3.4 函数的奇偶性-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 3.4函数的奇偶性 ●》 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]函数的奇偶性 (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. 奇偶性 定义 图象特点 ( ) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函 如果对于函数f(x)的 数不是奇函数，就是偶函数. 定义域内任意一个x, 关于 偶函数 都有 ,那么函 对称 (4)函数f(x)=x2,x∈[0，十∞)是偶函数. 数f(x)是偶函数 () (5)“a+b=0”是“函数f(x)在区间[a,b](a≠b) 如果对于函数f(x)的 上具有奇偶性”的必要条件. 定义域内任意一个x, 关于 奇函数 (6)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)=0.() 都有 ,那么函 对称 (7)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函 数f(x)是奇函数 数，若在（一∞，0）上是减函数，则在 [知识点二]奇偶性与单调性 (0,+∞)上是增函数. ( ) 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在 2.下列函数为奇函数的是 ( 关于原点对称的两个区间[a,b]和[一b, A.y=lxl B.y=3-x 一a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为 偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区 C.y= 1 D.y=-x2+14 间[a,b]和[一b,一a]上具有相反的单调性. 3.若函数y=f(x),x∈[-2，a]是偶函数，则 [知识点三]奇偶性的推广 a的值为 般地，对于定义域内任意x, A.-2 B.2 (1)若f(a-x)=2b-f(a十x),则f(x)的图 C.0 D.不能确定 象关于点(a,b)对称.当a=b=0时，即为 4.下列图象表示的函数是奇函数的是 奇函数的定义 是偶函数的是 .(填序号) (2)若f(a一x)=f(a十x),则f(x)的图象关 于直线x=a对称，当a=0时，即为偶函数 的定义 [基础自测] (2 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 5.已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0 (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)= 时，f(x)=x(x-1),则当x>0时，f(x)= 一f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.() ·32· 第三章函数 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一 函数奇偶性的判断 (3)f(x)=|x+1|-|x-1|; [例]判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x+x; (2)f(x)=√1-x+√x2-1】 尝试解答] 专点二奇、偶函数的图象问题 [例2]已知奇函数f(x)的定义域为[一5,5]， 且在区间[0,5]上的图象如图所示. 通性通法 y 函数奇偶性判断的方法 5-202式 (1)定义法： (1)画出f(x)在区间[一5,0]上的图象： 定义域关于 (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 非奇非偶函数 原点对称？ [尝试解答] f(-x)=-f(x) 奇函数 是 f(-x)与f(x) f(-x)=f(x) 偶函数 的关系 f-x)与fx) 非奇非 无上述关系 偶函数 (2)图象法： f(x) 关于原点对称 f(x)为奇函数 的 象 关于y轴对称 (x)为偶函数 ★跟踪训练 1.判断下列函数的奇偶性. 1)函数f()=2士2是 通性通法 x+1 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与 A.奇函数 函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应 B.偶函数 根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义 C.既是奇函数又是偶函数 域另一侧的图象，根据图象特征求解问题. D.既不是奇函数又不是偶函数 ★跟踪训练 (2)f(x)=x2(x2+2); 2.若偶函数f(x)在区间[1,2026]上的最大值为 2026,则函数f(x)在区间[-2026，一1]上有 () A.最小值-2026 B.最小值2026 C.最大值-2026 D.最大值2026 ·33· 高考总复习数学 专点三利用奇偶性求解析式 (2)(利用奇偶性求参数值)若函数f(x)= [例3]已知f(x)是定义域为R的偶函数， (x十1)(x十a)为奇函数，则a= 当x>0时，f(x)=x2+x,求当x<0时， 2 (3)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上 f(x)的解析式： [尝试解答] 是奇函数，又是减函数，若f(1一a)十 f(1-a)<0,求实数a的取值范围. [尝试解答] 通性通法 已知区间[a,b]上的解析式，求[一b, 一a]上的解析式： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x就应在哪个区间上设， 通性通法 (2)要利用已知区间的解析式进行代入， 1.充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性， (3)利用f(x)的奇偶性写出一f(x)或 把已知不等式转化为f(x)>f(x2)或f(x1) f(一x),从而解出f(x). <f(x,)的形式，再利用单调性脱掉“f” ★跟踪训练 求解 3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当 2.在对称区间上根据奇函数的单调性一致， x>0时，f(x)=2x-x2,求y=f(x)的解 偶函数的单调性相反，列出不等式或不等 析式. 式组，求解即可，同时要注意函数自身定义 域对参数的影响. 食跟踪训练 4.定义在[一2,2]上的偶函数f(x)在区间 [0,2]上单调递减，若f(1-m)<f(m),求 实数m的取值范围. 专点四函数的奇偶性和单调性的综合应用 [例4幻(1)（利用奇偶性求函数值）已知f(x) =x5+ax3+bx-8,若f(-3)=10,则 f(3)= A.26 B.18 C.10 D.-26 》 突破·高效演练 分层训练 高效提能 [基础题组练] 2.f(x)=x3+1的图象关于 ( 1.函数f(x)=|x|十1是 A.原点对称 B.y轴对称 A.奇函数 C.y=x对称 D.y=一x对称 3.（多选题)若奇函数f(x)在[1,3]上为增函 B.偶函数 数，且有最小值0，则它在[一3，一1]上 C.既是奇函数又是偶函数 ( A.是减函数 B.是增函数 D.非奇非偶函数 C.有最大值0 D.有最小值0 ·34· 第三章函数 4.已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为 [综合题组练] 偶函数，则m的值是 1.设二次函数f(x)=(a2-1)x2+(a2-a)x A.4 B.3 C.2 D.1 十2226是偶函数，则a= () 5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0，十∞) A.0或1 B.0或-1 时，f(x)是增函数，则f(一2)，f(π)， C.-1 D.0 f(-3)的大小关系是 () 2.已知定义域为(-1,1)的奇函数f(x)是减 A.f(π)>f(-3)>f(-2) 函数，且f(a-3)+f(9-a2)<0,则实数a B.f(π)>f(-2)>f(-3) 的取值范围是 () C.f(π)<f(-3)<f(-2) A.(2√2,3) B.(3,w10) D.f(π)<f(-2)<f(-3) C.(22,4) D.(-2,3) 6.若函数fx)=1一22的图象关于原点对 3.已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点 (-1,4),则f(1)= 称，则实数a= ( 4.已知函数f(x)=mx3+n.x-1,若f(3)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 2026,则f(-3)= 7.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=1og2(x+2)一1，则f(一6)= S.函数f(x)A是定义在（一1,1D上的奇 () A.2 B.4 C.-2 D.-4 函数且f)- 8.若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0， (1)确定函数f(x)的解析式； +e∞)上是减函数，则f(-)与d-a+1D (2)用定义证明f(x)在（一1,1)上是增 函数； 的大小关系是 (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)=ax2-2x,且f(4)=8.求 (1)实数a的值； (2)该函数的解析式. ·35·高考总复习数学 跟踪训练 1.解：设x1>x2>-1, 2x1 2(x1-x2） y1一yg= 十2，十方(G+1)(+D>0, >%画数y名在(-1，十四)上为增高数。 2.解：y=-x2+2x十3= -x2+2x十3=-(x-1)2+4(x≥0) {-x2-2x十3=-(x+1)2+4(x<0) 函数图象如图所示 y 3 -101 函数在(-o∞，-1]，[0,1]上是增函数；函数在[-1,0]， [1,十oo)上是减函数。 所以函数的单调增区间是(-∞，一1]和[0,1]，单调减 区间是[-1,0]和[1，十o∞). 3.B[由题意得m-1>0,即m>1,而f(x)在R上是增 函数，则f(m)>f(1),故选B.] 突破·高效演练基础题组练 1.C2.A3.B 4.C[由题意可知1≠4，因为)->0→( x2一x1 一x1)(f(x2)一f(x1))>0→在R上，当x1<x2时都有 f(x1)<f(x2)成立，所以选C.门 5.A[函数f)=+x-2的对称轴为工=-号，故画 数f(x)=x十x-2在[0,2]上单调递增，又f(0)=-2, f(2)=4,所以函数f(x)=x2十x-2(x∈[0,2])的值域 是[-2,4]，故选A.」 6.解析：由已知可得函数f(x)=x2-2ax十3的图 象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=a, 又函数在(2，十o)上是增函数，故可得a2, 综上所述，实数a的取值范围是（一∞，2]. 答案：（一∞，2] 7.解析：因为函数y=f(x)在（一∞，十∞）上是增函数，且 f(2x-3)>f(5x-6), 所以2x一3>5.x一6，解得x<1, 即实数x的取值范围为（一，1）. 答案：（一0∞，1） 2x十a,x≥- a 2 8.解析：f(x) ,,f(x)的单调递增区 2x-a,x<- 间是[-号+）-号=3，即a=-6 答案：一6 9.解：因为函数y=f(x)在定义域R上是减函数，且f(a十 1)>f(2a),所以a十1<2a,解得a>1,所以a的取值范 围是(1，十0∞). 综合题组练 1.ABD[由题图可知，f(x)在区间[-3,1]，[4,5]上单调 递减，单调区间不可以用并集“U”连接，故不选C.] 2.B [y=x(1-x)= ∫x(1-x),x≥0 1-x(1-x),x<0 11 +子≥0 2 -x十x,x≥0 画出函数 x2-x,x<0 1 的图象如图所示 ·2 由图易知原函数在[0,2] ,11上单调递增.故选B.] 3.B[f(x)为减函数，m-2<0,即m<2,故选B]. 4.解析：因为函数f(x)=ax十1在R上递减，所以a<0, 所以g(x)=a(x2-4x十3)=a[(x-2)2-1]的增区间是 (-∞，2). 答案：(-00,2) 5.解：(1)证明：当a=-2时，(x)=千2 设x1<x2<一2， 则f)-f(x2)=4。 2(x1-x2) 1+22十2(x1十2)(2+2) 因为（x1十2)(x2十2)>0，x1-x20, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递增. (2)设1<x1<x2, 则f()-f(x)= a(x2-x1） 1-a2-a(x1-a)(2-a)' 因为a>0,x2一x1>0, 所以要使f(x1)一f(x,)>0, 只需(z1-a)(x2-a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，0<a≤1. 3.4 梳理·必备知识知识点 1.f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)×(7)/ 2.C[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非 偶函数，而C项中函数为奇函数.故选C.门] 3.B[因为偶函数的定义域关于原，点对称，所以一2十a=0, 所以a=2.故选B.」 4.解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对 称是奇函数. 答案：(2)(4)(1)(3) 5.解析：当x>0时，一x0,则f(一x)=一x(一x一1)=x (x十1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)= f(-x)=x(x十1). 答案：x(x十1) 提升·学科素养 [例1][解](1)函数的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)十(-x)=-(x3+x)=-f(x),因 此函数f(x)是奇函数 2)由{女10得1，即x=1,因此画数的定义 域为{-1,1}，关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以∫(x)既是奇函数又是偶函数。 [例2][解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x) 在[一5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5] 上的图象，可知它在[一5,0]上的图象，如图所示. y 、 5-2o2.方 (2)由图象知，使函数值f(x)0的x的取值集合为 (-2,0)U(2,5). 「例3][解]设x0,则一x>0. ∴.f(-x)=（-x)2-x=x2-x. 又，f(x)是定义域为R的偶函数， ∴.f(-x)=f(x)=x2-x,.当x<0时，fx)=x2-x. [例4](1)[解析]法一由f(x)=x5十ax+bx-8, 得f(x)十8=x5十a.x3+bx. 令G(x)=x十ax十bx=f(x)十8，.'G(-x)= (-x)5十a(-x)3+b(-x)=-(x5十a.x3+bx)=-G(x), .G(x)是奇函数，.G(-3)=-G(3),即f(-3)十8= -f(3)-8.又f(-3)=10, .f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26. 法二由已知条件，得 jf(-3)=(-3)5+a(-3)3+b(-3)-8① {f(3)=35十a·3十b·3-8@ ①十②得f(3)十f(-3)=-16,又f(-3)=10, ∴.f(3)=-26. [答案]D (2)[解析]f(x)是奇函数，.f(一x)=一f(x),即 （-x十1)(-x十a)=-(x十1)(x+a),显然x≠0，整理 得x2-(a十1)x十a=x2十(a十1)x十a,故a十1=0，解 得a=-1. [答案]-1 (3)[解]由f(1-a)十f(1-a)<0,得f(1-a)< f(1-a). :y=f(x)在[-1,1]上是奇函数，.-f(1-a)= f(a-1),.f(1-a)f(a-1). 又f(x)在[-1,1]上单调递减， -1≤1-a≤1 -1a-1s1,解得0≤a≤2,0≤a<1. -11-a1 10≤a2≤2 (-2a<1 1-a2>a-1 ∴.实数a的取值范围是「0,1). 跟踪训练 1.解析：1DD[因为()=2x士2，所以工十1≠0， x+1 即x≠-1，故f(x)的定义域为{xx≠一1}，显然f(x) 的定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数又不是 偶函数.故选D.了 (2)x∈R,.-x∈R. 又f(-x)=(-x)2[(-x)2十2]=x(x2十2)=f(x). .f(x)为偶函数. (3)x∈R,∴.-x∈R.又：f-x)=-x十1--x-1 =x-1-x十1=-(x十1-x-1)=-f(x), .f(x)为奇函数. 2.D[因为(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于x=0, 即y轴对称，也就是说自变量相反的两个数函数值一 样，所以f(x)有最大值2026.故选D.] 3.解：设x0,则一x>0,因为f(x)是奇函数，所以当x<0 时，f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)]=2x十x2. 因为y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0. 所以f)=+2x,x≤0 2x-x2,.x>0 4.解：，函数f(x)是偶函数，.f(x)=f(x). ∴.f(1-m)=f(1-m),f(m)=f(m). 1-2≤1-m≤2 “原不等式等价于{-2≤m≤2 (1-m>m 解得-1≤m<.·实数m的取值范国是[-1，） 突破·高效演练基础题组练 1.B2.A 3.BC[由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函 数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最 小值对应另一侧的最大值，故选BC.] 4.C[因为函数f(x)=x2十(2一m)x十m十12为偶函 数，所以f(x)=f(-x),即x2十(2-m)x十m2十12= (-x)2-(2-m)x十m2十12，即4-2mm=0,所以m=2. 故选C.] ·2 参考答案 5.A[因为当x∈[0，十∞)时，f(x)是增函数，所以有 f(2)<f(3)<f(π).又f(x)是R上的偶函数，故f(-2) =f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)<f(-3)< f(π).故选A.] 6.A[由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)十 -》=0即1马+1.1 ,a=0,1-a十1十2a=0, 2 解得a=-2.故选A.] 7.C[根据题意得f(-6)=-f(6)=1-log(6十2)=1 -3=-2.故选C. 8.解析：显然。2-a+1≥孕.又：fx)在[0，十o)上是减 函数， 小fa-a+1)≤f()又fx)是偶画数， f(是)=f(）a-a+0≤f()月 答案：fa2-a+1)≤f(子） 9.解：(1)当x≥0时，f(4)=8,.f(4)=16a-8=8,即16a =16,a=1. (2)由(1)知x≥0时，f(x)=x2-2x,设x<0,则-x>0,所 以f(-x)=(-x)-2(-x)=x十2x,又因(x)是奇 函数，所以-f(x)=f(-x)=x2十2x, f(x)=一x2一2x(x<0),由以上可知该函数的解析式 为f(x)= -x2-2x(x<0) {x2-2x(x≥0) 综合题组练 1.D[二次函数f(x)=(a2-1)x2+(a2-a)x十226的定 义域为R,关于原，点对称 因为二次函数f(x)=(a2-1)x2十(a2-a)x十226是偶 函数， 所以f(-x)=(a'-1)(-x)2-(a2-a)(-x)十2206= (a2-1)zx2+(a2-a)x+222s=f(x),且a2-1≠0， 化简得a1≠0 12(ga)=0'解得g1≠0 (a(a-1)=01 解得a=0,] 2.A[由f(a-3)十f(9-a)<0,得f(a-3)<-f(9 a).又由奇函数性质得f(a-3)<f(a2-9).因为f(x) -1a-3<1 是定义域为(-1,1)的减函数，所以{-1<a”-9<1,解 (a-3>a-9 得2√2<a3.故选A.] 3.解析：由f(-x)=a(-x)3-2(-x)=-ax3十2x= 一(ax一2x)=一f(x)且定义域为R,所以f(x)为奇函 数，故f(1)=-f(-1)=-4.故答案为-4. 答案：一4 4.解析：设g(x)=mx3十nx, 由于g(x)的定义域为(-∞，十∞)，且g(一x)= m(-x)3十n(-x)=-(m.x3十nx)=-g(x),所以g(x) 为奇函数. 由f(3)=g(3)一1=2026，可得g(3)=2027, 所以g(-3)=-g(3)=-2027, 故f(-3)=g(-3)-1=-2028. 答案：-2028 5.(1)解：由于f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，则有 0)=0.即0-0，解得6=0，（位）=号 1+02 2a 2 =号a=1.画数解折式为()= 1十4 (-1<x<1). 高考总复习数学 (2)证明任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, )=得， (x1-x2)(1-x1x2） -1<x1<x2<1,1-x<0,1-x1x2>0,(1+xi) (1十x)>0, f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).f(x)为 (一1,1)上的增函数. (3)解：f(t-1)十f(t)0,.f(t-1)-f(t). f(x)是(-1,1)上的奇函数，∴f(-t)=一f(t), ∴.f(t-1)<f(-t). -1t-11 :f(x)为(-1,1)上的增函数，{-1<-t1,解得 (t-1<-t 0<K分：不等式的解集为{红0<K号} 3.5 梳理·必备知识知识点二 尔 g -oo,4ac-b】 Aa b 基础自测 1.C2.C 3.C[抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,则f(0)= f(2).因为函数在区间[1，十∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3),即f(0)<f(3).故选C.] 4B=2x-x+1=2(e-合)=2(-)》 十子，所以抛物线的对称轴为直线x=},顶点坐标为 (仔后)上戴造] 5.B[x=-名≥1，解得6-2.截选B] 6.(1)4,0(2)2,-2,0(3)下，x=-2,(-2,5),-2,大， 5,>-2 提升·学科素养 [例l][解]设该二次函数为y=ax2十bx十c(a≠0). 由函数图象过点(-1，-22)，(0，-8)，(2,8)，可得 -22=a-b+c -8=c ,解得a=-2,b=12,c=-8. (8=4a+2b十c 所以，所求的二次函数为y=一2x2十12x-8. [例2][解析]若a<0,b>0,c<0,则该二次函数开口 白下，对称轴x=一品>0，与y轴的文点位于x轴下 方，符合条件的图象只有选项B.故选B. [答案]B [例3][解](1)：x1和x2分别是一元二次方程2x+ 5.x-3=0的两根， 十=-=-是 5 ①：x1一x22=x十x-2x1x2=（x1十x2)2-4x1x =(号）-4×()翠+6=49 4 x1-x2=2 (1x2) 31 -32 () 9 91 ·2 ③x1+x2=(x1十x2)(x1-x1x2十x2) =(x1十x2)[(x1十x2)2-3x1x2] =()×[()广-3×()门- (2)设方程的另一个旅为工1，则2江=一号， =- 寻（号）十2=-台得=-7.所以，方 3 程的另一个根为一号，k的值为一7. 跟踪训练 1.解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶，点的 纵坐标， .顶，点的纵坐标为2. 又顶点在直线y=x十1上， .2=x十1，x=1..顶点坐标是(1,2) 设该二次函数的解析式为y=a(x一1)2十2 ,二次函数的图象经过点(3，一1)， 代入解得a=一3】 41 “二次西数的解折式为y=一导父十含十导 2.解：设二次函数y=x十ax十a一2的图象与x轴的两个 交点为A(x1,0),B(x2,0),则由题意得，x1,2是方程 x2十a.x十a-2=0的两个实数根，可得x1十x2=一a, x1x2=a-2.因此由AB=√(x2-x1)2=2得，(x1十 x2)2-4x1x2=4,即(-a)2-4(a-2)=4,化筒得a2-4a 十4=0，即(a-2)2=0,解得a=2. 3.解析：由于a、8是方程x2十2x-5=0的实数根， .a2+2a-5=0,a8=-5,.a2+2a=5 ..a十a3+2a=a十2a十a3=5-5=0. 答案：0 突破·高效演练基础题组练 1.B2.A 3.A[二次函数y=x2-2x十3图象的对称轴方程为x= -2 一2x=1.故选A] 4.B 5.A[当a>0时，y=-ax十1在x,y轴上裁距分别是 日>01，而y=a开口向上，顶点为原点且对称轴为y 轴，排除B;当a<0时，y=一ax十1在x,y轴上裁距分 别是日<0,1，而y=ar开口向下，顶点为原点且对称 轴为y轴，排除C、D,故选A.] 6.解析：因为函数f(x)=x2十bx十4的图象总在x轴上 方，.△=b-16<0,解得-4<b<4. 故答案为（一4,4）. 答案：（一4,4） 7.解析：“a<0,一2a b >0,c>0,.b>0,ac0. 设y=f(x)=a.x2十bx十c,则a-b十c=f(-1)<0. 故答案为>；<；< 答案：>< 8.解析：：二次函数y=f(x)满足f(3十x)=f(3-x), .二次函数y=f(x)的对称轴为x=3, ∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对称，即 两个交点的中点为3. 根据中点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之和为 21十x2=2X3=6. 故本题答案为6. 答案：6 46