5.1 数列的概念-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第五章 数列 定义 数列的概念 数列的表示法 数列的分类 通项公式 特征公式 前n项和公式 思维导图 递推公式 数列 定义 通项公式 常见数列 等差数列 前n项和公式 等比数列 中项 性质 5.1 数列的概念 》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]数列 [知识点四]递推公式 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…, 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且 am,…,简记为 数列{an}的任一项an与它的前一项am- [知识点二]通项公式 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表 示，那么这个式子就叫作这个数列的 1.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关 也是数列的一种表示方法。 系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫 [知识点五]数列的单调性 作这个数列的 判断一个数列的单调性，可以利用递增数 2.已知数列{an}的前n项和Sn,则an 列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化 ,n=1, 为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间 ,n≥2. 的大小关系来确定， [知识点三]数列的分类 1.若an+1一am 0恒成立，则数列{an}是递 1.按项数分类，项数有限的数列叫作 数 增数列； 列，项数无限的数列叫作 数列. 2.若am+1-am 0恒成立，则数列{an}是递 减数列； 2.按项的大小变化分类，从第2项起，每一项 3.若am+1一an 0恒成立，则数列{an}是常 都大于它的前一项的数列叫作 ;从 数列. 第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 [基础自测] 叫作 ;各项相等的数列叫作 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“X”). 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同 项小于它的前一项的数列叫作 一个数列. ( ) ·57 高考总复习数学 (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式 可能不止一个 ( 数列a,的通项公式为a,-号-1a+1。 (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一 则a5= ) 群孤立的点. ( ) A.10 B.12 C.14 D.16 (4)如果数列{am}的前n项和为Sn,则对Hn∈ 4.2026是数列0,2,4,6,8，…的 N°，都有a+1=Sn+1-S ) A.第1012项 B.第1013项 (5)递推公式也是表示数列的一种方法.( C.第1014项 D.第1015项 (6)所有数列都有递推公式. ( 5.若数列{an}的通项公式是an=n2一1，则该 2.下列叙述正确的是 A.所有数列可分为递增数列和递减数列 数列的第10项a10= ,224是该 两类 数列的第 项 B.数列中的数由它的位置序号唯一确定 6.设数列(a,}满足a1=1,a,=1十1(n∈ C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7》 an-1 D.同一个数在数列中不可能重复出现 N*,n>1),则a3= 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一由数列的前几项求通项公式 ☆跟踪训练 [例1]根据数列的前几项，写出下列各数列 1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一 的一个通项公式！ 个通项公式。 (1)-1,7,-13,19,… (1)2.46 810 ,… (2)0.8,0.88,0.888,…. 31535'6399 尝试解答] (2)1,1 5132961 2'4- 8’163264,… 通性通法 春点二由a与S,的关系求通项公式 解决由数列的前几项求通项公式此类问 题，需抓住下面的特征： [例2]若数列{an}的前n项和Sn=一2n2十 (1)各项的符号特征，通过（一1）”或（一1）+1 10n,求数列{an}的通项公式， 来调节正负项！ [尝试解答] (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子 分母之间的关系， (3)相邻项（或其绝对值）的变化特征. (4)拆项、添项后的特征， (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律， 58 第五章数列 通性通法 食跟踪训练 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公 3.在数列{an}中，若a1=2,an+1=an十2”1，则 式的步骤： an= (1)当n=1时，a1=S. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn1,化简an 专点四 数列的函数特征 S,-S1. [例4] 已知数列{an}的通项公式为am= (3)如果a1也满足当n≥2时，an=Sn一S,-1 3n+ 2" ,若数列{an}为递减数列，则实数k的 的式子， 那么数列{an}的通项公式为an=S, 取值范围为 ( -Sn-1; A.(3,+∞) B.(2,+∞) 如果a1不满足当n≥2时，an=Sn一Sn-1 C.(1,+∞) D.(0,+o∞) 的式子， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为 通性通法 S1,n=1, (1)解决数列单调性问题的三种方法： S Sm-1,n≥2. ①用作差比较法，根据a+1一an的符号 ★跟踪训练 判断数列{an}是递增数列、递减数列还是 2.设数列{an}的前n项和Sn=n2十1，则a6的 值为 常数列； A.8 B.9 C.10 D.11 ②用作商比较法，根据a+(an>0或a 春点三由递推关系求通项公式 a [例3]分别求出满足下列条件的数列的通 <0)与1的大小关系进行判断； 项公式 ③结合相应函数的图象直观判断！ (1)a1=0,an+1=am+(2n-1)(n∈N*); (2)求数列最大项或最小项的方法： (2)a1=1,am+1=2"an(n∈N*）. [尝试解答] ①可以利用不等式组 (n≥2) an≥an+1 找到数列的最大项； an-1an, ②利用不等式组 (n≥2)找到 数列的最小项 通性通法 食跟踪训练 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 4.等差数列{an}的公差d<0,且a=a,则数 构造法→ 形如an=pa-1+m(p、m为常数，p≠1，m≠0)时， 列{an}的前n项和S,取得最大值时的项数 构造等比数列 n的值为 ( 累加法 形如a。=a-1+fn)(fn)}可求和)时，用累加法 求 A.5 B.6 累积法 形如 =fn)(fn)》可求积)时，用累积法求解 C.5或6 D.6或7 59· 高考总复习数学 突破·高效演练 分层训练 高效提能 [基础题组练] [综合题组练 1.下列各项表示数列的是 1.已知数列{an}中a1=1,am=n(am+1一am） A.△，O,☆，☐ (n∈N*),则an= B.2011,2012,2013,…,2026 A.2n-1 B. C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,λa C.n D.n2 2.已知数列{an}满足an=4am-1十3，且a1=0, 2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2入n(n 则此数列的第5项是 ) ∈N),则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的 A.15 B.255 C.16 D.63 () 3.已知数列{an},am-1=man十1(n>1),且a2 A.充分不必要条件 =3,a3=5,则实数m等于 ) B.必要不充分条件 A.0 C.2 D.5 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若数列{an}的通项公式为an=一2m2十25n, 3.在数列{an}中，已知an=(-1)十n十a(a为常 则数列{an}的各项中最大项是 数)，且a1十a4=3a2,则a1m= A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 4.已知数列{a,中，a,=1,前n项和S,=n十。 3 an. 5卫知a,一中888那么数列是（ (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 6.已知数列√3，√7，√11，√15，…，则53是该 数列的第 项 7.已知数列{an}的通项公式为a,=log3(2”十1)， 则a3= 8.已知数列{an}中，a1=1,n≥2时，an=a-1十 2n-1,依次计算a2,a3,a4后猜想an 9.若数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0, 且2Sn=a十an(n∈N*).求数列{an}的通 项公式. ·60·高考总复习数学 跟踪训练 1.解：由log.5(2x-3)>0, 得/2x-3>0 子{2>0=e1P经z-892 即号<<2，所以1g(2-3)>0的x的取值范国 为（含2 2.解析：(1)a>1,∴.0< 1 <1,y=a是减函数，y= logx是增函数，故选C. (2)因为函数y=logx(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1， 0),则令x十1=1得x=0,此时y=log.(x十1)-2= -2,所以函数y=log.(x十1)-2(a>0,且u≠1)的图象 恒过点(0，一2). 答案：(1)C(2)(0,-2) 3.B[对于选项A,因为《和1大小的关系不确定，无法确定 指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B, 因为以号为底的对数画数是减画数，所以成立；对于选项 C,因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于 选项D,log2.9>0,log2.2<0,故不成立，故选B.] 4.B[b>b-1,logb<1og(b-1),.y=logx在(0，+o∞) 上单调递减，.0<a1.故选B.门 5.D[要使函数有意义，则：x2一2x一8>0，解得：x<一2 或x>4,结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和 复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为 (4,十∞)，故选D.] 突破·高效演练基础题组练 1.CD2.B3.C4.C 5.B[因为偶函数f(x)在（一∞，0]上是减函数， 所以f(x)在(0，十∞)上是增函数. 又f(1)=2,所以不等式f(log2x)>2=f(1), 即l0gx>1.解得0<x<号或>2.] 6.解析：y=log。x的图象恒过点(1,0)， 令x-3=1,得x=4,则y=-1. 答案：(4，一1) 7.解析：3十2x-x2>0,.x2-2.x-3<0 ∴.-1<x<3. 令u=3十2.x-x2=-(.x2-2.x-3)=-(x-1)2十4， ∴.当x∈（一1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函 数，故函数f(x)=ln(3十2x一x2)的单调递增区间是 (一1,1).同理，函数f(x)=ln(3十2x一x)的单调递减 区间是(1,3). 答案：(-1,1)(1,3) 8.解析：由题可知，f(一1)=一f(1)=一e.故答案为一e. 答案：一e 9.解：(1)若函数f(.x)是R上的奇函数，则f(0)=0, .logz(1+a)=0,.a=0. 当a=0时，f(x)=一x是R上的奇函数.所以a=0. (2)若函数f()的定义城是一切实数，则十a>0恒成 立.即a>恒成立，由于-∈(-0,0 故只要a≥0，则a的取值范围是[0，十o∞). 综合题组练 1.B[由y=logx(a>0且a≠1)的图象可知a>1,所以 1一a<0.所以y=(1一a)x2十1是开口向下，顶点为 (0,1)的抛物线，故选B.」 2.AC[由题意可得，函数f(x)的定义域为（一1,1），且 兰n(己。)场知子。1在00 f(z)=In1-z 上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(一x)= ln(1一x)一ln(1十x)=一f(x),故f(x)为奇函数， 选AC.] ·25 3.解析：令2x一3=1，得x=2,.定点为A(2,2),将定点A的 坐标代入函数f(x)中，得2=32+b,解得b=一7. 答案：一7 4.解：(1)当x0时，一x>0,由题意知f(一x)=log(一x十1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(一x)=f(x). 所以当x<0时，f(x)=1og(一x+1), (log(x十1)，x≥0， 所以函数f(x)的解析式为f(x)= log(-x+1),x<0. (2)因为-1<f(1)<1,所以-1<log.2<1, 所以log。a 1<log.2<log.4. ①当a>1时，原不等式等价于 (<2,解得a>2: (a>2 12 ②当0<a<1时，原不等式等价于 (a<2 解得0<a<2 1 综上可得，实数u的取值范国为(0,2)U(2,+∞)。 第五章5.1 梳理·必备知识知识点一 Ra 知识点二 1.通项公式2.SSm-S。-1 知识点三 1.有穷无穷2.递增数列递减数列常数列 摆动数列 知识点四 递推公式 递推公式 知识点五 1.>2.3.= 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/(5)/(6)× 2.B[按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、 常数列、摆动数列等数列，A错误；数列1,3,5,7与由实 数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念， C错误：同一个数在数列中可能重复出现，如2,2,2，…表 示由实数2构成的常数列，D错误；对于给定的数列，数列中 的数由它的位置序号唯一确定，B正确. B[由题意，通项公式为a,二7n一1)(n十1) 则a,=2×(5-1)×(5+1)=12.戴选B] 4.C[数列0,2,4,6,8，…的通项公式为an=2(n-1).设 2(n-1)=2026,解得n-1=1013→n=1014.] 5.解析：a1o=10-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15, 即224是该数列的第15项. 答案：9915 6.解析：由已知，得a=1十1=2,4，=1 1=3 a22 3 答案：2 提升·学科素养 [例1][解](1)符号问题可通过（一1）”或(-1)+1表 示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值 总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a =(-1)"(6n-5). (2)将教列支形为81-0.1D.81-001D,81-0.01. 8 1 a,=9(1-10） 2 [例2][解]：S.=-2n2+10m, ∴.S.-1=-2(n-1)2+10(n-1),(n≥2) ,当n≥2时，an=S,-S,-1=-2m2+10十2(n-1)2 10(n-1)=-4n+12. 当n=1时，a1=一2十10=8=-4×1十12. 此时满足a,=一4n十12， .数列{an}的通项公式为an=12-4n. [例3][解](1)an=a1十(a2-a1)十…十(an-am-1)= 0+1+3+.+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2, 所以数列的通项公式为am=(n-1)2. (2)由于=2，故2=22=2…0 a=2-1, 1 将这n一1个等式叠乘， 得=2+2++a-》=2→，故a.=2, a 所以数列的通项公式为a,=2。 [例4幻[解析]因为a,1一a,=3m十3+k_3m十 2+1 2 3-31-k,由数列{a,}为递减数列知，对任意n∈N, 2+1 a1-a,=3,3m<0,所以>3-3m对任意n∈N 2+1 恒成立，所以k∈(0，十©∞).故选D. [答案]D 跟踪训练 1.解：(1)这是一个分数数列，分母可分解为1×3,3×5,5 X7,7X9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积， 分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个 2n 通项公式为a,=(2n-1)(2n+' (2公)数列可以改为-云一骨是一器品，则 分母为2”，分子为2”一3，所以数列的一个通项公式为an =(-1)"2”-3 24 2.D[S6=62+1=37,S5=52+1=26,故a6=S6-S= 37-26=11.故选D. 3.解析：a1=2,aa+1=an十2"→am+1一an=2”1今an=(an 一aw-1）+(ag-1一aa-2）十…十(a3-a2)+(a2-a1)十41， 则an=22+28+…十2十1十a1 =1-2 1=2+2=21+1. 答案：2”1+1 4.C[由a=a,可得(a1十a)(a1-a11)=0, 因为d<0,所以4一a1≠0，所以a1十41=0， 又2as=a1十a11,所以a6=0. 因为d<0,所以{an}是递减数列， 所以a1>a2>…>a>a6=0>a,>as>…,显然前5项 和或前6项和最大，故选C.] 突破·高效演练基础题组练 1.B2.B3.B 81 且n∈N, 所以当n=6时，4m的值最大，即最大项是第6项.] 5.A[a,=0+098-n-0.99+1.98-1十1.98 n-0.99 n-0.99 n-0.9g,因为 面数y=1十89在0.99，十∞)上是减函数，所以数 列{an}是递减数列.] ·25 参考答案 6.解析：观察可得数列的一个通项公式是a,=√4n一1，而 5√3=/75=/4X19一1，所以53是该数列的第 19项. 答案：19 7.解析：，an=log3(2"+1),∴.a3=l1og3(23十1)=log9 =2. 答案：2 8.解析：因为a,=a-1十2n-1,a1=1,所以a2=a1十2×2 -1=4,a3=a2十2×3-1=9，a1=a3+2×4-1=16,所 以猜想un=n2.故答案为n2. 答案：n2 9.解析：当n=1时，2S=ai十a1,则a1=1. 当m≥2时a=S,-S1=十4-十a, 2 2 即(ai十am-1)(u,-aa-1-1)=0→an=-aw-1或am= am-1+1, 所以a=(-1)-1或an=n. 综合题组练 l.Cu=n(a+a,,而=m,则a,a× an X…××××…××导=m故 4m-2 选C.] 2.A[若数列{an}为递增数列，则有am+1一an>0,即2n十 1>2以对任毫的n∈N郭成立，于是有3>2xA<是，由 <1可推得<号，但反过来，由A<号不能得到A<1, 因此“入<1”是“数列{a。}为递增数列”的充分不必要条 件，故选A.门 3.解析：由题意，得a1=a,a4=5十a,a2=3十a. 因为a1十a,=3a2,所以a十5十a=3(3+a), 解得a=一4，所以an=(-1)”十n-4, 所以410=(-1)10+100-4=97. 答案：97 4 4.解：(1)由S,=3a2,得3(a十u,)=4a,解得a=3a =3. 由S=子4，得3a十ae十a)=5a,解得a,=子(a十 a2)=6. (2)当n>1时，有a,=S。-S,-1=n2。,-n+1a 3aa-1, 基理得4， 又a1=1, 3 所以a,=1a1, 4 a=2d:. 年甲 71 a-1-n-20a-2’ a,-+1 n-14-1, 将以上n个等式两端分别相乘，整理得a,=n) 2 当=1时，满足上式， 综上，a,}的道项公式a,=nn) 2 3