5.3 等比数列-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

1 1 6.解析，b=B+E,-迈=B-E5+E-5 2 2 2 答案：√5 7.解析：设An=kn(7n十45)，Bn=kn(n十3)，则n>1,n∈ N时a,=A.-A1=1n+38)6=(2m+2,则云 x7-号会--告片以号 k(2×7+2)2b1 a=17+41_46 6 答案：3 8.解：(1)证明因为a,=4-4(m≥2)， an-1 所以a1-2=2-生-2a。-2(m≥1). an an 1 an 1 a1-22(a,-②=2+a,-2n≥10， 所以 1 11 a+1-2a,-2=2(n≥1)， 所以 即61一6，=子(n≥1).所以数列么是以受为首项，以 合为公差的等差数列。 (2由山)加{a}是公差为2的等送数列， 1 1 所以。 解得a,=2+2 所以数列{a,}的通项公式为a,=2十2 n 9.解：：a+1一an=2为常数，∴.{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，.an=1十2(n-1)=2n-1. 综合题组练 1.D[由S.=10a4,可得5Xa+a+4d-=10(a,十5d. 2 解得a=-8d,所以S.=a十之n(n-1)d=号 [(a-号)-2婴]因为d<0,所以当m=8或9时，5 最大.故选D. 2.C[通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3十a11 3a5=10,得4(a1+2d)+(a1+10d)-3(a1+4d)=10, 即2a1十6d=10,即a1十3d=5,故a,=5,所以号a,=1, 故选C. 优解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an=am十(n一 m)d,所以由4a十a11-3a5=10,得4(a1一d)+(a1十 7d)-3(a,十d)=10,整理得a,=5,所以号a=1,故 选C.] 3.解析：设等差数列{an}的公差为d,则S=3a,=3(a1十 d).又S=a5,则3(1十d)=1十4d,解得d=2.所以am =a1十(m-1)d=2m-1=2027,解得m=1014. 答案：1014 4.解：1)2a+1-a,=0,2a+1=a,.0=2,a2 an+l an =,即=合a.=a·g=1×(分)】 1 21(m-1)=2n+1. (2)bn=l0g2an,∴.bn=l0g22n+1=-n十1，当n=1时， b1=0,当n=2时，b2=一1，当n=3时，b=一2，∴.数列 为等差数列，S。=90×0+90X89×(-1)=-4005. 2 ·25 参考答案 5.3 梳理·必备知识知识点一 1.第2项比同出2.Gb 知识点二 1.a1g”-1 2.na1 a(1-9)a1-a9 1-9 1-g 知识点三 1.a。·aa a 知识点四 1.递增数列递减数列 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 2.B[设方程的两根分别为x12,由根与系数的关系，得 x1x2=4,∴.两根的等比中项为士√1x=士2.] 3.A[{a,}是等比数列，a1=1,a,=-2,公比g=2 a =-2,.a,=a1g=1×(-2)8=256,所以选A.] 4.C[由已知条件及S=a1十a2十a3,得a=9a1,设数列 {an}的公比为q,则g=9,所以a5=9=a1·g=81a1, 得a,=寸] 5,解析：因为a1=2,a+1=2a,所以a,≠0，故2出=2. an 所以数列{an}是公比为2的等比数列，因为Sn=126,所 以21？)=126，所以2”=64，故n=6. 1-2 答案：6 6,解析：设该数列的公比为q,由题意知， 243=9×q3,得q=27,所以q=3. 所以插入的两个数分别为9×3=27,27X3=81. 答案：27,81 提升·学科素养 [例1][解](1)①当公比q=1时， a,=号8== ②当g≠1时， a=是s=号 9 ag2=3,a11-g9 21-9 2’ 1 解得a1=6,q=一2' 此时a,=6·() 综上所述，数列{an}的通项公式为 a.-- a.=6…(合) (2)0当a,=号时，6.=10ega 6-2 故Tn=2n; @当a=6(）时， b=log2 6-=2n a2m+1 此时T,=2.,D=n(n十1). 2 综上所述，Tn=2n或Tn=n(n十1). [例2][解]（1)由条件可得a,1=2D。 将n=1代入，得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入，得a=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. 5 高考总复习数学 (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列 由题夜条件可得片二中么=6， 又b1=1,所以{b,}是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a=2-1,所以a,=n·2-1 [例3][解析]：{an}是递增的等比数列，.由a1a 2ai十a2a,=144,a5-a3>0,可得a号-2a3a5十a=144, (a5-a3)2=144,∴.as-a=12,故选D. [答案]D 跟踪训练 1.解：(1)根据等比数列的性质，可得a?·a·a,=a= 512,解得as=8. 说载列a,的公比为g,则a,=号a=8时， 由题模可得（号一1）十(8财-9）=2X(8-3》=10, 解得q2=2或2 {an}是递增数列，可得q>1,g=2,得g=√2. 因此a5=a1g=4a1=8,解得a1=2. (2)由(1)得{an}的通项公式为an=a1g-1=2X(√2)n-1 =(W2)+1,.a=[(W2)"+1]=2+1, 可得{a}是以4为首项，2为公比的等比数列. 因北S,=a+a+…十a=4-2）=2g+:-4 1-2 2.解：(1)证明：由题意，n=1时，S1十a1=0, 即a=0,n≥2时，S+S,S1=2S,-Sn元 品日 所以别{5一品}以为首项，是为公比的等 比数列】 (2)由(1)知，S。 (2)（)=-()广· 所以=一（） 1 3.B[设{a,}的公比为g,由a1=3,a十a十a=21得1十q 十g=7,解得g=2(负值舍去).∴.a十a十a,=a1q十aq 十a5g=(a1十a十a5)g=21X2=42.故选B] 突破·高效演练基础题组练 1.A 2.A[根据等比数列的性质可得a1a,=a2as=aa?=a1a6 =a=9,又an>0,所以a5=3,所以loga1十loga5十 loga=log(a1a5am)=log(a)=log33=3.故选A.] 3.C 4.D[依题意，等比数列{a,}的公比g=二a-28=2, a1-a114 则a1-a1=a1(g-1)=7a1=14,解得a1=2.因此a,= a191=2”,所以a20s=28.] 5.B[由S.=1-9) 1-9a1=1,q=2. 当S-127时，图127号解得发-7放选B] 6.解析：记该人每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比 9=2的等比数列， a1-2 由S=378,得S6= =378,解得a1=192, 1一2 ·25 所以a,=192×-6 答案：6 7.解析：由等比数列的性质得a=aa5,又因为aa=4(a1 -1),所以=4(a,-1),解得a,=2.又a1=子，所以 g-24=8,解得g=2. 答案：2 8.解析：a,+1-2a,=0,.82出=2=g,a4=a1g2,-1= an aX2,“a=-子，故答案为- 答案：-十或-0,25 9.解：(1)设{an}公差为d,由S。=-27,S1o=-40得， ,+24=-27 10a1+10X9d=-40 ,解得1=5 (d=-2 2 ∴.an=5-2(n-1)=7-2n. (2)由bn=an十2”，得bn=7-2n十2”，∴.Tn=Sn十 21-22=m×5+nm2D×(-2)+2+1-2=-m2+ 1-2 2 6n十2m+1-2. 综合题组练 1.A[as(a2十2as十a1o）=asag十2a+asa1o=ai+2a1ag 十a=(a1十ag)2,因为a1十as=-2,所以a6(a2十2a6十 a10)=4.J 2.B[设公比为q,由题意得4a2=4a1十a,即4a1q=4a 十a1g,又a1≠0，所以4q=4十q,解得q=2,所以S1= 1×(1-2)=15,故选B.] 1-2 A[:等地数到 =-2,.q=-2,x=3×(-2)= 一6，故选A.] 4.解析：由a=a,得(a9)2=ag,整理得g=1=3. a 5.=3X(1-3)120 1-3 31 省案 5.解：(1)设{an}的公比为q,由题设得an=g-1. 由已知得q=4g,解得q=0(舍去)，g=-2或q=2. 故an=(-2)"-1或an=2”-1 (2)若a,=(-2)=1,则S.=1-（-2) 由Sm=63得（一2）m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2”-1,则Sn=2”-1.由Sn=63得2m=64,解得m =6.综上，m=6. 5.4 梳理·必备知识知识点一 数列模型等差等比项求和 知识点二 1.本利和本利和2.P(1十r)”N(1十r)P(1十r) 基础自测 1.(1)/(2)/(3)/ 2.C[设现在的成本为x,则x(1一g%)=a, 故x=0-g%).] 3.D[设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率 为r,则(1+p%)(1十q%)=(1十r). 于是r=√(1十%)(1十g%)-1.] 6高考总复习数学 [综合题组练] 4.在数列{an}中，an>0,a1=1,2am+1一am=0. 1.已知等差数列{a,n}的公差d<0,前n项和 (1)求数列{an}的通项公式； 为Sn,若S5=10a6,则当Sn最大时，n= (2)若bn=log2an,求数列{bn}的前90项 和So. A.8 B.9 C.7或8 D.8或9 2.在公差不为0的等差数列{an}中，4a3+a1 30,=10,则5a, A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 =1,S3=a5,am=2027,则m= 5.3 等比数列 》 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一] 等比数列的有关概念 [知识点四]常用结论 1.定义 1.等比数列的单调性： (1)文字语言：一个数列从 起，每一项与 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，{an}是 它的前一项的 都等于一个常数 (非零). 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时，{am}是 (2)符号语言： =q(n∈N*,q为非零 当q=1时，{an}是常数列. 常数). 2.等比数列与指数函数的关系： 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么 叫作a与b的等比中项.即G=· 当q≠1时，a,-·q,可以看成函数y= [知识点二]等比数列的有关公式 c,是一个不为0的常数与指数函数的乘 1.通项公式：am= 积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数 2.前n项和公式 y=cg的图象上. S,= 9=1, 3.等比数列{an}的前n项和Sn=A十B·C"台 9≠1. A十B=0,公比q=C(A,B,C均不为零) [知识点三]等比数列的性质 [基础自测] 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 和.(m,n,p,q,r,k∈N*) (1)满足an+1=qan（n∈N°，q为常数)的数列 {an}为等比数列. ( 1.若m十n=p十q=2r,则am·an= = (2)G为a,b的等比中项台G=ab.() 2.数列am’am+k,am+2,am+,…仍是等比 (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lgan} 是等差数列 () 数列； (4)若数列{an}的通项公式是an=a”,则其前n 3.数列Sm,Sm一Sm,S3m一Sm,…仍是等比数 列（此时{an}的公比q≠一1）. 项和为Sn=a1-a") 1-a ·64· 第五章数列 (5)若数列{an}为等比数列，则S4,S8一S4,S12 4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3= 一Sg成等比数列， ) a2+10a1,a5=9,则a1= ( ) 2.方程x2一5x+4=0的两根的等比中项是 ( A B- c D.-号 A. B.士2 C.±√5 D.2 5.数列{an}中a1=2,a+1=2an,Sn为{an}的 3.在等比数列{an}中，a1=1,a2=一2，则a= 前n项和，若Sn=126,则n ( 6.在9与243中间插入两个数，使它们同这两 A.256 B.-256 C.512 D.-512 个数成等比数列，则这两个数为 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一等比数列基本量的运算 (1)求{am}的首项和公比； [例1]设等比数列{an}的前n项和为Sn,已 (2)设Sn=a十a+…十a,求Sn 9 知a3= 21 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设b.=1oga2+ ,求数列{b.}的前n项 和Tn 专点二等比数列的判定与证明 [尝试解答] [例2]已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n 十1)a,设6.-2 n (1)求b1,b2,b3: (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明 理由； (3)求{an}的通项公式. [尝试解答] 通性通法 等比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首项a1和公比g确定， 所有关于等比数列的计算和证明，都可围 通性通法 绕a1和g进行. 等比数列的判定方法 (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件， 就可以通过列方程（组）求出a1,g.如果再 (1)定义法：若2+=q(g为非零常数，n∈ a. 给出第三个条件就可以完成a1,n,q,am, N)或am=q(g为非零常数且n≥2，n Sn的“知三求二”问题， an ★跟踪训练 ∈N*),则{a,}是等比数列. 1.已知递增等比数列{an)的第三项、第五项、 (2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且 第七项的积为512，且这三项分别减去1,3， a+1=an·an+e(n∈N),则数列{an}是 9后成等差数列. 等比数列 ·65· 高考总复习数学 (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a。 专点三等比数列前项和及性质的应用 =c·q”(c,q均是不为0的常数，n∈ [例3] 已知数列{an}是递增的等比数列，且 N*),则{an}是等比数列. a4a6-2a+a2a4=144,则a5-a3= (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和 A.6 B.8 C.10 D.12 Sn=k·q”一k(k为常数且k≠0，q≠0， 通性通法 1),则{an}是等比数列. 等比数列性质应用问题的解题突破口 食跟踪训练 等比数列的性质可以分为三类：一是通 2.设数列{an}的前n项和为Sn,满足：Sn十an 项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三 n-1 n(n+1)n=1,2,…,n. 是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真 分析，发现具体的变化特征即可找出解决问 山求证：数列{5.十}是等比数列： 题的突破口. (2)求Sn ★跟踪训练 3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1十a3十a =21,则a3十a5十a,= A.21 B.42 C.63 D.84 》 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 为：“有一个人走378里路，第一天健步行 1.已知{a,是等比数列a,=4,公比g=,则 走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天 的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最 a5= ( 后一天走的路程为 里 A B C. 7.等比数列a,满足a=子a,a=4a-1D,则 2.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3· 9= a7=9,logsa+logsas +logsas=( 8.已知数列{an}满足an+1-2an=0,且a3=-1, A.3 B.4 C.5 D.6 则a1= 3.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3= 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S。=一27， 3a1+2a2,则公比q= S10=-40. A.1 B.2 C.3 D.4 (1)求数列{an}的通项公式； 4.等比数列{an}中a4-a1=14,a5一a2=28, 则a2026= A.22023 B.22024 C.22025 D.22026 5.等比数列{am}中，a1=1,公比q=2,当Sn= 127时，n= () A.8 B.7 C.6 D.5 6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个 问题：“三百七十八里关，初日健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意 ·66· 第五章数列 (2)设bn=an十2”，求数列{bn}的前n项 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1= 和T 1 3ai=a6,则S,= 5.等比数列{an}中，a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63, [综合题组练] 求m. 1.已知等比数列{an}中，a4十ag=一2，则 a6(a2十2a6十a1o)的值为 () A.4 B.6 C.8 D.-9 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2, a3成等差数列.若a1=1,则S4= () A.16 B.15 C.8 D.7 3.(2023·春招，6)若3，x,12,一24成等比数 列，则实数x的值是 () A.-6 B.-8 C.6或-6 D.8或-8 5.4等差数列和等比数列的应用 》 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]数列应用题的解题步骤 2.常用公式 解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题 ①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金 目，认真审题，将实际问题转化为 为P元，每期利率为r,存期为n,则本利和 ②挖掘题目的条件，分析该数列是 数 S- 列，还是 数列，分清所求的是 的问 ②产值模型：原来产值的基础数为N,平均 题，还是 问题.③检验结果，写出答案. 增长率为r,对于时间x的总产值y = [知识点二]三种常见的应用模型 ③单利公式：利息按单利计算，本金为P 1.①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的 元，每期利率为r,存期为，则本利和为S 现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部 ,这是整取，规定每次存入的钱不计 [基础自测] 复利（暂不考虑利息税）. 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） ②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为 (1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成 定期存款自动转存.例如，储户某日存入一 一个等差数列. () 笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不 (2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成 取出本利和，则银行自动办理转存业务，第 一个等比数列. () 2年的本金就是第1年的 (3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生 ③分期付款：分期付款是购物的一种付款方 “乘数”效应 () 式.即将所购物的款数在规定的期限内按照 2.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后 一定的要求，分期付清. 成本为a,则现在的成本是 () ·67·