4.2 指数函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

当-3<x≤1时，原式=1-x-（x十3)=-2x-2. 当1<x<3时，原式=x-1-(x十3)=-4. 因此，原式= ∫-2x-2,-3<x≤1， -4,1<x<3. 综合题组练 1.D2.B 3.解析：√(4a十1)=4a十1=-4a-1,.4a十1≤0， 1 a 4 案：(0，] 4.a 5.解：)原式-（）】 ×1+(2)7×27+(2) ×(37)°=2+2号+7+2X32=112. 5.x言yz (2) =5×(-4)X (号)×()×2()=24x2 =24y. 4.2 梳理·必备知识知识点 1.(1)y=a(a>0且a≠1)(2)(-∞，十o∞) (0,十∞)(0,1)在R上是增函数在R是减函数 基础自测 1.(1)W(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 2.D 3.B[由题意，函数f(x)=a,因为f(1)=2,可得f(1)= a=2,解得a=2,即f(x)=2,所以f(0)十f(2)=2°十 22=5.故选B.] 4.C 5.B[由指数函数可知y=a(0a<1)在(0，十oo)上图 象为 ,所以f(x)在（一∞，0）上的图象是 0 ,故选B.] 6.(3,十0∞) 提升·学科素养 [例1][解] )因为08=（侍）=（得）， 0.2 125=(号 又指数函数y= () 为增函数，且0.1<0.2， 段1 所以()<()】 ,即0.80.1<1.25.2. =π">π°=1， (3)0.2>0.2°=1，(-3)02=(-3)京=/-3<0， 所以0.2-3>(-3)0. [例2][解]根据题意得 (品) -64≥0， 即（品）厂≥64，化简整理得2“≥2，所以一4≥6，解 3」 得x≤一 所以函数y 64的定义城为(0，受] 2 参考答案 [例3][解](1)对一切x∈R,3≠-1； 丘函数的定义城为R:“y313 1+3" 又3>0,1十3>1： 0<1<1,-1<- 1+3 1∠0； 1+ 011十g<1值城为0,1). 1 (2)函数的定义域为R: y=2)-2+1=(-）广+ 2>0,.2= ，即2=-1时y取最小值： 1 同时y可以取一切大于子的实数： 植城为[受十四） [例4幻[解析]k<4十1对一切实数x都成立， 即k<(4'+1)m 因为4>0，所以4十1>1，所以k1. 故答案为：(-0∞，1]. [答案](-∞，1] 跟踪训练 1.解析：(1)（单调性法）由于1.7与1.72.5的底数是1.7， 故构造函数y=1.7,而函数y=1.7在R上是增函数. 又2.5<3，.1.7i<1.73. (2)(单调性法)由于0.8F与0.8F的底数是0.8，故构 造函数y=0.8,而函数y=0.8在R上是减函数. 又-2>-√5，所以0.8E<0.8 (3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.93.1<0.9°=1， 1.7.>1.7°=1，则1.7.1>0.91 2.解析：(1)易知函数f(x)=2-1,x∈R 所以定义域为R (2)由f(-x)=2--1=22-1=f(x),从而知 f(x)为偶函数； (3)由条件得21≥4=2，得x2-1≥2，解得x≥√5或 x≤-3. 所以不等式的解集为：{xx≥√或x≤一√3. 3.解析：：f(x)在[-2，一1门上单调递减， ∴x=f-1)=(侵) =2 故答案为：2. 答案：2 4.解析：当x<-1时，f(x) (2)>(合)=2 当x≥-1时，f(x)=2.∴.f(x)的值域为[2，十∞). 答案：[2，十∞) 突破·高效演练基础题组练 1.C[由2x-1≥0，得2≥2°，所以x≥0.] 2.D[因为y=0.9是减函数，且0.5>0.3， 所以0.903>0.985.] 3.C[,y=2在R上单调递增，∴y=2在[2，a]上单调 递增，∴.当x=2时，y=2取得最小值为4；当x=a时， y=2取得最大值为2，.2-4=4，解得：a=3.故 选C.] 4.D[2+1<1=2°，且y=2是增函数，x十1<0， .x-1. 5.A[令u(x)=1-x,则u(x)在R上是减函数，又y= (合)是减画数，故y=(合) /1Y u() 在R上单调递增，故 选A.] 49 高考总复习数学 6.A[由x-1=0,得x=1,f(1)=4十2a°=6.所以函数 f(x)=4十2a-1的图象恒过定点(1,6).] 7.解析：因为一1<x<0,所以由指数函数的图象和性质可 得：2<1,2>1,0.2>1，又因为0.5<0.2，所以b <a<c. 答案：b<a<c 8.解析：a=5,1∈(0,1D,.f(x)=a在R上是减函 2 数，又f(m)>f(n),∴.<n. 答案：m<n 9.解：(1)将点(2,4)代入f(x)=a,得4=a2,a=2, 故f(x)=2: (2)2>1,f(x)是增函数，f(2m-1)-f(m十3)<0， 即f(2m-1)<f(m+3),2m-1<m+3,m<4;所以m 的取值范围是m<4. 综合题组练 1.C[设1=x+2x-1,则y=(合)：因为0<号<1，所 以y=(合)为关于：的减画数，因为=(x+1)-2≥ -2,所以0<y= ()≤（合） =4,故所求函数的值 域为(0,4].] 2.C[因为x>0时，1<b,所以b>1.因为x>0时，b< a,所以x>0时（号）>1.所以号>1，所以a>6所 以1<b<a.故选C.] 3.解析：由0：解得>2. 3-9≠0， 所以函数f(x)的定义域为(2，十∞) 答案：(2，十o∞) 4.解：(1)由已知得 ) =2.解得a=1. (2)由1知f)=(侵)广 又g)=f,则4-2=（）广， 所以（日）-（侵）-2=0， 令()=，则>0，-1-2=0， 即(t-2)(t+1)=0, 又t>0,故t=2,即(2) 1 =2.解得x=-1, 故满足条件的x的值为一1. 4.3 梳理·必备知识知识点一 2.a>0,且a≠1 知识点二 10e 知识点三 1.没有2.03.14.N 知识点四 1.(1)og.(MN)-1og M+Iog.N (2)log.log.M- log.N (3)log.M"=nlog M(nER)2.log.N=( >0,且b≠1：c>0,且c≠1；N>0) 基础自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.B[根据对数定义知a”=N曰logN=b.] 3解析：若10g,2写3-1，则2g-3,即2x-3=9x 6;若log（2x-1)=0,则2x-1=1,即x=1. 答案：61 ·25 提升·学科素养 1 [例1][解](1)0log:27=x;②1og号64=x: @16+=2:0e=10. (2)0由1gx=2得2--号 2 ②由l0g25=2,得x2=25.:x>0,且x≠1，∴.x=5 ③由10gx2=2,得x2=5,∴.x=±5.52=25>0， (-5)”=25>0,∴.x=5或x=-5. [例2】[解析](1)由10gx=-子，可得x=2。 (2)由-lne3=x,则lne3=-x. ∴.e=e3,.x=-3. 《3)由xl0g4=1,.1og34=2,3宁=4,4=3， 4=3 1 110 4十4=3十3=3 (4)设t=loga2,则3=2，.f(log2)=f(t)=3=2. [答案]192)-3(39 (4)2 [例3](1)[解析]①原式=3+2×0-3×1十3×0=0. ②916%1=(9立)6,1=3hg1=4. [答案]①0②4 (2)[解]①因为log2(logx)=0,所以logx=1,所 以x=3. ②因为l0g(log2x)=1,所以l0g2x=5,所以x=25=32. [例4[解]1)log45-log5=log智-log,9 =l0g32=2. (2)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+1g5)十(1lg2) =21g10+(1g5十1g2)2=2+(1g10)=2+1=3. [例5][解](1)原式=g9.g4=g3·1g2 g2`1g31g2·lg3 =2g3:2g2=4 1g2·lg3 (2)原式=l0g2 1og29 log;V4 log log9g2 1g3 1g9 g2…2g3 Ig -lg3·号1g2 2 跟踪训练 1.解：(1)因为43=64，所以l0g164=3; (2)因为lna=b,所以e=a; (3)因为（侣）广=片以10ga=m: (4)因为1g1000=3,所以103=1000. 2.(1)解析：①设1og81=x,所以9=81=92，故x=2,即 10g81=2;②设1og.11=x,所以0.4=1=0.4°，故x= 0,即log.41=0;③设lne2=x,所以e=e2,故x=2,即 In e2=2. 答案：(1)①2②0③2 2解：0由6gx=-号得x=61子=40=4 1 二16 ②由log8=6,得x=8,又x>0,即x=8言=2× =√2； 0第四章 指数函数与对数函数 4.2指数函数 》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点]指数函数及其图象和性质 [基础自测] 1.(1)一般地，函数 称为指数函 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 数，其中a是常数，a>0且a≠1， (1)函数y=3·2与y=2+1都不是指数 (2)指数函数y=a(a>0且a≠1)具有下列 函数 性质： (2)函数y=a是R上的增函数. ( ①定义域是 (3)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). ②值域是 ,即对任何实数x,都有 ( a>0,也就是说函数图象一定在x轴的 (4)函数y=2-1是指数函数， 上方. (5)若a"<a”(a>0,且a≠1)，则mn. ③函数图象一定过点 (6)y=x2是指数函数. ) ④当a>1时，y=a'是 当0<a<1时，y=a是 2.函数y=(√3-1)在R上是 ⑤指数函数的图象. A.增函数 B.奇函数 C.偶函数 D.减函数 02a)y y y=a*(a>1) 3.设f(x)=a,且f(1)=2,则f(0)十f(2)= ( (0,1) y=1- 0,i0 A.4 B.5 C.6 D.7 0 0 4.函数y=(a-2)a是指数函数，则() A.a=1或a=3 B.a=1 底数a与1的大小关系决定了指数函数图 C.a=3 D.a>0且a≠1 象的“升”与“降”.当a>1时，指数函数的 5.已知函数y=f(x)是偶函数，当x∈(0，+o∞) 图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数 时，y=a(0<a<1),则该函数在(-o∞，0) 的图象是“下降”的 上的图象大致是 2.指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数 (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数 是1. B (3)a的系数是1. 6.函数f(x)=2+3的值域为 》 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 吉点一 比较指数幂的大小 [例1] 比较下列各题中的两个值的大小 (1)0.80.1,1.250.2； (2) ,1 (3)0.23,(-3)02 尝试解答] 47 高考总复习数学 通性通法 食跟踪训练 比较指数幂大小的常用方法 2.已知函数f(x)=2-1 一是单调性法，不同底的指数函数化同 (1)求函数f(x)的定义域： 底后就可以应用指数函数的单调性比较大 (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明； 小，所以能够化同底的尽可能化同底， (3)解不等式f(x)≥4. 二是取中间值法，不同底、不同指数的指 数函数比较大小时，先与中间值（特别是0,1）比 较大小，然后得出大小关系. 三是图解法，根据指数函数的特征，在同 一平面直角坐标系中作出它们的函数图象， 借助图象比较大小。 ★跟踪训练 1.比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5与1.73； (2)0.85与0.85； (3)1.7.3与0.931 专点三指数函数的值域及最值问题 [例3]求下列函数的定义域、值域， (1)y= 1十3(2)y=4-2+1. 37 [尝试解答] 专点三求解含有指数幕的函数定艾域或不等式 [例2]求函数y 16 64的定义域， [尝试解答] 通性通法 要熟悉指数函数的图象和性质，对一些 简单的复合函数可以用换元法，但要注意换 元后的范围. ★跟踪训练 通性通法 3.函数f(x) 2】 在区间[一2，一1]上的最 函数的定义域一般从以下几个方面考虑： (1)分式的分母不为零； 小值为 (2)偶次根号a(n∈N*,n≥2，n为偶数)中， 专点四指数型复合函数的相关问题 a≥0； [例4]若k<4+1对一切实数x都成立，则 (3)零的零次方没有意义. 实数k的取值范围是 ·48 第四章指数函数与对数函数 通性通法 具有单调性，则函数y=ax在区间(m,n) 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单 调性相同； (1)形如y=a(a>0,且a≠1)的函数求值 当0<a<1时，若f(x)在区间(m,n)上 域时，要借助换元法：令u=f(x),先求出 其中(m,n)三D具有单调性，则函数y ax)在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区 u=f(x)的值域，再利用y=a“的单调性 间(m,n)上的单调性相反.以上概括为同 求出y=a的值域， 增异减。 (2)形如y=af(a>0,且a≠1)的函数单调 食跟踪训练 性的判断，首先确定定义域D,再当a>1 4.函数f(x》 2 (x<-1)的值域是 时，若f(x)在区间(m,n)上，其中(m,n)二D 2(x≥-1) 》 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] (2)若f(2m-1)-f(m十3)<0，求实数m 1.函数y=√2-1的定义域是 ( 的取值范围. A.(-∞，0) B.（-∞，0] C.[0,+∞) D.(0,+∞) 2.下列判断正确的是 A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83 C.π2<√π D.0.903>0.90.5 3.若函数y=2在区间[2，a]上的最大值比最 [综合题组练] 小值大4，则a= 2+2x一 A.1 B.2 1.函数y= 2 的值域是 C.3 D.4 4.若2+1<1，则x的取值范围是 A.(-∞，4) B.(0,+∞) ( C.(0,4] A.(-1,1) B.(-1,+∞) D.[4,+∞) C.(0,1)U(1,+∞) 2.已知a,b∈(0,1)U(1,+∞)，当x>0时， D.(-∞，-1) 1<b<a,则 ( 5.函数y 的单调增区间为 A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 A.R B.(0,+∞) C.1<b<a D.1<a<6 C.(1,+∞) D.(0,1) 3.函数f(x)= 2-4 3-9 的定义域为 6.已知函数f(x)=4十2a-1的图象恒过定点 P,则点P的坐标是 ( ) ,a为常数，且函数 A.(1,6) B.(1,5) 4.已知函数fx)-(】 C.(0,5) D.(5,0) 的图象过点(-1,2). 7.若-1<x<0,a=2x,b=2,c=0.2,则a, (1)求a的值； b,c的大小关系是 (2)若g(x)=4-2,且g(x)=f(x),求满 足条件的x的值. 8.已知a=51,函数f()=a,若实数m,n 2 满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系 为 9.已知指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，过 点(2,4) (1)求f(x)的解析式； ·49