专题11 规律探究、新定义与数学文化5大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题11 规律探究、新定义与数学文化 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01  数式规律探究 题型02 图形规律探究 题型03 新定义运算、新定义几何 题型04 数学文化、古代数学问题 题型05  阅读理解型问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 数式规律探究 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 【典例02】（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 方法透视 考向解读 四川中考高频选填压轴题型，侧重考查归纳推理能力： 1.数列规律：等差数列、等比数列、正负交替数列、递推数列，求第n项或前n项和。 2.算式规律：给出一组等式或式子，找共同规律，求第n个式子或特定项的值。 3.数阵/表格规律：给出数阵或表格，找行列规律，求特定位置的数。 方法技能 1.数列规律解题技巧： · 先标序号：把每个项的序号和对应的值写出来； · 找差/比：看相邻两项的差（等差）或比（等比）； · 找周期：正负交替、循环数列找周期，用项数除以周期数，看余数； · 平方/立方规律：常见如 n2、n2−1、2n等。 2.算式规律解题技巧： · 对比等式左右两边，分别找数字的变化规律； · 把每一部分的规律用含n的式子表示出来，再组合成完整的第n个式子。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为________． 【答案】 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2025个数共有组， ∴奇数有个． 故答案为：． 【变式02】（2025·四川成都·二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为________；若，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，从中找出规律求解是解答的关键． 先根据前几个值所对应值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，，五种取法， 则； 当时，~有种：，， ~有2种：，， ~有2种，， ~有1种共七种取法，则； 当时，~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，， ~有种：，共九种取法，则； 当时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种， 共（种）取法． 故答案为：，． 【变式03】（2026·四川德阳·一模）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探索，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据题意逐一分析判断即可解答． 【详解】解：，， ，，，， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 由①②可得、分别是以和为周期的数列， 当为奇数时，，此时，，等式成立； 当为偶数时，，此时，，等式成立，故③正确． 综上所述，结论正确的有3个． 题型02 图形规律探究 典例引领 【典例01】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 【典例02】（2026·四川成都·二模）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第n（n为正整数）幅图形中“●”的个数为 ____________  ， 的值为 ____________  ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，数字规律，根据图示找出规律：，代入计算即可． 【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为：， 第2幅图形中“●”的个数为：， 第3幅图形中“●”的个数为：， 第4幅图形中“●”的个数为：， ， 以此类推，第n 幅图形中“●”的个数为：， , ． 方法透视 考向解读 四川中考高频选填压轴题型，常与几何图形结合： 1.基础图形规律：三角形、正方形、圆等基础图形的拼接或变化，求第n个图形的小图形个数、周长或面积。 2.递推型图形规律：图形按一定规则重复生成，后一个图形由前一个图形变化而来，求第n个图形的相关量。 3.坐标型图形规律：图形在坐标系中按一定规律平移或旋转，求第n个点的坐标。 方法技能 1.解题通用步骤： · 写出前3-4个图形的对应数据（如个数、周长、面积）； · 转化为数列问题，用数列规律的方法求解； · 注意图形变化的递推关系，如后一个比前一个多几个，或扩大几倍。 2.坐标型规律技巧： · 分别找横坐标和纵坐标的变化规律； · 若有循环周期，先求周期，再用项数除以周期数，确定位置。 变式演练 【变式01】（2026·四川德阳·模拟预测）如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，则三角形点阵中前行的点数和可能是（  ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】C 【详解】解：三角形点阵中前行的点数和为， 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是53； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是54； 当， 整理得：， ， ∴ 解得：，（舍去）， ∴前行的点数和可能是55； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是56． 【变式02】（2025·四川成都·二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要_____根火柴棒． 【答案】 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加2是解题的关键． 根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中火柴棒的根数为：； 第2个图案中火柴棒的根数为：； 第3个图案中火柴棒的根数为：；所以第个图案中火柴棒的根数为根． 当时，（根）， 即第个图案中火柴棒的根数为根． 故答案为：． 【变式03】（2025·四川内江·一模）如图，已知在中，，过点C作于，过点作于D2，过点作于，过点作于，…按此方法得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解直角三角形，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴，， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：C． 题型03 新定义运算、新定义几何 典例引领 【典例01】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 【典例02】（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴四点共圆，且为直径， 把的中点记为点，即四点在上， 连接，，相交于点， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 方法透视 考向解读 四川中考创新类必考题型，多为选择、填空题，考查快速理解和应用新规则的能力： 1.新定义运算：定义一种新的运算符号或运算规则，按规则进行计算或化简。 2.新定义几何：定义一种新的几何图形（如 “友好三角形”“等邻边四边形”），按定义解决相关问题。 3.综合应用：结合方程、不等式、函数或几何图形，考查新定义的应用。 方法技能 1.解题核心原则：严格按照题目给出的定义解题，不凭经验自行扩展规则。 2.新定义运算技巧： · 先把题目中的文字定义转化为数学表达式； · 遇到括号，先算括号内的运算，再算括号外的； · 代入数据时，注意运算顺序和符号，避免计算错误。 3.新定义几何技巧： · 把题目中的定义转化为熟悉的几何性质； · 结合已学的几何知识（如三角形、四边形性质）解题； · 画出符合定义的图形，辅助分析。 变式演练 【变式01】 （2026·四川绵阳·一模）若，则称x是以10为底N的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据完全平方公式把所求式子变形为，再根据和已知等式求解即可． 【详解】解： ． 【变式02】 （2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【变式03】 （2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型04 数学文化、古代数学问题 典例引领 【典例01】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【典例02】（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 方法透视 考向解读 四川中考必考题型，多为选择、填空题，结合传统文化考查数学知识： 1.古代数学著作问题：如《九章算术》《孙子算经》中的方程、方程组、勾股定理问题。 2.经典数学模型：如鸡兔同笼、盈不足术、百鸡问题、杨辉三角等。 3.几何文化问题：如赵爽弦图、祖暅原理等，考查几何图形的性质或计算。 方法技能 1.解题技巧： · 先读懂文言文或背景材料，把问题转化为熟悉的数学模型； · 鸡兔同笼、盈不足等问题优先用方程（组）求解； · 几何文化问题优先利用图形的对称性或几何性质计算。 2.常见模型： · 鸡兔同笼：设未知数，列二元一次方程组； · 盈不足术：列一元一次方程求解； · 赵爽弦图：利用勾股定理和面积关系计算。 变式演练 【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 【变式02】（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 【变式03】（2026·四川泸州·二模）《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出、问户广几何？”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．”问门宽是___________尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，则尺，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设尺，则尺， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴门宽为尺， 故答案为：． 题型05  阅读理解型问题 典例引领 【典例01】 （2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． 【答案】 117 665 【分析】本题考查规律型，整式乘法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据定义，得出，取的值和对应符合题意的的值分别计算，通过观察规律，可以发现第 5 个“立方差友好数”和第 28 个“立方差友好数”． 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． 【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是______；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为______． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 方法透视 考向解读 四川中考创新类压轴题型，多为解答题，考查信息提取和迁移应用能力： 1.新方法阅读理解：给出一种新的解题方法或思路，按方法解决后续问题。 2.新定义阅读理解：给出新的概念或规则，结合已学知识解决问题。 3.跨知识阅读理解：结合代数、几何或统计知识，给出背景材料，考查综合应用能力。 方法技能 1.解题通用步骤： · 精读材料：理解题目给出的定义、方法或规则； · 提炼关键信息：把材料中的核心规则用自己的话总结出来； · 迁移应用：按材料中的方法或规则，解决后续的问题； · 规范作答：按题目要求写出解题过程，尤其是模仿材料中的步骤。 2.关键技巧： · 材料中的例题或示范解法是关键，注意模仿其解题格式和思路； · 遇到复杂材料，先看后面的问题，带着问题读材料，针对性提取信息； · 注意材料中给出的限制条件，避免超出规则解题。 变式演练 【变式01】（2025·四川内江·二模）对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是_______． 【答案】 【分析】此题考查了新定义，根据“凤鸣数”的定义可得，，求出m，n的值即可得这个数． 【详解】解：根据题意，若四位自然数是“凤鸣数”， 则，， 解得，，， ∴这个数是， 故答案为：． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如果一个自然数，其中与都是两位数，且，与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数为“满意数”，将自然数分解成的过程，称为“满意分解”．如，所以168是“满意数”．若把一个“满意数”进行“满意分解”，即，与的和记为，与的差的绝对值记为，令，当能被3整除时，满足条件的的最大值是______． 【答案】8648 【分析】本题考查新定义，整式的混合运算，因数与倍数，熟练掌握相关知识是解题关键． 设的十位数字为，个位数字为，则的十位数字为，个位数字为，按照题意，依次表示出，，进一步表示出．由于能被3整除，因此能被整除，结合是奇数，则或3．对的值进行分类讨论，当时，是3的倍数，则最大值为9，此时；当时，是9的倍数，则，此时，从而求出的最大值． 【详解】解：设的十位数字为，个位数字为，则的十位数字为，个位数字为， ∴，， ∴，， ∴， ∵能被3整除， ∴是整数，即能被整除， 由题意可知，，且， ∴， ∵是奇数， ∴也是奇数， ∴或3， ①当时，解得，或4，此时， ∵能被3整除， ∴是3的倍数， ∴是3的倍数， ∵， ∴最大为9，此时，或，， ∴； ②当时，解得，或6，此时， ∵能被3整除， ∴是9的倍数， ∵， ∴是9的倍数， ∵， ∴，此时，或，， ∴， ∵， ∴的最大值为． 【变式03】（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第_____次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么_____． 【答案】 3 【分析】本题考查的是推理与论证，根据题意找出数字变化规律是解答此题的关键． （1）按照游戏规则，按照顺序操作得出结果即可； （2）利用同（1）的方法找出数字变化规律，进一步解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为， 所以经过3次操作后游戏结束； （2）因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ……， 由此看出从开始3个一循环， ∵， 所以与相同，也就是． 故答案为：3； 题●型●训●练 1．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 2．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算法则，结合，得出方程，整理该方程，得出，再根据根与系数的关系，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 3．（2025·四川宜宾·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中中间的大球代表碳原子，周围的小球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键．观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的倍加，据此规律求解即可． 【详解】解：图①有个氢原子， 图②有个氢原子， 图③有个氢原子， ……， 以此类推，可知图中有个氢原子， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个； 故选：D． 4．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 5．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． 6．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键． 通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 7．（2026·四川内江·一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为…，这样依次得到点，，，……若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“友好点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A2019的坐标即可． 【详解】观察发现：A1（2，1），A2（0，1），A3（0，-1），A4（2，-1），A5（2，1），A6（0，1）…， ∴依此类推，每5个点为一个循环组依次循环， ∵2019÷4=504余3， ∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（0，-1）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-规律型，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 8．（2025·四川广安·二模）电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上的点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为，则与之间的距离为_________． 【答案】1 【分析】本题是对图形变化规律的考查，读懂题目信息求出各步跳动后的位置，并且得到经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点是解题的关键． 根据题意分别求出电子跳蚤每次跳后的位置，从而得到点与重合，然后用2014除以6，根据余数是0可得与重合，从而得解． 【详解】解：∵，， ∴， 第一步：， ∵， ∴， 第二步：， ∵， ∴， 第三步：， 依此类推，第四步，， 第五步，， 第六步，， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点， ∵，没有余数， ∴与重合， ∵ 与之间的距离为1， 故答案为：1． 9．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有__________；若，则__________. 【答案】 2和3 14或8 【分析】本题主要考查了新定义、质数的定义、有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．10以内的质数有2、3、5、7，再分别代入检验即可； 由题可知必为奇数，则为偶数，因此可设 为正整数，进而整理求出符合题意的值，进而得解． 【详解】解：以内的质数有：、、、， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 所以，以内的质数归一数有和； 由题设可知必为奇数，则为偶数， 则有正整数使 或， 或，符合题意， 或； 故答案为：和；或． 10．（2026·四川内江·一模）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 11．（2025·四川成都·二模）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入______次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为______． 【答案】 5 255 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意是解答的关键．根据“二分法”的原理，模仿题中例子方法求解，进而找到变化规律即可求解． 【详解】解：当时，先输入尽量靠中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”，如果错误并提示正确答案比“15”大，再输入“16”则一定正确；所以当时最少输入5次可一定正确． 由题意， 当时，输入1次一定能猜中数字： 当时，输入2次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“4”，如果错误并提示正确答案比“4”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 以此类推， 当时，输入8次一定能猜中数字． 故当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为255， 故答案为：5，255． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 规律探究、新定义与数学文化 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01  数式规律探究 题型02 图形规律探究 题型03 新定义运算、新定义几何 题型04 数学文化、古代数学问题 题型05  阅读理解型问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 数式规律探究 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为________． 【典例02】（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 四川中考高频选填压轴题型，侧重考查归纳推理能力： 1.数列规律：等差数列、等比数列、正负交替数列、递推数列，求第n项或前n项和。 2.算式规律：给出一组等式或式子，找共同规律，求第n个式子或特定项的值。 3.数阵/表格规律：给出数阵或表格，找行列规律，求特定位置的数。 方法技能 1.数列规律解题技巧： · 先标序号：把每个项的序号和对应的值写出来； · 找差/比：看相邻两项的差（等差）或比（等比）； · 找周期：正负交替、循环数列找周期，用项数除以周期数，看余数； · 平方/立方规律：常见如 n2、n2−1、2n等。 2.算式规律解题技巧： · 对比等式左右两边，分别找数字的变化规律； · 把每一部分的规律用含n的式子表示出来，再组合成完整的第n个式子。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为________． 【变式02】（2025·四川成都·二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为________；若，则k的值为________． 【变式03】（2026·四川德阳·一模）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型02 图形规律探究 典例引领 【典例01】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【典例02】（2026·四川成都·二模）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第n（n为正整数）幅图形中“●”的个数为 ____________  ， 的值为 ____________  ． 方法透视 考向解读 四川中考高频选填压轴题型，常与几何图形结合： 1.基础图形规律：三角形、正方形、圆等基础图形的拼接或变化，求第n个图形的小图形个数、周长或面积。 2.递推型图形规律：图形按一定规则重复生成，后一个图形由前一个图形变化而来，求第n个图形的相关量。 3.坐标型图形规律：图形在坐标系中按一定规律平移或旋转，求第n个点的坐标。 方法技能 1.解题通用步骤： · 写出前3-4个图形的对应数据（如个数、周长、面积）； · 转化为数列问题，用数列规律的方法求解； · 注意图形变化的递推关系，如后一个比前一个多几个，或扩大几倍。 2.坐标型规律技巧： · 分别找横坐标和纵坐标的变化规律； · 若有循环周期，先求周期，再用项数除以周期数，确定位置。 变式演练 【变式01】（2026·四川德阳·模拟预测）如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，则三角形点阵中前行的点数和可能是（  ） A．53 B．54 C．55 D．56 【变式02】（2025·四川成都·二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要_____根火柴棒． 【变式03】（2025·四川内江·一模）如图，已知在中，，过点C作于，过点作于D2，过点作于，过点作于，…按此方法得到的的长为（   ） A． B． C． D． 题型03 新定义运算、新定义几何 典例引领 【典例01】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【典例02】（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 方法透视 考向解读 四川中考创新类必考题型，多为选择、填空题，考查快速理解和应用新规则的能力： 1.新定义运算：定义一种新的运算符号或运算规则，按规则进行计算或化简。 2.新定义几何：定义一种新的几何图形（如 “友好三角形”“等邻边四边形”），按定义解决相关问题。 3.综合应用：结合方程、不等式、函数或几何图形，考查新定义的应用。 方法技能 1.解题核心原则：严格按照题目给出的定义解题，不凭经验自行扩展规则。 2.新定义运算技巧： · 先把题目中的文字定义转化为数学表达式； · 遇到括号，先算括号内的运算，再算括号外的； · 代入数据时，注意运算顺序和符号，避免计算错误。 3.新定义几何技巧： · 把题目中的定义转化为熟悉的几何性质； · 结合已学的几何知识（如三角形、四边形性质）解题； · 画出符合定义的图形，辅助分析。 变式演练 【变式01】 （2026·四川绵阳·一模）若，则称x是以10为底N的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式02】 （2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式03】 （2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 题型04 数学文化、古代数学问题 典例引领 【典例01】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例02】（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 方法透视 考向解读 四川中考必考题型，多为选择、填空题，结合传统文化考查数学知识： 1.古代数学著作问题：如《九章算术》《孙子算经》中的方程、方程组、勾股定理问题。 2.经典数学模型：如鸡兔同笼、盈不足术、百鸡问题、杨辉三角等。 3.几何文化问题：如赵爽弦图、祖暅原理等，考查几何图形的性质或计算。 方法技能 1.解题技巧： · 先读懂文言文或背景材料，把问题转化为熟悉的数学模型； · 鸡兔同笼、盈不足等问题优先用方程（组）求解； · 几何文化问题优先利用图形的对称性或几何性质计算。 2.常见模型： · 鸡兔同笼：设未知数，列二元一次方程组； · 盈不足术：列一元一次方程求解； · 赵爽弦图：利用勾股定理和面积关系计算。 变式演练 【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【变式02】（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【变式03】（2026·四川泸州·二模）《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出、问户广几何？”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．”问门宽是___________尺． 题型05  阅读理解型问题 典例引领 【典例01】 （2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． 【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是______；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为______． 方法透视 考向解读 四川中考创新类压轴题型，多为解答题，考查信息提取和迁移应用能力： 1.新方法阅读理解：给出一种新的解题方法或思路，按方法解决后续问题。 2.新定义阅读理解：给出新的概念或规则，结合已学知识解决问题。 3.跨知识阅读理解：结合代数、几何或统计知识，给出背景材料，考查综合应用能力。 方法技能 1.解题通用步骤： · 精读材料：理解题目给出的定义、方法或规则； · 提炼关键信息：把材料中的核心规则用自己的话总结出来； · 迁移应用：按材料中的方法或规则，解决后续的问题； · 规范作答：按题目要求写出解题过程，尤其是模仿材料中的步骤。 2.关键技巧： · 材料中的例题或示范解法是关键，注意模仿其解题格式和思路； · 遇到复杂材料，先看后面的问题，带着问题读材料，针对性提取信息； · 注意材料中给出的限制条件，避免超出规则解题。 变式演练 【变式01】（2025·四川内江·二模）对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是_______． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如果一个自然数，其中与都是两位数，且，与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数为“满意数”，将自然数分解成的过程，称为“满意分解”．如，所以168是“满意数”．若把一个“满意数”进行“满意分解”，即，与的和记为，与的差的绝对值记为，令，当能被3整除时，满足条件的的最大值是______． 【变式03】（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第_____次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么_____． 题●型●训●练 1．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2025·四川宜宾·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中中间的大球代表碳原子，周围的小球代表氢原子．第种如图①有个氢原子，第种如图②有个氢原子，第种如图③有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 7．（2026·四川内江·一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为…，这样依次得到点，，，……若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川广安·二模）电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上的点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为，则与之间的距离为_________． 9．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有__________；若，则__________. 10．（2026·四川内江·一模）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 11．（2025·四川成都·二模）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入______次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为______． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $