精品解析：河南焦作市第一中学2025-2026学年高一下学期4月测评数学试题

机密★启用前 高一年级4月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为角的终边在第四象限， 所以 角的终边在第四象限. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，故，故. 3. 下列关于平面向量描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则向量与的夹角为锐角 C. 若，，则 D. 若为非零向量，则与的方向相同 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量不能比较大小，所以A错误； 当时，与的夹角可以为，所以B错误； 当时，和可以是任意向量，不一定共线，所以C错误； 为的同方向单位向量，所以D正确. 4. 已知扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】扇形的弧长，设半径为cm， 扇形面积公式为，即，解得， 则此扇形的圆心角. 5. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 由正弦定理得：，，， 代入整理化简得，所以， 所以， 又因为，所以. 6. 已知函数， 有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得， 再由正弦函数在上有最小值且无最大值， 则满足. 7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（ ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A. 2000m B. m C. 1000m D. m 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，，，然后由正弦定理可得，最后在中，由三角函数知识可得答案. 【详解】因为，，又因为， 所以，，所以. 在中，，，，， 由正弦定理得：，即，解得. 在中，，，， 所以. 8. 如图，在四边形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接，，因为，，， 所以，整理得， 又因为，，，， 所以， 因为，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是，最小值是 B. 两个相邻的对称轴之间的距离为 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】对A和B，利用余弦函数的性质，即可判断正误；对C，将代入检验，即可判断正误；对D，利用图象的变换，求出平移后的函数，再把代入检验，即可求解. 【详解】对于A，因为，由余弦函数的性质知的最大值是，最小值是，所以A正确， 对于B，因为的最小正周期为，所以两个相邻的对称轴之间的距离为，故B错误， 对于C，当时，，所以点是的一个对称中心，故C正确， 对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是， 当时，，所以不是奇函数，故D错误. 10. 已知，，，则（ ） A. 向量 B. 与向量垂直的单位向量坐标为或 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，，所以，所以A错误； 因为，先找一个与垂直的向量，设，所以，不妨取， 所以与向量垂直的单位向量即为：或，又因为， 所以与向量垂直的单位向量坐标为或，所以B正确； ，设，则， 所以，解得，所以，所以C正确； ，，所以在上的投影向量为：，所以D错误. 11. 在中，角所对的边分别为且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有两解，则 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】解不等式再结合求得，即可求出，可判断A；三角形有两解可得，可判断B；利用正弦定理得，再根据余弦定理可得，即可判断C；由余弦定理结合基本不等式求出，即可求出面积的最大值，可判断D. 【详解】解不等式得或， 又，所以， 又，所以，所以，即，故A正确； 若有两解，则，所以，故B错误； 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，所以，所以为等腰直角三角形，故C正确； 由余弦定理得， 又，所以， 所以， 所以面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】函数最小正周期为，所以，所以，所以. 13. 已知向量，，，若和的夹角为60°，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由数量积运算律结合题设可得答案. 【详解】因为，所以，又因为，若和的夹角为60°， 所以；因为，，所以， 所以，则. 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，的面积为，M为BC的中点，则AM的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理得到，再根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】. 由正弦定理，，则. 由余弦定理​，又，故. 已知面积，所以，解得. 为中点，则， 所以. 因为，则. 由基本不等式（当且仅当时取等）， 则. 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． （1）求，，的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义计算即可. （2）先根据诱导公式化简原式，然后将（1）求出的结果代入计算即可. 【小问1详解】 因为角的始边为x轴非负半轴，终边过点， 所以. 【小问2详解】 . 16. 已知向量，，，. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件分别表示出坐标，再根据两向量垂直时，代入坐标计算即可； （2）根据已知条件分别表示出坐标，再根据两向量平行时，代入坐标计算，再根据数量积公式求出向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 因为，所以，解得； 【小问2详解】 解：由题意可得， 因为，所以，解得，所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 17. 如图，在中，点D，E在边上，且，设，. （1）用，表示，； （2）若，，，求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由三等分点得向量关系，用已知向量表示出其他向量； （2）利用数量积和模长公式，计算出余弦值. 【小问1详解】 因为，所以，, 所以； ； 【小问2详解】 因为，，， 即，，，所以. ， ，所以， 所以. 18. 已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求函数的解析式及其对称轴； （2）求不等式的解集； （3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；对称轴为， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据相邻两个对称中心之间的距离为，得到函数周期，求出，得到解析式，利用整体代入法求解对称轴即可. （2）利用正弦函数的性质求解不等式即可. （3）先对目标式合理换元，再结合二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 由相邻两个对称中心之间的距离为，得，解得. 又，，所以. 所以. 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 【小问2详解】 不等式可化为，即. 由正弦函数的性质得，，， 解得，， 所以不等式的解集为，. 【小问3详解】 当时，，所以. 令，则，令. 当时，每个对应2个不同的，当或时，每个对应1个， 所以关于的方程在上有四个不相等的实数根，等价于在上有两个不等实根. 所以，解得，所以. 故实数m的取值范围为. 19. 在中，内角所对的边分别为,，，且． （1）求角； （2）若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得； （2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和（i）结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围. 【小问1详解】 由，，且， 所以，， 化简整理得，再由正弦定理得， 因为，所以，且，所以. 【小问2详解】 （i）由，结合正弦定理，得. 因此 ​，且. 因为 为钝角三角形， ​，故钝角只能是或， 所以或，所以. 由正弦定理得 ， 因为，所以，， 所以 （ii）因为为的角平分线，且，如图： 由面积关系，， 所以 ，化简得. 又因为 ， 由（i）知， 所以， 令，由（i）知，所以 所以，因为函数在是单调递增函数， 所以时，，当时，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 高一年级4月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列关于平面向量描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则向量与的夹角为锐角 C. 若，，则 D. 若为非零向量，则与的方向相同 4. 已知扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 5. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数， 有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（ ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A. 2000m B. m C. 1000m D. m 8. 如图，在四边形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是，最小值是 B. 两个相邻的对称轴之间的距离为 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 10. 已知，，，则（ ） A. 向量 B. 与向量垂直的单位向量坐标为或 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 11. 在中，角所对的边分别为且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有两解，则 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期为，则________． 13. 已知向量，，，若和的夹角为60°，则______. 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，的面积为，M为BC的中点，则AM的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． （1）求，，的值； （2）求的值． 16. 已知向量，，，. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 17. 如图，在中，点D，E在边上，且，设，. （1）用，表示，； （2）若，，，求. 18. 已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求函数的解析式及其对称轴； （2）求不等式的解集； （3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 19. 在中，内角所对的边分别为,，，且． （1）求角； （2）若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $