5.2 等差数列-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习 数学 5.2 梳理·必备知识知识点一 1.第2项差同aw+r-an=d2.A 知识点二 1.a+(n-Dd 2.na+un Dd-u(ata.) 2 2 知识点三 1,(n-m)d2.a6十a=an十a。3.2d4.等差5.等差 基础自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)/(6) 2.D[a2=a3十4d=2十4×6.5=28，故选D.] 3.A[因为等差数列{an}中，ag=1,ag=7,所 以fa+2d=1 a1+8d=71 解得d=1 {a,=一1故选A.] a1+d=2 4.B[由题意可得 4+71-6中+。 (a1+3d=81 1d=3 5.解析：因为a+1一a。=3,n∈N”,所以数列{an}是公差为3 的等差数列，又因为a1=2,所以a。=2十3(n-1)=3n-1. 答案：a.=3n-1 6.解析：由等差数列的性质可得 a3十a2=a4十a6=2a5, 又因为aa十a1十a5十a6十a?=450, 所以5a5=450,a5=90,所以a2十a8=2a5=180. 答案：180 提升·学科素养 [例1][解析](1)a1=1,a+1一3=an.a+1一am= 3,.数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴.an =a1+(n-1)d=1+3(n-1)=2026,解得n=676. 故选D. (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 因为{气三8·听以4，十10，解存5 (a1+4d=5 1d=2 以an=a1十(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,S。=na +nnDd=n2-4n.故选A 法二：设等差数列{an}的公差为d, 因为/S,=0 了。.所以41十21=0，解得a=一3 2 (a,+4d=5 1d=2 选项A,a1=2×1-5=-3: 选项B,a1=3×1-10=-7,排除B; 选项C,S1=2-8=-6,排除C; 选项DS=合-2=一号，排除D,故选A [答案](1)D(2)A [例2][解](1)由已知，得a2一2a1=4, 则a2=2u1十4，又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a1=15. (2)由已知am+1-(n+1)a,=2n2+2n, 得a二（m十1)a=2,即a出-a=2. n(+1) n+1 n 所以数列品}是首项为=1，公差为d=2的等差数 n 列.则4=1+2(n-1)=2m-1, 所以an=22-n. ·25 [例3][解析][由等差中项的性质可得，a3十a6十as十 a11=4a2=12,解得a=3,,a2十a11=2ag,∴.2ag-a1= a2=3.故选B.] 答案]B [例4幻[解析]设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 由S=号a,+a,)=号×2a,=-10,得a,=-2 ∴.d=a3-a2=-2-(-3)=1,.a1=-3-1=-4, .a5=a1+4d=-4+4=0. 解法-：：a,=-4,d=1,S.=-4m+"1×1= 2 1 n∈N,∴.当n=4或5时，Sn取最小值，为S=S= -10. 解法二：，a1=一4，d=1,.4。=一4十(n一1)×1=n- 5.由am≤0得n≤5，且n=5时，a,=0,故当n=4或5 时，S取最小值，为S,=S=5X(4+0)=-10. 2 [答案]0一10 跟踪训练 l.B[法一：设等差数列{an}的公差为d,由已知得 a十d十a,十2d+a+3d=15解得01'所以S= 1a+6d=13, 1d=2, 5a+54=5X1+×2=25,故选R 2 法二：由{an}是等差数列，可得a2十a:=2aa,所以ag= 5,所以S.=5(a十a_5X2a=25,故选B.] 2 2 2.证明：周为4，=2-（≥2，nEN),-a,白 1(∈ N), 1 所以b+1一b.a+1-a, ,2气a-1.又6==-号 =4m1 5 所以数列山，}是以-；为首项，1为公差的等差数列. 3.解析：由题意知41十a2十…十ag=36,① a,十a。-1十am-2十…十am-5=180,② ①+②得(a1+an)十(a2+am-1)十…十(a6十an-s) =6(a1+an)=216, .a1十am=36, 又S.=n(a+a) 2 =324,.18n=324,.n=18. 答案：18 4.解析：由已知得b2=a=S-S4=3X25-3X2=48, b0=S3=3×23=24. 设等差数列{b}的公差为d, 则8d=bo-b2=-24,d=-3, 所以bn=b2+(n-2)d=48-3(n-2)=54-3n, 所以当1n18时，bn≥0，当n≥19时，bn<0, 所以T,取最值时n=17或18. 答案：17或18 突破·高效演练基础题组练 1.A 2.C[数列{un}为等差数列，若41+a225=2026,则 2a1o13=2026,解得a1o1a=1013.] 3.C 4.C[由等差数列的通项公式，得b=a十(4一1)d, 所以d=6写 5.B[由{an}是等差数列，得S,S,-S3,S-S6为等差 数列.即2(S。一S)=S3十(S4一S:),得到S。一S.=2Ss -3S3=45,故选B.] 1十 1 6.解析：“+力-B+巨，5=巨--巨+巨- 2 2 2 答案：√5 7.解析：设Am=kn(7n十45)，Bn=kn(n十3)，则n>1,n∈ N”时，a,=A。-A,-1=k(14n十38)，b,=k(2十2)，则4 +-号会计》-是片以会 k(2X7+2)=2'b1 +49=17+41=46 2十6=3 46 答案：3 8.解：1)证明因为4。=4-4（m≥2)， d-1 所以a1-2=2-1-2a。-2m≥1). an an 1 a。 1 1 a,:-2-2a.-2)=2+a-2n≥1， 所以 所以1 1 6-28-22m0 即61-6，=之(m≥1).所以数列6，}是以受为首项，以 号为公差的等差数列。 (2)由1)知{2}是公差为2的等差数列， 1 所以。 解得an=2十2 所以数列{a,}的通项公式为a,=2十2 9.解：am+1一an=2为常数，.{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，.an=1十2(n-1)=2n-1. 综合题组练 1.D[由S,=10a4,可得5Xa+a+4=10(a,十5d). 2 解得a=-8d,所以S。=a十号n(n-1Dd=号 [(-号)广-婴门同为4K0,所以当=8或9时：5 最大.故选D 2.C[通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a十au 3a=10,得4(a1+2d)+(a1+10cd)-3(a1+4d)=10, 即2a十6d=10,即a1+3d=5,故a=5,所以日a,=1. 故选C. 优解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an=am十(n一 m)d,所以由4ag十a-3a5=10,得4(a,-d)+(a,+ 7d)-3(a,十d)=10,整理得a,=5,所以号a4=1,故 选C.] 3.解析：设等差数列{an}的公差为d,则S3=3a2=3(a1十 d).又Sg=,则3(1+d)=1+4d,解得d=2.所以am =a1+(m-1)d=2m-1=2027,解得m=1014. 答案：1014 4.解：1)2at1-a,=0,2a+1=a,0=2. =,即g=合,=a·g=1×(合)】 1 2-1n-1》=2-+1. (2)bn=log2an,∴.bn=log22+1=-n十1，当n=1时， b=0,当n=2时，b2=一1，当n=3时，b=-2,.数列 为等差数列，Sm=90X0+90X89X(-1D=-4005. 2 ·25 参考答案 5.3 梳理·必备知识知识点一 1,第2项比同出2.Gb 知识点二 1.a1g"-12.a1 ai(1-q")ai-anq 1-q 1-q 知识点三 1.an·aga 知识点四 1.递增数列递减数列 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 2.B[设方程的两根分别为x,x2,由根与系数的关系，得 x1x2=4,,两根的等比中项为士√1x2=士2.门 3.A[{a,}是等比数列，a1=1,a2=-2,公比g=2 a =-2,∴ag=a1g=1X(-2)8=256,所以选A.] 4.C[由已知条件及S=a1十a2十a,得a=9a1,设数列 {an}的公比为q,则q2=9,所以a5=9=a1·g=81a1, 得a,=号] 5解析：因为a1=2,a+1=2a,所以a,≠0，故。=2. 所以数列{an}是公比为2的等比数列，因为Sn=126,所 以21-？）=126，所以2”=64，故n=6. 1-2 答案：6 6.解析：设该数列的公比为q,由题意知， 243=9×q3,得q3=27,所以q=3. 所以插入的两个数分别为9X3=27,27×3=81. 答案：27,81 提升·学科素养 [例1][解](1)①当公比q=1时， ②当g≠1时， a=8=号 a1g2=8,41-g)9 21-g 2 解得a1=6,9=一2' 此时6：()】 综上所述，数列{a,}的通项公式为 an- 或a,=6(-) (20当a=号时，6=l0g 6=2 故T.=2: @当a=6(）时. b,=log2 6=21, a2n+1 此时T。=2.,+D=m(m+1). 2 综上所述，T,=2n或Tm=n(n十1). [例2][解](1)由条件可得a1=2D。 将n=1代入，得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入，得a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. 5第五章数列 5.2等差数列 》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]等差数列与等差中项 (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列. 1.定义： (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其 (1)文字语言：一个数列从 起，每一项 余各项都是它前一项和后一项的等差 与它的前一项的 都等于 一个常数； 中项 (2)符号语言： (n∈N*,d为常数). (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一 2.等差中项：若三个数a,A,b组成等差数列， 则 叫作a,b的等差中项 项的差都是常数，则这个数列是等差 [知识点二]等差数列的通项公式与前项 数列 ( 和公式 (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关. 1.通项公式：an= ( 2.前n项和公式：Sn= (6)若三个数a,b,c满足2b=a十c,则a,b,c [知识点三]等差数列的性质 一定是等差数列. 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. L.通项公式的推广：an=am十 2.在等差数列{an}中，a3=2,d=6.5,则a,= (n, m∈N*). ( 2.若k+l=m十n(k,l,m,n∈N*), A.22 B.24 C.26 D.28 则 3.等差数列{an}中，已知a=1,a,=7,则公差d= 3.若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列， ( 公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.若{bn}是等差数列，则{pan十qbn}也是 4.在等差数列{an}中，已知a2=2,前7项和 数列. S,=56,则公差d= ( 5.数列Sm,S2m一Sm,S3m一S2m…构成 数列. A.2 B.3 C.-2D.-3 [基础自测] 5.在数列{an}中，a1=2,a+1一an=3(n∈ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. N),则数列{an}的通项公式为 (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是 6.在等差数列{an}中，若a3十a4十a十a6十a 一个常数，那么这个数列是等差数列.( =450,则a2十ag= 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 吉点一等差数列的基本运算 (2)(2019·高考全国卷I)记Sn为等差数 列{an}的前n项和，已知S4=0,a=5,则 [例1](1)在数列{an}中，a1=1,an+1一3= an,若am=2026,则n= A.a-2n-5 B.am=3-10 C.S=2n2-8n A.673 B.674 C.675 D.676 D5.=2i-2m ·61· 高考总复习数学 通性通法 (4)前n项和公式法：数列的前n项和公式 等差数列的基本运算的解题策略 Sn是n的二次函数，且常数项为0. (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转 涉及五个量a1,an,d,n,S,知其中三个 化为定义法判断 就能求另外两个，体现了方程思想 食跟踪训练 (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题 2.已知数列a,满足a=号a,=2士≥2。 an-1 中起到变量代换的作用，而a1和d是等 差数列的两个基本量，用它们表示已知量 N),数列6满足么EN 和未知量是常用方法， 求证：数列{bn}是等差数列. 食跟踪训练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2十 a3十a4=15,a7=13,则S ( A.28 B.25 C.20 D.18 专点三等差数列的判定与证明 [例2] 已知数列{an}满足a1=1,且an+1 (n+1)am=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)证明数列a)是等差数列，并求{a,}的 n 点等差数列的性质 通项公式 例3]已知等差数列{an}满足a3十a十ag十 [尝试解答] a1=12,则2ag一a11的值为 A.-3 B.3 C.-12D.12 通性通法 应用等差数列的性质解题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m十n=p十q,则 am十an=a。十a,(m,n,p,q∈N*).因此， 若出现a-mam,am+n等项时，可以利用 此性质将已知条件转化为与am(或其他 通性通法 项)有关的条件；若求am项，可由am= 判定数列{a}是等差数列的常用方法 十am+n)转化为求amm,am+n或 (I)定义法：对任意n∈N*,an+1-a,是同 am+n十am-n的值】 个常数 (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公 (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*,满足 式的灵活应用，如an=am十(n-m)d,d 2an=an+1十am-1: 0,-a,S2w-1=(2n-1)a,S。 n-m (3)通项公式法：数列的通项公式a。是n的 一次函数 n(a,十a,)=n(atam-(n,m∈N)等. 2 2 62 第五章数列 ★跟踪训练 (2)邻项变号法 3.设等差数列{am}的前n项和为Sn,已知前6 (am≥0， 项和为36，最后6项的和为180，S=324 ①当a1>0,d<0时，满足 的项 am+1≤0 (n>6),则数列{an}的项数为 考点四等差数列前项和的最值问题 数m使得Sn取得最大值为Sm; [例4]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 (am0, ②当a<0,d>0时，满足 的项数 a2=一3，S5=-10,则a= ,Sn的 am+1≥0 最小值为 m使得S,取得最小值为Sm 通性通法 食跟踪训练 求等差数列前n项和S,最值的两种方法 4.设数列{an}的前n项和为Sn=3·2”(n∈ (1)函数法：等差数列前项和的函数表达式 N*),数列{b}为等差数列，其前n项和为Tn, b)2 S,=an+on=a n+2a) ,求“二次 4a 若b2=a,bo=S,则T取最大值时n 函数”最值. 》 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 7.已知两个等差数列{a,}和{bn}的前n项和 1.数列{an}的通项公式为an=5-3n,则此 数列 分期为A,和R哈-号(w∈N: A.是公差为一3的等差数列 B.是公差为5的等差数列 'bu C.是首项为5的等差数列 8.已知数列{a,}满足a=4,a,=4-4(m≥2， a,-1 D.是公差为n的等差数列 n∈N),令b,Fa.-2 1 2.已知数列{an}为等差数列，若a1十a22s= 2026,则a1013= (1)求证：数列{bn}是等差数列； A.2026B.2025C.1013D.1012.5 (2)求数列{an}的通项公式. 3.在等差数列{an}中，若a3十a5十a十ag十a =100,则3ag-a13的值为 ) A.20 B.30 C.40 D.50 4.若a≠b,则等差数列a,x1,z2,b的公差是 () A.b-a 022 9.已知{an}满足a+1=am十2，而且41=1， 求ar c.2 n 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9, S6=36,则a十ag十ag= ) A.63 B.45 C.36 D.27 6.已知a= 1 b=1 3+2 3一2则a,b的等差 中项为 ·63· 高考总复习数学 [综合题组练] 4.在数列{an}中，an>0,a1=1,2an+1-an=0. 1.已知等差数列{an}的公差d<0,前n项和 (1)求数列{an}的通项公式； 为Sn,若S。=10a6,则当S最大时，n (2)若bn=log2a,求数列{b.}的前90项 和S9o A.8 B.9 C.7或8 D.8或9 2.在公差不为0的等差数列{an}中，4a3十a1 3a,=10,则5a4= A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 =1,S3=a5,am=2027,则m= 5.3 等比数列 》 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一] 等比数列的有关概念 [知识点四]常用结论 1.定义 1.等比数列的单调性： (1)文字语言：一个数列从 起，每一项与 当g>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，{an}是 它的前一项的 都等于 一个常数 (非零). 当q>1,a1<0或0<g<1,a1>0时，{an}是 (2)符号语言： =q(n∈N",q为非零 常数) 当g=1时，{an}是常数列. 2.等比数列与指数函数的关系： 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么 叫作a与b的等比中项.即G= 当q≠1时，a,=a·g,可以看成函数y= [知识点二]等比数列的有关公式 cg,是一个不为0的常数与指数函数的乘 1.通项公式：an= 积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数 2.前n项和公式 y=cq的图象上 9=1, 3.等比数列{an}的前n项和S,=A十B·C"台 S,- ,q≠1. A+B=0,公比q=C(A,B,C均不为零) [知识点三]等比数列的性质 [基础自测] 已知数列{an}是等比数列，S,是其前n项 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 和.(m,n,p,q,r,k∈N*) (1)满足an+1=qan(n∈N,q为常数)的数列 1.若m十n=p十q=2r,则am·a,= {an}为等比数列. ( = (2)G为a,b的等比中项台→G2=ab.() 2.数列am,am+k,am+2,am+张，…仍是等比 (3)如果数列{am}为等比数列，则数列{lga, 是等差数列 () 数列； (4)若数列{an}的通项公式是an=a”,则其前n 3.数列Sm,S2m一Sm,Sm一S2m…仍是等比数 ( 列（此时{am}的公比q≠一1）. 项和为S,=a1-a“) 1-a ·64·