5.4 等差数列和等比数列的应用-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第五章数列 (2)设bn=an十2”，求数列{bn}的前n项 4.记S,为等比数列{an}的前n项和.若a1= 和Tn 1 3,a=a6,则S,= 5.等比数列{an}中，a1=1,a=4a3 (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63, [综合题组练] 求m. 1.已知等比数列{an}中，a4十ag=一2，则 a6(a2十2a6十a1o)的值为 () A.4 B.6 C.8 D.-9 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2, a3成等差数列.若a1=1,则S4= ( A.16 B.15 C.8 D.7 3.(2023·春招，6)若3，x,12,一24成等比数 列，则实数x的值是 () A.-6 B.-8 C.6或-6 D.8或-8 5.4 等差数列和等比数列的应用 》 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]数列应用题的解题步骤 2.常用公式 解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题 ①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金 目，认真审题，将实际问题转化为 为P元，每期利率为r,存期为n,则本利和 ②挖掘题目的条件，分析该数列是 数 S= 列，还是 数列，分清所求的是 的问 ②产值模型：原来产值的基础数为N,平均 题，还是 问题.③检验结果，写出答案， 增长率为，对于时间x的总产值y [知识点二]三种常见的应用模型 ③单利公式：利息按单利计算，本金为P 1.①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的 元，每期利率为r,存期为，则本利和为S 现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部 ,这是整取，规定每次存入的钱不计 [基础自测] 复利（暂不考虑利息税）. 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） ②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为 (1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成 定期存款自动转存.例如，储户某日存入一 一个等差数列. () 笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不 (2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成 取出本利和，则银行自动办理转存业务，第 一个等比数列. () 2年的本金就是第1年的 (3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生 ③分期付款：分期付款是购物的一种付款方 “乘数”效应 ( ) 式.即将所购物的款数在规定的期限内按照 2.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后 一定的要求，分期付清. 成本为a,则现在的成本是 () ·67· 高考总复习数学 A.a(1+g%)3 B.a(1-g%)3 年数.如果在某一时期有一1<k<0,那么在 C.(1-% a D.1+9%) 这期间人口数 ( A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 3.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率 C.摆动变化 D.不变 依次为p%,9%,则这两年的平均增长率是 5.自主创业的大学生张华向银行贷款200000 ( A.2%t9% 元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如 2 果他按照“等额本金还款法”分10年进行还 B.p%·g% 款，则其第二年应还 元；如果他按 C.√(1+%)(1+q%) 照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其 D.√(1十%)(1+q%)-1 每年还款约 元.(1.0510≈1.62889) 4.预测人口的变化趋势有多种方法.直接推算 6.某公司投入资金500万元，由于坚持改 法使用的公式是pn=(1+)”(k>-1), 革，大胆创新，以后每年投入资金比上一 其中力。为预测期人口数，。为初期人口 年增加30%，那么7年后该公司共投入 数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔 资金 万元. 》 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 点一等差、等比数列模型的应用 通性通法 [例1]一航模小组进行飞机模型实验，飞机 解决数列应用题的思路和方法 模型在第一分钟时间里上升了15米高度. (1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于 (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在 等差数列问题还是属于等比数列问题，要 以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一 确定a1与项数n的实际意义，同时要搞 分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保 清是求am还是求Sm 持飞行，问飞机模型上升的最大高度是 (2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知 多少？ (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在 识和方法，恰当引入参数变量，将文字语 以后的每一分钟上升的高度是它在前一分 言转化为数学语言，将数量关系用数学式 钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型 子表达出来， 上升的最大高度能超过75米吗？请说明 (3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的 理由. 数学关系式 [尝试解答 食跟踪训练 1.在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、 丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所 分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小 米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人 所分小米的斤数依次成等差数列，问每人各 分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是 ( A.6 B.7 C.8 D.9 68· 第五章数列 单利计算问题 (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零 [例2]有一种零存整取的储蓄项目，它是每 存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少 元？此时3年后本息合计约为多少元？（精 月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到 确到1元) 约定日期，可以提出全部本金及利息，这是 整取.它的本利和公式如下： 本利和=每期存入金额× 存期十2存期×（存期十1）×利率 (1)试解释这个本利和公式： (2)若每月初存入100元，月利率5.1%，到 第12个月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一笔款，月利率是5.1%， 希望到第12个月底取得本利和2000元 那么每月应存入多少金额？ [思路探究]存款储蓄是单利计息，若存入 金额为A,月利率为P,则n个月后的利息 是nAP. [尝试解答] 专点关宇复利模型问题 [例3]小张为实现“去沙特阿拉伯，看世博” 的梦想，于2025年起，每年2月1日到银行 新存入a元（一年定期），若年利率r保持不 变，且每年到期存款自动转为新的一年定 期，到2030年2月1日，将所有存款及利息 全部取回，试求他可以得到的总钱数， [思路探究]由题意知，本题为定期自动转 存问题，应为等比数列前项和的模型. [尝试解答] 通性通法 单利的计算问题，是等差数列模型的应用. 食跟踪训练 2.王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储 通性通法 蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 本例主要考查阅读理解能力，这里关键 2.7%0. 是每年2月1日又新存入a元，因此每年到 (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元， 期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 王先生每月大约存入多少元？ 项和模型， ·69· 高考总复习数学 ★跟踪训练 食跟踪训练 3.某牛奶厂2023年初有资金1000万元，由 4.某人在2025年年初向银行申请个人住房公 于引进了先进生产设备，资金年平均增长率 积金贷款20万元购买住房，月利率为 可达到50%.每年年底扣除下一年的消费 3.375%,按复利计算，每月等额还贷一次， 基金后，余下的资金投人再生产.这家牛奶 并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年 厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过 还清，那么每月应还贷多少元？（参考数据： 5年资金达到2000万元的目标？ 1.003375120≈1.49828) 专点五 增苌率荷题 [例5] 某地投入资金进行生态环境建设，并 专点四 分期付款模型 以此发展旅游业.根据规划，本年度投入 [例4幻用分期付款的方式购买一件家用电 800万元，以后每年投人将比上年减少号， 器，其价格为1150元.购买当天先付150 元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由 款的利息，月利率为1%，分20次付完.若 于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后 交付150元以后的第1个月开始算分期付 的旅游业收入每年会比上年增加， 款的第1个月，问：分期付款的第10个月需 (1)设n年内（本年度为第一年）总投人为am 交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电 万元，旅游业总收人为bn万元，写出an,b 实际花了多少钱？ 的表达式； [思路探究]构建等差数列模型，利用等差 (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过 数列的前n项和公式求解， 总投入？ [尝试解答] [思路探究](1)由题设知各年的投入费用 及旅游业收入分别构成等比数列，利用等比 数列的前n项和公式易得am与bn;(2)建立 am与bm的不等关系，解不等式即得. [尝试解答] 通性通法 解题时务必要注意第一次付款的利息是 1000元欠款的利息，而不是950元的利息， 而最后一次付款的利息是50元欠款的利息. ·70 第五章数列 通性通法 ★跟踪训练 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化 5.某布商在10月20日购进4000匹布，10月 时，则考虑构建等比数列模型.其解题步骤为： 21日开始销售，他每天都销售前一天库存 (1)由题意构建等比数列模型（有时需要从特 布匹数目的20%，然后新进1000匹新布入 殊情况入手，归纳总结出一般规律，进而 库.设第n天进货后库存布匹的数目为an 构建等比数列模型)； (1)求an; (2)第几天开始当日进货后库存布匹不少于 (2)确定其首项a1与公比q,分清是求第n项 4900匹？ an,还是求前n项和Sn; (3)利用等比数列的通项公式及前n项和公 式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案. 》 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 5.现存入银行10000元钱，年利率是3.60%， 1.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟 那么按照复利，第5年末的本利和是( 末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 A.10000×1.0363 B.10000×1.036 2个，现在有一个这样的细菌和100个这样 C.10000×1.036 D.10000×1.036 的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 6.一个工厂的生产总值月平均增长率是p,那 ( 么年平均增长率为 A.6秒钟 B.7秒钟 7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一 C.8秒钟 D.9秒钟 天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2.某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材 2倍，则需要的最少天数n(n∈N)等 以每年25%的增长率生长，而每年末都砍 于 伐固定的木材量x立方米，为实现经过两次 8.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经 砍伐后的木材的存量增加50%，则x的 值是 ( 过一年，剩余的物质为原来的，则经过 A多 B c n斋 年，剥余的物质是原来的，器 3.某工厂2016年年底制订生产计划，要使工 9.某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中 厂的年总产值到2026年年底在原有基础上 第1天、第4天、第7天所走的路程之和为 翻两番，则年总产值的平均增长率为( 390里，若从第2天起，每天比前一天多走 A.4-1 B.5-1 的路程相同，问该男子第5天走多少里，这 是我国古代数学专著《九章算术》中的一个 C.36-1 D.4-1 问题，请尝试解决， 4.某小镇在今年年底统计有人口20万，预计 人口年平均增长率为1%，那么五年后这个 小镇的人口数为 () A.20×(1.01)5万 B.20×(1.01)4万 c20×生0万 以20x生0-万 ·71· 高考总复习数学 [综合题组练] (1)到第一个月底，货主在第一次还款之前 1.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸 他欠商店多少元？ 时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格 (2)假设货主每月还商店a元，写出在第i(i =1,2,…,36)个月末还款后，货主对商店欠 为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共 款数的表达式 可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两 种规格的图形，它们的面积之和S,=240dm, 对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm× 6dm,20dm×3dm三种规格的图形，它们 的面积之和S2=180dm2,以此类推，如果 对折n次，那么S, ( A23+” B.3+n十3 2 C.240 2.朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一， 他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问 中有如下问题：“今有官司差夫一千六百二 十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转 多八人.”其大意为“官府陆续派遣1624人 前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天 开始每天派出的人数比前一天多8人”，则 在该问题中的1624人全部派遣到位需要 的天数为 ( A.12 B.14 C.16 D.18 3.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步 价为10元，即最初的4km(不含4km)计费 10元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14km处的目的地，且一路畅通，等候时间 为0，需要支付车费 元 4.某商店采用分期付款的方式促销一款价格 每台为6000元的电脑.商店规定，购买时 先支付货款的3，剩余部分在三年内按每月 底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的 利息.已知欠款的月利率为0.5%. ·72·高考总复习数学 (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列 由题夜条件可得片二中么=6， 又b1=1,所以{b,}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a=2-1,所以a,=n·2-1 [例3][解析]：{an}是递增的等比数列，.由a1a 2ai十a2a,=144,a5-a3>0,可得a号-2a3a5十a=144, (a5-a3)2=144,∴.as-a=12,故选D. [答案]D 跟踪训练 1.解：(1)根据等比数列的性质，可得a?·a·a,=a= 512,解得as=8. 说载列a,的公比为g,则a,=号a=8时， 由题模可得（号一1）十(8财-9）=2X(8-3》=10, 解得q2=2或2 {an}是递增数列，可得q>1,g=2,得g=√2. 因此a5=a1g=4a1=8,解得a1=2. (2)由(1)得{an}的通项公式为an=a1g-1=2X(√2)n-1 =(W2)+1,.a=[(W2)"+1]=2+1, 可得{a}是以4为首项，2为公比的等比数列. 因北S,=a+a+…十a=4-2）=2g+:-4 1-2 2.解：(1)证明：由题意，n=1时，S1十a1=0, 即a=0,n≥2时，S+S,S1=2S,-Sn元 品日 所以别{5一品}以为首项，是为公比的等 比数列】 (2)由(1)知，S。 (2)（)=-()广· 所以=一（） 1 3.B[设{a,}的公比为g,由a1=3,a十a十a=21得1十q 十g=7,解得g=2(负值舍去).∴.a十a十a,=a1q十aq 十a5g=(a1十a十a5)g=21X2=42.故选B] 突破·高效演练基础题组练 1.A 2.A[根据等比数列的性质可得a1a,=a2as=aa?=a1a6 =a=9,又an>0,所以a5=3,所以loga1十loga5十 loga=log(a1a5am)=log(a)=log33=3.故选A.] 3.C 4.D[依题意，等比数列{a,}的公比g=二a-28=2, a1-a114 则a1-a1=a1(g-1)=7a1=14,解得a1=2.因此a,= a191=2”,所以a20s=28.] 5.B[由S.=1-9) 1-9a1=1,q=2. 当S-127时，图127号解得发-7放选B] 6.解析：记该人每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比 9=2的等比数列， a1-2 由S=378,得S6= =378,解得a1=192, 1一2 ·25 所以a,=192×-6 答案：6 7.解析：由等比数列的性质得a=aa5,又因为aa=4(a1 -1),所以=4(a,-1),解得a,=2.又a1=子，所以 g-24=8,解得g=2. 答案：2 8.解析：a,+1-2a,=0,.82出=2=g,a4=a1g2,-1= an aX2,“a=-子，故答案为- 答案：-十或-0,25 9.解：(1)设{an}公差为d,由S。=-27,S1o=-40得， ,+24=-27 10a1+10X9d=-40 ,解得1=5 (d=-2 2 ∴.an=5-2(n-1)=7-2n. (2)由bn=an十2”，得bn=7-2n十2”，∴.Tn=Sn十 21-22=m×5+nm2D×(-2)+2+1-2=-m2+ 1-2 2 6n十2m+1-2. 综合题组练 1.A[as(a2十2as十a1o）=asag十2a+asa1o=ai+2a1ag 十a=(a1十ag)2,因为a1十as=-2,所以a6(a2十2a6十 a10)=4.J 2.B[设公比为q,由题意得4a2=4a1十a,即4a1q=4a 十a1g,又a1≠0，所以4q=4十q,解得q=2,所以S1= 1×(1-2)=15,故选B.] 1-2 A[:等地数到 =-2,.q=-2,x=3×(-2)= 一6，故选A.] 4.解析：由a=a,得(a9)2=ag,整理得g=1=3. a 5.=3X(1-3)120 1-3 31 省案 5.解：(1)设{an}的公比为q,由题设得an=g-1. 由已知得q=4g,解得q=0(舍去)，g=-2或q=2. 故an=(-2)"-1或an=2”-1 (2)若a,=(-2)=1,则S.=1-（-2) 由Sm=63得（一2）m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2”-1,则Sn=2”-1.由Sn=63得2m=64,解得m =6.综上，m=6. 5.4 梳理·必备知识知识点一 数列模型等差等比项求和 知识点二 1.本利和本利和2.P(1十r)”N(1十r)P(1十r) 基础自测 1.(1)/(2)/(3)/ 2.C[设现在的成本为x,则x(1一g%)=a, 故x=0-g%).] 3.D[设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率 为r,则(1+p%)(1十q%)=(1十r). 于是r=√(1十%)(1十g%)-1.] 6 4.B[-1<k<0,.0<k十1<1，pn>0, 又D+1=p(1十k)” p.p1十)T=1+k<1,…p+1<p. 即数列{p〉为递减数列.」 5.解析：如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20000十 (200000一20000)X5%=29000(元).如果采用“等额本 息还款法”每年应还200000×5%(1十5%) (1十5%)10-1 ≈25901（元）. 答案：2900025901 6.解析：设第n年投入资金为am万元，由题意可知an+1= an(1十30%)=1.3an. ∴.{an}为首项a1=500,公比为1.3的等比数列， s-5030-5091.32-1D 1-1.3 答案：500(1.3-1) 提升·学科素养 [例1][解](1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构 成a1=15,d=-2的等差数列，则 S=na+an2D4=15m+"2×(-2 2 2 =-n2+16n. 当n=8时，(Sn)mx=Sg=64. 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米， (2)不能超过. 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1=15,g=0.8的 等比数列， 则S.=414）=151-0.8)=75(1-0.8)<75. 1-9 0.2 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米. [例2][解](1)设每期存入金额A,每期利率P,存入 期数为n,则各期利息之和为 AP+2AP+3AP+…+nAP= 之n(n+1)Ap. 连同本金，就得： 本利和=nA+子(n+1DAP=A[a+合a十1DP] (2)当A=100,P=5.1%0,n=12时， 本利和=100×(12+号×12×13×5.1%）=1239.78（元）， (3)将(1)中公式变形得 A=- 本利和 1 n+2n(n+1)P 2000 ≈161.32（元）. 12+号×12×13×5.1% 即每月应存入161.32元. [例3][解]依题意每一年的本息和构成数列{an,则 2025年2月1日存入的a元钱到2026年1月31日所得 本息和为a1=a(1十r). 同理，到2027年1月31日所得本息和为 a2=[a(1十r)+a](1十r)=a(1十r)2+a(1十r), 到2028年1月31日所得本息和为 [a(1十r)十a(1十r)十a](1+r)=a(1十r)3十a(1十r) +a(1十r), 到2029年1月31日所得本息和为 [a(1十r)十a(1十r)2十a(1十r)+a](1+r)=a(1十r) +a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r), 到2030年1月31日所得本息和为 [a(1+r)1+a(1+r)3十a(1十r)2+a(1十r)十a](1+r) =a(1+r)i+a(1+r)'+a(1+r)3+a(1十r)'十a(1十r), 所以2030年2月1日他可取回的钱数为 a(1十r)5十a(1十r)1十a(1+r)3十a(1十r)2十a(1+r)= a.1+)L+)]=a[1+m°-1+)]（元. 1-(1十r) r ·25 参考答案 [例4幻[解]购买时付款150元，欠1000元，以后每月 付款50元，分20次付清.设每月付款数顺次构成数列 {an},则 a1=50+1000×1%=60, a2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1, a4=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5×2, 中年中中年中 a10=50+(1000-50×9)×1%=55.5=60-0.5×9, 则a,=60-0.5(n-1)=-0.5n十60.5(1≤n≤20). 所以数列{an}是以60为首项，一0.5为公差的等差 数列， 所以付款总数为S。十150=20X60+20X19× 2 (-0.5)十150=1255（元）. 所以第10个月需交55.5元，全部付清实际花了1255元. [例5][解](1)第一年投入为800万元，第二年投入为 80(1-号)万元…第n年投入为80(-君）万 元，各年投入很次构成以800为首项，1-吉-号为公比 的等比数列，所以n年内的总投入为a。= o[-(台)140-460o () 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 40（1+寻)万元，…，第n年旅游业收入为400 (+) 万元，各年旅游业收入依次构成以400为首 1 项，1十4 三为公比的等比数列，所以n年内的旅游业 总收入为 b= -1600. 1 5 4 (2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则b -a.>0,即1600()-1600-4000+400（号）】 >0, 化简得2()+5()】 -7>0. 设（告）=x,代入上式得5x-7x+2>0, 根据二次函数y=5x2一7x十2的图象解此不等式， 得<号或>1含去， 即（告）”<号，由光得≥5. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入」 跟踪训练 1,C[依题意可解甲分小米斤数为a1,公差为d,则乙 丙、丁、戊依次为a1十d,a1十2d,a1十3d,a1十4d,则有 2d+a十3d+a+4d=15'解得{=8， ∫a1+a1+d=15 (d=-1'故 选C.] 2.解：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1十2.7%0)十A (1十2×2.7%)十…十A(1十36×2.7%)=20000，利 用等差数列前n项和公式，得A(36十36X2.7%十 36X35×2.7%0）=20000,解得A≈529元. 2 (2)由于教育储蓄的存款总颜不超过2万元，所以3年期 教育储蓄每月至多存入20000≈555（元），这样，3年后 36 的本息和为：555(1+2.7%0)十555(1十2×2.7%0)十…十 高考总复习数学 555（1+36×2.7%0)=555 (36+36×27%+36X5×2.7%)20978(元). 3.解：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金. 2023年底剩余资金是1000(1十50%)一x; 2024年底剩余资金是[1000(1+50%)一x]·(1+ 50%)-x=1000(1十50%)2-(1+50%)x-x: … 5年后达到资金 1000(1+50%)5-(1+50%)'x-(1+50%)x-(1+ 50%)2x-(1十50%)x=2000, 解得x=459(万元). 4.解：由题意知借款总额a=200000(元)，还款次数n=12 ×10=120, 还款期限m=10(年)=120（个月），月利率r=3.375%. 代入公式得，每月还款数额为： 200000×0.003375×1+0.03375)≈2029.6. (1+0.003375)20-1 故如果10年还清，每月应还贷约2029.66元. 5.解：(1)依题意，a1=4000(1-20%)十1000=4200，a+1 =号a,+100,a,1-500=号a,-500),又a 5000=4200-5000=-800,∴.{an-5000}是以-800 为首项，号为公比的等比数列，“a,-5000=-800× (号) 一1 刀一1 4 ,.a,=5000-800×(5) (n∈N"). ②◆a,≥490.中500-80×（停） ≥4900，解得 n≥10.32.故第11天开始当日进货后库存布匹不少 于4900匹 突破·高效演练基础题组练 1.B2.C3.A4.A5.C 6.解析：一年12个月，故1月至12月产值构成公比为1十 力的等比数列，设去年年底产值为a,∴a12=a(1十p), ÷年平均增长率为a1十p)-0=1十D》-1. a 答案：(1十p)12-1 7.解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an, 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得21二？)≥10，即2≥51， 1-2 而25=32,2=64，n∈N+,所以n≥6. 答案：6 8,解析：经过一年，剩留物质为原来的行， 经过二年，制留物质为原来的（号）， 经这三年，制留指质为原未的（侍）=器， 64 则经过3年，剩余的物质是原来的25： 64 答案：3 9.解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所 以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该 数列为{an},第1天走的路程数为首项a1,公差为d,则 S,=1260,a1十a1十a,=390.因为S.=na,+nn,Dd, 2 an=a1+(n-1)d,所以9a1十21d=1260 2 (a1+a1+3d+a1+6d=390 解得/a=100 导{d=10,则a=a十4d=100+4X10=140.所以 该男子第5天走140里. ·25 综合题组练 1,D[由题意得，对折n次有n十1种类型，S,=20(n十 2 1D因此名5，=240· 2+3 240·22+…十+是 2 2）因光25=240· 人上士十“十m一1)】 (1+ 22”+1 240(侵-) ÷8s=240·(3-"生）门 2.B[根据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可 得数列{a,是首项a1=64,公差d=8的等差数列，设 1624人全部派遣到位需要的天数为n,则64m+n(n,) 2 ×8=1624,由n为正整数，解得n=14.] 3.解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4k 时，每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一 个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处 的车费，公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时，n =11,此时需要支付车费a11=11.2十(11一1)×1.2= 23.2(元). 答案：23.2 4解：1)因为购买电脑时，货主欠商店号的赏款，即600 ×号=400（元），又接月利率0.5%算，到第一个月底 的欠款数应为4000(1十0.5%)=4020（元）. (2)设第i个月底还款后的欠款数为y:,则有y1=4000 (1十0.5%)-a y2=y(1+0.5%)-a=4000(1十0.5%)2-a(1 十0.5%)-a, y=y2(1十0.5%)-a=4000(1十0.5%)3-a(1+ 0.5%)2-a(1十0.5%)-a, :=y-1(1十0.5%)-a=4000(1十0.5%)-a(1+ 0.5%)-1-a(1十0.5%)-2-… 由等比数列的求和公式，得y=4000(1十0.5%) -a 1+0.5%)-1（i=1,2,…,36). 0.5% 第六章6.1 梳理·必备知识知识点一 1.(1)大小方向(2)起点方向长度AB长度 AB2.(1)长度AB(2)0(3)1个单位长度 3.相同相反共线向量平行0∥a 知识点二 1.(1)两个向量和(2)a十b首尾相连(3)平行四边形 2.(1)川a-b1a+b(2)a+b (3)b-al lal-b1 知识点三 1.相等相反0一b02.相反向量BA终点 终点 思考：如图，以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则两 条对角线所对应的向量AC=a十b,DB=a一b,这一结论在 以后的学习中应用非常广泛！ 6 a+b 3.(1)1a-b|a+b(2)a-b1 (3)a+b