3.3 函数的单调性-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 3.3 函数的单调性 梳理·必备知识 基础盘点 落实双基 [知识点一]增函数与减函数的定义 (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为 般地，设函数f(x)的定义域为I,区 增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增 间D二I:如果H1,x2∈D,当x1< 函数， ( ) 条件 x2时 (4)若函数f(x)在（一∞，0）和(0，十∞)上单 调递减，则f(x)在（一∞，0）U(0,十∞)上 都有 都有 单调递减， () 那么就称函数f(x) 那么就称函数 (5)对于函数f(x),x∈D,若对任意1,2∈D, 结论 在区间D上是 f(x)在区间D 且x1≠x2有(1一x2)汇f(x1)-f(x2)]>0,则 函数 上是 函数 函数f(x)在区间D上是增函数.() y=f(a) y-f(x) (6)函数y=的单调递减区间是（一©，0）U (0,十∞) 图示 f)f) f (7)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 0 X2 f(x)为增函数. ( ) (8)函数y=f(x)在[1，十∞)上是增函数，则 [知识点二]函数的单调性与单调区间 函数的单调递增区间是[1，十∞).( 如果函数y=f(x)在区间D上是 2.下列函数中，在区间(0，十∞)内单调递减 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具 的是 有（严格的）单调性，区间D叫作y=f(x) A.y- 一x B.y=x2-x 的 D.y=e [知识点三]基本初等函数的单调区间如下 C.y=In x-x 表所示 数f(x)三的单调递减区间是( 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 A.(-∞，0)，(0，+∞) 正比例函数(y=k.x, k≥>0 无 B.(0,十∞) k≠0)与一次函数(y =k.x十b,k≠0) k<0 无 C.(-∞，0)U(0,+∞) 反比例函数(y= (一,0)和 D.(-∞，0) k>0 无 (0,+∞) ,k≠0) 4.设定义在[一1,7]上的函数y=f(x)的图 x k<0 (一∞，0)和(0，+) 无 象如图所示，则函数y=f(x)的增区间 二次函数(y=a.x2+ a>0 [ 2a,+o 00, 2a 为 bx+c,a≠0) a<0 2a [知识点四] 复合函数的单调性判断：同增异减 [基础自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”) 5.函数y=4x-x2+3,x∈[0,3]的单调递增 (1)因为f(一1)<f(2),所以函数f(x)在 区间是 ,最小值是 [-1,2]上是增函数. () 最大值是 (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1). 6.函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函 数，则a的取值范围是 ·28· 第三章函数 提升·学科素养 《 直击考向 通法悟道 专点二函数单调性的判定与证明 专点三利用图象确定函数的单调区间 [例1] 用定义证明：函数f(x)=x+1在 [例2]如图为函数y=f(x),x∈[一4,7]的 图象，指出它的单调区间. (一1,0)上是减函数， y [尝试解答] -1.5 2:0 23456 [尝试解答] 通性通法 通性通法 1.求函数单调区间的方法 利用定义证明函数单调性的4个步骤 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函 (值 设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2 数的单调区间要根据函数的自变量的取 作差f)f(x)或f)fx),并通过因式分解、 值范围分段求解； 作差 配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的 变形 方向变形，一般化为积的形式 (2)利用函数的图象 定号 确定差f)fx)或f)fx)的符号，当符号不 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间 确定时，可以进行分类讨论 不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和” <结论 根据定义得出结论 连接，不能用“U”连接。 食跟踪训练 食跟踪训练 1用定义证明，函数y千在（一1十∞）上 2.画出函数y=一x2十2x十3的图象，并指 出函数的单调区间. 为增函数. ·29· 高考总复习数学 专点函数单调性的应用 通性通法 [例3]已知函数f(x)的定义域为[一2,2]， 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 且f(x)在区间[一2,2]上是减函数，且 (1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比 f(1一m)>f(m),求实数m的取值范围. 较求参数. [尝试解答] (2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反 比例函数、二次函数的单调性求解. (3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a,b)”与 “函数(x)在区间(a,b)上单调递增”是 不同的，后者意味着区间(a,b)是函数 f(x)的增区间的一个子集 ★跟踪训练 3.若函数f(x)=(m一1)x十b在R上是增函数， 则f(m)与f1)的大小关系是 ( ) A.f(m)<f1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 4.已知函数f(x)的定义域是R,若对于任意两个 1.函数y=f(x)的图象如图所示，其增区间是 不相等的实数，总有，）-f》>0成 ( I>-I 立，则函数f(x)一定是 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 A.[0,1] B.[-4,-3]U[1,4幻 5.函数f(x)=x2十x-2(x∈[0,2])的值域是 C.[-3,1] D.[-3,41 2.已知函数f(x)在（一∞，十∞）上是减函数，则 A.[-2,4] 下列关系正确的是 ( A.f(1)<f(0)<f-1) c[-+∞ n-4 B.f(0)<f(-1)<f(1) C.f(-1)<f(0)<f(1) 6.若函数f(x)=x-2a.x十3在(2，十∞)上是增 D.f(0)<f(1)<f(-1) 函数，则实数a的取值范围是 3.已知f(x)=(3a-1)x十b在(-∞，十∞)上是 7.已知函数y=f(x)是（一∞，十∞）上的增函数 增函数，则a的取值范围是 () 且f(2x一3)>f(5x-6),求实数x的取值范围 为 8.若函数f(x)=|2x十a|的单调递增区间是 [3,+∞)，则a= ·30· 第三章函数 9.设a为实数，已知函数y=f(x)在定义域R上 3.(2023·春招，7)若函数f(x)=(m一2)x十4在 是减函数，且f(a十1)>f(2a),求a的取值 (一∞，十∞)上是减函数，则实数m的取值 范围 范围是 ( A.(-0∞，0) B.(-∞，2) C.(0,+∞) D.(2,十∞) 4.若函数f(x)=ax十1在R上递减，则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是 5.已知f(x)=x(x≠a). x-a (1)若a=一2，证明：f(x)在（一∞，一2）上 单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调递 减，求a的取值范围. [综合题组练] 1.(多选题)如图是定义在区间[一5,5]上的函数 y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法正确 的是 () 3 2 1 5-4-3-2-1012345x -2 3 A.函数在区间[一5，一3]上单调递增 B.函数在区间[1,4幻上单调递增 C.函数在区间[一3,1]U[4,5]上单调递减 D.函数在区间[一5,5]上没有单调性 2.函数y=|x(1一x)在区间A上是增函数，那 么区间A可能是 () A.(-0∞，0) C.[0,+o∞) n(侵+ ·31·3.解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)=f(a-1),即2a=√a: 解得a=则（日）=8 当a≥1时，由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. 答案：8 突破·高效演练基础题组练 1.D2.B 3.C[当x≤0时，由x2+1=10得：x=-3或x=3(舍)； 当x>0时，由一2x=10得：x=-5(舍)；.x=-3.故 选C.] AD由成译。-4a=2 5.A[当x>0时，f(.x)=-x十2≥2.x,解得3x≤2，所以 0r<号：当<0时f(x)=十2≥2，解得x<2, 又x≤0，所以x≤0. 综上原不等式的解条为(-0，号]就选A] 6.解析：fLf(-4)]=f(16-4-2)=f(10)=-1. 答案：一1 7.解析：若x1,由x十1=一3，得x=一4. 若x>1,由1-x2=-3得x2=4,解得x=2或x= -2(舍去). 综上可得，所求x的值为一4或2. 答案：一4或2 8.解析：因为f(1)=2,且f(1)十f(a)=0,所以f(a)= 一2<0，故a0.依题知a十1=一2，解得a=一3. 答案：一3 4-x2,(x>0) 9.解：(1)由分段函数f(x)= 2,(x=0)可知，函数 1-2x,(x<0) f(x)的简图为 19 -3-2-1013x -1 (2)因为f(3)=4-32=4-9=一5，所以f(f(3)= f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11. (3)当-4≤x<0时，f(x)=1-2x∈(1,9]； 当x=0时，f(x)=f(0)=2: 当0<x<3时，f(x)=4-x2∈(-5,4)， 所以一当-4≤x<3时，f(x)取值的集合为(-5,9]. 综合题组练 1.C[由已知得-2)=2=-2] 日）1√F-1合故选c 2.A[由题意得当1≤x≤2时，7≤f(.x)≤10：当-1≤x <1时，6f(x)<8. 所以函数f(x)的最大值为10，最小值为6.故选A.] 3.A 4.解析：由题图可知，当-1≤x<0时，f(x)=x十1；当0≤ ≤2时，fx)=- ·2 参考答案 1x+1,-1≤x<0 所以f(x)= 1 2x,0≤x≤2 1x+1,-1≤x<0 答案：f(x)= 1 -2x,0≤x≤2 5.解：f(x)≥-1， x0, 2x+1公-1或>0， .1 {-(x-1)2≥-1. 解得一4≤x0或0<x2,即一4≤x2,.所求x的 取值范围是[一4,2]. 3.3 梳理·必备知识知识点一 f(x1)<f(x2)f(.x1)>f(.x2)增减 知识点二 增函数或减函数单调区间 基础自测 1.(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ (6)X此单调区间不能用“U”连接，故单调递减区间 为(-∞，0)和(0，十0∞). (7)X应对任意的<x2,f()<f(x2)成立才可以. (8)X若f(x)=x,在[1，十∞)上为增函数，但y= f(x)的单调递增区间是（一0∞，十∞）. 2.A[易知A中y=】一x在(0，十©)上是减函数， B,C中函数y=x2-x与y=lnx一x在(0，十∞)上不单 调，D中y=e在(0，十o∞)内是增函数.故选A.] 3.A[因为函数∫()=2是反比例函数，函数图像为一 三象限双曲线，定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，函数在 (一∞，0)和(0，十∞)上单调递减，故函数的单调递减区 间为（一∞，0）和(0，十∞).故选A.] 4.解析：由题图可知函数的单调递增区间为[一1,1]和[5,7]. 答案：[-1,1]，[5,7] 5.解析：因为y=4x-x2+3=-(x-2)2十7， 所以函数y=4x一x2+3,x∈[0,3]的单调递增区间是 [0,2].当x=2时，ymx=7;当x=0时，ymn=3. 答案：[0,2]37 6.解析：因为函数f(x)=(2a一1)x一3是R上的减函数， 1 所以2a-1<0,解得a<2: 1 答案：-∞，2 提升·学科素养 [例1][证明]设-1<x1<x2<0, 则有))=(+)厂(+)属-) ( =（1-x）·（x1x2-1) 由于-1<x1<x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0,又x1x2 >0,x1-x2<0, 则f(x1)-f(x)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在 (一1,0)上为减函数. [例2][解]函数的单调递增区间为[-1.5,3)，[5,6)， 单调减区间为[-4，-1.5)，[3,5)，[6,7]. [例3][解]因为∫(x)在区间[一2,2]上单调递减，所 以当一2≤x1<x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之 也成立，即若f(x1)>f(x2),则-2≤x1<x2≤2. -2m2 因为f1-m)>f(m).所以2≤1-m≤2，解得号< 1-m<m m2. 43 高考总复习数学 跟踪训练 1.解：设x1>x2>-1, 2.x12.x2 2(x1-x2) y-=4+1+(m,+1)(x,+1D>0, 之y2,函数y2在(-1，十0∞)上为增函 2.解：y=-x2+2x+3= -x2+2.x+3=-(x-1)2+4(x≥0) {-x2-2x+3=-(x+1)2+4(x<0) 函数图象如图所示. y -3-101 函数在(-∞，一1]，[0,1]上是增函数；函数在[-1,0]， [1,十∞)上是减函数. 所以函数的单调增区间是（一∞，一1]和[0,1]，单调减 区间是[-1,0]和[1，+∞). 3.B[由题意得m-1>0,即m>1,而f(x)在R上是增 函数，则f(m)>f(1),故选B.] 突破·高效演练基础题组练 1.C2.A3.B 4,C[由题意可知≠4，图为）->0>( x2一x1 -无)(f(x2)-f(x1)>0→在R上，当x1<x2时都有 f(x1)<f(x2)成立，所以选C.] 5.A[画数)=2十红-2的对称轴为=-号，故画 数(x)=x2十x一2在[0,2]上单调递增，又f(0)=-2, f(2)=4,所以函数f(.x)=x+x-2(x∈[0,2])的值域 是[-2,4]，故远A.] 6.解析：由已知可得函数f(x)=x2-2ax十3的图 象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=a, 又函数在(2，十∞)上是增函数，故可得a≤2， 综上所述，实数a的取值范围是（一∞，2]. 答案：(-∞，2] 7.解析：因为函数y=f(x)在（一∞，十∞）上是增函数，且 f(2.x-3)>f(5x-6), 所以2.x-3>5.x-6,解得x<1, 即实数x的取值范围为（一o,1). 答案：（一∞，1） 2x十a,x≥- 2 8.解析：f(x)= ,,f(x)的单调递增区 2-a<- 间是[号+∞）-受=8，即a=-6 答案：一6 9.解：因为函数y=f(x)在定义域R上是减函数，且f(a十 1)>f(2a),所以a十1<2a,解得a>1,所以a的取值范 围是(1，十∞). 综合题组练 1.ABD[由题图可知，f(x)在区间[-3,1]，[4,5]上单调 递减，单调区间不可以用并集“U”连接，故不选C.] 2.B [y=1x|(1-x）=x1-),x≥0 {-x(1-x),x<0 2 -x十x,x≥0 (-）)+7≥0 x2-x,x<0 121 画出函数 x-2 的图象如图所示 ·2 由图易知原函数在[0,2] 11上单调递增.故选B.门 3.B[f(x)为减函数，.m-2<0,即m<2,故选B]. 4.解析：因为函数f(.x)=a.x十1在R上递减，所以a<0, 所以g(x)=a(x2-4.x+3)=a[(x-2)2-1]的增区间是 (-∞，2). 答案：(-0∞，2) 5.解：1)证明：当a=-2时，f)-千2 设x<x2<-2, 2 2(x1-x2） 则f0z)一f(xe)x十2x2十2（十2）(2十2万： 因为(x1+2)(x2十2)>0，x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(.x1)<f(x2), 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递增. (2)设1<x1<x2, 则f)-f)=4一西 a(x2-x1） -ax2-a(-a)(x2-a)' 因为a>0,x2-x1>0, 所以要使f(x1)一f(x)>0, 只需(x1一a)(x2-a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，0<a1. 3.4 梳理·必备知识知识点 1.f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 基础自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)×(7)/ 2.C[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非 偶函数，而C项中函数为奇函数.故选C.] 3.B[因为偶函数的定义域关于原点对称，所以一2十a=0, 所以a=2.故选B.] 4.解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对 称是奇函数 答案：(2)(4)(1)(3) 5.解析：当x>0时，一x<0,则f(一x)=一x(一x一1)=x (x十1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)= f(-x)=x(x十1). 答案：x(x十1) 提升·学科素养 [例1][解](1)函数的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),因 此函数f(x)是奇函数. (2)由t≥0，得x2=1,即x=士1.因此函数的定义 {x2-1≥0' 域为{一1,1}关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是倡函数 [例2][解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x) 在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5] 上的图象，可知它在[一5,0]上的图象，如图所示. y米 -5-202、.5 (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为 (-2,0)U(2,5). [例3][解]设x<0,则-x>0. .f(-x)=(-x)2-x=x2-x. 又，·f(x)是定义域为R的偶函数， ∴.f一x)=f(x)=x一x,.当x0时，f(x)=x一x.