4.1 实数指数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 8.解析：邮资y与运送距离x的函数关系式 5.00,0<x≤500 6.00,500x≤1000 y= 7.00,1000x≤1500 8.00,1500x≤2000 所以1300∈(1000,1500]，所以应付的邮资是y=7.00 元，故答案为：7.00元. 答案：7.00元 9.解：1D由题毫可得S=x…18,3=-子+9x(0<d 2 <6),即S与x之间的画数关系式是S=-》2+9z(0 <x<6). (2)由题意可得2≤<18,3江，解得2≤<3.6，：S= 2 是+9x=-2-3y+13.5,2≤<.6音 =3时，S取得最大值，最大值为13.5，当x=2时，S取 得最小值，最小值为12，.S的最大值是13.5，最小值 是12. 综合题组练 1.B[设每天获利y元，则y=(100一5x)(x-6)-100 -5(x-13)2+145, 由x>0,Q=100-5.x≥0，得0x≤20， 故当x=13时，每天获利最大.故选B.] /x+1,x≤1 2.A[函数f(x)= ,x>1 可得x>1时，f(x)递减，可得f(x)∈(0,2)： x≤1时，f(x)=x3十1递增，可得f(x)2, 且x=1时，f(x)取得最大值2， 由对任意的实数x都存在x1∈R,使得f(x)≤f(x)成 立，可得x1=1.故选A.门 3.解析：依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这 家销售了(110一x)辆电动车，总利润S=一5x十900x 16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000= -5(x-60)2十33000(0≤x≤110)， 所以当x=60时，S取得最大值，且Sx=33000. 答案：33000 4.解：(1)由题意，当0≤x≤20时，(x)=60; 当20x≤200时，设v(x)=ax十b. 1 再由已知得/200a十b=0 a-- 解得 120a+b=60 /b200 3 故函数v(x)的表达式为 60,0x20 (x)= (3(200-x),20≤x≤200 1 (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x20 f(x)= 3x(200-x),20≤x≤200' 1 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大 值为60×20=1200： 当20<≤20时.fx)=号(20-x)=-号x 100)2+10000 3 所以，当x=100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大 值10000 3 ·24 第四章4.1 梳理·必备知识知识点一 1,x=a3.根指数 知识点二 1.02.a4.a-a 知识点三 3.0没有意义 知识点四 1.a+￥2.a3.ab 知识点五 实数 基础自测 1.(1)/(2)×(3)/(4)/(5)×(6)×(7)× (8)/(9)/ 2.A[16=√2=2.] 3C[当m<0时，m没有意义，其余各式均有意义.] 4号 5.解析：x3=-5,则x=一5=-5. 答案：一5 6.解：有2个，表示为±3 提升·学科素养 [例1][解析](1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x=2016,所以x=士2016. (3)要使√/x十3有意义，则需要x十3≥0，即x≥一3. 所以实数x的取值范围是[一3，十∞). [答案](1)3±2(2)±/2016(3)[-3，+∞) [例2][解]a2·√=a2·a=a2+景=a景. aa=√a·a京-√a京=(a)立=a. [例3][解](1)原式=(0.4)-1+(-2)4+ 2)+0.1)t-0,4-1+名+g+0.1=8 (2)原式=a·a÷√a·a÷a,a古 ÷√a÷a7=a导÷(a号)7÷a景=a号÷a号÷ a景=a导-音+号=a=a 跟踪训练 1.A[①中(-3)>0，所以-3)有意义，②中根指 数为5有意义，③中(-5)+1<0，因此无意义，④中根 指数为9，有意义，选A.] 2.C[-√G=-x克(x>0);W=[(y)']=-y(y<0); =t)>0x=() (x≠0).] 3.C[因为x≠0，所以x-√F+√E =|x一x十 x =1.故选C.] x 突破·高效演练基础题组练 1.B2.D3.D4.B5.B 6.解析：√（π-4）7+√/（π-3）=4-π十π-3=1. 答案：1 7.解析：x<0,.一x>0,.(√(-x))2=一x 答案：一x 8.89.a 10解：(1)x<0,原式=x-x十2=-1. (2)√-2x+1-√+6x+9=√x-1)产 √J(x十3)2=x-1-x十3， 8 当一3<x1时，原式=1-x-(x十3)=-2x-2. 当1<x<3时，原式=x一1一(x十3)=一4. 因此，原式={-2x-2,-3<x≤1， -4,1x<3. 综合题组练 1.D2.B 3.解析：：√(4a+1)=4a十1=-4a-1,.4a+1≤0， .a≤ 4 答案：(0，}] 4. 5解：(1)原式=（ ×1+(22)片X27+(2) ×(3克)°=2+2+7+22X33=112. 5x÷y克 (2) =5×(-4)× (-号）×x()×()=24x =24y 4.2 梳理·必备知识知识点 1.(1)y=a(a>0且a≠1)(2)(-∞，十∞) (0,十∞) (0,1)在R上是增函数在R是减函数 基础自测 1.(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6) 2.D 3.B[由题意，函数f(x)=a,因为f(1)=2,可得f(1) a'=2,解得a=2,即f(x)=2,所以f(0)十f(2)=2十 22=5.故选B.] 4.C 5.B[由指数函数可知y=a(0<a<1)在(0，十oo)上图 1 象为 ,所以f(x)在（一o,0)上的图象是 0 2 ↑y 1 ,故选B.] 6.(3,十∞) 提升·学科素养 [例1[解1因为081=（侍）=（）， 又指数函数y (任)为增画数，且0.1<.2. 所以()<() 0.1 .2 ,即0.801<1.2502 2()】 =π”>π°=1， (3)0.23>0.2°=1，(-3)2=(-3)方=/-3<0， 所以0.23>(-3)°.2。 [例2习[解]振据题唐得，（债）广-64≥0， 即（后）广≥64，化简整理得2“≥2，所以-4红≥6，解 得x≤一 3 所以函数y√（信）-64的定文城为(，一号] 参考答案 [例3][解](1)，对一切x∈R,3≠-1； 从画数的定义城为R“-片1一： 1 1+3 又3>0,1十3>1： .0 1 1 <1+3<1-1<13<0: 0<1一1+3 <1,∴.值域为(0,1). (2)函数的定义域为R: y=(2-2+1=(-)+： 2>0,.2= 子，即x=-1时y取最小值号： 同时y可以取一切大于至的实数； :值城为[子十∞） 例4幻[解析]k<4十1对一切实数x都成立， 即k<(4“+1)min 因为4>0，所以4十1>1，所以k≤1. 故答案为：（一∞，1]. [答案](-∞，1] 跟踪训练 1.解析：(1)（单调性法）由于1.73与1.72.5的底数是1.7， 故构造函数y=1.7,而函数y=1.7在R上是增函数. 又2.5<3，.1.7.5<1.7 (2)(单调性法)由于0.8F与0.8F的底数是0.8，故枸 造函数y=0.8,而函数y=0.8在R上是减函数. 又-√2>-√5，所以0.8F<0.8F (3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.93.1<0.9°=1， 1.7.1>1.7°=1，则1.73.1>0.91. 2.解析：(1)易知函数f(x)=21,x∈R. 所以定义域为R (2)由f(-x)=2-2-1=22-1=fx),从而知 f(x)为偶函数； (3)由条件得2-1≥4=22，得x2-1≥2，解得x≥5或 x-√5. 所以不等式的解集为：{xx≥√或x≤一. 3.解析：：f(x)在[-2，-1]上单调递减， x)=-1=(合)'=2 故答案为：2. 答案：2 4解析：当xK-1时，f)=(合）广>（合）'=2 当x≥-1时，f(x)=2.f(x)的值域为[2，十o∞). 答案：[2，十∞) 突破·高效演练基础题组练 1.C[由2-1≥0，得2≥2°，所以x≥0.] 2.D[因为y=0.9是减函数，且0.5>0.3， 所以0.93>0.95.] 3.C[:y=2在R上单调递增，∴y=2在[2，a]上单调 递增，.当x=2时，y=2取得最小值为4；当x=a时， y=2取得最大值为2“，.2一4=4，解得：a=3.故 选C.] 4.D[2r+1<1=2°，且y=2是增函数，∴x十1<0， ∴.x<-1.] 5.A[令u(x)=1一x,则u(x)在R上是减函数，又y= (位）广是减西数，故y=(合）“在眼上单调造增，故 选A.] 9第四章 指数函数与对数函数 实数指数 负指数 分数指数 指数 根式 定义 指数函数 图象 性质 思维导图 指数与对数 定义 对数 对数的性质 恒等式 常用对数 对数 自然对数 定义 对数函数 图象 性质 4.1 实数指数 》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]n次方根、n次根式 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a”= 1.a的n次方根的定义：一般地，如果 那么x叫作a的n次方根，其中n>1, (a>0,m,m∈N,且a>1). 且n∈N', 3.0的正分数指数幂等于，0的负分数指 2.a的n次方根的表示： 数幂 [知识点四]有理数指数幂的运算性质 a 的n次方根 n的奇偶性 a的取值范围 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理 的表示符号 数指数幂，即： n为奇数 a a∈R 1.a'a= (a>0,r,s∈Q) n为偶数 士a [0,+∞) 2.（a)'= (a>0,r,s∈Q). 3.(ab)'= (a>0,b>0,r∈Q). 3.根式：式子a叫作根式，这里n叫作 [知识点五]无理数指数幂 a叫作被开方数， 般地，无理数指数幂a(a>0,a是无理 [知识点二]根式的性质 数)是一个确定的 .有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂。 1.6= (n∈N*,且n>1); 常用的几个幂函数的图象，如下 2.(Wa)"=(n∈N*,且n>1); y=xy=x/y=x 3.√a"=a(n为大于1的奇数)； -3-2=1 0123 4.Va"=|al= ,a≥0， (n为大于1的偶数). ,a<0, [知识点三]分数指数幂 [基础自测] 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：a”= 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） Vam(a>0,m,n∈N,且n>1). (1)任意实数的奇次方根只有一个.() ·44 第四章 指数函数与对数函数 (2)当n∈N*时，（一16）"都有意义.( 2.16的运算结果是 (3)/(3-π)2=π-3. A.2 B.-2 C±2 D.±√2 (4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的 3.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是 形式. (5)分数指数幂a可以理解为个a相乘。 Avm B.m C/m D.m (6)0的任何指数幂都等于0. 4.计算：π°十22× 4 (7)函数y=2x是幂函数. 5.若x3=一5，则x (8)当n>0时，幂函数y=x”在(0，十∞)上是 6.若x=3,这样的x有几个，如何表示？ 增函数， ) (9)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点 一定是原点 ( 》 提升·学科素养 直击考向 通法悟道 春点一 n次方根的概念问题 通性通法 [例](1)27的立方根是 ;16的4 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数 次方根是 (式)的指数化为分数指数的分子. (2)已知x6=2016,则x= (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方 数，一般由里向外用分数指数幂依次写出. (3)若x+3有意义，求实数x的取值范围 食跟踪训练 为 2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 通性通法 n次方根的个数及符号的确定 A.-√x=(-x)9 (x>0) (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； B.9=y(y<0) (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的 C.x (x>0) 符号 食跟踪训练 D.z (x≠0) 专点三利用分数指数幂的运算性质化简求值 1.已知a∈R,n∈N",给出下列4个式子： ①9-3)m;②a;③9-5)市；④9-a, [例3] 1)求值：0.064+-（g)+ 其中无意义的有 [(-2)3]÷+1605+[(-0.1)2] A.1个 B.2个 C3个 D.0个 (2)化简：aa÷a.a 专点二根式与分数指数幕的互化 [例2]用分数指数幂的形式表或下列各式 [尝试解答] a2.9a(a>0)waa(a>0). [尝试解答] 45 高考总复习数学 通性通法 食跟踪训练 进行指数幂运算时，有根式的，先将根式 化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母 3.若x≠0，则1x-√x+1 侣的值为《) 归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化 A.-1 B.0 小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、 开方运算，可以达到化繁为简的目的， C.1 D.2 》 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] [综合题组练] 1.下列说法正确的个数是 1.下列各式正确的是 ( ①16的4次方根是2；②16的运算结果是 A.√a=a B.9-2)2=-2 士2；③当n为大于1的奇数时，a对任意 a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时， C.a°=1 D.2-10-√2-1 a只有当a≥0时才有意义. 2.已知a>0,则/a√aa化为 A.1B.2 C.3 D.4 2.已知m0=2,则m等于( A.a B. C.a D.a A.12 B.-192C√20 D.±2 3.已知w/(4a十1)2=-4a-1,则实数a的取值 3.把根式aa化成分数指数幂是 ) 范围是 A.(-a) B.-(-a) 4.a)= C-a* D.a 5.计算下列各式： A c号 n.合 5xy 5.若x<y,则W-2xy十y的值为 y A.x-y B.y-x 2( C.lyl-lx D.士(x-y) 6.√（π-4)严+（π-3）3= 7.设x<0,则（√一x)2= 8.计算√16= 9.计算：化简。2石，日) ·a的结果是 10.(1)若<0，求x十|z+2的值： (2)若-3<x<3,求√-2x十1 √x2+6x+9的值. ·46·