3.5 二次函数(二次函数的图象与性质)-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 (2)证明任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, )=得， (x1-x2)(1-x1x2） -1<x1<x2<1,1-x<0,1-x1x2>0,(1+xi) (1十x)>0, f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).f(x)为 (一1,1)上的增函数. (3)解：f(t-1)十f(t)0,.f(t-1)-f(t). f(x)是(-1,1)上的奇函数，∴f(-t)=一f(t), ∴.f(t-1)<f(-t). -1t-11 :f(x)为(-1,1)上的增函数，{-1<-t1,解得 (t-1<-t 0<K分：不等式的解集为{红0<K号} 3.5 梳理·必备知识知识点二 尔 g -oo,4ac-b】 Aa b 基础自测 1.C2.C 3.C[抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,则f(0)= f(2).因为函数在区间[1，十∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3),即f(0)<f(3).故选C.] 4B=2x-x+1=2(e-合)=2(-)》 十子，所以抛物线的对称轴为直线x=},顶点坐标为 (仔后)上戴造] 5.B[x=-名≥1，解得6-2.截选B] 6.(1)4,0(2)2,-2,0(3)下，x=-2,(-2,5),-2,大， 5,>-2 提升·学科素养 [例l][解]设该二次函数为y=ax2十bx十c(a≠0). 由函数图象过点(-1，-22)，(0，-8)，(2,8)，可得 -22=a-b+c -8=c ,解得a=-2,b=12,c=-8. (8=4a+2b十c 所以，所求的二次函数为y=一2x2十12x-8. [例2][解析]若a<0,b>0,c<0,则该二次函数开口 白下，对称轴x=一品>0，与y轴的文点位于x轴下 方，符合条件的图象只有选项B.故选B. [答案]B [例3][解](1)：x1和x2分别是一元二次方程2x+ 5.x-3=0的两根， 十=-=-是 5 ①：x1一x22=x十x-2x1x2=（x1十x2)2-4x1x =(号）-4×()翠+6=49 4 x1-x2=2 (1x2) 31 -32 () 9 91 ·2 ③x1+x2=(x1十x2)(x1-x1x2十x2) =(x1十x2)[(x1十x2)2-3x1x2] =()×[()广-3×()门- (2)设方程的另一个旅为工1，则2江=一号， =- 寻（号）十2=-台得=-7.所以，方 3 程的另一个根为一号，k的值为一7. 跟踪训练 1.解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶，点的 纵坐标， .顶，点的纵坐标为2. 又顶点在直线y=x十1上， .2=x十1，x=1..顶点坐标是(1,2) 设该二次函数的解析式为y=a(x一1)2十2 ,二次函数的图象经过点(3，一1)， 代入解得a=一3】 41 “二次西数的解折式为y=一导父十含十导 2.解：设二次函数y=x十ax十a一2的图象与x轴的两个 交点为A(x1,0),B(x2,0),则由题意得，x1,2是方程 x2十a.x十a-2=0的两个实数根，可得x1十x2=一a, x1x2=a-2.因此由AB=√(x2-x1)2=2得，(x1十 x2)2-4x1x2=4,即(-a)2-4(a-2)=4,化筒得a2-4a 十4=0，即(a-2)2=0,解得a=2. 3.解析：由于a、8是方程x2十2x-5=0的实数根， .a2+2a-5=0,a8=-5,.a2+2a=5 ..a十a3+2a=a十2a十a3=5-5=0. 答案：0 突破·高效演练基础题组练 1.B2.A 3.A[二次函数y=x2-2x十3图象的对称轴方程为x= -2 一2x=1.故选A] 4.B 5.A[当a>0时，y=-ax十1在x,y轴上裁距分别是 日>01，而y=a开口向上，顶点为原点且对称轴为y 轴，排除B;当a<0时，y=一ax十1在x,y轴上裁距分 别是日<0,1，而y=ar开口向下，顶点为原点且对称 轴为y轴，排除C、D,故选A.] 6.解析：因为函数f(x)=x2十bx十4的图象总在x轴上 方，.△=b-16<0,解得-4<b<4. 故答案为（一4,4）. 答案：（一4,4） 7.解析：“a<0,一2a b >0,c>0,.b>0,ac0. 设y=f(x)=a.x2十bx十c,则a-b十c=f(-1)<0. 故答案为>；<；< 答案：>< 8.解析：：二次函数y=f(x)满足f(3十x)=f(3-x), .二次函数y=f(x)的对称轴为x=3, ∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对称，即 两个交点的中点为3. 根据中点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之和为 21十x2=2X3=6. 故本题答案为6. 答案：6 46 9.解：(1)令t=x一3，则x=t十3， 因为f(x-3)=x2-4x十6， 所以f(t)=(t十3)2-4(t十3)十6=t2十2t十3， 故f(x)=x2+2x十3. (2)设所求的二次函数为f(x)=ax2十b.x十c(a≠0). f(0)=2,.c=2,则f(x)=ax十bx十2 又.f(x+2)-f(x)=2x+4, .a(x+2)2+b(x十2)+2-(ax2十bx+2)=2x+4, 即4a.x十4a十2b=2x十4， {a+6=4a, 由恒等式性质得{如=2 (b=1 :所求二次画数为x)=合2十x十2. 综合题组练 1.C[设f(x)=x2+(a2-1)x十a-2.由f(1)<0→a2+ a-2<0,解得-2<a<1.所以应选C.] 2.D[函数f(-x)=-x2十2=f(x),所以f(x)为偶 函数，故A错误； 因为f(1)=一1十2=1，故B错误； 当x=5时，f(5)=-52+25=7>0,故C错误.故选D.] 3.解析：由题意得2x一x2≥0，即0≤x≤2， 又因y=2x一x2的对称轴为x=1,所以y=2x一x2在 [0,1]上单调递增，故根据复合函数单调性，得函数y= √/2x一x的递增区间为[0,1]. 答案：[0,1] 4.解：(1)设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)，由f(0)=1, 得c=1,f(x)=ax2十bx+1. .f(x十1)-f(x)=2x, 2a6,{620…8, .f(x)=x2-x十1. (2)由题意，x-x十1>2x十m在[-1,1]上恒成立，即 x2-3x十1-m>0在[-1,1]上恒成立. 令g)=x-3x十1一m=(-昌)广-号-m,英对称 312 轴为x=吕 .g(x)在区间[一1,1]上是减函数， g(x)mm=g(1)=1-3+1-m>0,.m<-1. 3.6 梳理·必备知识基础自测 1.(1)/(2)/2.C 3.C[由已知得7小时20分钟按8小时计算， 所以停车费为5十(8-3)×3=20元.故选C.] 4.D[因利润x=12x一(6x十30000)，所以x=6x一30000， 由x≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套】 故选D.] 5.8 提升·学科素养 [例1][解](1)在平面直角坐标系中画出各，点，如图. 这些，点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关 系为一次函数关系， 设f(x)=kx十b(k≠0，且k,b为常数)，则人60=30k十b, 130=40k+b 极得名司 ∴f(x)=-3x十150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在 此直线上..y与x之间的函数解析式为y=一3x十150 (30x50). ·2 参考答案 40 020 10 0102030405060 (2)由题意，得P=(x-30)(-3x十150)=-3x2十240x -4500=-3(x-40)2+300(30≤x≤50). .当x=40时，P有最大值300.故销售单价为40元时， 日销售利润最大， [例2][解]设日销售金额为y(元)，则y=PQ,所以y ={5t+20t+800,0<25 {E-1401+4000,25≤30t∈N“) ①当0<t<25且t∈N“时，y=-(t-10)2十900，所以当 t=10时，ymx=900. ②当25t30且t∈N"时，y=(t-70)2一900，所以当t =25时，ymx=1125.结合①②得ymx=1125. 因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25 天时日销售金额达到最大 跟踪训练 1.解：由题意得2x十2AD十元=，解得AD=子-受 工一x,所以此框架的面积y=立x十 (合登-小：2x=-(2+受)r+,因为台-受 x一>0>0，所以0<云所以y与x之间的通 数关系式为y=-(（2+受)r十，定义城 为(02)片 2.解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t=10000十 100x.又f(x)=H(x)-t, “f)={n+300z-1000.0≤x≤20，x∈N 30000-100x,x>200,x∈N (2)当0x200时，f(x)=-(x一150)十12500，所以 当x=150时，有最大值12500； 当x>200时，f(x)=30000-100x是减函数，f(x)< 30000-100×200<12500. 所以当x=150时，f(x)取最大值，最大值为12500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润 为12500元. 突破·高效演练基础题组练 1.D2.B3.C 4.A[由题意可知2y十2x=20,即y=10-x,又10-x> x,所以0x<5,故选A.] 5.C[设y=kx十b,则1000=800k十b,且2000=700k十 b,解得k=-10,b=9000,则y=-10x十9000.解400 =-10.x十9000，得x=860.故选C.] 6.解析：设彩电的原价为a元，∴.a(1十0.4)·80%-a= 270,∴.0.12a=270,解得a=2250. .每台彩电的原价为2250元. 答案：2250 7.解析：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得 f(x)≥1成立，所以将原不等式转化为 ”≥1 ∫x0 从而得x≥1或x≤-1，即(-∞，-1]U[1,十∞). 答案：(-∞，-1]U[1,十∞)高考总复习数学 3.5二次函数（二次函数的图象与性质） 》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]二次函数的概念 3.函数f(x)=x+bx十c的对称轴是直线x=1, 1.定义：形如y=ax+bx十c(a,b,c是常数， 则 且a≠0)的函数叫作二次函数.其中，a为二 次项系数，b为一次项系数，c为常数项， A.f(0)=f(3) 2.解析式 B.f(0)>f(3) (1)一般式：y=a.x2+bz+c(a≠0) C.f(0)<f(3) (2)顶点式：y=a(x一h)+(a≠0)，其中顶点 为(h,k); D.无法比较 (3)交点式：y=a(x-x1)(x一x2)(a≠0)，其 4.抛物线y=2x2一x+1的对称轴和顶点坐标 中抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0). 分别是 ( [知识点二] 二次函数的图象和性质 f(x)-ax2+bx f(x)=ax2+bx 解析式 以x-8) +c(a>0) +c(a<0) y 图象 0 5.已知函数y=x2+bx+c在区间(-o∞，1)上是 单调递减函数，则实数b的取值范围是( 定义域 A.b≥-2 B.b≤-2 值域 C.b>-2 D.b<-2 在(，一品]上单调 在 上单调 6.（1)二次函数y=2x2一mx+n图象的顶点坐标 单调性 递减：在、 上 递增；在 单调递增 上单调递减 为(1，一2)，则m= ,n= 对称性 函数的图象关于直线x= 治对标 (2)已知二次函数y=x2十(m-2)x-2m, [基础自测门 当m= 时，函数图象的顶点在y 1.函数y=一 x+D+2的顶点坐标是 轴上；当m=时，函数图象的顶点 在x轴上；当m= 时，函数图象经 A.(1,2) B.(1,-2) 过原点 C.(-1,2) D.(-1,-2) (3)函数y=一3(x+2)2+5的图象的开口 2.若函数f(x)=ax2+bx十c满足f(4)= f(1),那么 向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 A.f(2)>f(3) ;当x= 时，函数取最 B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) 值y= ;当x 时，y随着x D.f(3)与f(2)大小不能确定 的增大而减小. ·36· 第三章函数 直击考向 提升.学科素养 通法悟道 春点一 三次函数的三种解析式形式 春原二 三次函数的菌象性质 [例1] 已知二次函数的图象过点（一1， [例2]如图，若a<0,b>0,c<0,则抛物线 -22),(0,一8)，(2,8)，求此二次函数的表 达式 y=ax2十bx十c的大致图象为 [尝试解答] 通性通法 通性通法 (1)当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)； (2)顶点式：y=a(.x十h)2+k(a≠0)，其中顶 口向上；顶点坐标为 点坐标是（一h,k); (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0)， 称轴为直线x=一名当x<一 时随 其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点 的横坐标. 着x的增大而减小；当x>一 时y随 在求二次函数的表达式时，可以根据题 目所提供的条件，选用一般式、顶点式、 着x的增大而增大；当x=一 时雨数 交点式这三种表达形式中的某一形式 来解题， 取最小值y=4ac一b Aa ★跟踪训练 (2)当a<0时，函数y=ax2+bx十c图象开 1.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点 在直线y=x十1上，并且图象经过点 口向下；顶点坐标为 (3,-1),求二次函数的解析式. 称轴为直线x= b 当x<- 时心睡 着x的增大而增大；当x>一 时y随 着x的增大而减小；当x=一 时函数 取最大值y Aac-b2 Aa ·37 高考总复习数学 食跟踪训练 (2)已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2， 2.二次函数y=x2+ax十a一2的图象与x轴 求它的另一个根及的值 的两个交点间的距离是2，求实数a的值. [尝试解答] 通性通法 利用根与系数的关系求值，要熟练掌 握以下等式变形： x十x号=(x1十x2)2-2x1x2 专点三二元三次方程中根与系数的关系” ⊥+1=十 [例3](1)若x1和x2分别是一元二次方程 (x1-x2)=(x1十x2)2-4x1x2 2x2+5x-3=0的两根. |x1-x2|=√(x1十x2)2-40x2 ①求|x1一x2|的值； ②水宁+的位： 食跟踪训练 3.已知a、3是方程x2+2x一5=0的两个实数 ③求x十x的值. 根，则a2十aB十2a的值为 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 4.不等式y=ax2-x-c>0的解集为{x一2 1.已知函数f(x)=4x2-m.x十5在区间[-2， <x<1},则函数y的图象为 () 十∞)上是增函数，在区间（一∞，一2]上是 减函数，则m= () A.16 B.-16 C.8 D.-8 2.设x∈R,则“x2-5x+6<0”是“|x-2|< 1”的 5.函数y=一ax十1与y=ax2在同一坐标系 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 中的图象大致是图中的 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.二次函数y=x2-2x十3图象的对称轴方 兴兰 程为 ( ) A.x=1 B.x=2 6.函数f(x)=x2十bx+4的图象总在x轴上 C.x=-1 D.x=-2 方，则b的取值范围是 ·38· 第三章函数 7.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如 [综合题组练] 图所示，确定下列各式的正负：b0, 1.关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的 ac 0;a-b+c 0. 一个根比1大，另一个根比1小，则() A.-1<a<1 B.a>1 C.-2<a<1 D.a<-2或a>1 2.函数f(x)=一x2十2x的大致图象为 8.二次函数y=f(x)满足f(3十x)=f(3一x), 且f(x)=0有两个实根x1,x2,x1十x2 = 9.(1)已知函数f(x-3)=x2-4x+6,求 3.函数y=√/2x一x2的递增区间是 f(x)的解析式. 4.若二次函数满足f(x十1)一f(x)=2x且 (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2, f(0)=1. f(x十2)一f(x)=2x+4,求f(x)的解 (1)求f(x)的解析式； 析式. (2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+ m恒成立，求实数m的取值范围. ·39·