4.4 对数函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第四章指数函数与对数函数 9.计算下列各式： 4.已知函数f(x)=x3十alog3x,若f(2)=6, (1)2ne+g1+3og,2; (2)3g,4-lg10+2n1. 则) 5.计算下列各式的值： ()'·图)h-. (2)计算：lg2+lg5-0.125+ln1+ [综合题组练] s:)+(1+22. 1.计算1og29×1og34+21og10+log0.25= ( A.0 B.2 C.4 D.6 2.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b= log6c,则 () A.a=bc B.b=ac C.c-ab D.c2=ab 3.(2023·春招，10)不等式log2|x-1>1的 解集是 () A.(-1,+∞) B.（-∞，-1) C.(-∞，-1)U(3,+∞) D.(-∞，3)U(3,+∞) 4.4对数函数 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]对数函数的概念 续表 一般地，把函数y=logx(a>0,且a≠1)叫 共点性 图象过定点 ,即x=1时，y=0 作对数函数，其中x是自变量，函数的定义 域是 x∈(0,1)时， x∈(0,1)时， [知识点二]对数函数的图象与性质 函数值 y∈ y∈ 对数函数y=logx(a>0,且a≠1)的图 特点 x∈[1，+o∞)时， x∈[1，+∞)时， 象和性质如下表： y∈ y∈ 定义 y=logx(a>0,且a≠1) 函数y=logx与y=log1x的图象 对称性 关于 对称 底数 a>1 0<a<1 [基础自测] y ↑yy=log x(a>1) 1x=1 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 图象 1.0) (1)对数函数的定义域为R. /1,0) 0 (2)y=log2x2与log,3都不是对数函数.( iy=log (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧.( (0<a<1) (4)log (MN)=log M+log N. 定义域 (5)logx·logy=log。(x+y). 值域 R (6)对数函数y=log。x(a>0且a≠1)在 (0,十∞)上是增函数. 单调性 在(0，十∞)上 在(0，十∞)上 2.下列函数是对数函数的是 () 是增函数 是减函数 A.y=In x B.y=In(x+1) C.y=log,e D.y=log,x ·53· 高考总复习数学 3.函数f(x)=log2(x-1)的定义域是( 5.函数y=(3m十1)logx(a>0,a≠1)是对数 A.[1,+∞) B.(1,+∞) 函数，则2026”= C.(-∞，1) D.(-∞，1] A.1 B.4 4.函数f(x)=logx在(0，十∞)上是减函数， 则a的取值范围是 ( C.2025 D.2026 ) A.(0,+∞) B.(-∞，1) 6.函数y=log。(x-1)+2(a>0,且a≠1)的 C.(0,1) D.（1,+∞) 图象恒过的定点是 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 吉点一】 对数型函数的定义域 吉点二】 对数函数的图象 [例]求下列函数的定义域： [例2] (1)对数函数y=logax,y=log6x, (1)y=loga-x)5;(2)y=√1og0.5(4x-3) y=logx,y=logx在同一坐标系内的图 尝试解答] 象如图所示，则a,b,c,d的大小关系 是 y=logx y=logx y=log y=logx 通性通法 求与对数函数有关的函数定义域时，除 (2)y=log 2x+1 x-1 +2图象恒过定点坐 遵循前面已学习过的求函数定义域的方法 外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要 标是 特别注意真数大于零；二是要注意对数的底 通性通法 数大于零且不等于1. (1)对数函数的底与图象变化的关系： ★跟踪训练 在第一象限内，底数越大，图象越靠近 1.已知函数log.5(2x-3)>0,求x的取值 x轴 范围. (2)对数型函数过定点问题： 求函数y=m十log。f(x)(a>0,且a≠1) 的图象过的定点时，只需令f(x)=1求 出x,即得定点为(x,m). ★跟踪训练 2.(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y= ax与y=logx的图象为 (2)函数y=log。(x+1)一2(a>0,且a≠1) 的图象恒过点 ·54 第四章 指数函数与对数函数 吉点三比较对数值的天小 通性通法 [例3]比较下列各组中两个值的大小： 两类对数不等式的解法 (1)log31.9,log32; (1)形如log。f(x)<log。g(x)的不等式 (2)log23,logo.32; ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x) (3)log。π，log3.14(a>0,a≠1). >0;②当a>1时，可转化为0<f(x) [尝试解答] <g(x). (2)形如l1ogf(x)<b的不等式可变形为 log f(x)<b=loga. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>a; ②当a>1时，可转化为0≤f(x)≤a°. 食跟踪训练 4.已知logb<log(b-1),则a的取值范围是 A.a>1 B.0<a<1 C.a>b D.a<1 专点五对数型复合函数的单调性 通性通法 [例5] 求函数y=log.3(3-2x)的单调 比较对数值大小的常用方法 区间. (1)同底数的利用对数函数的单调性； [尝试解答] (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底 公式转化： (3)底数和真数都不同，找中间量. ★跟踪训练 3.下列不等式成立的是（其中a>0且a≠1） ( A.log,5.1<log,5.9 通性通法 B.log+2.1>log+2.2 求复合函数单调性的具体步骤(1)求定 C.log.(a+1)<log.a 义域；(2)拆分函数；(3)分别求y=f(u),u D.log2.9<logo.s2.2 p(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合 专点四】 解对数不等式 函数的单调性. [例4]已知1og。.3(3x)<log.3(x+1),则x 食跟踪训练 的取值范围为 5.函数f(x)=ln(x2一2x-8)的单调递增区 A.(2+∞ 间是 A.(-∞，-2) B.(-∞，1) c〔 n C.(1,+∞) D.(4,+∞) ·55· 高考总复习数学 突破·高效演练 分层训练 高效提能 [基础题组练] (2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a 1.(多选题)下列函数为对数函数的是( 的取值范围； A.y=log x+1(a>0且a≠1) B.y=log.(2x)(a>0且a≠1) C.y=loga-bx(a>1且a≠2) D.y=log,x(a>0且a≠1) 工函数八)=广的定义域是 [综合题组练] A.(0,+o∞) B.(0,1)U(1,+∞) 1.已知函数y=logx(a>0且a≠1)的图象如 C.[0,1)U(1,+∞)D.(1,+∞) 图所示，则函数y=(1一a)x2+1的图象大 3.已知函数f(x)=log3(x+1),若f(a)=1, 致是 则a= A.0 B.1 C.2 D.3 4.函数y=1g(x+1)的图象大致是 卡： 5.已知定义域为R的偶函数f(x)在（一∞，0] 上是减函数，且f(1)=2,则不等式 2.(多选题)设函数f(x)=ln(1十x) f(log2x)>2的解集为 ( ln(1-x),则f(x)是 A.(2,+∞) Bo.)U. A.奇函数 B.偶函数 C.. C.在(0,1)上是增函数 D.在(0,1)上是减函数 6.已知函数y=1og.（x一3)一1的图象恒过定 3.已知函数y=log.(2x-3)+2(a>0且a≠1)的 点P,则点P的坐标是 图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)= 7.函数f(x)=ln(3+2x一x)的单调递增区 3+b的图象上，则b= 间是 ,单调递减区间是 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x 8.设f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)=e+ ≥0时，f(x)=log.(x+1)(a>0,且a≠1). lnx,则f(-1)= (1)求函数f(x)的解析式； 1 9,已知函数f)=log2+a (2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a 的值； ·56·③由1g100=x,得10'=100=102，即x=2; ④由-lne2=x,得lne2=-x,所以et=e2,所以-x= 2,即x=-2. 3D[方程1og=合，化为：x=2时-E.故选D.] 4.解：(1)由log[1og(1og2x)]=0,得1og(1og2x)=1,所以 l0g2x=7,所以x=27=128. (2)由log2[1og(1og2x)门=1，得1og?(log2x)=2,所以 l0g2x=32,所以x=2=512. 5.解：1)原式=7X73=7=行 7 7 (2)原式=1002w9X100-w2=109 1 100=9×10 19 =9×10=4 6.解：(1)原式=10g32十l10g4=10g6(32×4)=l0g6= 2log66=2. 25 (2)原式 102×(-专)=1g102÷101=2×10 =20. 1 1g25 1g8 7.解析：原式=g乙·1g5·g5 (-21g5)·(-3g2)·(-21g3)=-12. lg 21g 31g 5 答案：-12 突破·高效演练基础题组练 1.C2.B 3.B[令a=1,则b=10°，c=10,a<c<b,排除ACD.故 选B.] 4.B 5.A[由2=5=m,得a=lbg:m,6=1ogm,所以日+君 a =logm2十logm5=logm10=2,所以=√10.] 6.解析：由1g(2x-3)=1知2x-3=10,解得x=之. -13 答案：号 4-x0 7.解析：由题意可知{x一2>0，解得2<x<4且x≠3. (x-2≠1 答案：(2,3)U(3,4) 8.解析：原式=lg2(1g2十lg50)十lg5=lg2×1g100十 21g5=2(1g2+lg5)=2lg10=2. 答案：2 9.解：(1)原式=2+十2=2+2=4. (2)原式=3%1-1十2°=4-1十1=4. 综合题组练 1.D[log29×log4十2log10十log0.25=21og23× log2 4 log,3 十l0g(10×0.25)=4十2=6.] 2.C[设1og2a=logb=l0gc=k,则a=2,b=3,c=6, 所以ab=2*·3=(2X3)=6=c.] 3.C[1og2x-1>log22,:底数2>1，.x-1>2,解 得x<-1或x>3,故选C.] 4解析：由f(2)=8+alog2=6,解得a三二1og2,所以 f(白）言+abg:名=g-as2=言+忌2× 17 答案：号 ·25 参考答案 5.解：(1)原式= ()×()+-1=告×是+ 5-1=5 (2)1g2+lg5-0.125+h1+log（2）+1+ √2026)°=lg(2×5)- (日)+0+4o:+1 =lg10-2 5 -4+1=1- -4+1=- 4.4 梳理·必备知识知识点一 (0,十) 知识点二 (0,十0∞) (1,0)(-∞，0)[0，十∞)(0，+0∞) (一0o,0]x轴 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)×(5)×(6)× 2.A3.B 4.C[由对数函数的单调知识易知0<a<1.] 5.A[由于函数y=(3m十1)logx(a>0,a≠1)是对数函 数，所以3m十1=1，即m=0,此时2026"=2026°=1.] 6.解析：当x=2时，函数y=log,(x-1)十2(a>0,且a≠ 1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2). 答案：(2,2) 提升·学科素养 [创门[解]1)要使品数我有忘义，行解得 x<1,且x≠0，所以函数y=l0g1-5的定义域是{xx <1,且x≠0}. 2美使品班式有套又5化2-3≥0部得早< x≤1，所以函数y=√0g(4x-3)的定义域 [例2][解析](1)在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐 增大，故ab>c>d. （2)令21=1，得x=-2,此时y=2, x-1 通数y=10g+2进定点（一2,2 [答案](1)a>b>c>d(2)(-2,2) [例3][解](1)因为y=logx在(0，十o∞)上是增函数， 所以log1.9<log32. (2)因为log23>log21=0,log.32<1og.31=0,所以 log2 3>logo.32. (3)当a>1时，函数y=logx在(0，十∞)上是增函数， 则有1ogπ>log3.14； 当0<a1时，函数y=logx在(0，十o∞)上是减函数， 则有1og。π<1og3.14. 综上所得，当a>1时，log。π>log3.14;当0<a<1时， logeπlogn3.14. [例4][解析]因为函数y=log.ax是(0，十∞)上的减 13x>0 函数，所以原不等式等价于 1 x+1>0,解得x>之· (3x>x+1 [答案]A 「例5]「解7 由3-2x>0,解得x<号，设1=3-2 ∈(60，受）：函教y=1log是减函数，且函教1= 3-2x是减画数，.函数y=log3（3一2x)在 (-0,号)上是增画数，即画数y=bg:（3-2)的单 调递增区间是（ ）,没有单调递减区间 高考总复习数学 跟踪训练 1.解：由log.5(2x-3)>0, 得2x-3>0 子{g2”3>0=e1P径-8 即是<<2，所以1og(2x-3)>0的x的取值范国 为（是2） 2.解析：()：a>1,0<<1,y=a是减函教，y logx是增函数，故选C. (2)因为函数y=logx(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1， 0),则令x十1=1得x=0,此时y=l0g(x十1)-2= -2,所以函数y=log（x十1)-2(a>0,且a≠1)的图象 恒过点(0，-2). 答案：(1)C(2)(0,-2) 3.B[对于选项A,因为Q和1大小的关系不确定，无法确定 指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B, 因为以宁为底的对数函数是减画数，所以成立：对于选项 C,因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于 选项D,log32.90,log52.2<0,故不成立，故选B.] 4.B[,b>b-1,logb<log.(b-1),∴.y=logx在(0，+o∞) 上单调递减，.0a<1.故选B. 5.D[要使函数有意义，则：x一2x一8>0，解得：x<一2 或x>4,结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和 复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为 (4,十∞)，故选D.] 突破·高效演练基础题组练 1.CD2.B3.C4.C 5.B[因为偶函数f(x)在(-∞，0]上是减函数， 所以f(x)在(0，十oo)上是增函数. 又f(1)=2,所以不等式f(log2x)>2=f(1), 即10gx>1,解得0<<号或x>2.] 6.解析：y=logx的图象恒过点(1,0)， 令x一3=1，得x=4,则y=一1. 答案：(4，一1) 7.解析：3十2x-x2>0,x2-2x-3<0. ∴.-1<x3. 令u=3十2x-x2=-(x2-2x-3)=-(x-1)2十4， .当x∈（一1,1）时，u是x的增函数，y是lnw的增函 数，故函数f(x)=ln(3十2x一x)的单调递增区间是 (一1,1).同理，函数f(x)=1n(3十2x一x)的单调递减 区间是(1,3). 答案：(-1,1)(1,3) 8.解析：由题可知，f(-1)=一f(1)=一e.故答案为一e. 答案：一e 9.解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0, .log2(1十a)=0,…a=0. 当a=0时，f(x)=一x是R上的奇函数.所以a=0. (2)若函数f()的定义城是一切实数，则十a>0恒成 立，即a>恒成立，由于-是∈(-0,0 故只要a≥0，则a的取值范围是[0，十∞). 综合题组练 1.B[由y=logx(a>0且a≠1)的图象可知a>1,所以 1一a<0.所以y=(1一a)x十1是开口向下，顶点为 (0,1)的抛物线，故选B.] 2.AC[由题意可得，函数f(x)的定义域为（一1,1），且 =（产小易知y己1在0 f(z)=In-z 上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(一x) 1n(1-x)-ln(1十x)=-f(x),故f(x)为奇函数， 选AC.] ·25 3.解析：令2x一3=1，得x=2,.定，点为A(2,2),将定点A的 坐标代入函数f(x)中，得2=3十b,解得b=-7. 答案：一7 4.解：(1)当x0时，一x>0,由题意知f-x)=log(-x十1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(一x)=f(x). 所以当x<0时，f(x)=1og(一x十1)， 所以函数fx)的解析式为x)=log{x+1)z≥0， (log(-x十1)，x<0. (2)因为-1<f(1)<1,所以-1<1og2<1, 所以log。a 1<log,2<log.a. ①当a>1时，原不等式等价于 <2，解得a>2: a (a2 1>2 ②当0<a<1时，原不等式等价于 (a<2 解得0<a<立 1 综上可得，实教a的取值范围为(0,2)U(2,十o∞)， 第五章5.1 梳理·必备知识知识点一 Ra. 知识点二 1.通项公式2.SSn-Sn-1 知识点三 1.有穷无穷2.递增数列递减数列常数列 摆动数列 知识点四 递推公式递推公式 知识点五 1.>2.<3.= 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/(5)/(6)× 2.B「按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、 常数列、摆动数列等数列，A错误；数列1,3,5,7与由实 数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念， C错误；同一个数在数列中可能重复出现，如2,2,2，…表 示由实数2构成的常数列，D错误；对于给定的数列，数列中 的数由它的位置序号唯一确定，B正确.门 3.B[由题意，通项公式为a,=合(n-1)(n十1， 则@，=号×(6-1)X(6+1)=12.故选B.] 4.C[数列0,2,4,6,8，…的通项公式为an=2(n-1).设 2(n-1)=2026,解得n-1=1013→n=1014.] 5.解析：a1o=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15, 即224是该数列的第15项. 答案：9915 6.解析：由已知，得a,=1十1=2，a,=1十 a 答案：号 提升·学科素养 [例1][解](1)符号问题可通过(-1)”或(-1)+表 示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值 总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a =(-1)"(6n-5). (2)将数列变形为号1-0.1D,号(1-0.01，号1-0.01， a-号(-） 52