3.6 函数的应用-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 3.6函数的应用 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一] 常见的函数模型 2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆 名称 解析式 条件 4000辆次，存车费：电动自行车0.3元/辆， 一次函 普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车 y=kx+b ≠0 数模型 存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与 反比例 x的函数关系式 ) y= +6 k≠0 函数模型 A.y=0.2x(0≤x≤4000) 二次函 般式：y=a.x2+bx十c顶点式： B.y=0.5x(0≤x≤4000) 2 数模型 4ac-b2 a≠0 C.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000) D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000) 幂函数 a≠0， 3.已知某停车场规定：停车时间在3小时内， 模型 y=ax"+b n≠1 车主需交费5元，若停车超过3小时，每多 这个模型实则是以上两 停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小 分段函 种或多种模型的综合， 数模型 时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20 应用也十分广泛 分钟，在离开时车主应交的停车费为() [知识点二] 函数模型解决实际问题的基本 A.16元 B.18元 思路 C.20元 D.22元 实际问题 数学对象 数学模型 4.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产 推理或 量x(套)之间的函数关系式y=6x十 ,演算 实际问题的解 评价 数学模型的解 30000,而出厂价格为每套12元，要使该厂 解释 不亏本，至少日生产文具盒 () [基础自测] A.2000套 B.3000套 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） C.4000套 D.5000套 (1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响 5.某物体一天内的温度T是时间t的函数关 函数的性质， ( ) 系式T(t)=t一3t+60,时间单位是h,温度 (2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影 单位为℃，t=0时表示中午12：00，则上午 响函数的单调性. 8:00时的温度为 ℃ 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一二次函数、三次函数模型 (1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出 [例1]商场销售进价为30元的商品，在销 实数(x,y)对应的点，并确定x与y的一个 售中发现商品的销售单价x元与日销售量 函数关系式y=f(x); y件之间有如下关系： (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根 销售单 30 40 45 50 价x(元) 据上述关系式写出P关于x的函数关系 日销售 式，并指出销售单价x为多少时，才能获得 60 30 15 量y(件) 最大日销售利润. ·40· 第三章函数 [尝试解答] 专点二】 分段函数模型 [例2]某种商品在近30天内每件的销售价 格P(元)和时间t(天)的函数关系为 t+20,0<t<25 P- .(t∈N*) -t+100,25≤t≤3 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的 函数关系为Q=40一t(0<t≤30，t∈N*), 求这种商品的日销售金额的最大值，并指出 日销售金额最大是第几天？ 通性通法 [尝试解答] 在函数模型中，二次函数模型占有重要 的地位.利用二次函数求最值时应注意： (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式 后，可利用配方法、判别式法、换元法、函 数的单调性等方法求最值，从而解决实际 问题中的利润最大、用料最省等最值 通性通法 问题， 分段函数的注意点：建立分段函数模型 (2)判断：取得最值时的自变量与实际意义是否 的关键是确定分段的各边界点，即明确自变 相符。 量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从 食跟踪训练 而写出函数的解析式， 1.用一根长为l的铁丝制作 食跟踪训练 个如图所示的框架，上半部 D 2.某车间生产一种仪器的固定成本为10000 分为半圆形，下半部分为矩 元，每生产一台该仪器需要增加投入100 形，若AB=2x,此框架的面 A 元，已知总收入满足函数关系式 积为y,求y与x之间的函数关系式，并求 400x-x2,0≤x≤200，x∈N, 出其定义域 H(x)= 40000,x>200,x∈N, 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数（用f(x)表示）： (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最 大利润为多少元？（总收入=总成本十利润） ·41· 高考总复习数学 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 5.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x 1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为 之间满足一次函数关系.如果购买1000 180km,则这辆汽车行驶的路程y(km)与 吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨 时间t(h)之间的函数关系式是 700元，那么一客户购买400吨，其价格为 A.y=2t B.y=120t 每吨 ( C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0) A.820元 B.840元 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月 C.860元 D.880元 的销售量成一次函数关系，如图示，由图中 6.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告 给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收 上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电 入是 ) 比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为 元 7.已知函数关系式f(x)= x,x≤0 2x-1,x>0'若 f(x)≥1，则x的取值范围 8.国内快递重量在1000克以内的包裹邮资标 A.310元 B.300元 准如下表： C.390元 D.280元 运送距离 3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说 1T50 500<.r≤10001000<x≤150d1500<x≤2000 r(km) 法中，正确的个数是 ( ) 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 生活费收入指数 如果某人从北京快递900克的包裹到距北 120 京1300km的某地，它应付的邮资是 115 110 105 生活价格指数 100 9.如图所示，用一根长度 为18米的原材料制作 2022202320242025 一个矩形窗户边框（即 (1)这几年生活水平逐年得到提高： 矩形ABFE和矩形 (2)生活费收入指数增长最快的一年是 DCFE,窗户边框粗细忽略不计)，原材料刚 2022年； 好全部用完，设窗户边框AB的长度为x (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是 米，窗户的总面积为S平方米 2023年； (1)求S与x之间的函数关系式； (4)虽然2024年生活费收入增长缓慢，但生 活价格指数也略有降低，因而生活水平 有较大的改善， A.1 B.2 C.3 D.4 4.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x (默认y>x)的函数解析式 () A.y=10-x(0<x<5) B.y=10-2x(0<x<10) C.y=20-x(0<x<5) D.y=20-2x(0<x<10) ·42· 第三章函数 (2)若窗户边框AB的长度不小于2米，且 4.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个 小于BC的长度，求S的最大值和最小值 城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的 车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速 度为0：当车流密度不超过20辆/千米时， 车流速度为60千米/时.研究表明，当20≤ x≤200时，车流速度v是车流密度x的一 次函数.求 (1)当20≤x≤200时，函数(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时 间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆 /时)f(x)=x(x)可以达到最大，并求 出最大值（精确到1辆/时）. [综合题组练] 1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定 成本为100元，每束花的进价为6元，若日 均销售量Q(束)与销售单价x(元)的函数 关系式为Q=100一5x,则当该店每天获利 最大时，每束花应定价为 ( A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 x3+1,x≤1 2.已知函数f(x)={ x>1 2 ,若对任意的 实数x都存在x1∈R,使得f(x)≤f(x1)成 立，则x1 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店， 其月利润（单位：元）分别为L甲=一5.x2+ 900x-16000,Lz=300x-2000(其中x为销 售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆， 则能获得的最大利润为 元. ·43·9.解：(1)令t=x-3,则x=t十3. 因为f(x-3)=x2-4x十6， 所以f(t)=(t十3)2-4(t十3)+6=t2+2t十3， 故f(x)=x2十2x十3. (2)设所求的二次函数为f(x)=ax2十bx十c(a≠0). f(0)=2,.c=2,则f(x)=a.x2十bx十2 又，f(x十2)-f(x)=2x十4， ∴a(x十2)2+b(x+2)+2-(ax2十bx+2)=2x十4， 即4a.x+4a十2b=2x十4， 1 由恒等式性质得)a=2 （a2, (4a+2b=4 (b=1 所求二次画数为x)=号十x十2. 综合题组练 1.C[设fx)=x2+(a2-1)x十a-2.由f(1)<0→a2十 a-2<0,解得-2<a<1.所以应选C.」 2.D[函数f(-x)=-x2+2x=f(x),所以f(x)为偶 函数，故A错误； 因为f(1)=-1十2=1，故B错误； 当x=5时，f(5)=-52十2=7>0，故C错误.故选D.] 3.解析：由题意得2x一x≥0，即0x≤2， 又因y=2x-x2的对称轴为x=1,所以y=2x-x2在 [0,1]上单调递增，故根据复合函数单调性，得函数y= √2x-x的递增区间为[0,1]. 答案：[0,1] 4.解：(1)设f(x)=ax2十bx十c(a≠0)，由f(0)=1, 得c=1,f(x)=ax2+bx+1. ,f(x+1)-f(x)=2x, 2 ateth=22a62081 ∴.f(x)=x2-x十1. (2)由题意，x2-x十1>2x十m在[-1,1]上恒成立，即 x2-3x十1-m>0在[-1,1]上恒成立. 31 5 令g()=x2-3x+1-m=（-2)-是-m,其对称 轴为=三 ∴.g(x)在区间[一1,1]上是减函数， 六g(x)m=g(1)=1-3+1-m>0,∴.m<-1. 3.6 梳理·必备知识基础自测 1.(1)√(2)/2.C 3.C[由已知得7小时20分钟按8小时计算， 所以停车费为5十(8一3)×3=20元.故选C.] 4.D[因利润z=12x一(6x十30000)，所以z=6.x-30000, 由≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套. 故选D.] 5.8 提升·学科素养 [例1][解](1)在平面直角坐标系中画出各点，如图. 这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关 系为一次函数关系， 设f(x)=kx十6(k≠0，且k,b为常数)，则60=30k十b, (30=40k+b 年母名品 .f(x)=-3x十150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在 此直线上..y与x之间的函数解析式为y=一3x十150 (30≤x50). ·2 参考答案 6 3 0 10 0102030405060x (2)由题意，得P=(x-30)(-3x+150)=-3x2十240x -4500=-3(x-40)2十300(30≤.x≤50)， .当x=40时，P有最大值300.故销售单价为40元时， 日销售利润最大」 [例2][解]设日销售金额为y(元)，则y=PQ,所以y ={5t+201+800,0<4K25 ,(t∈N*) t2-140t十4000,25t30 ①当0<t<25且t∈N*时，y=一(t一10)2+900，所以当 t=10时，yms=900. ②当25≤t30且t∈N”时，y=(t-70)2-900,所以当t =25时，ymx=1125.结合①②得ymx=1125. 因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25 天时日销售金额达到最大， 跟踪训练 1.解：由题意得2x+2AD十x=1,解得AD=-受 工一x,所以此框架的面积y=令x十 (台受x-小2x=-(+受）)F+红因为台-受 一>0>0，所以0<<2千元所以y与x之间的画 数关系式为y=一 (2+受)x十红，定义城 为(02) 2.解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t=10000十 100x.又f(x)=H(x)-t, ∴f(x)={x+300z-10000,0≤x≤20，x∈N 130000-100x,x>200,x∈N (2)当0≤x≤200时，f(x)=-(x-150)2+12500,所以 当x=150时，有最大值12500： 当x>200时，f(x)=30000-100x是减函数，f(x)< 30000-100×200<12500. 所以当x=150时，f(x)取最大值，最大值为12500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润 为12500元. 突破·高效演练基础题组练 1.D2.B3.C 4.A[由题意可知2y十2.x=20,即y=10-x,又10-x> x,所以0<x5,故选A.」 5.C[设y=kx十b,则1000=800k十b,且2000=700k十 b,解得k=-10,b=9000,则y=-10x十9000.解400 =-10.x十9000，得x=860.故选C.] 6.解析：设彩电的原价为a元，.a(1十0.4)·80%一a= 270,.0.12a=270,解得a=2250. .每台彩电的原价为2250元. 答案：2250 7.解析：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得 f(x)≥1成立，所以将原不等式转化为 （x>0 从而得x≥1或x≤-1，即(-∞，-1]U[1,十∞. 答案：(-0∞，-1]U[1,十∞) 7 高考总复习数学 8.解析：邮资y与运送距离x的函数关系式 5.00,0<x≤500 6.00,500x≤1000 y= 7.00,1000x≤1500 8.00,1500x≤2000 所以1300∈(1000,1500]，所以应付的邮资是y=7.00 元，故答案为：7.00元. 答案：7.00元 9.解：1D由题毫可得S=x…18,3=-子+9x(0<d 2 <6),即S与x之间的画数关系式是S=-》2+9z(0 <x<6). (2)由题意可得2≤<18,3江，解得2≤<3.6，：S= 2 是+9x=-2-3y+13.5,2≤<.6音 =3时，S取得最大值，最大值为13.5，当x=2时，S取 得最小值，最小值为12，.S的最大值是13.5，最小值 是12. 综合题组练 1.B[设每天获利y元，则y=(100一5x)(x-6)-100 -5(x-13)2+145, 由x>0,Q=100-5.x≥0，得0x≤20， 故当x=13时，每天获利最大.故选B.] /x+1,x≤1 2.A[函数f(x)= ,x>1 可得x>1时，f(x)递减，可得f(x)∈(0,2)： x≤1时，f(x)=x3十1递增，可得f(x)2, 且x=1时，f(x)取得最大值2， 由对任意的实数x都存在x1∈R,使得f(x)≤f(x)成 立，可得x1=1.故选A.门 3.解析：依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这 家销售了(110一x)辆电动车，总利润S=一5x十900x 16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000= -5(x-60)2十33000(0≤x≤110)， 所以当x=60时，S取得最大值，且Sx=33000. 答案：33000 4.解：(1)由题意，当0≤x≤20时，(x)=60; 当20x≤200时，设v(x)=ax十b. 1 再由已知得/200a十b=0 a-- 解得 120a+b=60 /b200 3 故函数v(x)的表达式为 60,0x20 (x)= (3(200-x),20≤x≤200 1 (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x20 f(x)= 3x(200-x),20≤x≤200' 1 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大 值为60×20=1200： 当20<≤20时.fx)=号(20-x)=-号x 100)2+10000 3 所以，当x=100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大 值10000 3 ·24 第四章4.1 梳理·必备知识知识点一 1,x=a3.根指数 知识点二 1.02.a4.a-a 知识点三 3.0没有意义 知识点四 1.a+￥2.a3.ab 知识点五 实数 基础自测 1.(1)/(2)×(3)/(4)/(5)×(6)×(7)× (8)/(9)/ 2.A[16=√2=2.] 3C[当m<0时，m没有意义，其余各式均有意义.] 4号 5.解析：x3=-5,则x=一5=-5. 答案：一5 6.解：有2个，表示为±3 提升·学科素养 [例1][解析](1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x=2016,所以x=士2016. (3)要使√/x十3有意义，则需要x十3≥0，即x≥一3. 所以实数x的取值范围是[一3，十∞). [答案](1)3±2(2)±/2016(3)[-3，+∞) [例2][解]a2·√=a2·a=a2+景=a景. aa=√a·a京-√a京=(a)立=a. [例3][解](1)原式=(0.4)-1+(-2)4+ 2)+0.1)t-0,4-1+名+g+0.1=8 (2)原式=a·a÷√a·a÷a,a古 ÷√a÷a7=a导÷(a号)7÷a景=a号÷a号÷ a景=a导-音+号=a=a 跟踪训练 1.A[①中(-3)>0，所以-3)有意义，②中根指 数为5有意义，③中(-5)+1<0，因此无意义，④中根 指数为9，有意义，选A.] 2.C[-√G=-x克(x>0);W=[(y)']=-y(y<0); =t)>0x=() (x≠0).] 3.C[因为x≠0，所以x-√F+√E =|x一x十 x =1.故选C.] x 突破·高效演练基础题组练 1.B2.D3.D4.B5.B 6.解析：√（π-4）7+√/（π-3）=4-π十π-3=1. 答案：1 7.解析：x<0,.一x>0,.(√(-x))2=一x 答案：一x 8.89.a 10解：(1)x<0,原式=x-x十2=-1. (2)√-2x+1-√+6x+9=√x-1)产 √J(x十3)2=x-1-x十3， 8