一：在上截取后，使得剩下的长度为；方法二：在上补上一段长度为后与相等，最后利用垂直平分线的性质、角平分线的性质来实现截长或补短． 【详解】解：方法一（截长）：如图所示，以为圆心以线段的长度为半径画；画出线段的垂直平分线与弦下方的圆弧交于点；以为圆心为半径画弧与交于点；连接并延长与交于点，即为所求． 理由：连接，过作于，交延长线于， 由作图过程可知：，，垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，，即平分， ∵，， ∴， ∵在与中，， ∴， ∴， ∵在与中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 同理：当取线段的垂直平分线与弦上方的圆弧交于点时，可得出如图所示的点也符合题意， 综上：符合题意的点有两个． 方法二（补短）：如图所示，以为圆心以线段的长度为半径画；画出线段的垂直平分线与弦下方的圆弧交于点；以为圆心为半径画弧与交于点；连接并延长与交于点，即为所求． 理由：连接，过作于，交延长线于， 由作图过程可知：，，垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，，即平分， ∵，， ∴， ∵在与中，， ∴， ∴， ∵在与中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理：当取线段的垂直平分线与弦上方的圆弧交于点时，可得出如图所示的点也符合题意， 综上：符合题意的点有两个． 2.（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点H，过点H作交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求； （2）过点作，垂足为，可得是等腰直角三角形，进而求出，再由含角的直角三角形性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于点H，过点H作交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求； ∵，的垂直平分线交于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ． 3.（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）先在直线上任取一点并作的垂线，在垂线上取异于的点，以为圆心、为半径作圆；依据切线的判定定理(且是半径)，该圆与直线相切； （）先延长，再作和的外角平分线，两线交于点，过作的垂线，垂足为，以为圆心、为半径作圆；依据角平分线的性质(角平分线上的点到角两边距离相等)，该圆与的三边(含延长线)都相切，即为的旁切圆． 【详解】（1）解：①选点：在直线上任取两点，作线段的垂线平分线，交直线于点， ②定半径：在这条垂线上任取异于的点， ③画圆：以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求（作法不唯一，只要满足圆心到直线的距离等于半径即可）； 原理：且是圆的半径，满足切线的判定条件，因此圆与相切； （2）解：①延长边：延长（过端向外延伸）、延长（过端向外延伸）； ②作角平分线：分别作的外角平分线、的外角平分线，两条平分线交于点； ③以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求； 原理：角平分线上的点到角两边距离相等， 因此点到延长线、延长线、的距离都等于， 因此该圆与三条线都相切；（作图时保留角平分线、垂线、圆弧的作图痕迹即可）； 4.（2026·江苏连云港·一模）如图，为的直径． (1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； (2)说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】1）以点为圆心，长为半径作弧．交上方的于点；连接，则为等边三角形； ②延长交于点；顺次连接、、和，四边形就是所求作的矩形． （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得结论． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②矩形即为所求； （2）解：理由如下： 点，都在上， ，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， 四边形是矩形． 5.（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 6.（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点； （3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，弦即为所求； 理由：， ； （2）解：如图，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，弦和即为所求； 理由：， ； （3）解：如图，以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦，弦即为所求． 理由： 连接，由作法可得， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 同理， ， ， ， ． 题型03 网格中的尺规作图 析典例·建模型 1.（2026·江苏南通·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图并保留作图痕迹． (1)在图1中，点为线段与网格线的交点，在图中画出两格点，使为线段与网格线的交点，以为位似中心，把线段扩大为原来的2倍，画出对应线段． (2)在图2中，点为线段与网格线的交点，在线段上画点，使线段与线段平行，再在线段上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取的中点，根据网格的特点找到对称点，则，根据点的位置，取点，使得，连接并延长交网格线于点（是的中点，的横向距离为，则的横向距离为），连接，则即为所求； （2）连接点以及与网格线的交点，则，即为所求，根据平行线取格点，连接，交网格线于点，连接交于点，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点，，，即为所求； （2）解：如图所示，连接点以及与网格线的交点，则，，点即为所求； ∵， ∴ ∴ ∴； ∵，，， ∴ ∴ ∵， ∴． 研考点·通技法 此类网格尺规作图大题，依托方格特点，结合尺规操作与网格几何特征解题。 1.利用网格横竖线、格点、直角、等距特点，快速构造垂直、平行、相等线段。 2.结合勾股、格点距离，确定线段长短、角度关系，辅助作图。 3.熟练基本尺规操作：平分线段、平分角、作垂线、画等长线段，保留作图痕迹。 4.按要求作图形：角平分线、垂直平分线、高线、特殊三角形、阴影分割等。 5.严格规范：只用直尺圆规，保留圆弧，不徒手乱画，标点连线完整。 6.做完对照网格位置、边长、角度检验，保证图形准确合规。 易错点：遗漏作图痕迹、不会用格点构造垂直平行、作图超出要求、线条不规范。 破类题·提能力 1.（2026·江苏宿迁·模拟预测）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角； (2)在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线； (3)在图3中，每个小正方形的边长为1，借助于网格，或用尺规作图在边上求作一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再作图； （2）根据角平分线的性质作图； （3）根据相似三角形的性质作图． 【详解】（1）解：如图1，，，即是等腰直角三角形； ； （2）解：取格点，连接，，   ，， 的边上的高为2， 平分； （3）解：如图，取格点，，连接交于点， 由图可知，则， 又， ， ， ， ． 2.（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在图中根据网格特征，作等腰直角即可得出；在图中，作等腰直角，再作，交于，根据平行线的性质即可得出； （2）过点作的垂线，截取，连接，作出即可； （3）过点作的垂线，作的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交的角平分线于，过点作于，即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求，如图，点即为所求． 图中，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图中，同理可得是等腰直角三角形， ∴， 由网格特征可知，， ∴． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴即为所求． 3.（2026·江苏苏州·模拟预测）图1~图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在格点上． (1)如图1，_____； (2)如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点，连接，，使得；嘉淇说：作点关于的对称点，连接与交于点…… 请根据嘉淇的方案在图2中画出点的位置，并判断是否可行，说明理由． (3)如图3，在上找一点（仅借助无刻度的直尺作图），使． 【答案】(1) (2)嘉淇的方案可行，理由见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由可得，即可求解； （2）作点关于的对称点，连接与交于点，则，，由平行线的性质得，从而可得，结合可证； （3）点往左数2格的格点记为点，点往右数3格的格点记为点，连接，与相交于点，点即为所求，在中由勾股定理可得，又由可得，从而得，即可求出，故点即为所求． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：作图如下： 嘉淇的方案可行， 理由：点与关于对称， ， ， ， ， ， 又， ； （3）解：如图所示，点往左数2格的格点记为点，点往右数3格的格点记为点，连接，与相交于点，点即为所求． 在中，， ， ， ， ． 4.（2026·江苏南通·模拟预测）如图1、图2、图3均是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形： (2)在图2中，在边上确定一点，使得； (3)在图3中，在边上确定一点，在边上确定一点，连接，使垂直平分． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）利用平移思想，确定格点即可； （2）找到的中点即可； （3）根据中垂线的定义，结合网格特点，在第2列小正方形中取2个小正方形的中点，作图即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）解：如图2，点即为所求； （3）解：如图3，即为所求． 5.（2026·江苏宿迁·模拟预测）在正方形网格中，请你仅用无刻度直尺完成下列问题． 【理论依据】平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段长度相等，则这组平行线在其它直线上截得的线段长度也必然相等． 【模型感知】（1）如图1，在正方形网格中，点A、B、C、D、O都为网格线上的点，观察网格中横向的一组平行线，根据平行线等分线段定理可得，因此四边形为平行四边形，从而得； 如图2，在正方形网格中，点E、F、G、H、P 都为网格线上的点，观察网格中纵向的一组平行线，根据平行线等分线段定理可得____，，因此四边形_____为平行四边形，从而得； 【模型应用】（2）如图3，在正方形网格中，点A、B、C 都为网格线上的点，过点C画，使且； 【模型拓展】（3）如图4，在正方形网格中，线段是圆的一条弦，点A是格点，点B、C 是圆与网格线的交点，画弦，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】此题考查了平行线等分线段定理的应用，构造平行四边形是解题的关键． （1）根据平行线等分线段定理进行作图即可； （2）根据平行线等分线段定理构造平行四边形即可； （3）根据平行线等分线段定理构造平行四边形即可得到答案． 【详解】（1 ）解：根据题意可得，如图2，在正方形网格中，点E、F、G、H、P 都为网格线上的点，观察网格中纵向的一组平行线，根据平行线等分线段定理可得，，因此四边形为平行四边形，从而得； 故答案为：，； （2）如图，即为所求， （3）如图，弦即为所求， 题型04实际应用与综合探究中的尺规作图 析典例·建模型 1.（2026·江苏徐州·一模）月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，如图1，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代．但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计原理图，若月洞门所在圆与地面相切于点E，四边形是一个矩形； (1)已知月洞门所在的圆中，为横跨，长度为4，拱高为4，（D为中点，），则该月洞门所在圆的半径为 ． (2)上图是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．用无刻度直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） ①在图2中画出月洞门所在圆的圆心 ②记洞门的横跨为，拱高为a．利用截取等方法，仅用无刻度直尺和圆规在图3中作出月洞门的设计图 【答案】(1)2.5 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）连接，根据垂径定理及勾股定理建立方程即可求解； （2）①在上任意取一点K，连接，作线段的垂直平分线，过点E作的垂线交的垂直平分线于点O，点O即为所求； ②作的垂直平分线，垂足为，截取，连接，作的垂直平分线交于，以为圆心，为半径作，即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 长度为4，拱高为4， ， ， 中，， ，即， ； （2）解：①如图，点O即为所求； ②月洞门的设计图如图所示， 研考点·通技法 此类作图结合实际情境与综合探究，条件灵活、应用性强。 1.结合实际背景，读懂题意，明确作图目标与限制条件。 2.依托几何性质，搭配基础尺规作图，确定关键点、关键线。 3.综合运用垂直、平分、等距、对称等特征构思作图方案。 4.严格尺规规范，保留所有作图痕迹，不徒手画图。 5.分步作图，先定核心点线，再补全图形，简洁准确。 6.结合探究要求检验图形，贴合实际，符合题意。 易错点：审题不清画错图形、遗漏作图痕迹、忽略实际限制、作图逻辑混乱。 破类题·提能力 1.（2025·江苏南京·模拟预测）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且． （2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键． （1）作的中垂线即可； （2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作垂线，过点作垂线，所得的四边形为所在的正方形；方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，四边形是所在的正方形，为该正方形点的边所在的直线． 【详解】解：（1）如图，分别以点为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，点即为所求； （2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作的垂线，过点作的垂线，所得的四边形为所在的正方形； 方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，其中交于点，交于点； 连接，则，， ∴； ∵， ∴，； 同理， ∴都是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴四边形是所在的正方形， ∴为该正方形点的边所在的直线． 2.（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 3.（2025·江苏无锡·二模）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解； （2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可． 【详解】（1）解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 4.（2025·江苏扬州·二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不是的“等积线”，理由见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接，则为过点的“等积线”； （2）作的垂直平分线交于点，连接，以点为顶点，为边，作，交于点，连接，则直线为过点的“等积线”； （3）连接，，由，推出，由为中点，推出，据此即可说明不是的“等积线”． 【详解】（1）解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，， ∴， ∴为过点的“等积线”； （2）解：如图，为过点的“等积线”； 由作图知，， ∴，， ∵， ∴为过点的“等积线”； （3）解：不是的“等积线”，理由如下． 连接，， ∵， ∵， ∴， ∵为中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴不是的“等积线”． 5.（2026·江苏盐城·模拟预测）在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美． 【基础探究】 (1)如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上． ①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分； ②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个． 【迁移应用】 受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？ (2)如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹） 【创新应用】 (3)某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植． ①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤： ②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见；②2 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要三角形平分三角形面积、特殊四边形的判定和性质、格点作图、勾股定理等；解题关键是利用平行进行等积变换. （1）①根据矩形对角线互相平分作出的中点即可，根据等底等高的三角形面积相等，②作的平行线，再找格点即可得出答案； （2）方法一：利用平行线在的延长线上去点，将面积转化为，再过点作的中线即可得；方法二：先作的中线将的面积平分，再过点作，交于点，则，故，方法三：利用中线平分三角形面积，再利用平行线转化三角形面积，即可求解． （3）①利用平行线先将四边形面积转化三角形以为顶点得三角形面积，再平分三角形面积即可；②根据作图可得为中点，利用平行四边形、矩形的判定和性质转化线段关系，再利用勾股定理列方程即可求解. 【详解】（1）解：①如图，直线为所求； ②如图，、的面积和的面积相等， 故符合条件的格点有2个． （2）如图，，为所求． 方法一，如图： 方法二，如图： 方法三，如图： ， （3）解：①方法一：如图，连接、，过作交延长线于，过作交延长线于，取中点，连接即可； 方法二：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可； ②如图（同①方法二作图）：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可； ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵是中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图， 设， ∵， ∴四边形、、是矩形， ∴，，， ， 则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由图可知：， ∴当是等腰三角形时，即， ∴， 解得 ，不合题意舍去， 即：当是等腰三角形时，线段的长为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $