4.3 对数及其运算-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 4.3对数及其运算 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]对数 (2) ,即商的对数等于对数 1.指数式与对数式的互化及有关概念： 的差。 2.底数a的范围是 (3) ,即指数幂的对数等于底数 以a为底 指数 N的对数 的对数的指数倍. 真数 2.对数的换底公式： a=N ← loga N=x [基础自测] 底数 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“X”) [知识点二] 常用对数与自然对数 (1)logN是log。与N的乘积 常用对数 Ig N 以为底 (2)(-2)3=-8可化为1og-2)(-8)=3. 常见的 ( 对数 自然对数 In N 以 为底 (3)对数运算的实质是求幂指数. ( [知识点三]对数的基本性质 (4)在b=log3(m一1)中，实数m的取值范围 1.负数和零 对数 是(1，十∞). 2.log.1=(a>0,且a≠1). 2.把指数式a=N化为对数式是 ( 3.loga=(a>0,且a≠1) A.logia=N B.log N=b 4.对数恒等式av=(a>0且a≠1，N>0). C.logb=a D.logNa=b [知识点四]对数的运算性质 1.对数运算的三条性质：如果a>0且a≠1， 3.若log 2x一3=1，则x= 3 ;若1og3（2x M>0,N>0,那么： 1)=0,则x= (1) ,即积的对数等于对数的和， 提升·学科素养 直击考向 通法悟道 吉点一指数式与对数式的互化 (2)利用指数式、对数式的互化求下列各式 [例1](1)根据对数定义，将下列指数式写 中x的值. 成对数式 ①log2x=- ②1cg25=2:③1g=2 ①3= 64;③1og162 [尝试解答] ④ln10=x. [尝试解答] 通性通法 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真 数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为 幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 50· 第四章指数函数与对数函数 ★跟踪训练 专点对数基本性质的应用 1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指 [例3](1)求下列式子值： 数式 ①28,3+21og31-3log77+3ln1= ②91og,4 (1)43=64;(2)lna=b;(3 (2)求下列各式中的x的值： (4)1g1000=3. ①log2(log3x)=0; ②log(1og2x)=1. [尝试解答] 通性通法 利用对数性质求值的方法 2.(1)求下列各式的值： (1)性质log1=0,loga-1(a>0,且a≠1). ①log81= .②log0.41= (2)求多重对数式的值的解题方法是由内到 ③lne2= 外，如求log。(log6c)的值，先求1og6c的 (2)求下列各式中x的值： 值，再求log(1ogc)的值. ①g4x=-号：@1og8=6:③lg100=x: 食跟踪训练 ④-lne2=x. 4.求下列各式中的x的值： (1)logs[logz (log2x)=0; (2)1og2[1og3(1og2x)]=1. 专点三利用指数式与对数式的互化求变量的值] 5.化简求值： [例2]求值： (1)71-10g,5;(2)100(g9-lg2). (1)1og2x=- 则x 2 (2)若-lne3=x,则x= (3)若xlog4=1,则4+4= (4)若f(x)=3,则f(1og32)= 专点四 对数运算性质的应甬 通性通法 [例4幻求下列各式的值： (1)1og345-log35; (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指 数问题 (21g25+号g8+1g5×1g20+0g2. (2)利用幂的运算性质和指数的性质计算. [尝试解答] 食跟踪训练 3.方程1og2x= 2的解为 ( A. C② 2 D.2 51· 高考总复习数学 通性通法 春点五对数换底公式的应角 利用对数运算性质化简与求值的原则和 [例5]计算：(1)1og29·1og4; 方法： (2)log,/2Xlog,9 (1)基本原则： log,log ①正用或逆用公式，对真数进行处理， ②选哪种策略化简，取决于问题的实际情 [尝试解答] 况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积 (商)的对数. ②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对 数的和（差）. ★跟踪训练 通性通法 6.计算：(1)2log63+log64; (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正 用、逆用以及变形应用， (2g25-lg4=10. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指 数式与对数式统一成一种形式. 用对数的运算法则及性质进行部分 、思路 运算→换成同一底数 次性统一换为常用对数（或自然对 思路 数)→化简、通分、求值 食跟踪训练 7.10g225 ·10g8·logg 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 3.若10°=lgb=c,则a,b,c的大小关系为 1.对于下列说法： ( (1)零和负数没有对数； A.a<b<c B.a<c<b (2)任何一个指数式都可以化成对数式： C.c<b<a D.b<a<c (3)以10为底的对数叫作自然对数； 4.3g,4-27-lg0.01十lne3= ( (4)以e为底的对数叫作常用对数. A.14 B.0 C.1 D.6 其中错误说法的个数为 ( ) 8设2=5=m,且+号-2则m=( A.1 B.2 C.3 D.4 A./10 B.10 C.20 D.100 2将 =9写成对数式，正确的是( ) 6.方程lg(2x一3)=1的解为 7.在对数式y=log-2,(4一x)中，实数x的取 A.1og9 3 =一2 B.log:9=-2 值范围是 8.计算(1g2)2+lg2×1g50+lg25的结果为 C.log(-2)=9 D.1og(-2)= 3 ·52· 第四章指数函数与对数函数 9.计算下列各式： 4.已知函数f(x)=x3十alog3x,若f(2)=6, (1)2ne+g1+3og,2; (2)3g4-lg10+2n1. 则2)= 5.计算下列各式的值： +√(1-3)； (2)计算：lg2+lg5-0.125+ln1+ [综合题组练] 1.计算log29×1og34+21og,10+log0.25= ( A.0 B.2 C.4 D.6 2.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b= log6c,则 () A.a=bc B.b2=ac C.c=ab D.c2-ab 3.(2023·春招，10)不等式1og2|x-1|>1的 解集是 () A.(-1,+o∞) B.（-o∞，-1) C.(-∞，-1)U(3,+∞) D.(-∞，3)U(3,+∞) 4.4对数函数 》 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]对数函数的概念 续表 般地，把函数y=logx(a>0,且a≠1)叫 共点性 图象过定点 ,即x=1时，y=0 作对数函数，其中x是自变量，函数的定义 域是 x∈(0,1)时， x∈(0,1)时， [知识点二]对数函数的图象与性质 函数值 y∈ y∈ ； 对数函数y=logx(a>0,且a≠1)的图 特点 x∈[1，十∞)时， x∈[1，+∞)时， 象和性质如下表： y∈ y∈ 定义 y=log.x(a>0,且a≠1) 函数y=logx与y=log1x的图象 对称性 关于 对称 底数 a>1 0<a<1 [基础自测] ↑yy=log xfa>1) 1x=1 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)对数函数的定义域为R. ( 图象 1.0) /1,0) x (2)y=log2x2与log,3都不是对数函数.( ) =1 iy=log (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧.( (0<a<1) (4)log (MN)=log M+log N. 定义域 (5)log x·logy=log。(x+y). ( 值域 R (6)对数函数y=log。x(a>0且a≠1)在 (0,十∞)上是增函数. () 在(0，十∞)上 在(0，十∞)上 2.下列函数是对数函数的是 () 单调性 是增函数 是减函数 A.y=In x B.y=In(x+1) C.y=log,e D.y=log,x ·53·高考总复习数学 6.A[由x-1=0,得x=1,f(1)=4十2a°=6.所以函数 f(x)=4十2a-1的图象恒过定点(1,6).] 7.解析：因为一1<x<0,所以由指数函数的图象和性质可 得：2<1,2>1,0.2>1，又因为0.5<0.2，所以b <a<c. 答案：b<a<c 8.解析：a=5,1∈(0,1D,.f(x)=a在R上是减函 2 数，又f(m)>f(n),∴.<n. 答案：m<n 9.解：(1)将点(2,4)代入f(x)=a,得4=a2,a=2, 故f(x)=2: (2)2>1,f(x)是增函数，f(2m-1)-f(m十3)<0， 即f(2m-1)<f(m+3),2m-1<m+3,m<4;所以m 的取值范围是m<4. 综合题组练 1.C[设1=x+2x-1,则y=(合)：因为0<号<1，所 以y=(合)为关于：的减画数，因为=(x+1)-2≥ -2,所以0<y= ()≤（合） =4,故所求函数的值 域为(0,4].] 2.C[因为x>0时，1<b,所以b>1.因为x>0时，b< a,所以x>0时（号）>1.所以号>1，所以a>6所 以1<b<a.故选C.] 3.解析：由0：解得>2. 3-9≠0， 所以函数f(x)的定义域为(2，十∞) 答案：(2，十o∞) 4.解：(1)由已知得 ) =2.解得a=1. (2)由1知f)=(侵)广 又g)=f,则4-2=（）广， 所以（日）-（侵）-2=0， 令()=，则>0，-1-2=0， 即(t-2)(t+1)=0, 又t>0,故t=2,即(2) 1 =2.解得x=-1, 故满足条件的x的值为一1. 4.3 梳理·必备知识知识点一 2.a>0,且a≠1 知识点二 10e 知识点三 1.没有2.03.14.N 知识点四 1.(1)og.(MN)-1og M+Iog.N (2)log.log.M- log.N (3)log.M"=nlog M(nER)2.log.N=( >0,且b≠1：c>0,且c≠1；N>0) 基础自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.B[根据对数定义知a”=N曰logN=b.] 3解析：若10g,2写3-1，则2g-3,即2x-3=9x 6;若log（2x-1)=0,则2x-1=1,即x=1. 答案：61 ·25 提升·学科素养 1 [例1][解](1)0log:27=x;②1og号64=x: @16+=2:0e=10. (2)0由1gx=2得2--号 2 ②由l0g25=2,得x2=25.:x>0,且x≠1，∴.x=5 ③由10gx2=2,得x2=5,∴.x=±5.52=25>0， (-5)”=25>0,∴.x=5或x=-5. [例2】[解析](1)由10gx=-子，可得x=2。 (2)由-lne3=x,则lne3=-x. ∴.e=e3,.x=-3. 《3)由xl0g4=1,.1og34=2,3宁=4,4=3， 4=3 1 110 4十4=3十3=3 (4)设t=loga2,则3=2，.f(log2)=f(t)=3=2. [答案]192)-3(39 (4)2 [例3](1)[解析]①原式=3+2×0-3×1十3×0=0. ②916%1=(9立)6,1=3hg1=4. [答案]①0②4 (2)[解]①因为log2(logx)=0,所以logx=1,所 以x=3. ②因为l0g(log2x)=1,所以l0g2x=5,所以x=25=32. [例4[解]1)log45-log5=log智-log,9 =l0g32=2. (2)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+1g5)十(1lg2) =21g10+(1g5十1g2)2=2+(1g10)=2+1=3. [例5][解](1)原式=g9.g4=g3·1g2 g2`1g31g2·lg3 =2g3:2g2=4 1g2·lg3 (2)原式=l0g2 1og29 log;V4 log log9g2 1g3 1g9 g2…2g3 Ig -lg3·号1g2 2 跟踪训练 1.解：(1)因为43=64，所以l0g164=3; (2)因为lna=b,所以e=a; (3)因为（侣）广=片以10ga=m: (4)因为1g1000=3,所以103=1000. 2.(1)解析：①设1og81=x,所以9=81=92，故x=2,即 10g81=2;②设1og.11=x,所以0.4=1=0.4°，故x= 0,即log.41=0;③设lne2=x,所以e=e2,故x=2,即 In e2=2. 答案：(1)①2②0③2 2解：0由6gx=-号得x=61子=40=4 1 二16 ②由log8=6,得x=8,又x>0,即x=8言=2× =√2； 0 ③由1g100=x,得10'=100=102，即x=2; ④由-lne2=x,得lne2=-x,所以et=e2,所以-x= 2,即x=-2. 3D[方程1og=合，化为：x=2时-E.故选D.] 4.解：(1)由log[1og(1og2x)]=0,得1og(1og2x)=1,所以 l0g2x=7,所以x=27=128. (2)由log2[1og(1og2x)门=1，得1og?(log2x)=2,所以 l0g2x=32,所以x=2=512. 5.解：1)原式=7X73=7=行 7 7 (2)原式=1002w9X100-w2=109 1 100=9×10 19 =9×10=4 6.解：(1)原式=10g32十l10g4=10g6(32×4)=l0g6= 2log66=2. 25 (2)原式 102×(-专)=1g102÷101=2×10 =20. 1 1g25 1g8 7.解析：原式=g乙·1g5·g5 (-21g5)·(-3g2)·(-21g3)=-12. lg 21g 31g 5 答案：-12 突破·高效演练基础题组练 1.C2.B 3.B[令a=1,则b=10°，c=10,a<c<b,排除ACD.故 选B.] 4.B 5.A[由2=5=m,得a=lbg:m,6=1ogm,所以日+君 a =logm2十logm5=logm10=2,所以=√10.] 6.解析：由1g(2x-3)=1知2x-3=10,解得x=之. -13 答案：号 4-x0 7.解析：由题意可知{x一2>0，解得2<x<4且x≠3. (x-2≠1 答案：(2,3)U(3,4) 8.解析：原式=lg2(1g2十lg50)十lg5=lg2×1g100十 21g5=2(1g2+lg5)=2lg10=2. 答案：2 9.解：(1)原式=2+十2=2+2=4. (2)原式=3%1-1十2°=4-1十1=4. 综合题组练 1.D[log29×log4十2log10十log0.25=21og23× log2 4 log,3 十l0g(10×0.25)=4十2=6.] 2.C[设1og2a=logb=l0gc=k,则a=2,b=3,c=6, 所以ab=2*·3=(2X3)=6=c.] 3.C[1og2x-1>log22,:底数2>1，.x-1>2,解 得x<-1或x>3,故选C.] 4解析：由f(2)=8+alog2=6,解得a三二1og2,所以 f(白）言+abg:名=g-as2=言+忌2× 17 答案：号 ·25 参考答案 5.解：(1)原式= ()×()+-1=告×是+ 5-1=5 (2)1g2+lg5-0.125+h1+log（2）+1+ √2026)°=lg(2×5)- (日)+0+4o:+1 =lg10-2 5 -4+1=1- -4+1=- 4.4 梳理·必备知识知识点一 (0,十) 知识点二 (0,十0∞) (1,0)(-∞，0)[0，十∞)(0，+0∞) (一0o,0]x轴 基础自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)×(5)×(6)× 2.A3.B 4.C[由对数函数的单调知识易知0<a<1.] 5.A[由于函数y=(3m十1)logx(a>0,a≠1)是对数函 数，所以3m十1=1，即m=0,此时2026"=2026°=1.] 6.解析：当x=2时，函数y=log,(x-1)十2(a>0,且a≠ 1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2). 答案：(2,2) 提升·学科素养 [创门[解]1)要使品数我有忘义，行解得 x<1,且x≠0，所以函数y=l0g1-5的定义域是{xx <1,且x≠0}. 2美使品班式有套又5化2-3≥0部得早< x≤1，所以函数y=√0g(4x-3)的定义域 [例2][解析](1)在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐 增大，故ab>c>d. （2)令21=1，得x=-2,此时y=2, x-1 通数y=10g+2进定点（一2,2 [答案](1)a>b>c>d(2)(-2,2) [例3][解](1)因为y=logx在(0，十o∞)上是增函数， 所以log1.9<log32. (2)因为log23>log21=0,log.32<1og.31=0,所以 log2 3>logo.32. (3)当a>1时，函数y=logx在(0，十∞)上是增函数， 则有1ogπ>log3.14； 当0<a1时，函数y=logx在(0，十o∞)上是减函数， 则有1og。π<1og3.14. 综上所得，当a>1时，log。π>log3.14;当0<a<1时， logeπlogn3.14. [例4][解析]因为函数y=log.ax是(0，十∞)上的减 13x>0 函数，所以原不等式等价于 1 x+1>0,解得x>之· (3x>x+1 [答案]A 「例5]「解7 由3-2x>0,解得x<号，设1=3-2 ∈(60，受）：函教y=1log是减函数，且函教1= 3-2x是减画数，.函数y=log3（3一2x)在 (-0,号)上是增画数，即画数y=bg:（3-2)的单 调递增区间是（ ）,没有单调递减区间